Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
- и
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.
Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,
Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.
См. также
- Сопряжённо-транспонированная матрица
3dic.academic.ru
Транспонированная матрица — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.
Например,
- [1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц
- (AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- (A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- (AB)T=BTAT{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- (λA)T=λAT{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- detA=detAT{\displaystyle \det A=\det A^{T}}
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ST=S{\displaystyle S^{T}=S}.
Для того чтобы матрица S{\displaystyle S} была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению AT=−A{\displaystyle A^{T}=-A}.
Для того чтобы матрица A{\displaystyle A} была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица A{\displaystyle A} была квадратной;
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть Aij=−Aji{\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}.
Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: Aii=0{\displaystyle A_{ii}=0}.
Для любой квадратной матрицы M{\displaystyle M} имеется представление M=S+A{\displaystyle M=S+A},
где S=M+MT2{\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}} — симметричная часть, A=M−MT2{\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}} — антисимметричная часть.
Видео по теме
См. также
wiki2.red
Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
- и
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.
Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,
Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.
См. также
- Сопряжённо-транспонированная матрица
ushakov.academic.ru
Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
- и
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.
Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,
Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.
См. также
- Сопряжённо-транспонированная матрица
muller.academic.ru
Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
- и
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.
Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,
Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.
См. также
- Сопряжённо-транспонированная матрица
med.academic.ru
Транспонированная матрица — Википедия
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .
Например,
- и
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц[править]
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения[править]
Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению .
Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
были равны по модулю и противоположны по знаку, т.е. .
Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: .
Для любой квадратной матрицы имеется представление
,
где — симметричная часть, — антисимметричная часть.
www.wiki-wiki.ru
Транспонированная матрица — это… Что такое Транспонированная матрица?
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
- и
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Связанные определения
Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.
Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица А была квадратной,
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,
Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.
См. также
- Сопряжённо-транспонированная матрица
brokgauz.academic.ru