Степень алгебра – Степень и ее свойства.

Содержание

Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

   

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

   

2) При a=0 и r>0 

   

В частности,

   

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

   

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

   

   

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

   

   

   

   

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

   

   

   

   

www.algebraclass.ru

Что такое степень с натуральным показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Произведение в виде степени (положительные числа)

Сложность: лёгкое

3,5
2. Основание и показатель степени (числа)

Сложность: лёгкое

3
3. Степень бинома

Сложность: лёгкое

1,5
4. Основание и показатель степени (бином)

Сложность: лёгкое

2
5. Произведение одинаковых множителей (одночлен)

Сложность: лёгкое

1
6. Произведение одинаковых множителей (бином)

Сложность: лёгкое

1
7. Степень числа (показатель степени — n)

Сложность: лёгкое

2
8. Степень числа (основание)

Сложность: лёгкое

2
9. Значение степени (обыкновенная дробь)

Сложность: лёгкое

2
10. Площадь квадрата

Сложность: лёгкое

2
11. Квадрат числа (минус перед числом)

Сложность: лёгкое

2
12. Числовые неравенства, сравнение

Сложность: лёгкое

1
13. Возведение в степень десятичных дробей

Сложность: лёгкое

1
14. Возведение в степень целых чисел

Сложность: лёгкое

1
15. Возведение в степень дробей (смешанных чисел)

Сложность: среднее

2
16. Произведение степеней и простых чисел

Сложность: среднее

3
17. Произведение (целые числа)

Сложность: среднее

3
18. Частное (чётная степень)

Сложность: среднее

3
19. Дробь

Сложность: среднее

3
20. Разность произведений

Сложность: среднее

4
21. Сумма произведений

Сложность: среднее

5
22. Уравнение

Сложность: среднее

5
23. Убывание (возрастание) степеней

Сложность: среднее

4

www.yaklass.ru

Таблица основных степеней. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На этом уроке мы рассмотрим таблицу основных степеней.
Вначале вспомним определение степени. Затем составим таблицу основных степеней чисел от 1 до 10 и решим ряд задач с ее использованием.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Таблица основных степеней

Напоминание определения:

Здесь a — основание степени,

n— показатель степени,

n-ая степень числа.

Из определения степени получаем таблицу основных степеней, где основание – простые числа в пределах 10.

Таблица основных степеней:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямая и обратная задачи

1) Вычислить  Решение:

По определению степени:

2) Число 729 записать в виде степени.

Решение основано на основной теореме арифметики. Видим, что 729 делится на 3. Разложим число 729 по степеням 3.

729

3

243

3

 81

3

 27

3

  9

3

  3

3

  1

 

Получаем, что.

3) Число 256 записать в виде степени.

Разлагаем данное число по степеням двойки по основной теореме арифметики.

256

2

128

2

 64

2

 32

2

 16

2

  8

2

  4

2

  2

2

  1

 

Получаем, что.

Задача: дано . Сравнить n и k.

Решение:

По таблице или по основной теореме арифметики находим:

n = 7, k = 5

Ответ:

Для практических вычислений удобно продолжить таблицу для чисел 1, 0, -1, 10.

Продолжение таблицы для чисел 1; 0; — 1; 10

(сводка правил)

nнатуральное число.

Решим задачи на таблицу (или основную теорему арифметики).

Задача: Найти k, если:

а)

Разлагаем 512 по основной теореме арифметики либо используем таблицу степеней.

512

2

256

2

128

2

 64

2

 32

2

 16

2

  8

2

  4

2

  2

2

  1

 

 

Ответ: .

б)

Разлагаем по основной теореме арифметики либо используем таблицу степеней.

625

5

125

5

 25

5

  5

5

  1

 

 

Ответ: .

в)

Разлагаем по основной теореме арифметики либо используем таблицу степеней.

343

7

 49

7

  7

7

  1

 

 

Ответ: .

г)

Разлагаем по основной теореме арифметики либо используем таблицу степеней. Видим, что  делится на 3, так как сумма цифр 18 делится на 3.

3

243

3

 81

3

 27

3

  9

3

  3

3

  1

 

 

Ответ: .

Задача: Вычислить.

а)

б)

Задача: Представить в виде куба некоторого числа.

а) 125.

. Значит, .

Ответ:

б)

. Значит, .

Ответ:

в)

. Значит, .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели таблицу основных степеней, правило ее формирования и использование в различных типовых задачах.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьная математика (Источник).

2. Инженерный справочник. Таблицы DVPA.info (Источник).

3. Образовательный онлайн сервис Webmath.ru (Источник).

4. Интернет-портал 2mb.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Вычислить:

interneturok.ru

Степень с целым показателем.

 I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

Решение.

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Примеры. Вычислить:

Решение.

 Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

Решение.

       При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n  и am:an=am-nПри решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n .

 

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

 

 

 

В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).

 

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=anbn, а затем сократим дробь на (26∙35).

                 

 

www.mathematics-repetition.com

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

      Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.

      Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем.

      Определение. Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень с нулевым показателем определяется по формуле:

a0 = 1 .

      Пример.

Свойства степеней с рациональными показателями

      Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства:

      Кроме того, если   p   и   q   – произвольные рациональные числа, то

      Замечание. Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией  «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Понятие о степени с иррациональным показателем

      Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями, однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

      С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

      Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства. — Возведение в степень .

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведем примеры ее использования на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.

 

 

На­по­ми­на­ние:

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a – ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

n – по­ка­за­тель сте­пе­ни,

– n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что  n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

На этом уроке будет рас­смот­ре­на сле­ду­ю­щая тео­ре­ма.

Тео­ре­ма 3. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность фор­му­лы . До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

 

При­ме­ним тео­ре­му 1:

 

Итак, мы до­ка­за­ли: , где а – любое число, n и k – любые на­ту­раль­ные числа.

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы воз­ве­сти сте­пень в сте­пень по­ка­за­те­ли нужно пе­ре­мно­жить, а ос­но­ва­ние оста­вить неиз­мен­ным.

При­мер 1: Упро­стить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щи

www.kursoteka.ru

Степени чисел | Алгебра

Степени чисел, записанные на одной странице, пригодятся при решении многих заданий алгебры, содержащих степени и корни.

Любая степень единицы равна 1.

С помощью формулы это можно записать так:

   

Далее таблица первых десяти натуральных степеней чисел от 2 до 9 и степени 10.

   

   

   

   

Проще всего работать со степенями числа 10 — каков показатель степени, столько нулей после единицы:

   

www.algebraclass.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *