Разложение на множители калькулятор онлайн – Разложить на множители онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Калькуляторы | umath.ru

Популярные

График функции
Вычисление логарифма числа
Упрощение выражений
Сокращение дробей
Разложение числа на простые множители
Вычисление функции Эйлера

График функции
Калькулятор процентов
Нахождение точек локального экстремума функции
Нахождение максимума и минимума функции

Пределы, производные, интегралы

Вычисление предела последовательности
Вычисление предела функции
Вычисление производной
Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена
Вычисление неопределённого интеграла
Вычисление определённого интеграла

Дроби

Сокращение арифметических дробей
Приведение дробей к общему знаменателю
Операции с арифметическими дробями
Упрощение алгебраических дробей

Системы счисления

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Теория чисел

Разложение числа на простые множители
Нахождение наибольшего общего делителя
Нахождение наименьшего общего кратного
Вычисление функции Эйлера

Уравнения

Решение квадратного уравнения
Решение кубического уравнения
Упрощение математических выражений
Нахождение неизвестного члена пропорции

Матрицы

Сложение, вычитание матриц
Умножение матриц
Нахождение определителя матрицы
Вычисление обратной матрицы
Возведение матрицы в степень

Корни, степени, логарифмы

Вычисление корня из числа
Возведение числа в степень
Вычисление логарифма числа

Комбинаторика и теория вероятностей

Вычисление факториала числа
Вычисление числа размещений
Вычисление числа сочетаний

Статистика

Вычисление медианы ряда чисел
Вычисление среднего арифметического и среднего геометрического чисел
Вычисление моды и размаха ряда чисел

Геометрия

Вычисление площади треугольника
Нахождение точки пересечения двух прямых
Уравнение прямой на плоскости по двум точкам
Уравнение прямой в пространстве по двум точкам

Тригонометрия

Вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса

umath.ru

Разложение многочлена на множители

В алгебре при вычислении неравенств, уравнений , бывает нужно раскладывать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители значит превратить сумму неизвестных в произведение. С помощью этого способа решаются уравнения степени n. типа Рn(y) = 0 , а так же неравенства типа Рn(y) больше ноля и Рn(y) меньше ноля. Где Рn(y) -многочлен n степени, т.е.
Рn(y) = z1 уn + zn-1 уn-1 + ….+ z1 у + z0
Приведем несколько способов разложения

1) Вывод за скобку единого для всех множителя

Если все многочлены имеют единый для всех множитель, мы, при вынесении его за скобку получим то что хотим.

у³ — 5 у² + 2у
в данном примере у нас общий множитель y , при выносе его за скобку мы получим:
у³ — 5 у² + 2у = уn (y — 5у + 2)

2) С использованием формул сокращенного умножения у² — z² = (y — z) (y +z)
у³ + z³ = (y + z) (у³ — yz + z²)
у³ — z³ = (y — z) (у²+ yz + z²)
у⁴ — z⁴ = (у² — z²) (у²+ z²)
у⁵ — z⁵ = (y — z) (у⁴ + у³z + у²z²+ y z³ + z⁴)
……………………………….
уⁿ — zⁿ = (y — z) (у^n-1 + у^n-2z + у^n-3z²+ … + у²z^n-3 + y z^n-2 + z^n-1)

Применяем формулу у³ — z³ = (y — z) (у²+ yz + z²)

на примере (4y-3) 3- (2y-1) 3
Получаем: (4y-3) ³— (2y-1) ³=((4y-3) — (2y-1))(( 4y-3) ² +(4y-3)(2y-1) + (2y-1) ²= (2y-2)(16у²-24у+9+8у²-6у-4у+3+4у²-4у+1)= (2у-2)(28у2-38у+13)

3) Разложение квадратного трехчлена на множители

Бывают случаи когда трехчлен можно разложить на множители с помощью метода извлечения квадрата, после чего используем формулу разности квадратов.
Разберем: у⁴ + 6у² — 10
Получаем:
у⁴ + 6у² — 10 = (у²) ² + 2 * 3 * у² + 3 ² — 3 ² — 10 = (у² + 3) ² — (корень19)² = ( у² + 3 — корень19)( у²

+ 3 + корень19)
Вот таким образом раскладывается на множители квадратный трехчлен.

4) Группировка .

данный способ часто сотрудничает с первым способом, т.е выводом за скобку единого для всех множителя. Она дает нам перестановку слагаемых в многочлен и соединение в группы так, что бы после вынесения получилось выражение, которое будет общим множителем для каждой из них.
Разберем: у⁴-5у²+у³-5у
Далее: у⁴-5у²+у³-5у=(у⁴-5у²)+(у³-5у) из 1 скобки убираем у², у — выносим из второй: (у⁴-5у²)+(у³-5у)=у²(у²-5)+у(2-5)
Выносим за скобки у²-5 у нас получается: у²(у²-5)+у(у²-5)=(у²-5)(у²+у),
в конце выносим у: (у²-5)(у²+у)= у(у²-5)(у+1)

5) Способ неопределенных коэффициентов.

Данный способ говорит о том, что в начале подразумевается ряд множителей, на которые разделяется многочлен, разгадывается, а их же коэффициенты находим путем умножения и если степени их переменной одинаковы, то приравниваем их. Опорой для этого способа ниже следующее:
— когда коэффициенты двух многочленов одинаковы, только тогда они равны.
— любой многочлен в третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного сомножителей;
— в произведение нескольких многочленов второй степени разлагается любой многочлен четвертой степени.
6) Комбинирование разных способов.
В разных случаях приходится воспользоваться сразу несколькими видами разложения многочлена. это дает нам быстроту решения

7) разложение в ряд фурье

Что бы разобрать этот способ, существует отдельная тема. Этот метод требует большой концентрации внимания, если существуют отвлекающие факторы, лучше не трогать этот метод.

Здесь Вы сможете посмотреть Подлинную Таблицу Менделеева (http://www.glubinnaya.info/science/rodionov-podlinnaya-tablica-mendeleeva-1906-5367.html). Оригинал статьи находится на сайте glubinnaya.info.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Схема (метод) Горнера. Примеры. Разложение многочлена на множители

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -8 являются ±1, ±2, ±4, ±8. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 5 — 2 — 25 + 10 + 20 — 8 = 0 ⇒ число

1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 1, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	1 ∙ 5 — 2 = 3
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22	1 ∙ 3 — 25 = -22
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12	1 ∙ (-22) + 10 = -12
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8	1 ∙ (-12) + 20 = 8
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0	1 ∙ 8 — 8 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(5x⁴ + 3x³ — 22x² — 12x + 8)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 5x⁴ + 3x³ — 22x² — 12x + 8.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 + 3 — 22 — 12 + 8 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 5 — 3 — 22 + 12 + 8 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2	-1 ∙ 5 + 3 = -2
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20	-1 ∙ (-2) — 22 = -20
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8	-1 ∙ (-20) — 12 = 8
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0	-1 ∙ 8 + 8 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(5x³ — 2x² — 20x + 8)

Теперь найдем корень многочлена 5x³ — 2x² — 20x + 8. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 — 2 — 20 + 8 = -9 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -5 — 2 + 20 + 8 = 29 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 5 ∙ 8 — 2 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 8 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8	2 ∙ 5 — 8 = 8
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8 -4	2 ∙ 8 — 20 = -4
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8 -4 0	2 ∙ (-4) + 8 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)(5x² + 8x — 4)

Многочлен 5x² + 8x — 4 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -4. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -2

5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8 -4 0 -2 5	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8 -4 0 -2 5 -2	-2 ∙ 5 + 8 = -2
5 -2 -25 10 20 -8 1 5 3 -22 -12 8 0 -1 5 -2 -20 8 0 2 5 8 -4 0 -2 5 -2 0	-2 ∙ (-2) — 4 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)(x + 2)(5x — 2)

А корнями многочлена являются:

x = ±1; ±2; 0.4

tutata.ru

Решить уравнения многочлена онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.

Так же читайте нашу статью «Решить квадратичное уравнение онлайн»

Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \[12ax^2-y^2-6ax^2+3a^2x-5ax^2+2y^3.\] Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \[ax^2+3a^2x+y^3.\] Вы упростили многочлен.

В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Пример. Разложите на множители многочлен \[5m^3-10m^2n^2+5m^2.\] Вынесите за скобки \[m^2,\] т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \[5m^2.\] Отсюда: \[5m^3-10m^2n^2+5m^2=5m^2(m-2n^2+1).\]

Где можно решить уравнение многочлена онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Разложение многочлена на множители по схеме Горнера

Многочлен вида
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀
можно разложить на множители по схеме Горнера, если известен хотя бы 1 его корень.

Разберем деление по схеме Горнера на примере:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 9 — 10 — 27 — 10 = -36 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 9 — 10 + 27 — 10 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является -1, а значит исходный многочлен должен делиться на x + 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень -1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 — 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) — 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) — 10 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(2x³ + 7x² — 17x — 10)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 7x² — 17x — 10.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Как мы уже выяснили, делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 — 17 — 10 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 7 + 17 — 10 = 12 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 — 17 ∙ 2 — 10 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 — 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 — 10 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(2x² + 11x + 5)

Многочлен 2x² + 11x + 5 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа 5. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(x + 5)(2x — 1)

tutata.ru