Тригонометрия зачем нужна – Тригонометрия в жизни — Тригонометрия

Тригонометрия в нашей жизни

Тригонометрия в нашей жизни

Суворова А.А. 1

1МОУ Кременкульская СОШ

Грязнова Т.А. 1

1МОУ Кременкульская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность:

Данная тема является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки, а также тесно связана с деятельностью человека. Имеет теоретическую и практическую значимость.

Объект исследования: Тригонометрия.

Предмет исследования: Графики тригонометрической функции – синусоида и косинусоида.

Цель:

Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.

Задачи:

Изучить теорию.

Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.

Описать применении графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.

Вывести свой биоритм жизни.

Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.

Методы:

Теоретический.

Материальное моделирование.

Аналитический.

Гипотеза:

Графики тригонометрических функций широко применяются человеком, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

Теоретическая часть

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвук, в химии (Приложение 1, рис.1), в сейсмологии (Приложение 1, рис.2), в метеорологии, в океанографии (Приложение 1, рис.3), в архитектуре (Приложение 1, рис.4), в экономике, в компьютерной графике, в кристаллографии (Приложение 1, рис.5) и многих других областях.

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

История возникновения

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая (Приложение 2, рис.1) . 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры (Приложение 2, рис. 2). Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

  Несколько десятилетий спустя  Клавдий Птоломей  в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

·         точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)

·         вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

·         нахождения географических координат текущего места;

·         вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)

определить угловую высоту солнца. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

Тригонометри́ческие фу́нкции (Приложение 2, рис. 5)  — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب‎). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (следует отметить, что именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. Cosinus) — это сокращение от лат. Complementi sinus — дополнительный синус.

Первый график синусоиды (Приложение 2, рис. 6)  появился в книге Альбрехта Дюрера (Приложение 2, рис. 4)  «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год). В 1630-х годах, Жиль Роберваль (Приложение 2, рис. 7), в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил  синусоиду, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис (Приложение 2, рис. 8)  в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668) (Приложение 2, рис. 9).

В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.

Архитектура

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений

рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой.

Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения 

Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Медицина и биология.

Модель биоритмов (Приложение 2, рис.11), которые в свою очередь подразумевают цикличность процессов в живом организме можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров, деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.

Движение рыб в воде и полёт птиц (Приложение 2, рис. 10) происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Измерительные работы

Тригонометрией пользуются при измерение расстояния между точек на местности. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево». На местности можно выбрать точку  B   и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы A и B. Эти данные, т.е. c, a и b   позволяют решить треугольник  АВС и найти искомое расстояние d = AC.   Сначала находим угол С sinC: С=180-а-b, sinC=sin(180-a-b)=sin(a+b). Затем с помощью теоремы синусов находим d.

Практическая часть

Изготовление демонстрационной модели движения графика синуса.

Для изготовления данной модели мне потребовалось:

Фанера.

Силовые кнопки.

Шляпная резинка.

Гуашь.

Мебельный лак.

Изготовление модели мы начали с того, что:

Вырезали фанеру по нужному размеру.

Нанесли на неё разметку в виде графика синуса и косинуса на координатной плоскости.

Панель покрыли мебельным лаком.

По контуру синусоиды разместили силовые кнопки.

По силовым кнопкам протянули шляпную резинку с обозначением начальной точки.

Испытали модель в действии.

Заключение.

Описание аналитической части.

Изучив графики тригонометрических функций – синусоиду и косинусоиду, можно сделать вывод, что тригонометрия тесно связана с жизнью человека и его деятельностью, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

Исследовав аналитический материал, мы выяснили, что тригонометрия присутствует во многих областях науки.

Дали строгие определения тригонометрии и тригонометрическим функциям.

Определили сферы применения синусоиды и косинусоиды, а также подтвердили значимость математики в окружающем нас мире. В ходе практического исследования применили полученные знания..

Вывод.

Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и графики тригонометрических функций – синусоида и косинусоида действительно являются яркими представительницами в окружающем нас мире, а не только линиями в тетради. Они являются замечательными кривыми, которые практически всегда рядом с нами.

Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. А демонстрационная модель будет служить наглядностью на уроках математики при изучении этих функций. Имеет метапредметную связь с другими областями науки.

Источники

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.math34.ru

Приложение 1.

 

Рис.1рисрисирис. 2

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Приложение 2

Рис. 2

Рис. 1

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис.1рисрисирис. 1

Рис.1рисрисирис. 3

Рис. 11

Просмотров работы: 900

school-science.ru

Когда не нужна тригонометрия / Habr

Просматривая различный код по выводу на экран какой-нибудь даже примитивной графики, я заметил чрезмерную любовь некоторых программистов к тригонометрии. Часто код пестрит синусами, косинусами и арктангенсами там, где без них можно обойтись. Этим грешат даже хорошие программисты, которые способны спроектировать сложную систему, но почему-то не освоили вектора в объёме школьной программы. Буквально азов векторной алгебры хватает для решения многих насущных проблем. В этом топике я хочу провести краткий ликбез, напомнить основные действия с векторами на плоскости и в качестве примера решить две задачи без тригонометрии: поиск отражённого луча по падающему лучу и произвольно расположенному зеркалу, а также рисование наконечника стрелки. Если вы можете представить в голове рисование произвольно направленной стрелки без синусов и косинусов, смело пропускайте этот топик. Для остальных постараюсь объяснять попроще.

Теория
Итак, вектором (рассматриваем только двумерный случай) называется пара чисел:

Геометрический смысл — это отрезок на плоскости, для которого важна длина и направление, но не важно положение. То есть параллельный перенос не меняет вектора. Часто полезно отождествлять вектор с точкой (x,y) на плоскости — это всё равно что провести вектор из точки (0,0) в точку (x,y). Рассмотрим основные операции.
Сложение векторов:

Геометрический смысл изображён на картинке — мы перемещаем второй вектор, чтобы его начало совпало с концом первого, и результатом считаем вектор от начала первого до конца второго:

Умножение вектора на скаляр (число):

Геометрический смысл — удлинение вектора в соответствующее число раз, не меняя направление (разве что на противоположное, если a отрицательно). Умножение на -1 перевернёт вектор на 180°, не меняя длину. Деление вектора на число a — это умножение на 1/a.
Скалярное произведение векторов:

Очень важная штука. Перемножая два вектора, мы получаем число, которое характеризует длину проекции одного на другой. Перемножив два вектора, по знаку мы можем определить, направлены ли вектора в одну сторону (скалярное произведение положительно), направлены противоположно (скалярное произведение отрицательно) или перпендикулярны друг другу (произведение равно нулю). Не нужно для этого вычислять арктангенсы отношений координат каждого вектора и сравнивать углы. Два умножения, одно сложение и дело в шляпе.
Также важно, что скалярное произведение вектора самого на себя — это квадрат его длины (следствие теоремы Пифагора):

Вектор называют нормированным или единичным, если его длина равна единице. Нормировать произвольный ненулевой вектор — это поделить его на длину. Получится единичный вектор, сонаправленный исходному.
Скалярное произведение произвольного вектора на единичный даст точную длину проекции этого вектора на направление единичного. Чтобы получить не просто длину, а сам вектор-проекцию, надо умножить эту длину на наш единичный вектор:

В скобках скалярное произведение векторов a и e, а затем умножение вектора e на скаляр.
Что делать, если нам нужна проекция на ненормированный вектор? Чтобы нормировать, надо извлечь корень, а это долго и грустно. Однако, если мы приглядимся к формуле, то поймём, что нам нужно поделить результат на квадрат длины, то есть просто на скалярное произведение вектора на себя. То есть проекция a на произвольный ненулевой b будет вычисляться так:

Скалярное произведение двух единичных векторов — это косинус угла между ними. Если вдруг вам всё-таки потребовался угол между направлениями, проверьте, может, вам вовсе не угол нужен, а его косинус (или синус, который в ряде случаев можно получить из основного тригонометрического тождества). Тогда вам не потребуется ковыряться с арктангенсами.
Вот, собственно, вся базовая теория. Теперь попробуем её применить.
Вычисление отражённого луча
Отражённый луч может пригодиться не только для оптических задач, а ещё, скажем, при моделировании упругого столкновения объекта со стенкой, что незаменимо при программировании анимированных красивостей. Тогда вектор скорости объекта изменится как раз по закону отражения. Итак, у нас есть падающий вектор l и некоторая произвольная прямая, от которой производится отражение. Прямая может быть задана, к примеру, двумя точками. Требуется определить отражённый вектор r той же длины, что и l:

Зная, что угол падения равен углу отражения, можно придумать какой-то такой наивный алгоритм:
  • Посчитать разность координат точек прямой, взять арктангенс их отношения — получим наклон прямой к оси x.
  • Аналогично определить наклон падающего луча к оси x.
  • Посчитать разность этих углов, вычесть её из 90° — получим угол падения.
  • Добавить угол падения дважды и ещё 180° к углу наклона падающего луча — получим угол наклона отражённого луча.
  • Вычислить длину падающего луча и умножить на синус и косинус угла наклона отражённого луча — получим результирующий вектор.
Итого: два арктангенса, синус, косинус и квадратный корень.
Однако если мыслить векторами, то простое геометрическое построение даёт существенно более быстрое решение:

Две проекции вектора l на нормаль со знаком минус да плюс ещё один вектор l в точности дадут нам результат:

Делить не надо, если нормаль уже нормирована. Кстати, я не рассказал, как её определить. Если прямая задана двумя точками (x1,y1) и (x2,y2), то вектор нормали (ненормированый) легко определяется вот так:

Иногда важен знак нормали, чтобы знать, какая сторона прямой «внешняя». В нашей задаче это неважно, вы в этом легко можете убедиться.
Кстати, полученная формула отражённого луча действует и в трёхмерном варианте, только нормаль надо определять уже для плоскости.
Рисование стрелки
Пусть заданы концы стрелки (x1,y1) и (x2,y2). Надо нарисовать усики фиксированного размера на конце (x2,y2). Посмотрим рисунок:

Здесь точка (x2,y2) обозначена буквой P. Необходимо вычислить координаты точек A и B, чтобы провести отрезки PA и PB. Будем считать, что нам задана продольная и поперечная длины усиков h и w. Внимательный читатель уже может сам предложить алгоритм: чтобы найти точку O, надо вычесть из P h, умноженное на единичный вектор вдоль стрелки (тут, похоже, без корня не обойтись, но он нужен всего один раз!). А затем A и B уже определяются, добавляя к O вектор нормали, домноженный на w и −w. Заметьте, что мы нигде не определяли угол раствора стрелки (вообще это арктангенс отношения w и h), но он нам и не нужен: стрелка легко рисуется и так.
Заключение
В целом тригонометрия пригождается не так часто. Без тригонометрических функций вычисляется преломлённый луч по закону Снеллиуса. Если вам нужно повернуть сложный чертёж на определённый угол, вам потребуется только синус и косинус этого самого угла. Из них составляется матрица вращения, и на неё домножаются по очереди все точки. Тригонометрия на самом деле медленная, особенно когда её много. Поэтому не используйте её там, где она не нужна.

habr.com

Связь тригонометрии с реальной жизнью

"Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"

Обоснование актуальности проекта.

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. 
Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. 
Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( trigonan – треугольник, metreo - измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать.
Для некоторых профессий ее знание необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии,  используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

  1. Определение  предмета исследования

 Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?

    3.  Цели проекта.

Связь тригонометрии с реальной жизнью.

  1. Проблемный вопрос
    1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
    2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
    3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

  2. Гипотеза

Большинство  физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

  1. Проверка  гипотезы

      Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

История тригонометрии:

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi  стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

      В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического  анализа.

Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении  колебательных движений и других периодических процессов.

Жан Фурье доказал, что всякое периодическое  движение может быть  представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

Стадии развития тригонометрии:

  • Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

  • Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением  специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

  • Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

  • Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

  • В XVIII в. тригонометрические функции были включены

   в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

  Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

 Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться  с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,              — полная фаза колебаний, r  — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

 Механические колебания .   Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе. 

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное  сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях. 

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

     Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Многофункциональная тригонометрия

  • Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

  • К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

  • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

  • Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

  • Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

  • Основной земной ритм – суточный.

  • Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

  • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

  • Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

        Связь биоритмов с тригонометрией

  •        Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.  Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза   

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте  птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

  • Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

  • Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

  • диатоническая гамма  2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

  • Детская школа Гауди в Барселоне

  • Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

  • Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

  1. Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Заключение

  • Выяснили,   что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

  • Доказали, что  тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

  • Думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она  играет важную роль, будут расширяться.

videouroki.net

Тригонометрия и ее практическое применение




Математическая работа
«Тригонометрия и ее практическое применение »

Выполнила:

студентка 2 курса

группы КД-207

Суворова Елена Викторовна
Руководитель:

преподаватель математики

Орлова Галина Николаевна

2014

Содержание


Введение 3

История тригонометрии 5

Синус, косинус, тангенс, котангенс 5

Архитектура 6

Биология. Медицина 7

Определение расстояния до недоступной точки 8

Задачи 9

Заключение 11



Введение 3

История тригонометрии 5

Синус, косинус, тангенс, котангенс 5

Архитектура 6

Биология. Медицина 7

Определение расстояния до недоступной точки 8

Задачи 9

Заключение 11


Введение

Тригонометрия-одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования . Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применятся как при решение математических задач, так и в жизни.

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Цель: уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решение задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни, рассмотреть задачи с практическим содержанием.


История тригонометрии


Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( “ trigonan” – треугольник, “ metreo”- измеряю). Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом. Наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением задач астрономии ( для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т.д.) Начиная с 17 в. Тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д.



Синус, косинус, тангенс, котангенс


Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.


Архитектура


Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

Ситуация меняется , так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Биология. Медицина


Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.


Определение расстояния до недоступной точки


Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого и измеряем длины сторон А1В1 и АС1 этого треугольника. Так как треугольник АВС пропорционален треугольнику А1В1С1, то По известным расстояниям АС, А1С1 и А1В1 находим расстояние АВ. Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы А1С1:АС=1:1000. Например, если АС=130м, то расстояние А1С1 возьмём равным 130 мм. В этом случае

поэтому, измерив расстояние А1В1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах. ПРИМЕР. Пусть Строим треугольник А1В1С1 так, чтобы Измеряем отрезок А1В1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.


Задачи


Задача №1

Катер пересекает реку. Скорость течения v1, скорость катера относительно воды v2. Под каким углом α к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время; по кратчайшему пути?

Дано:

v1


v2

Решение:


Катер пересечет реку за минимальное время по кратчайшему пути, если его скорость относительно берегов будет перпендикулярна берегу. Из рисунка видно, что

Ответ:

Задача №2

Как изменяется длина вашей тени, если вы идете по направлению к фонарному столбу?

Ответ: тень уменьшается

Задача № 3

Вычислить высоту вертикального предмета, основание которого недоступно

Решение. Допустим, что можно выбрать горизонтальный базис AВ = b, из концов которого видна вершина S измеряемой высоты. Пусть h — высота угломерного инструмента. Измерив углы α и β треугольника Sнайдём (по теореме синусов):

, откуда

и, наконец ,


Заключение


В ходе исследования выяснено, что изучать тригонометрию интересно и полезно, так как тригонометрия в жизни нам встречается часто.

Решение задач на вычисление способствует развитию конструктивного мышления, аналитического и логического мышления - что необходимо в современной жизни.

Установлено, что систематическая работа по формированию навыков решения задач по геометрии с применением тригонометрии способствует развитию общего интеллектуального развития учащихся, их творческих способностей, потенциала школьника, умению разбираться в создавшейся ситуации, делать нужные умозаключен, при этом главная цель - не получение результата решения задачи, а само решение задачи, как совокупность логических шагов, приводящих к получению ответа. Очень важно научиться использовать оптимальные методы решения задач, среди которых тригонометрический метод является наиболее простейшим.

Цель достигнута: Научилась доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решение задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, узнала, где данные теоремы применяются в жизни, рассмотрела задачи с практическим содержанием.

docs.likenul.com

Зачем нужна тригонометрия — Где в реальной жизни используется тригонометрия? — 22 ответа



Trigonometry

В разделе Естественные науки на вопрос Где в реальной жизни используется тригонометрия? заданный автором Европейский лучший ответ это Вся "классическая" геодезия на тригонометрии сидит и тригонометрией погоняет. Поскольку фактически геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники.
А вот что на эту тему думает Вики, она дама сурьезныя.. .
====
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию) , фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография) , сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
==========
Вики в данной статье не рассказывает про быстрое преобразование Фурье, алгоритмы сжатия и еще кое-какие аспектыИсточник:

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Где в реальной жизни используется тригонометрия?

Ответ от юрий денисеня[гуру]
Если ты в реальной своей жизни собираешся стать дворником, то оно тебе нафиг не нужно, а если ты планируешь к примеру стать инженером, то поверь - пожалеешь, что не доучил!

Ответ от Арчи Гудвин[гуру]
в строительстве

Ответ от тракторостроение[гуру]
Нам препод буквально вчера про нее родимую говорил, что не вспомним мы про нее до тех пор, пока наши дети тригонометрию не начнут изучать

Ответ от философский[гуру]
Конечно напрасно. Ее (тригонометрию) нужно
преподавать только в специальных секциях,
вроде тайных сообществ. Куда можно вступить
только с рекомендацией от членов такого
общества, или же решив несколько сложных
кубических уравнений. А в школе преподавать,
это баловство одно... Тот кто любит тригонометрию,
тот больше преподавателя знает, а тот который
считает что она (тригонометрия) ,
в жизни не нужна будет, с тем и мучаться
бесполезно, все равно либо в артисты, либо в депутаты,
либо в дворники пойдет.

Ответ от ERDETREU[гуру]
Тригонометрия нужна не т олько для измерения углов. Тригонометрические функции просто часто попадаются, даже там, где о геометрии и речи нет. Хотя мне, например, ни фига не нужны. Но, в конце концов, это же так просто...

Ответ от RS-232[гуру]
Везде, где есть техника.

Ответ от Лидия Гармашова[новичек]
В астрономии, медицине геодезии, строительстве. ВЕЗДЕ


Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Тригонометрия на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Тригонометрия

Эвджен Фахрие на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Эвджен Фахрие

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Зачем нужна алгебра, тригонометрия и т.д?

Фу какая ерунда! Если я балет не понимаю, то значит балет это фигня? ? Или не читаю книжки про любовь, значит книжки фигня? ? Если Вам не подуше математика, что ж тут такого. Математика в этом не виновата. А виновата система обучения, которая заваливает Ваши головушки нужной и ненужной инфой. Не, математика это очень интересно, поверьте, хотя без проводника, там и заблудиться можно.

Тебе - не нужна. Не забивай свою светлую головку. :))) Денежку считать научили. Буковки разбирать тоже. и слава Богу. :))) Всё остальное - ересь :))))

Система образования в ССССР и в последующем в России, считается одной из самых мощных в мире. А предметы, которые Вы назвали развивают в подростке логическое и абстрактное мышление, дабы не только как обученные обезьянки галочки в тестах по ЕГЭ ставили, а могли анализировать ситуации, принимать интуитивно правильные решения. Алгебра, геометрия, физика, информатика - это те предметы, которые и развивают эти способности.

а ты мобильником пользуешься, телевизор смотришь и вообще электричеством пользуешься? А машины, а самолеты и всего не перечислишь. Так тригонометрия и алгебра -эта нечальная ступенечка того математического аппарата, который сегодня необходим. А если не хочешь выглядеть дремучей и закончить школу, не заморачивайся зачем в программе это все есть. Там еще мало, просто за десять лет всего не изучишь.

Да да да!! ! я с тобой полностью согласна)) ) Она на фиг не нужна! Сколько не учи формулы они все равно забываются! главное научились считать и хватит! Так что она на фиг не нужна)))))

Я тоже не понимаю! Дали нам первоначальный курс математики: плюс минус и деление умножение! Этого в жизни хватает. Что в магазине ценники с квадратными корнями? Или цены в интернете как уравнения? НЕТ! Это вообще не понятная хрень где надо буквы с цифрами равнять! Расстраивает и то - что надо еще это фигню на ЕГЭ и ОГЭ сдавать... Если кто нибудь объяснит мне зачем она нужна и с чем её едят, я может быть начну её понимать...

для работников в магазине и низкоквалифицированным кассирам алгебра конечно не нужна, там можно и обыкновенной математикой обойтись, но вы обратите внимание на статистику - многие ученые и просто богатые люди, которые добились своих богатств сами, в свое время делали акцент именно на алгебре, ведь только она помогает разрешить многие жизненные трудности. а человек который дружит с ней и уделяет ей много времени высоко ценится при устройстве на работу, не важно куда, пусть даже ты устраиваешься на работу связанную с гуманитарными науками. грамотный работодатель четко понимает, что такие люди владеют невероятной усидчивостью, всегда доводят начатое да конца и всегда успевают в сроки, да и плюс к этому обладают хорошо развитой логикой.

Как говорила наша учительница: "Если незнаете алгебру, то фиг вы поймёте: физику, химию, геометрию!! " В физике, алгебре, геометрии конечно же немножко легче, чем в алгебре. В физике интересные явления, законы и т. д.; в химии там какие-то растворы, смешание этих растворов, реакции, короче их не так нудно учить как алгебру. НО!! законы, растворы, явления, реакции и т. д. -это всего лишь цветочки!!! Дальше пойдут ягодки-решение задач, лабораторки! И вот эти ягодки связаны чёрт возьми с этой нудной алгеброй! Казалось бы :"Да ну нафиг эту алгебру, онаж в жизни не пригодится! Стану архитектором!! Нукась какие там предметы надо учить, чтоб стать архитектором?? Тааакс посмотрим: физика, черчение, БАЦ АЛГЕБРЯ ЁПРСТ

education.ques.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *