Решение уравнений схемой горнера – III. Примеры задач с решениями — Схема Горнера

Математика. Схема Горнера и примеры с решением. Решение кубических уравнений по схеме Горнера. Решение уравнений четвертой степени по схеме Горнера.

Схема Горнера — способ деления многочлена a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀   на бином   x — a.

Чтобы выполнить деление составляется таблица:

	an	an-1	an-2	…	a1	a0
a

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится число a. Во второй строке пишутся коэффициенты полученного многочлена, которые считаются так:

	an	an-1	an-2	…	a1	a0
a	bn-1	bn-2	bn-3	…	b0	r

b_n-1 = a_nb_n-2 = ab_n-1 + a_n-1b_n-3 = ab_n-2 + a_n-2b₀ = ab₁ + a₁r (остаток от деления) = ab₀ + a₀

Таким образом можно деление превратить в сумму:

(a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀)/(x — a) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x + b₀ + r/(x — a)

Если r = 0, то исходный многочлен можно разложить на множители:

a_n

xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀ = (x — a)(b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x + b₀)

multiurok.ru

2. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера.

Задача №1

Найти кратность корня x=5 многочлена

f(x) = x⁵ – 15x⁴ + 76x³ –140x² + 75x – 125.

Число с называется корнем многочлена f(x), если f(с)=0.

Теорема. Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(x)(x – c).

Число с называется k-кратным корнем многочлена f(x), если f(x) (x – c)

k, но f(x) не делится на (x – c)^k+1.

Решение: Используя схему Горнера.

	а0	а1	а2	…	an
с	b0=a0	b1=a1+cb0	b2=a2+cb1	…	bn=an+cbn-1=f(c)

Имеем:

	1	-15	76	-140	75	-125
5	1	-10	26	-10	25	0

Получим, что f(x)=(x–5)(x⁴ – 10x³+26x² – 10x + 25).

Число 5 является корнем f(x). Если 5 будет корнем и φ(x)= x⁴ – 10x³+26x² – 10x + 25, то 5 будет корнем многочлена f(x) второй кратности или выше.

Проверим, будет ли 5 корнем φ(x) по схеме Горнера:

	1	-10	26	-10	25
5	1	-5	1	-5	0

φ(5)=0, следовательно, 5 – корень φ(x).

f(x)=(x – 5)²(x³ – 5x² + x – 5)

Проверим, будет ли число 5 корнем многочлена g(x)= x³ – 5x² + x – 5

Число 5 является корнем g(x), отсюда имеем:

g(x) = (x-5)(x²+1), а f(x) = (x-5)³(x²+1).

Число 5 корнем многочлена x²+1 уже не является, следовательно, f(x)(x-5)³ но не делится на (x-5)⁴, значит кратность корня 5 многочлена f(x) равна 3.

Процесс решения можно оформить следующим образом:

	1	-15	76	-140	75	-125
5	1	-10	26	-10	25	0
5	1	-5	1	-5	0
5	1	0	1	0
5	1	5	26≠0

Число 5 являются трехкратным корнем многочлена

f(x) = x⁵ – 15x⁴ + 76x³ –140x² + 75x – 125 т.е.

f(x) = (x-5)³(x²+1).

Задача №2

Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен f(x)=x5+3×4+2x-4 по степени x-1, найти значения многочлена f(x) и всех его производных при x=1.

Решение: По формулам Тейлора имеем:

f(x) = f(1) + (x-1) + (x-1)² +

(x-1)³ + (x-1)⁴ + (x-1)⁵ – разложение многочлена f(x) по степеням x-1.

Как видно из формулы, для решения задачи нужно найти значения многочлена f(x) и его производных при x=1. Это можно сделать, непосредственно находя производные многочлена f(x), а затем их значения при x=1.

Но для решения этой задачи можно использовать также и схему Горнера.

Запишем разложение многочлена f(x) по степеням (x-1) с неопределенными коэффициентами:

f(x)=c₀+c₁(x-1) + c₂(x+1)² + c₃(x+1)³ + c₄(x+1)⁴ + c₅(x+1)⁵.

Числа c₀,c₁, c₂,c₃,c₄, c₅ равны соответственно остаткам от деления многочленов f(x),q₁(x),q₂(x),q₃(x),q₄(x),q₅(x) на x-1, где q₁(x) есть частное от деления f(x) на x-1, q

2(x) есть частное от деления q₁(x) на x-1 и т.д. Наконец q₅(x) есть частное от деления q₄(x) на x-1.

Все решение можно записать в таблицу:

	1	3	0	0	2	-4
1	1	4	4	4	6	2
1	1	5	9	13	19
1	1	6	15	28
1	1	7	22
1	1	8
1	1

Отсюда: f(1)=2, = 19, = 28, = 22, = 8, тогда f(1)=2, , =192,

Подставляем найденные значения в формулу Тейлора, имеем:

f(x)=2+19(x-1) + 28(x+1)² + 22(x+1)³ + 8(x+1)⁴ + (x+1)⁵.

studfiles.net

Схема Горнера | C++ для приматов

Даны натуральное число [latex]n[/latex], действительный числа [latex]x[/latex], [latex]a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{0}[/latex]. Вычислить используя схему Горнера, значение [latex]a_{n}{x}^{n} + a_{n-1}{x}^{n-1} + \cdots + a_{0}.[/latex]
[latex]a_{n}{x}^{n} + a_{n-1}{x}^{n-1} + \cdots + a_{0} = \left( \ldots \left(a_{n}{x} + a_{n-1}\right)x + \cdots + a_{1}\right)x + a_{0}.[/latex]

[latex]n[/latex]	[latex]x[/latex]	[latex]{a}_{n}[/latex]	[latex]{a}_{n-1}[/latex]	[latex]{a}_{n-2}[/latex]	[latex]{a}_{n-3}[/latex]	[latex]s[/latex]
3	2	5	4	3	2	64
2	1	3	4	7	_	14
3	0	3	4	12	8	8
3	5	0	10	12	8	318
1	5	2	1	_	_	11

Начинаем с коэффициента с рядом с [latex]X[/latex]-ом c максимальной степенью, у нас это элемент [latex]{a}_{n}[/latex], мы последовательно умножаем его (коэффициент) на [latex]X[/latex], а потом прибавляем следующий считанный коэффициент и сохраняем полученное значение в переменной.
Это был пример решения для [latex]n=2[/latex], если же [latex]n>2[/latex], то мы должны выполнить алгоритм для [latex]n=2[/latex], после чего [latex]n-2[/latex] раз умножать полученное в переменной значение на [latex]X[/latex] и прибавлять последующий элемент.

Осталось только написать программу: http://ideone.com/ScO3aw.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

#include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std; int main() {     int n, x;     cin >> n >> x;     int a[n+1];     for (int i = n; i >= 0; —i)     {         cin >> a[i];     }     int s = a[n];     for (int i = 1; i <= n; ++i)     {         s *= x;         s += a[n-i];     }     cout << s << endl; }

Posted in 4. Потоковая обработка. Tagged последоватеьлность, Схема Горнера.

cpp.mazurok.com

Схема Горнера в решении уравнений с параметрами из группы «С» при подготовке к ЕГЭ

Схема Горнера в решении уравнений с параметрами из группы «С» при подготовке к ЕГЭ

СХЕМА ГОРНЕРА В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ ИЗ ГРУППЫ «С» ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

Казанцева Людмила Викторовна

учитель математики МБОУ «Уярская СОШ № 3»

Содержание текстов Единого государственного экзамена показало, что материал учебника не достаточен для успешной сдачи экзамена. Знаний, полученных на школьных уроках, хватает только для решения примеров из группы «В».

На факультативных занятиях необходимо расширить круг имеющихся знаний за счет решения заданий повышенной сложности группы «С».

Даная работа освещает часть вопросов, рассматриваемых на дополнительных занятиях.

Целесообразно ввести схему Горнера после изучения темы «Деление многочлена на многочлен». Этот материал позволяет решать уравнения высших порядков не способом группировки многочленов, а более рациональным путем, экономящим время.

План занятий

Решение уравнений высших степеней.

Занятие 1

. Объяснение теоретического материала.

. Решение примеров а), б), в), г).

Занятие 2

. Решение уравнений а), б), в), г).

. Нахождение рациональных корней многочлена

Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметрами.

Занятие 3

1.Задания а), б), в).

Занятие 4

. Задания г), д), е), ж), з).

Решение уравнений высших степеней. Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь является корнем уравнения

xn + a1 xn-1 + … + an-1×1 + an = 0

целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем старшего коэффициента ао.

Следствие: Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие: Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют — целые.

Пример 1.2х3 — 7х2 + 5х — 1 = 0

Пусть несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р является делителем числа 1 : ± 1

q является делителем старшего члена: ± 1; ± 2

Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел: ± 1; ± .

f(1) = 2 — 7 + 5 — 1 = — 1 ? 0(-1) = -2 — 7 — 5 — 1 ? 0() = — + — 1 = — + — = 0

Корнем является число .

Деление многочлена Р(х) = аохп + a1 xn-1 + … + an на двучлен (х — £) удобно выполнять по схеме Горнера.

Обозначим неполное частное Р(х) на (х — £) через Q(x) = boxn-1 + b1xn-2 + …bn-1,

а остаток через bn

Р(х) = Q(x) (x — £) + bn , то имеет место тождество

аохп + a1 xn-1 + … + an = (boxn-1 + … + bn-1) (х — £) + bn

Q(x) — многочлен, степень которого на 1 ниже степени исходного многочлена. Коэффициенты многочлена Q(x) определяются по схеме Горнера.

аоa1a2…an-1an£bo = aоb1 = a1 + £·bob2 = a2 + £·b1bn-1 = an-1 + £·bn-2bn = an + £·bn-1

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена Р(х).

Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0.

Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого (ао = bo). Если £ является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0.

Пример 2. Разложить на множители с целыми коэффициентами

Р(х) = 2х4 — 7х3 — 3х2 + 5х — 1

Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1.

Подходит — 1.

Делим Р(х) на (х + 1)

2- 7- 35- 1- 12- 96- 10

х4 — 7х3 — 3х2 + 5х — 1 = (х + 1) (2х3 — 9х2 + 6х — 1)

Ищем целые корни среди свободного члена: ± 1

Так как старший член равен 1, то корнями могут быть дробные числа: — ; .

Подходит .

многочлен уравнение корень коэффициент

2- 96- 12- 820

2х3 — 9х2 + 6х — 1 =(х — ) (2х2 — 8х + 2) = (2х — 1) (х2 — 4х + 1)

Трехчлен х2 — 4х + 1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.

Задание:

. Разложите на множители с целыми коэффициентами:

а) х3 — 2х2 — 5х + 6

q: ± 1;

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

:± 1; ± 2; ± 3; ± 6

Находим рациональные корни многочлена f(1) = 1 — 2 — 5 + 6 = 0

х = 1

1- 2- 5611- 1- 60

х3 — 2х2 — 5х + 6 = (х — 1) (х2 — х — 6) = (х — 1) (х — 3) (х + 2)

Определим корни квадратного уравнения

х2 — х — 6 = 0

х = 3; х = — 2

б) 2х3 + 5х2 + х — 2

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

:± 1; ± 2; ±

Найдем корни многочлена третьей степени

f(1) = 2 + 5 + 1 — 2 ? 0

f(-1) = — 2 + 5 — 1 — 2 = 0

Один из корней уравнения х = — 1

251- 2- 123- 20

х3 + 5х2 + х — 2 = (х + 1) (2х2 + 3х — 2) = (х + 1) (х + 2) (2х — 1)

Разложим квадратный трехчлен 2х2 + 3х — 2 на множители

2х2 + 3х — 2 = 2 (х + 2) (х — )

D = 9 + 16 = 25

х1 = — 2; х2 =

в)х3 — 3х2 + х + 1

р: ± 1

q: ± 1

:± 1

f(1) = 1 — 3 + 1 — 1 = 0

Одним из корней многочлена третьей степени является х = 1

1- 31111- 2- 10

х3 — 3х2 + х + 1 = (х — 1) (х2 — 2х — 1)

Найдем корни уравнения х2 — 2х — 1 = 0

D = 4 + 4 = 8

х1 = 1 —

х2 = 1 +

х3 — 3х2 + х + 1 = (х — 1) (х — 1 + ) (х — 1 — )

г)х3 — 2х — 1

р: ± 1

q: ± 1

:± 1

Определим корни многочлена

f(1) = 1 — 2 — 1 = — 2

f(-1) = — 1 + 2 — 1 = 0

Первый корень х = — 1

10- 2- 1- 11- 1- 10

х3 — 2х — 1 = (х + 1) (х2 — х — 1)

х2 — х — 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

х1,2 =

х3 — 2х — 1 = (х + 1) (х — ) (х — )

. Решить уравнение:

а)х3 — 5х + 4 = 0

Определим корни многочлена третьей степени

:± 1; ± 2; ± 4

f(1) = 1 — 5 + 4 = 0

Одним из корней является х = 1

10- 54111- 40

х3 — 5х + 4 = 0

(х — 1) (х2 + х — 4) = 0

Найдем корни квадратного уравнения х2 + х — 4 = 0

D = 1 + 16 = 17

х1 = ; х2 =

Ответ: 1; ;

б)х3 — 8х2 + 40 = 0

Определим корни многочлена третьей степени.

:± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40

f(1) ? 0

f(-1) ? 0

f(-2) = — 8 — 32 + 40 = 0

Одним из корней является х = — 2

1- 8040- 21- 10200

Разложим многочлен третьей степени на множители.

х3 — 8х2 + 40 = (х + 2) (х2 — 10х + 20)

Найдем корни квадратного уравнения х2 — 10х + 20 = 0

D = 100 — 80 = 20

х1 = 5 — ; х2 = 5 +

Ответ: — 2; 5 — ; 5 +

в)х3 — 5х2 + 3х + 1 = 0

Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1

f(-1) = — 1 — 5 — 3 + 1 ? 0

f(1) = 1 — 5 + 3 + 1 = 0

Подходит х = 1

1- 53111- 4- 10

х3 — 5х2 + 3х + 1 = 0

(х — 1) (х2 — 4х — 1) = 0

Определяем корни квадратного уравнения х2 — 4х — 1 = 0

D = 20

х = 2 + ; х = 2 —

Ответ: 2 — ; 1; 2 +

г)2х4 — 5х3 + 5х2 — 2 = 0

Найдем рациональные корни многочлена

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

:± 1; ± 2; ±

f(1) = 2 — 5 + 5 — 2 = 0

Один из корней уравнения х = 1

2- 550- 212- 3220

х4 — 5х3 + 5х2 — 2 = 0

(х — 1) (2х3 — 3х2 + 2х + 2) = 0

Находим по такой же схеме корни уравнения третьей степени.

х3 — 3х2 + 2х + 2 = 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

:± 1; ± 2; ±

f(1) = 2 — 3 + 2 + 2 ? 0

f(-1) = — 2 — 3 — 2 + 2 ? 0

f(2) = 16 — 12 + 4 + 2 ? 0

f(-2) = — 16 — 12 — 4 + 2 ? 0

f() = — + 1 + 2 ? 0

f(-) = — — — 1 + 2 ? 0

Следующий корень уравнения х = —

2- 322-2- 440

х3 — 3х2 + 2х + 2 = 0

(х + ) (2х2 — 4х + 4) = 0

Определим корни квадратного уравнения 2х2 — 4х + 4 = 0

х2 — 2х + 2 = 0

= — 4 < 0

Следовательно, корнями исходного уравнения четвертой степени являются

1 и —

Ответ: -; 1

. Найдите рациональные корни многочлена

а)х4 — 2х3 — 8х2 + 13х — 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

:± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

Подберем один из корней многочлена четвертой степени:

f(1) = 1 — 2 — 8 + 13 — 24 ? 0

f(-1) = 1 + 2 — 8 — 13 — 24 ? 0

f(2) = 16 — 16 — 32 + 26 — 24 ? 0

f(-2) = 16 + 16 — 72 — 24 ? 0

f(-3) = 81 + 54 — 72 — 39 — 24 = 0

Один из корней многочлена х0= — 3.

х4 — 2х3 — 8х2 + 13х — 24 = (х + 3) (х3 — 5х2 + 7х + 8)

Найдем рациональные корни многочлена

х3 — 5х2 + 7х + 8

р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8

q: ± 1

f(1) = 1 — 5 + 7 + 8 ? 0

f(-1) = — 1 — 5 — 7 — 8 ? 0

f(2) = 8 — 20 + 14 + 8 ? 0

f(-2) = — 8 — 20 — 14 + 8 ? 0

f(-4) = 64 — 90 — 28 + 8 ? 0

f(4) ? 0

f(-8) ? 0

f(8) ? 0

Кроме числа x0 = — 3 других рациональных корней нет.

б)х4 — 2х3 — 13х2 — 38х — 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f(1) = 1 + 2 — 13 — 38 — 24 ? 0

f(-1) = 1 — 2 — 13 + 38 — 24 = 39 — 39 = 0, то есть х = — 1 корень многочлена

12- 13- 38- 24- 111- 14- 240

х4 — 2х3 — 13х2 — 38х — 24 = (х + 1) (х3 — х2 — 14х — 24)

Определим корни многочлена третьей степени х3 — х2 — 14х — 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f(1) = — 1 + 1 + 14 — 24 ? 0

f(-1) = 1 + 1 — 14 — 24 ? 0

f(2) = 8 + 4 — 28 — 24 ? 0

f(-2) = — 8 + 4 + 28 — 24 ? 0

Значит, второй корень многочлена х = — 2

11- 14- 24- 21- 1- 120

х4 — 2х3 — 13х2 — 38х — 24 = (х + 1) (х2 + 2) (х2 — х — 12) =

= (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х — 4)

Ответ: — 3; — 2; — 1; 4

Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметром

Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х0 .

а)f(х) = х3 + 8х2 + ах + b, х0 = — 3

Так один из корней х0 = — 3 , то по схеме Горнера имеем:

18аb- 315- 15 + а0

= — 3 (- 15 + а) + b

= 45 — 3а + b

b = 3а — 45

х3 + 8х2 + ах + b = (х + 3) (х2 + 5х + (а — 15))

Уравнение х2 + 5х + (а — 15) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0

а = 1; b = 5; с = (а — 15),= b2 — 4ac = 25 — 4 (a — 15) = 25 + 60 — 4a > 0,

— 4a > 0;

a < 85;

a < 21

Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение

f(х) = 0 имеет три корня, а = 21

Ответ: 21.

б)f(x) = x3 — 2×2 + ax + b, x0 = — 1

Так как один из корней х0= — 1, то по схеме Горнера имеем

1- 2ab- 11- 33 + а0- 2×2 + ax + b = (x + 1) (x2 — 3x + (3 + a))

Уравнение x2 — 3x + (3 + a) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0

= 1; b = — 3; c = (3 + a),= b2 — 4ac = 9 — 4 (3 + a) = 9 — 12 — 4a = — 3 — 4a > 0,

3 — 4a > 0;

4a < 3;

a < —

Наибольшее значение а = — 1

Ответ: — 1

в)f(x) = x3 + 11×2 + ax + b, x0 = — 4

Так как один из корней х0 = — 4, то по схеме Горнера имеем

3 + 11×2 + ax + b = (х + 4) (х2 + 7х + (а — 28))

f(x) = 0, если х = — 4 или х2 + 7х + (а — 28) = 0

Уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 — 4ac = 49 — 4 (a — 28) = 49 + 112 — 4a = 161 — 4a >0,

— 4a > 0;

4a < — 161;< 40

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 40

Ответ: а = 40

г)f(x) = x3 — 11×2 + ax + b, x0 = 4

Так как один из корней х0 = 4, то по схеме Горнера имеем

1- 11ab41- 7- 28 + а0- 11×2 + ax + b = (x — 4) ( x2 — 7x + (a — 28))(x) = 0, если х = 4 или x2 — 7x + (a — 28) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0, то есть

= b2 — 4ac = 49 — 4 (a — 28) = 49 + 112 — 4a = 161 — 4a >0,

— 4a > 0;

4a < — 161;

a < 40

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 40

Ответ: а = 40

д) f(x) = x3 — 13×2 + ax + b, x0 = 4

Так как один из корней х0 = 4, то по схеме Горнера имеем

1- 13ab41- 9- 36 + а0

x3 — 13×2 + ax + b = (x — 4) ( x2 — 9x + (a — 36))

f(x) = 0, если х = 4 или x2 — 9x + (a — 36) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0, то есть

= b2 — 4ac = 81 — 4 (a — 36) = 81 + 144 — 4a = 225 — 4a >0,

225 — 4a >0;

— 4a < — 225;

a < 56

Уравнение f(x) = 0 имеет три корня при наибольшем значении а = 56

Ответ: а = 56

е)f(x) = x3 + 13×2 + ax + b, x0 = — 5

Так как один из корней x0 = — 5, то по схеме Горнера имеем

113ab- 518- 40 + а0

x3 + 13×2 + ax + b = (x + 5) ( x2 + 8x + (a — 40))

f(x) = 0, если х = — 5 или x2 + 8x + (a — 40) = 0

Уравнение имеет два корня, если D > 0

D = b2 — 4ac = 64 — 4 (a — 40) = 64 + 160 — 4a = 224 — 4a >0,

224 — 4a >0;

a < 56

Уравнение f(x) имеет три корня при наибольшем значении а = 55

Ответ: а = 55

ж)f(x) = x3 + 19×2 + ax + b, x0 = — 6

Так как один из корней — 6, то по схеме Горнера имеем

119ab- 6113а — 780

x3 + 19×2 + ax + b = (x + 6) ( x2 + 13x + (a — 78)) = 0

f(x) = 0, если х = — 6 или x2 + 13x + (a — 78) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0

= b2 — 4ac = 169 — 4 (a — 78) = 169 + 312 — 4a = 481 — 4a >0,

481 — 4a >0;

4a < — 481;

a < 120

Наибольшее целое значение а, при котором уравнение f(x) = 0 имеет три корня, 120.

Ответ: 120

з)f(x) = x3 + 22×2 + ax + b, x0 = — 7

Так как один из корней x0 = — 6, то по схеме Горнера имеем

122ab- 7115а — 1050

x3 + 22×2 + ax + b = (x + 7) ( x2 + 15x + (a — 105)) = 0

f(x) = 0, если х = — 7 или x2 + 15x + (a — 105) = 0

Второе уравнение имеет два корня, если D > 0

= b2 — 4ac = 225 — 4 (a — 105) = 225 + 420 — 4a = 645 — 4a >0,

— 4a >0;

4a < — 645;

a < 161

Уравнение имеет три корня при наибольшем целом значении а = 161.

Ответ: 161

diplomba.ru

Схема Горнера при решении уравнений высших степеней — Международная заочная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Умникум» — Конкурсные работы — Каталог статей

При решении уравнений школьного курса мы встречаемся с линейными и квадратными уравнениями. Также встречаются биквадратные уравнения, которые решаются методом замены переменных. Немаловажную роль играют в математике и ее приложениях уравнения высших порядков. Основная задача при решении любого уравнения — найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для этого используются различные методы, которые позволяют за определенное количество действий прийти к нужному результату.
При проверке наличия целых корней уравнения удобно пользоваться схемой Горнера.
Пусть нам дано уравнение f(x)=0, f(x)=anxn+ an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0 . Любой целый корень этого многочлена является делителем его свободного члена. Пусть x0- число, относительно которого мы хотим выяснить, является ли оно корнем данного уравнения. Коэффициенты частного g(x)=bn-1xn-1 +…+b1 x1 +b0 и остаток от деления f(x) на x-x0 находятся по схеме Горнера:

В первой строке этой таблицы записаны коэффициенты многочлена f(x). Во второй строке получаются коэффициенты частного и остаток.
Здесь bn-1=an, bk = x0bk+1+ ak+1 (0<k<n-1), r=x0 b0 +a0 Известно, что r=f(x0), значит, если r=0, то x0- корень уравнения.
Если r=0, то x0 –корень уравнения .
Пример 1. Решите уравнение 2×3-15×2 +22x+15=0
Предполагаемые корни (т.к. они являются делителями свободного члена уравнения) +1,+3,+5,+15. Возьмем x=1, подстановкой убеждаемся, что число не является корнем. Возьмем x=3

Разложим в виде произведения множителей
Имеем: (x-3)(2×2-9x-5)=0
x-3=0 2×2-9x-5=0
x=3 x= -1/2, x=5
Ответ: -1/2; 3; 5

Пример 2. Решить уравнение (x2-6x)2+14(x-3)2=81
Решение: Раскроем скобки получим уравнение x4-12×3+50×2-84x+45=0
Делители свободного члена: ±1,±3,±5, ±9,±15, ±45
Пусть x=1
Применим схему Горнера:

Получили разложение вида (x-1)(x3-11×2+39x-45)=0
Рассмотрим многочлен x3-11×2+39x-45=0

Получим разложение (x-1)(x-5)(x2-6x+9)=0
Решая уравнение получим корни: x=1, x=5, x=3
Ответ: 1, 3,5

Пример 3. Решите уравнение: x5+3×4+2×3+6×2-2x-6=0
Делители свободного члена ±1,±2, ±3,±6
Применим схему Горнера:

Получим разложение: x4+2×2-2=0
Биквадратное уравнение, решаем методом подстановки, получаем:
x1=√-1+√3
x2=-√-1+√3
Ответ: -3; ±√-1+√3

Практическая значимость заключается в том, что с помощью схемы Горнера можно решить многие уравнения школьного курса. Однако эту схему тяжело применить среди уравнений высших степеней, у которых свободный член содержит большое количество делителей.

Литература

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2007.
2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства/ В. В.Вавилов, И.И.Мельникова/Москва: Изд-во «Наука», 1987.
3. Методы решения уравнений/ М.Ф. Гильмуллин, Т.Е. Новоженина.- Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2005.

Автор: Васильева Анастасия Семеновна, учащаяся 9В класса МБОУ «Школа №127» г. Казань.
Руководитель: Альмеева Алсу Айратовна, учитель математики.

dia-creativ.ru