Уравнения на умножение
Разделы: Начальная школа
Основные цели.
1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.
2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.
Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.
Ход урока
1 этап. Мотивация к учебной деятельности
Цели:
1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,
2) определить содержательные рамки урока .
Организация учебного процесса на этапе 1:
— Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)
— В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)
— Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)
Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)
(Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)
А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)
Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.
2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии
Цели:
1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;
2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;
4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.
Организация учебного процесса на этапе 2:
1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.
С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)
— Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)
— Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)
Появляется формула площади.
— Найдите площадь.
Учащиеся выполняют задание.
— Чему равна площадь? (18 кв. м)
— Кто получил другой ответ?
— В чем ваша ошибка?
— Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)
— Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.
— Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)
— Запишем решение обратной задачи.
Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18 :3=6(м) – длина
— Теперь составьте другую обратную задачу.
Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина
У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).
2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.
— Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)
— Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)
— Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)
| Эталон a+x=b x=b-a |
Х+5 =7 Х= |
Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.
У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (- и +).
— Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)
— Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)
Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:
— Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)
— С каким действием? (С умножением)
— А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)
Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)
— Кто не выполнил задание?
Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)
— Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?
Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием
— Обоснуйте свое мнение.
Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)
У вас возникло… (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.
— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)
— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)
3 этап. Выявление места и причины затруднения
Цели:
1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;
2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.
Организация учебного процесса на этапе 3:
— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)
— Ка
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Карточка по математике 2 класс по темам «Уравнения», «Умножение и деление»
Ф.И._____________________
1.Запиши выражения и вычисли.
а) Первый множитель 3, второй – 9б) Произведение чисел 2 и 5
в) По 3 взяли 5 раз
г) 8 увеличь на 2
д) 8 увеличить в 2 раза
е) Разность чисел 48 и 12ё) Делимое 10, делитель — 6
ж) Число 74 увеличить на 7
з) Сумма чисел 26 и 13
и) Частное чисел 2 и 6
к) Число 98 уменьшить на 6
л) На сколько число 52 больше числа 27?
2.Реши уравнения. х-35=2983+y=97
x+26=62
43-y=18
3. Отрезок, длина которого равна 8 см, уменьши на 4 см. Начерти полученный отрезок.
4. Отрезок, длина которого равна 8 см, уменьши в 4 раза. Начерти полученный отрезок. 5. Отрезок, длина которого равна 6 см, увеличь на 2 см. Начерти полученный отрезок. 6. Отрезок, длина которого равна 6 см, увеличь в 2 раза. Начерти полученный отрезок.7.Сравни величины.
1дм 5см…15дм6м 1см…61см
4см 3мм…43мм
2м 2см…21дм
7дм 3мм…75мм
5дм 2см…3м
5см 7мм…47см
8.Вставь знаки < > =
9 × 2 …2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 3 × 9 + 9 … 9 × 4 8×8 … 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
7 × 2 … 2 + 2 + 2 + 2 7 × 6 … 7 × 3 + 7 + 7 + 7 9×2 + 9 + 9 + 9 … 9 + 9 + 9 + 9
9.Реши задачи.
Почтальону надо было разнести 46 писем. В первый дом он отнёс 7 писем, во второй – 9 писем. Сколько писем осталось разнести почтальону?
Бабушка принесла с огорода 14 огурцов и 6 помидоров. Для салата взяли 5 огурцов. Сколько овощей осталось?
Сестра и брат копали картошку на даче. В первый день они накопали 6 ведёр, во второй – 7 вёдер, а в третий столько, сколько в первый и во второй вместе. Сколько вёдер картошки они накопали в третий день?
Для составления букета принесли 5 роз, 6 гвоздик, а астр на 3 больше, чем роз. Сколько всего цветов принесли?
В посёлке 70 одноэтажных и двухэтажных домов. Сколько в посёлке одноэтажных домов, если двухэтажных – 13? 1.Запиши выражения и вычисли. а) Первый множитель 3, второй – 9б) Произведение чисел 2 и 5
в) По 3 взяли 5 раз
г) 8 увеличь на 2
д) 8 увеличить в 2 раза
е) Разность чисел 48 и 12
ё) Делимое 10, делитель — 6
ж) Число 74 увеличить на 7
з) Сумма чисел 26 и 13
и) Частное чисел 2 и 6
к) Число 98 уменьшить на 6
л) На сколько число 52 больше числа 27?
2.Реши задачи.
В дупле у белки было 13 орехов и 7 грибов. 8 орехов она съела. Сколько припасов осталось?
Коля читал книгу. В первый день он прочитал 5 страниц, во второй — 8 страниц, а в третий столько, сколько в первый и во второй день вместе. Сколько страниц прочитал Коля в третий день?
У Маши 35 открыток. Она подарила 7 открыток Кате и 8 открыток Тане. Сколько открыток осталось у Маши?
На участке посадили 60 фруктовых деревьев. Сколько посадили яблонь, если груш – 17?
На ёлку повесили 7 жёлтых шаров, 6 синих, а блестящих – на 2 шара больше, чем жёлтых. Сколько всего шаров повесили на ёлку?
3. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши на 2 см. Начерти полученный отрезок.
4. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши в 2 раза. Начерти полученный отрезок.
5. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь на 2 см. Начерти полученный отрезок.
6. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь в 2 раза. Начерти полученный отрезок.
1.Запиши выражения и вычисли.
а) Первый множитель 3, второй – 9б) Произведение чисел 2 и 5
в) По 3 взяли 5 раз
г) 8 увеличь на 2
д) 8 увеличить в 2 раза
е) Разность чисел 48 и 12
ё) Делимое 10, делитель — 6
ж) Число 74 увеличить на 7
з) Сумма чисел 26 и 13
и) Частное чисел 2 и 6
к) Число 98 уменьшить на 6
л) На сколько число 52 больше числа 27?
2.Реши задачи.
В дупле у белки было 13 орехов и 7 грибов. 8 орехов она съела. Сколько припасов осталось?
Коля читал книгу. В первый день он прочитал 5 страниц, во второй — 8 страниц, а в третий столько, сколько в первый и во второй день вместе. Сколько страниц прочитал Коля в третий день?
У Маши 35 открыток. Она подарила 7 открыток Кате и 8 открыток Тане. Сколько открыток осталось у Маши?
На участке посадили 60 фруктовых деревьев. Сколько посадили яблонь, если груш – 17?
На ёлку повесили 7 жёлтых шаров, 6 синих, а блестящих – на 2 шара больше, чем жёлтых. Сколько всего шаров повесили на ёлку?
3. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши на 2 см. Начерти полученный отрезок.
4. Отрезок, длина которого равна 10 см, уменьши в 2 раза. Начерти полученный отрезок.
5. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь на 2 см. Начерти полученный отрезок.
6. Отрезок, длина которого равна 4 см, увеличь в 2 раза. Начерти полученный отрезок.
infourok.ru
Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»
Разделы: Математика
Форма урока: объяснение нового материала.
Цели урока:
- Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
- Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
- Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся, интерес к математике.
Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.
Этапы урока |
Время (мин) | Слайды |
| Организационный момент. | 2 | Слайд 1 |
| Устная работа и повторение ранее изученного | 8 | Слайды 2, 3, 4, 5,6 |
| Формирование новых знаний и умений | 10 | Слайды 7, 8 |
| Физкультминутка | 2 | Слайды 9, 10 |
| Закрепление нового материала | 5 | Слайд 11 |
| Проверка знаний (с/р) | 10 | Слайд 12 |
| Постановка домашнего задания | 1 | Слайд 13 |
| Подведение итогов урока | 2 |
ХОД УРОКА
I. Организационный этап
– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по
теме «Деление дробей в уравнених». Откройте
тетради, запишите число, классная работа и тему
урока.
Целью нашего урока является закрепление и
проверка умений умножать и делить обыкновенные
дроби, а также повторить навыки решения задач и
уравнений.
II. Устный опрос учащихся
Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать
1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)
2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)
3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)
– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.
4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)
– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
III. Формирование новых знаний и умений
– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)
– Чтобы решить уравнение необходимо
определить какой компонент в уравнении является
неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель,
что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо
произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление.
Выполним проверку и запишем ответ.
– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.
№ 597 (Приложение 1, слайд 7)
– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день?
(неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день?
(неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.
– 14 км лыжник прошел во второй день
26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.
№ 598 (Приложение 1, слайд 8)
– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.
200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок
IV. Физкультминутка
– Встаем и выполняем несколько упражнений.
А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.
V. Закрепление нового материала
№ 594
– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?
28 грибов собрал Митя
64 – 28 = 36 грибов собрал Коля
VI. «Математический выбор»
Уравнения, оцениваемые в 3 балла: Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:
1) 1)
2) 2)
3) 3)
4)
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Этапы урока | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
I.Мотивационно-целевой этап 12 мин. | ||
1.Мотивация к учебной деятельности | Ребята, сегодня у нас на уроке гости. Как поступают воспитанные люди? Давайте и мы поприветствуем наших гостей. -Мы начинаем урок математики. Ребята, повернитесь друг к другу, возьмитесь за руки и пожелайте удачи. Мы работаем под девизом: «У нас всё получится!» | Дети приветствуют гостей урока. Дети берутся за руки с соседом и желают удачи |
2.Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии | Найдите лишнее равенство. 30 + х = 54 48 – 25 = 23 Х ● 5 = 40 36 : х = 9 -Докажите. — Что такое уравнение. Вставьте пропущенные слова Уравнение – это ___________, в котором есть ______________ число. -Сегодня на уроке мы будем решать уравнения. — Прежде чем приступить к новой теме, что мы должны сначала сделать? (вспомнить, что мы знали ранее). 1) Найти неизвестную величину (на доске). х 5 см 6 дм 14м² 2м 15 см² х х 2дм -Что неизвестно? Как найти сторону прямоугольника. -Что неизвестно? Как найти площадь? -Покажите, чему равна сторона, площадь? (7, 3, 12) 2) Решите уравнения на сложение и вычитание, отметив в них части и целое (на листочках и на доске под прямоугольниками) Х + 2=14 15 — х = 5 х — 6 = 2 Х=14 – 2 х = 15 – 5 х =6+2 Х= 12 х = 10 х = 8 -Какую закономерность увидели? Продолжите на 3 числа. (Ответы проверяют по образцу) — С помощью каких правил вы решали уравнения на сложение и вычитание? -Оценим результат при помощи сигнальных карточек (+ и ?). | 48-25=23 – пример, а все остальные равенства – уравнения. Называют пропущенные слова (равенство, неизвестное) Сторона. Чтобы найти сторону прямоугольника, можно площадь разделить на другую сторону. Площадь. Чтобы найти площадь прямоугольника, можно стороны перемножить. У детей на столах цифровой веер. Ответы показывают с помощью веера. Находят неизвестную часть и целое. 12, 10, 8 (6, 4,2) Правила о нахождении целого и части. Оценивают результат при помощи сигнальных карточек. |
3.Побуждение познавательного интереса к новой теме (проблемная ситуация) 3.Выявление причины затруднения. | 3)Решите ещё уравнения. (записываю уравнения между прямоугольниками и уравнениями на сложение и вычитание) Х ● 2 = 14 15 : х = 5 х : 6 = 2 (Дети решают уравнения на листочках самостоятельно в течении 2-3 минут ) — Поднимите руку те, у кого нет ответов. -Какое у вас затруднение? -У кого есть ответы? Какие получились у вас ответы? Как вы это нашли? -Можете ли вы обосновать, что ваше решение уравнений правильное? Вы молодцы, поняли в чём заключается ваша трудность. -Какой следующий шаг? -Чем похожи и чем отличаются новые уравнения от тех, которые уже решали? -Мы изучали такие уравнения? -Почему же возникло затруднение? -Сформулируйте тему урока . | Высказывают причину сложности решения данных уравнений, формулируют затруднение: « Мы не смогли решить эти уравнения (или уравнения со знаками «:» и «●».) Дети показывают на веерах ответы к уравнениям. Подбором и т.д. Формулируют своё затруднение: « Мы не можем обосновать, что правильно решили данные уравнения» Необходимо выяснить, почему эта трудность возникла, определить причину затруднения. Одинаковые числа, но в новых уравнениях вместо сложения и вычитания действия умножения и деления. Нет. Формулируют проблему: « Мы не знаем, как решать уравнения со знаками «:» и «●». Уравнения на умножение и деление. |
4.Формулирование цели урока | -Сформулируйте цель урока. | Формулируют цель своей деятельности: «Узнать, как решать уравнения с действиями умножения и деления» |
II. Ориентировочный этап 3 мин | ||
1.Организация планирования | Какой следующий шаг нашего урока? -Составим план и запишем его на доске: План: 1.Изучить с помощью учебника, как решать уравнения с действиями умножения и деления. 2.Составить алгоритм решения уравнений. 3.Потренироваться в решении таких уравнений. 4.Выполнить самостоятельную работу и сравнить свой результат с образцом. | «Составление плана». Называют предполагаемую последовательность действий по решению проблемы, проговаривая вслух. |
III. Поисково-исследовательский этап 10 мин. | ||
1.Организация осмысленного восприятия информации | -Предлагаю обратиться к нашему помощнику – учебнику, при помощи которого вы самостоятельно изучите, как решать уравнения с действиями умножения и деления, а затем в парах попробуете решить уравнения. -Откроем учебник – урок 40 с.95 Всё ли вам было понятно? Какая тема вам поможет в решении уравнений? — У вас на партах на листочках (1 листок на двоих) записаны уравнения. Х ● 2 = 14 15 : х = 5 х : 6 = 2 Х= Х= Х= Х= Х= Х= -Какие ответы получили? Кто расскажет, как решали данные уравнения? — Какие шаги вы выполняли? (Составление алгоритма, шаги записаны в хаотичном порядке). Записываю: 1.Найти компоненты, соответствующие сторонам и площади прямоугольника 1.2.Если неизвестна сторона, то Применить правило: чтобы найти сторону, надо площадь разделить на другую сторону. 1.3. Если неизвестна площадь, то Применить правило: чтобы найти площадь, надо стороны перемножить. -Для более упрощенного способа предлагаю следующие эталоны. | Читают учебник, проводят наблюдения, анализируют факты. Нахождение площади и сторон прямоугольника. Представители нескольких пар сообщают результаты поиска, один защищает своё решение у доски Дети располагают шаги алгоритма в нужной последовательности на доске |
Физкультминутка 2 мин. | ||
IV. Практический этап 14 мин. | ||
1.Обеспечение осмысленного усвоения и закрепления знаний 7.Самостоятельная работа с самопроверкой. 8.Включение в систему знаний. | Какой следующий шаг урока? -№4 решение у доски с проговариванием вслух 1)учитель 2,3) ученики у доски -№6 (1,2)(устно) на местах – работа в парах. -Проверим, проговаривая (Образец) Чья пара справилась? -Готовы работать самостоятельно? Следующий шаг. Ещё раз проговорим алгоритм решения уравнений на деление и умножение. -Рабочая тетрадь – урок 40 №4. -Проверим ответы по образцу. -Поднимите руку, у кого были ошибки в работе? Какие? -О чём говорят ваши ошибки? -Оценим свои результаты при помощи сигнальных карточек. -№7.Блиц-турнир Разбор задач (помощь — опорные схемы на нахождение целого и части) а) предлагаю несколько вариантов решения 1) a-b 2) а + b 3) (а-b) +а 4) а + (а-b) -Вы должны выбрать и обосновать правильное решение. б) коллективно, в, г) по уровням обучения самостоятельно (Решение каждой задачи обсуждается фронтально. При проверке используются заполненные схемы к задачам) -Оценим свои результаты при помощи сигнальных карточек | «Тренировка в решении уравнений» Решают уравнения В тетрадях у детей уже записаны уравнения с прямоугольником. 21 : х = 3 х: 8 = 3 х ● 2 = 16 Х= Х= Х= Х= Х= Х= «Самостоятельная работа» Решают самостоятельно, проверяют по образцу на доске. Оценивают результат при помощи сигнальных карточек. Подходят 3 и 4 выражения, так как для ответа на вопрос задачи надо объединить всех рыбок. В 1 аквариуме их а, а во 2 – на b меньше, то есть а – b.Значит, всего в двух аквариумах (а-b) +а или а + (а-b) рыбок (от перестановки слагаемых сумма не изменяется) в, г) Сильные ученики — решают без помощи схем Средние – решают задачи, дополняя схемы Слабые – решают задачи, используя заполненную схему Дети отмечают у себя в тетради, какие задачи решены ими верно, исправляют допущенные ошибки. a ? b с ? (m + n) – a d — b – с или d — ( b + с) Оценивают результат при помощи сигнальных карточек. |
V. Рефлексивно-оценочный этап 4 мин. | ||
1.Беседа по вопросам рефлексивного характера | Наш урок подходит к концу. -Какая тема урока была сегодня? -Какую цель вы ставили на уроке? -Как вы считаете, вы достигли поставленной цели? Почему вы считаете, что добились поставленной цели? -С помощью чего зафиксирован результат урока? -Какое важное открытие вы сделали сегодня на уроке? | Анализируют свою работу на уроке, определяют границу между знанием и незнанием, отвечают на вопросы Уравнения на умножение и деление. Узнать, как решать уравнения на умножение и деление. Да. С помощью эталона. Мы узнали как решать уравнения с действиями деления и умножения. |
2.Самооценка результатов | -Оценим свою работу на уроке при помощи «Лесенки успеха» 4 ступень-все понял(а), могу рассказать, нет ошибок 3 ступень — понял(а), 1 ошибка 2 ступень – понял(а), есть вопросы, есть ошибки 1 ступень – не понял(а), есть ошибки | Осуществляют процедуры самооценки собственной учебной деятельности |
3.Домашнее задание | Запишем домашнее задание: урок 40 №5, №7 дорешать, № 13*,14* (по желанию) | Записывают домашнее задание. |
m+n d
infourok.ru
Решение уравнений. Умножение и деление обыкновенных дробей
Разделы: Математика
Цели урока:
- закрепление практических умений и навыков умножения и деления обыкновенных дробей;
- развитие познавательного интереса к этим действиям, решению задач с помощью уравнений;
- расширение знаний об истории родного города Благовещенска.
Наш город Благовещенск – административный и промышленно-культурный центр нашей Амурской области. И сегодня, закрепляя умения и навыки по умножению и делению обыкновенных дробей, решая задачи с помощью уравнений, мы перелистнем несколько страниц из истории нашего родного города.
I. Поработаем устно.
Задание №1.
Выполнив умножение, расположите ответы в порядке записи заданий, узнайте год, когда был основан Усть-Зейский пост (первоначальное название города Благовещенска)
а) ; б) от 6; в) от 30; г) от 48. (1856 год)
Задание №2.
Выполнив деление и расположив так же ответы по порядку, узнаем, когда была построена Триумфальная арка
а) ; б) ; в) ; г) . (1861 год)
Триумфальная арка была построена в 1861 году в честь приезда президента в город цесаревича Николая Александровича,будущего императора Николая II.
Задание №3.
Город развивается, растёт. Его посещают многие известные люди. Разгадав кроссворд, ответьте, кто из известных писателей посетил Благовещенск.
- Как называется число, записанное в обыкновенной дроби над чертой? (Числитель)
- Действие, с помощью которого находится число по его дроби?
- Фигура, состоящая из 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и последовательно соединяющих их отрезков? (Четырехугольник)
- Действие, с помощью которого находится дробь от числа? (Умножение)
- Как называется дробь, у которой числитель больше знаменателя? (Неправильная)
В своём путешествии на Сахалин А.П. Чехов остановился в Благовещенске в 1890 году и оставил в своём дневнике следующие записи: “…чрезвычайно интересный край, жизнь здесь кипит такая, о какой в Европе и понятия не имеют”.
II. Решение задач.
1) В настоящее время Благовещенск– крупный промышленный центр. Здесь располагается 5000 различных предприятий.0,13 этих предприятий занимаются выпуском промышленной продукции. 12% этих предприятий занимаются строительством. А 50% оставшихся предприятий занимаются торговлей. Сколько предприятий занимаются торговлей?
Решение:
1) 5000 • 0,13 = 650 (п.) – промышленные;
2) 5000 • 0,12 = 600 (п.) – занимаются строительством;
3) 5000 – ( 650 + 600 ) = 3750 (п.) – осталось;
4) 3750 • 0,5 = 1875 (п.) – занимаются торговлей.
Ответ: 1875п.
2) Возрождаются в нашем городе и детские организации. Две недели назад, в воскресенье 12 декабря, мы с вами принимали участие в празднике, посвященном 4 годовщине организации “Юный россиянин”. А давайте узнаем, сколько в нашей гимназии всего шестиклассников, если в организации “Юный россиянин” составляет 84 человека, что составляет всех ребят?
Решение: = 84
= 84 = • = 112
112 учащихся всего шестиклассников
Ответ: 112 учащихся.
3) Много хорошего можно говорить о нашем прекрасном городе. А чем необычен наш город, как областной центр?
А необычен он тем, что единственный из областных центров России расположен на государственной границе. Много стихов и песен посвящено нашему городу. А сейчас внимание – задание. Каждой строчке стихотворения соответствует пример. Вычислите эти примеры. И расположив ответы в порядке возрастания, вы получите стихотворение.( Класс разбивается на 4 группы, каждой группе по 2 задания).
В суровом, свободном и диком краю,
На Дальневосточной Российской границе •
Мой город стезю пролагает свою +
Где выпало счастье мне жить и родиться •
А город, в названье помазанный Богом
Сливаются с бегом амурской волны
Там зейские волны в круженье широком
Покой охраняет родной стороны
; ; 2; ; ; 9; ; .
Это “Гимн Благовещенску”.
Авторы: Семён Манке и Семён Хмелевский.
На дальневосточной российской границе
В суровом, свободном и диком краю,
Где выпало счастье мне жить и родиться,
Мой город стезю пролагает свою
Там зейские волны в круженье широком
Сливаются с бегом амурской волны,
А город, в названье помазанный Богом,
Покой охраняет родной стороны.
5) И говоря о том, что наш город – пограничный, давайте решим задачу о лицейских классах
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Деление и умножение многочленов уголком и столбиком
Теорема
Пусть Pk(x), Qn(x) – многочлены от переменной x степеней k и n, соответственно, причем k ≥ n. Тогда многочлен Pk(x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1) Pk(x) = Sk–n(x) Qn(x) + Un–1(x),
где Sk–n(x) – многочлен степени k–n, Un–1(x) – многочлен степени не выше n–1, или нуль.
Доказательство
По определению многочлена:
;
;
;
,
где pi , qi – известные коэффициенты, si , ui – неизвестные коэффициенты.
Введем обозначение:
.
Подставим в (1) :
;
(2) .
Первый член в правой части – это многочлен степени k. Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1. Приравняем коэффициенты при x k:
pk = sk-n qn.
Отсюда sk-n = pk / qn.
Преобразуем уравнение (2):
.
Введем обозначение: .
Поскольку sk-n = pk / qn, то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому – это многочлен степени не выше k – 1, . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3) .
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена Un–1(x).
Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты si , ul. Причем sk–n ≠ 0. Лемма доказана.
Деление многочленов
Разделив обе части уравнения (1) на Qn(x), получим:
(4) .
По аналогии с десятичными числами, Sk–n(x) называется целой частью дроби или частным, Un–1(x) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.
Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.
Деление многочленов уголком
По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10. Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10. Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.
Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.
Пример деления многочленов уголком
Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.
Решение
Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2, то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):
Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.
1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .
1.2 Умножаем 2x 2 на x 2 – 3x + 5:
. Результат записываем в левый столбик:
1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:
.
Итак, мы получили промежуточный результат:
.
Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;
2.2 Умножаем на знаменатель: ;
2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: ;
Промежуточный результат:
.
Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;
Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2. Поэтому дробь – правильная.
Ответ
;
2x 2 – 4x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.
Пример 2
Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.
Решение
Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:
Здесь остаток от деления равен нулю:
.
Ответ
.
Умножение многочленов столбиком
Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.
Пример умножения многочленов столбиком
Найти произведение многочленов:
.
Решение
Умножаем многочлены столбиком.
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.
2.2 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.
2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.
3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
;
;
;
.
Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:
Ответ
.
Пример 2
Найти произведение многочленов столбиком:
.
Решение
При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.
В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.
2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.
2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.
2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.
3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru