Транспонированная матрица – Транспонированная матрица.

Содержание

Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[ij] = A[ji].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

  • Сопряжённо-транспонированная матрица

3dic.academic.ru

Транспонированная матрица — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.

Например,

[1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

  • (AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
  • (A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
  • (AB)T=BTAT{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
  • (λA)T=λAT{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}
При транспонировании можно выносить скаляр.
  • detA=detAT{\displaystyle \det A=\det A^{T}}
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ST=S{\displaystyle S^{T}=S}.

Для того чтобы матрица S{\displaystyle S} была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению AT=−A{\displaystyle A^{T}=-A}.

Для того чтобы матрица A{\displaystyle A} была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица A{\displaystyle A} была квадратной;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть Aij=−Aji{\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: Aii=0{\displaystyle A_{ii}=0}.

Для любой квадратной матрицы M{\displaystyle M} имеется представление M=S+A{\displaystyle M=S+A},

где S=M+MT2{\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}} — симметричная часть, A=M−MT2{\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}} — антисимметричная часть.

Видео по теме

См. также

wiki2.red

Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[ij] = A[ji].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

  • Сопряжённо-транспонированная матрица

ushakov.academic.ru

Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[ij] = A[ji].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

  • Сопряжённо-транспонированная матрица

muller.academic.ru

Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[ij] = A[ji].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

  • Сопряжённо-транспонированная матрица

med.academic.ru

Транспонированная матрица — Википедия

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров  — матрица размеров , определённая как .

Например,

     и     

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц[править]

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения[править]

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению .

Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению .

Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

были равны по модулю и противоположны по знаку, т.е. .

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: .


Для любой квадратной матрицы имеется представление ,

где — симметричная часть, — антисимметричная часть.

www.wiki-wiki.ru

Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[ij] = A[ji].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

  • Сопряжённо-транспонированная матрица

brokgauz.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.