Решите неравенство |x-4|*(x+2)>4 (модуль от х минус 4| умножить на (х плюс 2) больше 4)
Дано неравенство:$$\left(x + 2\right) \left|{x — 4}\right| > 4$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 2\right) \left|{x — 4}\right| = 4$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x — 4 \geq 0$$
или
$$4 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$\left(x — 4\right) \left(x + 2\right) — 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$\left(x — 4\right) \left(x + 2\right) — 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{13}$$
$$x_{2} = — \sqrt{13} + 1$$
но x2 не удовлетворяет неравенству
2.
$$x — 4 или
$$-\infty получаем ур-ние
$$\left(- x + 4\right) \left(x + 2\right) — 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$\left(- x + 4\right) \left(x + 2\right) — 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{4} = — \sqrt{5} + 1$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{13}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{3} = — \sqrt{5} + 1$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{13}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{3} = — \sqrt{5} + 1$$
Данные корни
$$x_{3} = — \sqrt{5} + 1$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{13}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
___ 1
1 - \/ 5 - --
10=
$$- \sqrt{5} + \frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 2\right) \left|{x — 4}\right| > 4$$
| ___ 1 | / ___ 1 \ |1 - \/ 5 - -- - 4|*|1 - \/ 5 - -- + 2| > 4 | 10 | \ 10 /
/29 ___\ /31 ___\ |-- - \/ 5 |*|-- + \/ 5 | > 4 \10 / \10 /
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \sqrt{5} + 1 \wedge x
_____ _____
/ \ /
-------ο-------ο-------ο-------
x3 x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \sqrt{5} + 1 \wedge x $$x > 1 + \sqrt{13}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2*x^8+x^4-3>0 (2 умножить на х в степени 8 плюс х в степени 4 минус 3 больше 0)
Дано неравенство:$$2 x^{8} + x^{4} — 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 x^{8} + x^{4} — 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2 x^{8} + x^{4} — 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{4}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$2 v^{2} + v — 3 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (2) * (-3) = 25
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 1$$
$$v_{2} = — \frac{3}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{4}$$
то
$$x_{1} = \sqrt[4]{v_{1}}$$
$$x_{2} = — \sqrt[4]{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{v_{2}}$$
$$x_{4} = — \sqrt[4]{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$2 x^{8} + x^{4} — 3 > 0$$
$$-3 + \left(- \frac{8}{5}\right)^{4} + 2 \left(- \frac{8}{5}\right)^{8} > 0$$
34942557 -------- > 0 390625
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 1$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 4^x-6*2^x+8>0 (4 в степени х минус 6 умножить на 2 в степени х плюс 8 больше 0)
Дано неравенство:$$- 6 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 8 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 6 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 8 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 6 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 8 = 0$$
или
$$- 6 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} — 6 v + 8 = 0$$
или
$$v^{2} — 6 v + 8 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 8$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-6)^2 - 4 * (1) * (8) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 4$$
$$v_{2} = 2$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 6 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 8 > 0$$
19 19 -- -- 10 10 4 - 6*2 + 8 > 0
9/10 4/5
8 - 12*2 + 8*2 > 0
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru