Корни уравнения 4 степени онлайн
Данный калькулятор позволяет высчитывать корни произвольного полинома четвертой степени. Коэффициенты могут быть как вещественными так и комплексными числами.
Использовалась определенная методика, которая нигде не описана и не разобрана.
Формулами Феррари не стал пользоваться — не интересно.
Несмотря на свой собственный путь, все равно утыкаешься в задачу решения вспомогательного уравнения третьей степени, так называемой кубической резольвенты.
И по всей видимости избежать её никак не получится.
Но дальше все идет по другому.
По любому значения корня резольвенты, мы высчитываем три вспомогательный параметра.
Зная эти три параметра, мы можем легко найти все четыре корня исходного уравнения.
Есть только один нюанс с которым сталкивались предшественники, мне тоже надо иногда каким то определять знак + или — для одного вспомогательного параметра.
Теперь в виде формул
Заменой мы получаем так называемый приведенный многочлен
Решение данного уравнения ищем в виде сумм двух функций
Три вспомогательных параметра связаны к коэффициентами приведенного полинома через следующие соотношения
Выражая любой из вспомогательных параметров мы получаем, в том или ином виде кубическую резольвенту
Например, если выразим F2
Это кубическое уравнение которое подстановкой превращается к классическую кубическую резольвенту.
Теперь о нюансе о котором говорил раньше. Какой же знак брать когда высчитываем корни?
Критерий оказывается очень простой. Берем любой корень резольвенты и сравниваем его
если это условие верное то ставится +(плюс), если условие неверное то -(минус)
Дальше все эти параметры подставляются в формулу
и определяются корни уравнения 4 степени.
Еще хотелось бы поговорить про критерий. Вдумчивый читатель спросит: «А что если любой корень резольвенты является комплексным числом? Какой в этом случае критерий?»
Лучшим способом, я посчитал для подстановка корня в исходное уравнение. Для этого есть простой алогритический способ описанный в статье Значение производной многочлена по методу Горнера. Если выражение обращается в ноль, то есть является верным, то знак не меняется. Если иначе то знак ставим минус.
Решать комплексные уравнения 4 степени теперь можно достаточно легко и быстро. В онлайн сервисах Вы такого не найдете.
Попробуйте решить уравнение
Один из корней равен
Кто считает что действительной частью можно принебречь и отбросить как «почти ноль» глубоко ошибается. Отбросив его у нас значение функции будет , а не ноль.
И только с учетом «такой маленькой» действительной части уравнение становиться тождественным.
Поэтому точность в вычислениях очень важны.
Если Вы вдруг заметили ошибку в расчетах ( а вдруг?) , просьба сообщить. Но я надеюсь, что такого не произойдет.
Несколько примеров:
- Корни уравнения типа x^3n+Ax^2n+B=0 >>
abakbot.ru
Расчет квадратного, кубического и 4 степени уравнения онлайн
| Вы ввели следующее выражение |
| Результат решения заданного уравнения |
Линейные уравнения — те самые «цветочки» математического анализа, которые любой школьник и студент обязан щелкать, как земляные орешки. Уравнения первого порядка, квадратные, кубические, уравнения четвертой степени — все они относятся к азам математики, не знать которые — преступление для взрослого человека. Но когда таких расчетов сотни и приходится выполнять их очень быстро, возникает желание как-то автоматизировать сей процесс. Например, вбивать в онлайновый калькулятор только коэффициенты и радоваться вычисленным машиной корням. Для этого и предназначен данный раздел нашего позитивного бота АБАК.
Чтобы не заблудиться в уравнениях и не удивляться, откуда взялись на экране ложные результаты, стоит вспомнить теоретическую подоплеку каждого из обсуждаемых уравнений.
Уравнение первой степени с единственной переменной — это равенство вида , где х — искомое число, а и { -определенные действительные (!) числа. Если a = b = 0, то в качестве решения уравнения выступает любое число, если оба этих числа приравнены к нулю, у уравнения решений нет, а если a и b существуют, то уравнение начинает называться линейным, и
Святая простота линейного уравнения первой степени плавно перетекает в такой же простой дискриминант для квадратного уравнения: , вычисляемый по формуле . С первого взгляда формула выглядит страшновато — еще один повод обратить внимание на АБАК, который требует указания одних только действительных коэффициентов a, b, c и сам выдает множество решений.
Кубические уравнения уже имеют все шансы испугать непосвященного в математику человека, так как ему придется заменой привести исходное уравнение к каноническому виду , где числом выступает выражение , а заменит громоздкий трехчлен . Корни нового уравнения с заменой на вычисляются вот так
.
АБАК благополучно прячет от пользователя все эти тонкости, выдавая красивое решение с нужной точностью (см. вкладка «Примеры»).
Решение уравнения четвертой степени будет еще сложнее и поэтому в рамках этого проекты мы его не рассматриваем подробно.
Кстати можно решить и обратную задачу, по известным корням многочлена узнать общий вид этого многочлена. Для этого необходимо воспользоваться материалом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
Итак, решить любое из описанных уравнений с помощью карандаша, бумаги и знаний, разумеется, можно. Но гораздо быстрее и точнее призвать на помощь наш надежный, как скала, АБАК, чтобы оставаться спокойным за правильность найденных им корней.
Выдает все корни, в том числе и комплексные значения.
вида
Хотелось бы обратить Ваше внимание что есть сервис(Решение уравнений методом Ньютона онлайн) которое позволяет Вам узнавать корень произвольного уравнения, который Вы только сможете придумать.
А также для тех кто хочет решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами то могут обратится по адресу Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
Синтаксис
Jabber: ur <элементы уравнения>
WEB: <элементы уравнения>
Элементы уравнения должны быть действительными числами
Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.
Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.
Если в строке будет встречен любой символ не являющийся числовым, то он будет автоматически заменен на нуль.
Здесь есть понятие точности вычислений.
Точность обозначается знаком #число
где число от 1 до 9 — количество знаков после запятой.
Примеры
Пример1:
ur 2 -4 2.3 1
Решаем уравнение:
Один действительный, и два мнимых корня
-0.2797
1.1398:0.6988
1.1398:-0.6988
Если нужна точность с 9-ью знаками после запятой то пишем
ur 2 -4 2.3 1 #9
Решаем уравнение:
Один действительный, и два мнимых корня
-0.279699722
1.139849861:0.698837372
1.139849861:-0.698837372
Уравнение четвертой степени:
ur 1 2 -3 4 -5
Решаем уравнение:
Первый корень 0.1308+1.1482i
Второй корень 0.1308-1.1482i
Третий корень 1.1103+0i
Четвертый корень -3.3719-0i
ur 1 0 0 0 4 #6
Решаем уравнение:
Первый корень 1.000000+1i
Второй корень 1.000000-1i
Третий корень -1.000000+1i
Четвертый корень -1.000000-1i
abakbot.ru
Расчет квадратного, кубического и 4 степени уравнения онлайн
| Вы ввели следующее выражение |
| Результат решения заданного уравнения |
Линейные уравнения — те самые «цветочки» математического анализа, которые любой школьник и студент обязан щелкать, как земляные орешки. Уравнения первого порядка, квадратные, кубические, уравнения четвертой степени — все они относятся к азам математики, не знать которые — преступление для взрослого человека. Но когда таких расчетов сотни и приходится выполнять их очень быстро, возникает желание как-то автоматизировать сей процесс. Например, вбивать в онлайновый калькулятор только коэффициенты и радоваться вычисленным машиной корням. Для этого и предназначен данный раздел нашего позитивного бота АБАК.
Чтобы не заблудиться в уравнениях и не удивляться, откуда взялись на экране ложные результаты, стоит вспомнить теоретическую подоплеку каждого из обсуждаемых уравнений.
Уравнение первой степени с единственной переменной — это равенство вида , где х — искомое число, а и { -определенные действительные (!) числа. Если a = b = 0, то в качестве решения уравнения выступает любое число, если оба этих числа приравнены к нулю, у уравнения решений нет, а если a и b существуют, то уравнение начинает называться линейным, и
Святая простота линейного уравнения первой степени плавно перетекает в такой же простой дискриминант для квадратного уравнения: , вычисляемый по формуле . С первого взгляда формула выглядит страшновато — еще один повод обратить внимание на АБАК, который требует указания одних только действительных коэффициентов a, b, c и сам выдает множество решений.
Кубические уравнения уже имеют все шансы испугать непосвященного в математику человека, так как ему придется заменой привести исходное уравнение к каноническому виду , где числом выступает выражение , а заменит громоздкий трехчлен . Корни нового уравнения с заменой на вычисляются вот так
.
АБАК благополучно прячет от пользователя все эти тонкости, выдавая красивое решение с нужной точностью (см. вкладка «Примеры»).
Решение уравнения четвертой степени будет еще сложнее и поэтому в рамках этого проекты мы его не рассматриваем подробно.
Кстати можно решить и обратную задачу, по известным корням многочлена узнать общий вид этого многочлена. Для этого необходимо воспользоваться материалом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
Итак, решить любое из описанных уравнений с помощью карандаша, бумаги и знаний, разумеется, можно. Но гораздо быстрее и точнее призвать на помощь наш надежный, как скала, АБАК, чтобы оставаться спокойным за правильность найденных им корней.
Выдает все корни, в том числе и комплексные значения.
вида
Хотелось бы обратить Ваше внимание что есть сервис(Решение уравнений методом Ньютона онлайн) которое позволяет Вам узнавать корень произвольного уравнения, который Вы только сможете придумать.
А также для тех кто хочет решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами то могут обратится по адресу Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
Синтаксис
Jabber: ur <элементы уравнения>
WEB: <элементы уравнения>
Элементы уравнения должны быть действительными числами
Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.
Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.
Если в строке будет встречен любой символ не являющийся числовым, то он будет автоматически заменен на нуль.
Здесь есть понятие точности вычислений.
Точность обозначается знаком #число
где число от 1 до 9 — количество знаков после запятой.
Примеры
Пример1:
ur 2 -4 2.3 1
Решаем уравнение:
Один действительный, и два мнимых корня
-0.2797
1.1398:0.6988
1.1398:-0.6988
Если нужна точность с 9-ью знаками после запятой то пишем
ur 2 -4 2.3 1 #9
Решаем уравнение:
Один действительный, и два мнимых корня
-0.279699722
1.139849861:0.698837372
1.139849861:-0.698837372
Уравнение четвертой степени:
ur 1 2 -3 4 -5
Решаем уравнение:
Первый корень 0.1308+1.1482i
Второй корень 0.1308-1.1482i
Третий корень 1.1103+0i
Четвертый корень -3.3719-0i
ur 1 0 0 0 4 #6
Решаем уравнение:
Первый корень 1.000000+1i
Второй корень 1.000000-1i
Третий корень -1.000000+1i
Четвертый корень -1.000000-1i
abakbot.ru
Решение примеров двучленных уравнений четвертой степени (высшая школа) онлайн
Двучленными уравнениями четвертой степени называются уравнения вида:
или
где — любые действительные числа, но , x – неизвестная искомая переменная.
Корнем двучленного уравнения четвертой степени называется такое значение переменной , при подстановке которого двучлен
Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.
При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Вынести за скобки общий множитель , преобразовав тем самым заданное уравнение к виду
2) Решить полученное уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:
Пример 1: Решить уравнение
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Вынесем за скобки общий множитель :
Поэтому либо , либо
Ответ:
Пример 2: Решить уравнение
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Вынесем за скобки общий множитель :
Поэтому , либо
Таким образом, заданное уравнение имеет три решения.
Ответ:
При решении двучленного уравнения вида при необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Привести уравнение к виду
2) Решить полученное уравнение:
Пример 3: Решить уравнение
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Решим данное уравнение по вышеприведенной формуле:
Таким образом, заданное уравнение имеет одно решение
Ответ:
При решении двучленного уравнения вида при необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Разделить оба члена уравнения на коэффициент при . При этом заданное уравнение примет вид:
2) Тождественно преобразуем полученное уравнение, прибавив и вычтя :
3) Используя формулу сокращенного умножения , привести уравнение к виду:
4) Используя формулу сокращенного умножения , привести уравнение к виду:
5) Решить квадратные уравнения и
Пример 4: Решить уравнение
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Разделим оба члена уравнения на коэффициент :
Тождественно преобразуем полученное уравнение согласно вышеприведенной схеме решения, рассчитав
Используя формулу сокращенного умножения , приведем уравнение к виду:
Используя формулу сокращенного умножения , приведем уравнение к виду:
Решим квадратное уравнение
Найдем корни квадратного уравнения:
Решим квадратное уравнение
Найдем корни квадратного уравнения:
Таким образом, заданное уравнение имеет четыре решения.
Ответ:
ktoreshit.ru