Конспект «Степени. Свойства степеней» — УчительPRO
Степени. Свойства степеней.
Ключевые слова конспекта: степень с натуральным показателем, основание степени, показатель степени, возведение в степень, дисперсия, умножение и деление степеней, свойства степеней.
Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 75. Выражение вида 75 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 75 число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.
Умножим 75 на 73:
75 • 73 = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 78.
Показатель степени увеличился на 3. Естественно считать, что 7 = 71. Вообще считают, что первой степенью числа является само число. Например, 181 = 18, 1041 = 104.
Степень с натуральным показателем
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а1, равное а.
По определению
Запись аn читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.
Возведение в степень
Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.
Пример 1. Возведём число -3 в четвёртую и пятую степени:
(-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
(-3)5 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = -243.
Из свойств умножения следует, что:
- при возведении нуля в любую степень получается нуль;
- при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
- при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.
Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:
6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,17 = 314274,28.
При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.
Пример 3. Найдём значение выражения -62 + 64 : (-2)5. Последовательно находим:
1) 62 = 36;
2) (–2)5 = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.
Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1)n + 1 + 2, где n ∈ N.
Если n — нечётное число, то (-1)n + 1 = 1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1)n + 1 = -1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: {-3; 7}.
В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.
Дисперсия
Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.
Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое
Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.
Умножение степеней
Представим произведение степеней а5 и а2 в виде степени:
а5 • а2 = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а7.
Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.
Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то аm • аn = аm+ n
Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что
Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.
Из основного свойства степени следует правило:
- чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.
Деление степеней
Представим теперь в виде степени частное степеней а8 и а3, где а ≠ 0. Так как а3 • а5 = а8, то по определению частного а8 : а3 = а5.
Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.
Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то аm : аn = аm — n, где а ≠ 0, m ≥ n
Докажем это. Умножим аm — n на аn, используя основное свойство степени:
a
Из доказанного свойства следует правило:
- чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.
Степень с нулевым показателем
Мы рассматривали степени с натуральными показателями. Введём теперь понятие степени с нулевым показателем.
✅ Определение. Степенью числа а, где а ≠ 0, с нулевым показателем называется выражение а0, равное 1.
Например, 50 = 1; (–6,3)0 = 1. Выражение 00 не имеет смысла.
Это конспект по математике на тему «Степени. Свойства степеней». Выберите дальнейшие действия:
Степени. Свойства степеней
5 (100%) 3 vote[s] uchitel.proСвойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями
Возведение произведения в степень
Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере.
По определению степени:
Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:
Группируем отдельно множители a и множители b, и получаем:
Воспользовавшись определением степени, находим:
Следовательно:
(ab)n = anbn
Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:
(3a2b)2 = 9a4b2
Отсюда следует правило:
Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.
Возведение частного в степень
Для возведения в степень частного, надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.
Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:
Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:
Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.
Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:
Возведение степени в степень
Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.
Например, нам нужно возвести 72 в третью степень:
(72)3
Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:
(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76
Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
Общая формула возведения степени в степень:
(
Примеры на свойства степеней
Пример 1. Выполните действия:
а) (x5)3; б) 2(n3)5; в) -4(a4)2
Решение:
а) (x5)3 = x5 · 3 = x15
б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15
в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8
Пример 2. Возведите в степень:
а) (-2mn)4; б) (3bc)3; в) (-6a4b)2
Решение:
а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4
б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3
в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2
Пример 3. Возведите дробь в степень:
| а) ( | 2a | )2; б) (- | xy | )5; в) ( | a2b | )3 |
| 5 | z | 2c3 |
Решение:
| а) ( | 2a | )2 = | (2a)2 | = | 4a2 |
| 5 | 52 | 25 |
| б) (- | xy | )5 = — | (xy)5 | = — | x5y5 |
| z | z5 | z5 |
| в) ( | a2b | )3 = | (a2b)3 | = | (a2)3 · b3 | = | a6b3 |
| 2c3 | (2c3)3 | 23 · (c3)3 | 8c9 |
naobumium.info
1.1.7 Свойства степени с действительным показателем
Видеоурок 1: Степень с рациональным и действительным показателями. Часть 1
Видеоурок 2: Степень с рациональным и действительным показателями. Часть 2
Лекция: Свойства степени с действительным показателем
Действительные числа — это все числа огромного множества, которые окружают нас вокруг.
При рассмотрении степеней с действительным показателем в показателе может быть абсолютно любое значение, а, значит, при работе с такими степенями следует использовать следующие свойства.
Свойства степени с действительным показателем
Если в основании степени лежит положительное число, а в качестве показателя используются действительные числа, то можно пользоваться следующими формулами:
1. Так как в основании степени используется положительное число, то, несмотря на знак показателя степени, результат всегда будет числом положительным.
2. Если показатель степени является отрицательным числом, то его можно заменить на равный по модулю положительный показатель, а основание дроби перевернуть.
3. При умножении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени следует сложить.
4. При делении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени вычитаются:
5. При возведении числа в степени в дополнительную степень показатели умножаются.
6. При возведении произведения некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную степень и только после этого перемножить.
7. При возведении частного некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную дробь и только после этого разделить.
cknow.ru
Основные свойства степеней
Основные свойства степеней
«Свойства степеней» — довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки «Свойства степеней» в формате .pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.
Скачать шпаргалку «Свойства степеней» (формат .pdf)
Свойства степеней (кратко)
a0=1, если a≠0
a1=a
(−a)n=an, если n — четное
(−a)n=−an, если n — нечетное
(a⋅b)n=an⋅bn
(ab)n=anbn
a−n=1an
(ab)−n=(ba)n
an⋅am=an+m
anam=an−m
(an)m=an⋅m
Свойства степеней (с примерами)
1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. a0=1, если a≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. a1=a Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3
3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. an=an, если n — четное (делящееся на 2) целое число (−a)n=an, если n — четное (делящееся на 2) целое число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. an=an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое число (−a)n=−an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
5-е свойство степени Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (ab)n=anbn, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) a−n=1an, при этом a и n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 7−2=172=149
8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. (ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. an⋅am=an+m, при этом a, n, m — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44
10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. anam=an−m, при этом a, n, m — любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410
11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. (an)m=an⋅m Например: (23)2=23⋅2=26=64
Таблица степеней до 10
Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n-ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: «в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?» или «Какое число в степени n дает число b?».
Таблица степеней до 10
1n | 2n | 3n | 4n | 5n | 6n | 7n | 8n | 9n | 10n | |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
4 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | 10000 |
5 | 1 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 | 100000 |
6 | 1 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | 117649 | 262144 | 531441 | 1000000 |
7 | 1 | 128 | 2187 | 16384 | 78125 | 279936 | 823543 | 2097152 | 4782969 | 10000000 |
8 | 1 | 256 | 6561 | 65536 | 390625 | 1679616 | 5764801 | 16777216 | 43046721 | 100000000 |
9 | 1 | 512 | 19683 | 262144 | 1953125 | 10077696 | 40353607 | 134217728 | 387420489 | 1000000000 |
10 | 1 | 1024 | 59049 | 1048576 | 9765625 | 60466176 | 282475249 | 1073741824 | 3486784401 | 10000000000 |
Как пользоваться таблицей степеней
Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.
Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень? В таблице степеней ищем столбец 6n, так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.
Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729? В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.
Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187? В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n, что означает, что ответ: 3.
Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63? В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63… Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.
studfiles.net
Основные свойства степеней, корней, формулы
Основные свойства степеней.
a0 = 1 для любого числа a.
a1 = a для любого числа a.
(– a)n = an, если n — четное
(– a)n = – an, если n — нечетное
(ab)n = anbn
anam=an+m
Основные свойства корней
для любого .
для любого числа а. Здесь |a| — модуль числа а, который равен а, если , и равен –а, если а < 0.
для и .
для , и .
для , и .
для , и .
для , и .
для , и .
для и .
для и .
для любого числа а и нечетного числа .
Формулы сокращенного умножения.
Для любых a, b и с верны следующие равенства:
;
;
;
;
;
;
;
;
где x1 и x2 — корни квадратного трехчлена .
studfiles.net
Свойства степени
Возведение числа в натуральную степень означает его непосредственное повторение собственным сомножителем в натуральное число раз. Число, повторяющееся в качестве сомножителя – это основание степени, а число, указывающее на количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Полученный результат выполненных действий и есть степень. Например, три в шестой степени означает повторение числа три в виде множителя шесть раз.
Основанием степени может выступать любое число, отличное от нуля.
Вторая и третья степени числа имеют специальные названия. Это, соответственно, квадрат и куб.
За первую степень числа принимают само же это число.
Для положительных чисел также определена степень, имеющая рациональный показатель. Как всем известно, любое рациональное число записывается в виде дроби, числитель которой является целым, знаменатель же – натуральным, то есть целым положительным, отличным от единицы.
Степень с рациональным показателем представляет из себя корень степени, равной знаменателю показателя степени, а подкоренное выражение – это основание степени, возведенное в степень, равную числителю. Например: три в 4/5 равно корню пятой степени из трех в четвертой.
Отметим некоторые свойства, вытекающие непосредственно из рассматриваемого определения:
- любое положительное число в рациональной степени – положительно;
- значение степени с рациональным показателем не зависит от формы его записи;
- если основание отрицательное, то рациональная степень этого числа не определена.
При положительном основании свойства степени верны независимо от показателя.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. Умножая степени, имеющие одинаковые основания, основание оставляют без изменения и складывают показатели. Например: при умножении трех в пятой степени на три в седьмой получают три в двенадцатой степени (5+7=12) .
2. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, их оставляют без изменения, а показатели вычитывают. Например: при делении трех в восьмой на три в пятой степени получают три в квадрате (8-5=3).
3. Когда степень возводят в степень, основание оставляют без изменения, а показатели перемножают. Например: при возведении 3 в пятой в седьмую получают 3 в тридцать пятой (5х7=35).
4. Чтобы возвести произведение в степень, в ту же возводится каждый из множителей. Например: при возведении произведения 2х3 в пятую получают произведение два в пятой на три в пятой.
5. Чтобы возвести дробь в степень, в ту же степень возводят числитель и знаменатель. Например: при возведении 2/5 в пятую получают дробь, в числителе которой – два в пятой, в знаменателе – пять в пятой.
Отмеченные свойства степени справедливы и для дробных показателей.
Свойства степени с рациональным показателем
Введем некоторые определения. Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в нулевую, равно единице.
Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в степень с отрицательным целым показателем – это дробь с числителем единица и знаменателем, равным степени того же числа, но имеющего противоположный показатель.
Дополним свойства степени несколькими новыми, которые касаются рациональных показателей.
Степень с рациональным показателем не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя его показателя на неравное нулю одно и то же число.
При основании больше единицы:
- если показатель положительный, то степень больше 1;
- при отрицательном – меньше единицы.
При основании меньше единицы, наоборот:
- если показатель положительный, то степень меньше единицы;
- при отрицательном – больше 1.
Когда показатель степени растет, то:
- растет сама степень, если основание больше единицы;
- убывает, если основание меньше единицы.
fb.ru
Основное свойство — степень — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Основное свойство — степень
Cтраница 1
Основные свойства степени с натуральным показателем будут рассмотрены в § 4 гл. [1]
Основные свойства степеней, сформулированные в пяти теоремах из § 5 для степеней с рациональными показателями, распространяются без изменений на степени с любыми действительными показателями. [2]
Основное свойство степени отображения выражается тем фактом, что гомотопные отображения имеют одинаковую степень. [3]
Рассмотрим теперь основные свойства степени положительного числа типа неравенства. [4]
Из основного свойства степени следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. [5]
Как формулируется основное свойство степени. [6]
При таких определениях основные свойства степени остаются в силе. Это подробно разъясняется в учебнике А. П. Киселева ( § 93 — 96) на числовых примерах. [7]
Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней. [8]
Эти формулы называют основными свойствами степеней. [9]
В этом случае легко доказываются основные свойства степени. [10]
В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства степени положительного числа с положительным дробным показателем. Поскольку степень отрицательного числа с положительным дробным показателем, вообще говоря, не определена, то всегда, не оговаривая это специально, мы будем предполагать, что основание степени есть число положительное. [11]
Покажем, что степень с рациональным показателем обладает основным свойством степени. [12]
Заменяя произведение akap степенью ak p, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем. [13]
Обобщение понятия степени; обладать основным свойством; имеет место основное свойство степени. [14]
Важно иметь в виду, что свойства 2 — 5 являются следствиями свойства 1 и данного выше определения; поэтому свойство 1 иногда называют основным свойством степени. [15]
Страницы: 1 2
www.ngpedia.ru