Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений
Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида
,
где m ≠ 0 и m ≠ 1.
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.
Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.
- Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
- Методом Бернулли.
Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.
Уравнение делим на :
,
.
Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение
,
которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.
Решение методом Бернулли.
Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение
.
Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:
.
Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
,
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.
Функцию u следует находить из дифференциального уравнения
,
которое также является уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1.
Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.
1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:
.
Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению
или
.
Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z‘ = u‘v + uv‘:
,
.
Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
Полученную функцию v подставим в уравнение:
Тогда
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:
И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:
Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем
Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:
или
Разделим переменные:
Далее используем подстановку
:
.
Введём обозначения:
Продолжаем:
Таким образом, получаем функцию u:
.
и решение данного дифференциального уравнения:
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
при условии .
Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:
.
Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y‘ = u‘v + u v‘:
Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:
Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
.
Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
Решаем:
Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
.
Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
.
И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим
.
Введём новую функцию . Тогда
.
Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
.
Найдём его общий интеграл:
,
.
Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаемили
.
Приравниваем нулю выражение в скобках:
Для определения функции u получаем уравнение
.
Разделяем переменные:
Интегрируем по частям:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения
или
.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Дифференциальное уравнение Бернулли | Математика
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида
где n≠0,n≠1.
Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки
в линейное уравнение
На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Примеры. Решить уравнения:
1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.
1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:
(при нахождении u С берем равным нулю).
3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:
(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):
(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
Ответ:
2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:
3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и
Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:
Интегрируем:
Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:
Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:
А так как
Сделаем С=-С:
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
Ответ:
3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:
Это — уравнение Бернулли,
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):
[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:
В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:
При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.
При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).
3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, подставляем:
вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:
Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:
4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:
Ответ:
Примеры для самопроверки:
Показать решение
1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:
2) Группируем слагаемые с v:
Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:
Интегрируем обе части уравнения:
3) В уравнение (*) подставляем [xu’ + 2u]=0 и u=1/x²:
Интегрируем обе части получившегося уравнения:
Обозначим С=3С1, получаем
4) Так как y=uv, то
Ответ:
2) Поделим обе части данного уравнения на x: y’+y/x=(lnx/x)·y². Это — уравнение Бернулли. Здесь p(x)=1/x, q(x)=lnx/x, n=2.
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в условие: x(u’v+v’u)+uv=u²v²lnx.
2) xu’v+xv’u+uv=u²v²lnx. Группируем слагаемые с v: [xu’+u]v+xv’u=u²v²lnx (**). Теперь требуем равенства нулю выражения, стоящего в скобках: xu’+u=0. Из этого уравнения ищем u: xdu/dx=-u, du/u=-dx/x. Теперь интегрируем:
3) Подставляем в (**) [xu’+u]=0 и u=1/x (сначала упростим): xv’u=u²v²lnx, отсюда xv’=uv²lnx, xv’=(1/x)v²lnx,
Интеграл в левой части — табличный. Интеграл, стоящий в правой части равенства, находим по формуле интегрирования по частям. u=lnx, du=(lnx)’dx=(1/x)dx, dv=(1/x²)dx,
Теперь подставляем u,v и du в формулу интегрирования по частям:
Итак,
умножаем обе части на (-1):
4) Так как y=uv, то
Ответ:
www.matematika.uznateshe.ru
Уравнение Бернулли
Характеристика уравнения Бернулли
Определение 1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — непрерывные функции, а $n$ — некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.
При этом на число $n$ накладываются ограничения:
- $n\ne 0$, так как при $n = 0$ дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
- $n\ne 1$, так как если мы имеем в качестве $n$ единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.
Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$.
Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.
Замечание 1
Даниил Бернулли — физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике.
Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:
- Умножаем уравнение на число $y^{-n} $ и получаем $y^{-n} \cdot y’+P\left(x\right)\cdot y^{1-n} =Q\left(x\right)$.
- Применяем замену $z=y^{1-n} $ и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем $z’=\left(1-n\right)\cdot y^{-n} \cdot y’$, откуда $\frac{z’}{1-n} =y^{-n} \cdot y’$.
- Подставляем значения $y^{1-n} $ и $y^{-n} \cdot y’$ в данное дифференциальное уравнение и получаем $\frac{z’}{1-n} +P\left(x\right)\cdot z=Q\left(x\right)$ или $z’+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом:
- Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
- Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
- Возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$.
В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.
При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $.
Представляем его в форме относительно замены $z$:
$z’+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z’-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом.
Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.
Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.
Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.
Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $.
Имеем:
Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $:
$y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.
Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$:
Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $.
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки
Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки.
Применяем подстановку $y=u\cdot v$.
После дифференцирования получаем:
Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v’+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.
Получаем:
$\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $;
разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $;
интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $.
Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u’\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v’+\frac{v}{x} =0$.
После простых преобразований получаем: $u’=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$.
Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$.
Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$.
Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
spravochnick.ru
Формула уравнения Бернулли для жидкости
Здесь – плотность жидкости; – скорость течения. Слагаемое – динамическое давление; – гидростатическое давление; – давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела, по сути статическое давление.
Проанализировав уравнение Бернулли для горизонтальной трубки тока можно сделать выводы, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, владеющей различными сечениями, в узких местах давление на стенки трубы меньше, но скорость жидкости больше, статическое давление больше в широких местах, то есть там, где скорость меньше.
Примеры решения задач по теме «Уравнение Бернулли»
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения
Дифференциальное уравнение Бернулли – это уравнение вида:
, где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.
Разделим его на y n. При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0, следует рассмотреть случай y = 0. При n > 0, y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v,
где u и v – функции от x. Дифференцируем по x:
y′ = u′ v + u v′.
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v(x). Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x. Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x является функцией от y. Подставим и умножим на :
;
;
(П.1) .
Это – уравнение Бернулли с n = 2. Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных (xвместо y). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v,
где u и v – функции от y. Дифференцируем по y:
.
Подставим в (П.1):
;
(П.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y), удовлетворяющую уравнению:
(П.3) .
Разделяем переменные:
;
;
.
Положим C = 0, поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3).
;
.
Подставим в (П.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0 имеем:
;
(П.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Интегрируем по частям:
.
Подставляем в (П.4):
.
Возвращаемся к переменной x:
;
;
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Изложен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли – введением двух функций. Рассмотрен пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.
Метод введения двух функций (Бернулли)
Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v — функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.
Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).
Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем
Окончательно находим:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли
Решить уравнение
Решение
Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v — функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(3)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv:
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:
Или
Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).
Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.
Ответ
Общее решение уравнения:
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли в первую очередь, уравнение дифференциальное первого порядка. Выглядит как :
dy/dx + Py = Qya,
в нем Q и P не прерывающаяся данная функция исходящая из Х.
а — неизменное число. Если ввести новую функцию z = у -0+1, то уравнение Бернулли придет к аналогичному линейному уравнению. Выведен данное вычисление в 1695 году.
Во вторую очередь является основой в уравнениях гидродинамики, она связывает (уже в готовой движущейся жидкости): V скорость + Р давление + h высота минимальной величины жидкости к участку отсчета. Данный метод был выведен в 1738 году, применяется для не горящим жидкостям имеющие постоянную плотность Р и которые находятся исключительно под силой тяжести. Выглядит данное уравнение как:
v2/2 + p/p + gh = const.
в нем g есть ускорение. При умножении данного уравнения на p, первый член выступит в качестве кинетической энергии в единице количества жидкости, другие два члена — в качестве потенциальной энергии. частично обусловленной с одной стороны как сила тяжести (крайнее значение) и давление с другой стороны. В этом виде и выходит закон о сохранении энергии. Во время когда по струе жидкости одна энергия к примеру кинетическая, возрастает, в это же время также падает потенциальная. Так когда поток в трубопроводе сужается, а его скорость возрастает (потому что за одинаковое время как через большое так и через маленькое сечение протекает одинаковый объем жидкости) и падает давление.
В уравнении Бернулли есть несколько важных моментов:
— Когда под силой тяжести из не закрытой емкости вытекает жидкость (изображено на первом рисунке)
что доказывает единую скорость как во время падения жидкость, так и при выходе в выходное отверстие.
-Когда в спокойном потоке со скоростью V0 и давлением р0, встречается на пути проблема или препятствие, как изображено на втором рисунке, то жидкость по действием давления подпирает данное препятствие и как следствие замедляется сам поток; что интересно в подпоре, во время давления потока жидкости, в самом центре (назовем его — критическая точка) скорость равна 0. Вывод давление на критическую точку р1=р0+рV20/2. Присоединяем давление к ней, которое равно р1 + р0 = рv20/2, является динамическое давление либо напор скорости. Струя любой жидкости в потоке не сохраняет механическую энергию, расходует ее на силы трения и рассеивает на тепло. Нужно брать во внимание потери сопротивления, при использовании уравнения Бернулли в реальной жидкости.
Если ты молод и ищешь дополнительный заработок, но не знаешь где. Перейди по ссылке, заработок в интернете для подростка (http://odostatke.ru/zarabotat-podrostok.html) , там все подробно написано.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru