Тригонометрическая единичная окружность – Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами.

Тригонометрическая единичная окружность. Функция синуса. Функция косинуса.

Возьмем ось \(x\) и ось \(y\) , и пусть \(0\)-начало координат. Круг с центром в точке \(0\) и радиусом \(1\) называется тригонометрической окружностью или единичной окружностью.


Единичная окружность


Если \(P\)- точка на окружности, а \(A\)-угол между отрезком \(PO\) и \(x\), то:

 

 

  • \(x\)-координата \(P\) называется косинусом \(A\). мы пишем \(cos (A)\) или \(cos A\);
  • \(y\)-координата \(P\) называется синусом \(A\). Мы пишем \(sin (A)\) или \(sin A\);


число \(\frac{sin (A)} { cos (A)}\) называется касательной \(A\) , мы пишем \(tg (A)\) ;

 


Функция синуса
\(sin: R — > [-1;1]\)


Все тригонометрические функции являются периодическими c периодом \( 2π.\)
Диапазон функции равен \([-1,1]\).

 


Функция косинуса
\(cos: R — > [-1;1]\)


Период \(2π\).

Диапазон функции также равен \( [-1,1]\) .

 


Функция тангенса
\(tan: R — > R\)
Период диапазона \(π\) функции \(R\) не определен при \( x = \frac{π}{2} + kn, k=0,1,2,…\)
График функции тангенса на интервале \(0 — π\)

Функция котангенс 
\(ctg: R — > R\)
Диапазон функции \(R\). период \(π\) и что функция не определена при \( x = kn, k=0,1,2,…\)

myalfaschool.ru

Числовая окружность, тригонометрический круг и единичная окружность

Любая окружность, которую мы соотносим с действительными числами будет числовая. Но на практике (для удобства) используют единичную окружность, т.е. окружность с радиусом = 1 и центром в начале координат.

Ну, и поскольку у каждой точки окружности есть координаты на осях Х и Y, которые являются косинусом и синусом угла β, соответственно круг является тригонометрическим, т.е. связанным с этими самыми функциями из тригонометрии.

Большой плюс, что на тригонометрическом круге можно увидеть разные углы (а не только, как в треугольнике). Ведь неважно, где мы поставим точку на круге, мы всегда сможем определить для нее косинус и синус по абсциссе и ординате даже по самому простому и схематичному рисунку.

Важно только помнить, что угол всегда рисуется от оси OX (называется углом поворота) и получается такая схема, где положительные углы всегда отображаются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой. 

Вместе с положительными углами движется и отсчет четвертей круга:

0° до 90° — I четверть, 

90° до 180° — II четверть, 

180° до 270° — III четверть, 

270° до 360° — IV четверть

Еще лайфхаки с градусами и кругами

Соответственно, если точно помнить, что целый круг — это 360°, то 50° будет в том же месте, где и -310° (проверьте;)

Если нужны углы более 360°, то делим их на 360, отбрасываем целые части и рисуем обычный угол. Например, угол в 795° = (360° * 2) + 75° — значит, просто рисуем угол в 75° и смотрим его синусы/косинусы. 

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Тригонометрическая окружность Википедия

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.

Тригонометрические функции[ | ]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos⁡α=x{\displaystyle \cos \alpha =x},
sin⁡α=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.

При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:

cos2⁡α+sin2⁡α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.

(Используется следующая общепринятая нотация: cos2⁡x=(cos

ru-wiki.ru

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Интерактивная таблица значений тригонометрических функций

α
sin α =  cos α = 
tg α = ctg α = 

Пояснения к интерактивной таблице значений тригонометрических функций

  • Угол α — это угол между лучом, проведённым из центра единичной окружности с координатами (0;0) через выбранное вами положение указателя компьютерной мыши (эта линия обозначена красными точками), и положительным направлением горизонтальной оси (эта линия обозначена синим цветом).
  • Значение синуса угла α обозначено красной точкой на красной прямой.Эта горизонтальная прямая совпадает с осью X декартовой системы координат.
  • Значение косинуса угла α обозначено синей точкой на синей прямой. Эта вертикальная прямая совпадает с осью Y декартовой системы координат.
  • Значение тангенса угла α обозначено зелёной точкой на зелёной прямой. Эта вертикальная прямая параллельна оси Y и проходит через точку с координатами (1;0).
  • Значение котангенса угла α обозначено жёлтой точкой на жёлтой прямой. Эта горизонтальная прямая параллельна оси X и проходит через точку с координатами (0;1).
  • Для углов, кратных π/12 или 15 градусов, приведены точные значения тригонометрических функций в виде дроби с корнями. Для остальных углов — приблизительные, округленные до трех знаков после запятой.

      Эта красивая тригонометрическая таблица с тригонометрическим кругом взята с сайта Летопись МИФИ без разрешения владельцев. За что приношу им свои извинения и выражаю искреннюю благодарность :)))

      05 марта 2011 года.

© 2006 — 2013 Николай Хижняк. Все права защишены.

ndspaces.narod.ru

Единичная окружность — Википедия

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до -мерного пространства (), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство .

Тригонометрические функции[править]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку на единичной окружности с началом координат , получается отрезок, находящийся под углом относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

,
.

При подстановке этих значения в уравнение окружности получается:

.

(Используется следующая общепринятая нотация: .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

для всех целых чисел , то есть для .

Комплексная плоскость[править]

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество :

Множество является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ).

www.wikiznanie.ru

Единичная окружность — WiKi

  Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)}  на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)} , получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha }  относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos⁡α=x{\displaystyle \cos \alpha =x} ,
sin⁡α=y{\displaystyle \sin \alpha =y} .

При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}  получается:

cos2⁡α+sin2⁡α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1} .

(Используется следующая общепринятая нотация: cos2⁡x=(cos⁡x)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}} .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin⁡(x+2πk)=sin⁡(x){\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)} 
cos⁡(x+2πk)=cos⁡(x){\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)} 

для всех целых чисел k{\displaystyle k} , то есть для k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} } :

G={z:Re{z}2+Im{z}2=1}={z:z=eiϕ,0≤ϕ<2π}{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}} 

Множество G{\displaystyle G}  является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ei0=1{\displaystyle e^{i0}=1} ).

www.ru-wiki.org

Тригонометрическая окружность Вики

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.

Тригонометрические функции[ | код]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos⁡α=x{\displaystyle \cos \alpha =x},
sin⁡α=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.

При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:

cos2⁡α+sin2⁡α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.

(Используется следующая общепринятая нотация: cos2⁡x=(cos⁡x)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}.)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin⁡(x+2πk)=sin⁡(x){\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}
cos⁡(x+2πk)=cos⁡(x){\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}

для всех целых чисел k{\displaystyle k}, то есть для k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

Комплексная плоскость[ | код]

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }:

G={z:Re{z}2+Im{z}2=1}={z:z=eiϕ,0≤ϕ<2π}{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}

Множество G{\displaystyle G} является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ei0=1{\displaystyle e^{i0}=1}).

См. также[ | код]

ru.wikibedia.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.