Свойства непрерывных функций в точке – Свойства непрерывных в точке функций (доказательства теорем)

Свойства непрерывных в точке функций (доказательства теорем)

Формулировки свойств и теорем

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀. Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.
Доказательство ⇓

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀. И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0     ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x₀).
Доказательство ⇓

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x₀.
Если  g(x₀) ≠ 0, то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x₀.
Доказательство ⇓

Свойство непрерывности слева и справа
Функция  f  непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в x₀ слева и справа.
Доказательство ⇓

Доказательства свойств и теорем

Доказательство теоремы об ограниченности непрерывной функции

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
.
Раскроем знак модуля и преобразуем неравенства.
;
.
Пусть M есть наибольшее из чисел: . Тогда
, или
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена числом :
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о сохранении знака непрерывной функции

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
(1)   .

Пусть . Раскроем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена снизу положительным числом:
.
Поэтому на этой окрестности функция имеет положительное значение:
.
Для случая теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай . Также раскрываем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
;
.

Тем самым мы нашли окрестность , на которой функция ограничена сверху отрицательным числом:
.
Поэтому на этой окрестности .

Теорема доказана.

Доказательство арифметических свойств непрерывных функций

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, Функция называется непрерывной в точке , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при стремящемся к существует и равен значению функции в :
.

Поскольку функции и непрерывны в точке , то они определены на некоторых окрестностях и , соответственно, этой точки. Пусть окрестность является пересечением окрестностей и . Тогда обе функции и определены на окрестности .

Поскольку функции и определены на окрестности , то они определены и на проколотой окрестности точки , которая получается из исключением точки .

Итак, функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной точки , и существуют пределы:
  и  .
Тогда, согласно арифметическим свойствам пределов функции, существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
;
;
.
Если , то существует предел частного:
.

Свойства доказаны.

Доказательство свойства непрерывности слева и справа

Формулировка ⇑

1)   Пусть функция непрерывна в точке . Докажем, что она непрерывна в справа и слева.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению, имеется такая функция , так что для любого ,
(2)     при  .

Поскольку неравенство выполняется для любых значений , принадлежащих окрестности , то наложим дополнительное ограничение: . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в справа.

Теперь, в (2), наложим ограничение . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в слева.

Первая часть свойства доказана.

2)   Теперь пусть функция непрерывна в точке x₀ слева и справа.

Поскольку функция непрерывна слева, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Поскольку функция непрерывна в точке справа, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Пусть . Тогда . Если принадлежит окрестности , то также принадлежит окрестности . Поэтому
  при  .
Аналогично, если , то . Поэтому
  при  .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого ,
  при  .
Это означает, что . То есть функция является непрерывной в точке .

Свойство доказано.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 23-08-2018

1cov-edu.ru

11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывная функция— функция без «скачков», то есть такая, у которой малые измененияаргументаприводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, навещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

ε-δ определение

Пусть и.

Функция непрерывна в точке, если для любогосуществуеттакое, что для любого

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция классаи пишут:или, подробнее,.

Комментарии

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция

терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если— значение функциив точке, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с. На языке окрестностей условие разрывности функциив точкеполучается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точкиобласти значений функции, что как бы мы близко не подходили к точкеобласти определения функции, всегда найдутся такие точки, чьиобразыбудут за пределами окрестности точки.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка называетсяточкой устранимого разрывафункции(вкомплексном анализе—устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется

доопределением функции до непрерывнойилидоопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точкиустранимогоразрыва.

[Править] Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства Локальные

studfiles.net

Непрерывность функций (теоремы и свойства)

Определение непрерывности функции

Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x₀ равен значению функции в x₀:
.

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x₀, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x₀ равен значению функции в x₀:
.

Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀. Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
  при  .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции   и   непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в точке .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция   непрерывна в точке . И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при , и он равен :
.
Здесь точка t₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Подробнее, см. «Предел и непрерывность сложной функции».

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
  при  .

Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
  для всех  ;
  для всех  .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = a^x, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0)   определена, при , для всех ;
(П.1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3)   ;
(П.3*)   ;
(П.4)   ;
(П.5)   ;
(П.6)   ;
(П.7)   ;
(П.8)   непрерывна для всех ;
(П.9)     при ;
  при .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = log_a x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a,   y = log_a x, имеет следующие свойства:
(Л.1)   определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2)   имеет множество значений ;
(Л.3)   строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4)     при ;
  при ;
(Л.5)   ;
(Л.6)   при ;
(Л.7)     при  ;
(Л.8)     при  ;
(Л.9)     при  .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х»,
«Натуральный логарифм, функция ln x»

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция  f(x) = x ^p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого,  f(0) = 0 ^p = 0  при  p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x ^p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция,   y = x ^p, с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1)   определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2)   имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3)   строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4)     при ;
  при ;
(С.5)   ;
(С.5*)   ;
(С.6)   ;
(С.7)   ;
(С.8)   ;
(С.9)   .

Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.

Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 15-08-2018   Изменено: 02-01-2019

1cov-edu.ru

Свойства функций непрерывных в точке — ПриМат

функции непрерывные в точке

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «функции непрерывные в точке»:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   Количество баллов: 1

   Расставить в правильной последовательности:

   • Если функция f

   • непрерывна

   • в точке a, то она

   • ограниченна

   • в некоторой окрестности этой

   • точки.

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 3

   Количество баллов: 2
   Расставить в правильной последовательности:

   • Если z=f(y) непрерывна

   • в точке

   • y,аy=φ(x),

   • непрерывна в точке x0 причем

   • y0=φ(x0),

   • то в некоторой окрестности x0

   • определена сложная функция

   • равная

   • f[φ(x)]

   • которая также непрерывна в точке x0

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 3

   Количество баллов: 2
   • ∃c>0∃Uδ(a):∀x∈Uδ(a):|f(x)|c
   • ∃Uδ(a):∀x∈Uδ(a)→signf(x)=signf(a)
   • limy→y0f(y)=f(y0)limx→x0φ(x)=φ(x0)}⇒limx→x0f[φ(x)]=f[φ(x0)]

   • Если функция f непрерывна в точке a, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :

   • Если функция f непрерывна в точке a и f(a)≠0, то в некоторой окрестности точки a знак функции совпадает со знаком числа f(a):

   • Если z=f(y) непрерывна в точке y,аy=φ(x), непрерывна в точке x0 причем y0=φ(x0), то в некоторой окрестности x0 определена сложная функция равная f[φ(x)] которая также непрерывна в точке x0:

   Правильно
   

   Неправильно
   

ib.mazurok.com

Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f(x)иφ(x)непрерывны в точкех₀, то их суммаf(x)+φ(x), произведениеf(x)φ(x)и частное(при условии) являются функциями, непрерывными в точке х_0.

2. Если функция у=f(x)непрерывна в точкех₀иf(х₀)>0, то существует такая окрестность точких₀, в которойf(х)>0.

3. Если функция f(и)>0 непрерывна в точкеи₀, а функцияи= φ(x)непрерывна в точкеи₀= φ(x₀), то сложная функцияу= f(φ(x))непрерывна в точкех₀.

Свойство 3 может быть записано в виде , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция у=f(x)называется непрерывной на промежуткеХ, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция у=f(x)непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значеният и наибольшего значенияМ (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(а)и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точкатакая,f(ξ)=0(теорема Больцано-Коши).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Что называется пределом числовой последовательности?

3. Что называется пределом функции непрерывного аргумента?

4. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.

5. Какая переменная величина называется бесконечно малой? бесконечно большой? Какова зависимость между ними?

6. Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.

7. Как найти предел дробно рациональной функции при, еслии?

8. Укажите приемы вычисления предела от простейших иррациональных функций.

9. Сформулируйте и напишите первый замечательный предел.

10. Сформулируйте и напишите второй замечательный предел.

11. Как сравнить между собой две бесконечно малые величины?

12. Какие две бесконечно малые величины называются эквивалентными, и каковы свойства эквивалентных бесконечно малых величин?

13. Что называется левосторонним пределом функции в данной точке? правосторонним пределом функции в данной точке?

14. Дайте определение непрерывности функции в точке; в интервале.

15. Какая точка называется точкой разрыва функции?

16. Что называется разрывом первого рода? второго рода?

17. Что называется скачком функции в точке разрыва?

18. Сформулируйте основные свойства функции непрерывной на отрезке.

Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Определение производной; ее механический и геометрический смысл

Производной функцииу = f(x)в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают одним из символов:

Итак, по определению

Производная функции есть некоторая функция.

Функция у=, имеющая производную в каждой точке интервала (а;b), называетсядифференцируемойв этом интервале; операция нахождения производной функции называетсядифференцированием.

Значение производной функции у=в точкеобозначается одним из символов:

Пример 1. Найти производную функции у = с, с = const.

Решение: Значению даем приращение; находим приращение функции; значит, = ;

следовательно, =

Пример 2. Найти производную функции у = х².

Решение: Аргументу х даем приращение ; находим

;

составляем отношение : =; находим предел этого отношения:=

Таким образом,

Механический смысл производной:

,

или V = S¢_t, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времениtесть производная от путиSпо времениt.

Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной =, т.е. производнаяв точкеxравна угловому коэффициенту касательной к графику функции у =f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

Уравнение касательной: у —=×(x-х₀).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение нормали: (если.

studfiles.net

17. Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю)

Пусть функции инепрерывны на некотором множестве Х и— любое значение из этого множества.

2) Пусть функции непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогдасложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке.

В силу непрерывности функции ,, т.е. приимеем. В следствии непрерывности функцииимеем :

3) Если функция непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

18. Точки разрыва и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если — точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции.

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке.

2. Функция определена в точкеи в ее окрестности, но не существует пределаf(x) при

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е.и. При этом:

1. Если , то точканазываетсяточкой устранимого разрыва.

2. Если , то точканазываетсяточкой конечного разрыва

Величину называютскачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка называетсяточкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Функция называетсянепрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называетсянепрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на отрезке (a;b) и в точке x = a непрерывна справа , а в точкеx = b непрерывна слева .

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

1’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2) Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

2’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах разные по знаку значения, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль. F(c) = 0

21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

22. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.

Геометрический смысл. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) к графику функциив точке, абсцисса которой равна х.

23. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной.

Уравнение нормали.

24. Односторонние производные функции в точке.

Возьмем функцию y = |x| в точке х=0. ,.

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные(или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и.

Если, значит, производная в точке не существует.

25. Основные правила дифференцирования.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций. .

Производная произведения двух функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Выполняется, когда.

studfiles.net

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

0 x₀- x₀ x₀+ x

Пример разрывной функции:

y

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

x₀ x

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции sinиcosнепрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций и. При этом функция косинус – ограниченная функция прих0 , а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой прих0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х₀ из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем

m  f(x)  M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х₀: f(x₀) = 0.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

3

2

-4 -1 0 1 х

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

2

1

- -/2 0 1 x

studfiles.net