Сумма геометрической прогрессии | Онлайн калькулятор
Сумма геометрической прогрессии имеет несколько различных представлений, которые зависят от знаменателя прогрессии. Для возрастающей положительной, отрицательной или знакочередующейся прогрессии имеет место исключительно сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии, количество которых должно быть ограничено, так как сама последовательность будет бесконечной.
Для прогрессии, знаменатель которой заключен между нулем и единицей, то есть является правильной дробью (0, сумма всей последовательности будет вполне однозначным конкретным числом, так как весь числовой ряд будет убывающим. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет свою отдельную формулу, которую можно найти в соответствующем разделе, вместе с калькулятором.
Чтобы найти сумму первых членов геометрической прогрессии, необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Если по условиям задачи дан какой-либо другой член прогрессии, кроме первого, тогда нужно будет сначала воспользоваться
Формула суммы первых трех, четырех или n членов геометрической прогрессии выводится с использованием среднего геометрического, как основного свойства данной прогрессии. Любое из чисел, стоящих в ряду, будет равно среднему геометрическому его соседей:
Если объединить это свойство с отношением двух последовательных членов прогрессии, которые неизменно равно одному и тому же числу — знаменателю, то путем нехитрых сокращений, сумма первых нескольких членов геометрической прогрессии приводится к такому виду:
В некоторых источниках встречается похожий вариант, но с другими знаками в скобках — по сути окончательного значения это не меняет, и для ручного расчета, когда даны первые несколько членов, уместно использовать более удобную на момент формулу.
allcalc.ru
Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии — постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности. bn=b1 q(n-1)
В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель — положительный, но находится между
Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k , тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.
Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:
• Формула первого члена геометрической прогрессии;
• Формула n члена геометрической прогрессии;
• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;
• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• Формула знаменателя геометрической прогрессии.
Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.
allcalc.ru
Члены геометрической прогрессии | Онлайн калькулятор
Члены геометрической прогрессии представляют собой числа, выстроенные строго по порядковым номерам, где непосредственно порядковый номер определяет значение члена последовательности. Первый член геометрической прогрессии может быть любым числом, кроме нуля (b≠0). Для того чтобы найти n член геометрической прогрессии
Знаменателем прогрессии является заданное число, которое неизменно на протяжении всего числового ряда. Для того чтобы увидеть суть последовательности, рассмотрим числовой ряд, где выписаны bn— это первые несколько членов прогрессии с порядковым номером n, а q — это знаменатель прогрессии.
b1
b2=b1 q
b3=b2 q=b1 qq=b1 q2
b4=b3 q=b1 q2 q=b1 q3
…
Отсюда наглядно видно, что знаменатель геометрической прогрессии собирается в степень, показателем которой является число на одну единицу меньше порядкового номера члена прогрессии, который нужно найти, и все члены зависят от первого. Общая формула членов геометрической прогрессии будет выглядеть так: bn=b1 q(n-1)
Исходя из этого, зная первый член геометрической прогрессии, можно найти первые три, четыре члена прогрессии, умножая на знаменатель в нужной степени. Подобный онлайн калькулятор рассчитывает и в обратную сторону, то есть, зная любой из членов последовательности, можно найти первый. Чтобы проделать подобную операцию, калькулятор переворачивает формулу, в которой первый член геометрической прогрессии будет равен отношению заданного по условиям задачи члена к знаменателю, возведенному в степень n-1, где n — это порядковый номер известного члена.
Другой способ найти первый член геометрической прогрессии заложен в определении суммы первых нескольких членов прогрессии. Сама сумма равна произведению первого члена прогрессии на разность знаменателя в степени порядкового номера последнего участвующего члена и единицы, затем полученный результат необходимо разделить на еще одну разность знаменателя, в этот раз без степени, и единицы:
Порядок уменьшаемого и вычитаемого в скобках может меняться, это не будет влиять на результат до тех пор, пока это происходит синхронно:
Тогда при перераспределении параметров в формуле выходит, что первый член прогрессии равен произведению суммы с разностью единицы и знаменателя, деленной на разность единицы и знаменателя в степени н:
allcalc.ru
Сумма геометрической прогрессии
Рассмотрим, один из способов вывода формулы по которой определяется сумма геометрической прогрессии. Есть несколько способов доказательств, в том числе и через пределы. Но мы пойдем простым и логичным путем, не плодя новых сущностей, и не забивая голову, в данном случае тем, что для решения этой задачи нам не пригодится.
Напомним, что бесконечная сумма геометрической прогресии существет и ограничена в том случае, если каждый из последующих элементов стремится к нулю. Или как написано в разных учебниках абсолютное значение знаменателя прогрессии меньше единицы.
Напомним, что же считается геометрической прогрессией?
Последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (q — знаменатель прогрессии) и называется геометрической прогрессией.
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
а сумма прогрессии( считаем что она бесконечна, т.е. знаменатель не меньше нуля и не больше единицы) равна
Попробуем решить следующую задачу найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, заданную рядом
Смотрим на неё и размышляем. Что же мы можем с ней сделать, не зная ни одной формулы? Ну как минимум можем вынести за скобки.
Попробуем
Аха! В скобках получился такой же ряд что и в начале только с единицей в начале.
Обозначим сумму ряда как S
и тогда можем записать что
Это уравнение с одной переменной и легко решается
Ответ . Это и есть наш ответ.
Заметили? Мы не пользовались ни пределами, не запоминали ни одну формулу. Мы просто здраво рассуждали и пришли к правильному решению.
Давайте обобщим и выведем общую формулу геометрической прогрессии вышеуказанным способом.
У нас есть ряд
Обозначим эту сумму как S и вынесем за скобки
получим
или
Отсюда
Возросла самооценка от того, что сами можете доказывать и выводить формулы?
То то же 🙂
abakbot.ru
Сумма геометрической прогрессии
Рассмотрим, один из способов вывода формулы по которой определяется сумма геометрической прогрессии. Есть несколько способов доказательств, в том числе и через пределы. Но мы пойдем простым и логичным путем, не плодя новых сущностей, и не забивая голову, в данном случае тем, что для решения этой задачи нам не пригодится.Напомним, что бесконечная сумма геометрической прогресии существет и ограничена в том случае, если каждый из последующих элементов стремится к нулю. Или как написано в разных учебниках абсолютное значение знаменателя прогрессии меньше единицы.
Напомним, что же считается геометрической прогрессией?
Последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (q — знаменатель прогрессии) и называется геометрической прогрессией.
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
а сумма прогрессии( считаем что она бесконечна, т.е. знаменатель не меньше нуля и не больше единицы) равна
Попробуем решить следующую задачу найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, заданную рядом
Смотрим на неё и размышляем. Что же мы можем с ней сделать, не зная ни одной формулы? Ну как минимум можем вынести за скобки.
Попробуем
Аха! В скобках получился такой же ряд что и в начале только с единицей в начале.
Обозначим сумму ряда как S
и тогда можем записать что
Это уравнение с одной переменной и легко решается
Ответ . Это и есть наш ответ.
Заметили? Мы не пользовались ни пределами, не запоминали ни одну формулу. Мы просто здраво рассуждали и пришли к правильному решению.
Давайте обобщим и выведем общую формулу геометрической прогрессии вышеуказанным способом.
У нас есть ряд
Обозначим эту сумму как S и вынесем за скобки
получим
или
Отсюда
Возросла самооценка от того, что сами можете доказывать и выводить формулы?
То то же 🙂
abakbot.ru
Сумма геометрической прогрессии
Рассмотрим, один из способов вывода формулы по которой определяется сумма геометрической прогрессии. Есть несколько способов доказательств, в том числе и через пределы. Но мы пойдем простым и логичным путем, не плодя новых сущностей, и не забивая голову, в данном случае тем, что для решения этой задачи нам не пригодится.
Напомним, что бесконечная сумма геометрической прогресии существет и ограничена в том случае, если каждый из последующих элементов стремится к нулю. Или как написано в разных учебниках абсолютное значение знаменателя прогрессии меньше единицы.
Напомним, что же считается геометрической прогрессией?
Последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (q — знаменатель прогрессии) и называется геометрической прогрессией.
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
а сумма прогрессии( считаем что она бесконечна, т.е. знаменатель не меньше нуля и не больше единицы) равна
Попробуем решить следующую задачу найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, заданную рядом
Смотрим на неё и размышляем. Что же мы можем с ней сделать, не зная ни одной формулы? Ну как минимум можем вынести за скобки.
Попробуем
Аха! В скобках получился такой же ряд что и в начале только с единицей в начале.
Обозначим сумму ряда как S
и тогда можем записать что
Это уравнение с одной переменной и легко решается
Ответ . Это и есть наш ответ.
Заметили? Мы не пользовались ни пределами, не запоминали ни одну формулу. Мы просто здраво рассуждали и пришли к правильному решению.
Давайте обобщим и выведем общую формулу геометрической прогрессии вышеуказанным способом.
У нас есть ряд
Обозначим эту сумму как S и вынесем за скобки
получим
или
Отсюда
Возросла самооценка от того, что сами можете доказывать и выводить формулы?
То то же 🙂
abakbot.ru
Посчитать геометрическую прогрессию
Все мы должны помнить со школы вот такое правило.
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, при которой отношение между предыдущим и последующим членами не меняется.
Очень заумно, не правда ли?
С данным калькулятором вам не придется каждый раз перечитывать, что такое прогрессия и для чего она нужна, не нужно носить с собой формулы. Все уже внесено в калькулятор.
Просто читаете условие задачи и вписываете свои входные данные в калькулятор и в результате можете получить правильно посчитанную сумму геометрической прогрессии Sn.
Также вы можете воспользоваться на нашем сайте и калькулятором арифметической прогрессии:
http://abcname.com.ua/calc/matematika/arithmetical-progression.html
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
minutes
minutes
minute
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
hour
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
days
day
day
day
day
days
days
days
days
days
days
days
month
month
month
month
months
months
months
months
months
months
months
year
of the year
of the year
of the year
years
years
years
years
years
years
years
ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutesу ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 hour ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 days ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
Геометрическая прогрессияПоследний член an:
Сумма геометрической прогрессии Sn:
Сумма бесконечно убывающей прогрессии:
hostciti.net