Координаты точки и вектора — урок. Геометрия, 11 класс.
Координаты точки
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс, \(Oy\) — ось ординат, \(Oz\) — ось аппликат.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и \((Oxz)\).
Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).
Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).
Записываются так: \(A(x; y; z)\).
Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).
Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A1x;y;0.
Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A20;y;z.
Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A3x;0;z.
Координаты вектора
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i→, j→ и k→, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→.
Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.
Записываются так: OA→x;y;z.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2;
— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2;
— координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
n⋅a→n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1;
— длину вектора:
a→=x12+y12+z12;
— координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:
AxA;yA;zA, BxB;yB;zB, AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA;
— расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
AB→=AB=xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2;
— координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:
xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2.
Векторы. Решение задач. Видеоурок. Геометрия 11 Класс
На этом уроке мы вспомним основные сведения о векторах: что такое вектор, какие векторы называются коллинеарными. Также рассмотрим умножение вектора на число, правила сложения векторов, теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве. Далее с помощью векторов решим несколько задач
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
В окружающем мире мы встречаемся с такими величинами, для которых важен не только размер, но и направление. Такими величинами являются, например, сила и скорость. В математике такие величины описываются векторами.
Вектор – направленный отрезок.
Рис. 1. Вектор
Вектор (рис. 1).
Коллинеарными векторами называются такие векторы, которые лежат на параллельных прямых либо на одной прямой. (рис. 2).
Рис. 2. Коллинеарные векторы
Можно ввести такое число , при котором (рис. 3). То есть умножением вектора на какое-либо число , можно растянуть или сжать вектор.
Рис. 3. Умножение вектора на число
Если векторы коллинеарные и сонаправленные и их длины равны, то такие векторы называются равные: .
Рассмотрим сложение векторов.
1. Правило параллелограмма (рис. 4).
Рис. 4. Сложение векторов
2. Правило треугольника (рис. 5).
Рис. 5. Сложение векторов
Рассмотрим векторы на плоскости. Для этого нам необходима пара неколлинеарных векторов ().
Теорема: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. То есть существует единственная пара чисел x и y, при которой (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к теореме
Рассмотрим векторы в пространстве. Для этого необходимо выбрать три некомпланарных вектора (.
interneturok.ru
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателя
Отложим от какой-нибудь точки O векторы и (см. рис. 1). Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ — угол между векторами, обозначим его . Если же векторы и — сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. На письме угол между векторами обозначают так: .
Скалярное произведение векторов находится по формуле: .
Рис. 1. Угол между векторами
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.
Задача 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).
Рис. 2.
Найти скалярные произведения векторов:
а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны
www.kursoteka.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра
Понятие вектора
Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),
Рис.1
то мы получим вектор.
Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.
Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение (рис.2) или (рис.3).
| Рис.2 | Рис.3 |
| Рис.2 |
| Рис.3 |
Иногда для вектора используют обозначения (рис.4) или (рис.5).
| Рис.4 | Рис.5 |
| Рис.4 |
| Рис.5 |
Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.
Координаты вектора
Рассмотрим произвольный вектор и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz (рис.6).
Рис.6
Если в системе координат Oxyz точки A и B имеют координаты
| A = (a1; a2; a3) и B = (b1; b2; b3) , | (1) |
то координатами вектора называют набор чисел
| (2) |
Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».
Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.
Длина вектора
Длиной (модулем) произвольного вектора называют длину отрезка AB
Длина вектора , координаты которого имеют вид
вычисляется по формуле
| (3) |
Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».
Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид
| (4) |
и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.
В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид
.
Равенство векторов
Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора
и
являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства
a1 = tb1, a2 = tb2, a3 = tb3.
Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).
Рис.7
Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).
Рис.8
Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.
Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.
Умножение вектора на число
В результате умножения любого вектора на любое действительное число k получается такой вектор , который удовлетворяет следующим условиям:
- При k > 0 вектор сонаправлен с вектором ;
- При k < 0 вектор противоположно направлен с вектором ;
- Длина вектора равна длине вектора , умноженной на число |k|.
Если вектор имеет координаты
то вектор имеет координаты
Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.
Сложение и вычитание векторов
Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов и нужно совместить начало вектора с концом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора будет конец вектора (рис.9).
Рис.9
При этом, если
и
то
Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».
Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов и нужно воспользоваться формулой
Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.
Рис.10
При этом, если
и
то
Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат вектора вычесть координаты вектора ».
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением векторов и , которое обозначается называют число, равное произведению длин векторов и , умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).
Рис.11
Таким образом,
| (5) |
Из формулы (5) вытекает соотношение
которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».
Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты
| и | (6) |
то их скалярное произведение выражается формулой:
| (7) |
Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами и
Примеры решения задач
Пример 1. При каких значениях параметра p векторы и перпендикулярны?
Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим
Ответ: 4.
Пример 2. При каких значениях параметров α и β векторы (α; – 2; 5) и (1; β; – 4) коллинеарны?
Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:
Ответ: .
Пример 3. Длины векторов и равны 2 и 1 , соответственно, а угол между ними равен 60° . Найти длину вектора .
Решение. Рассмотрим рисунок 12.
Рис.12
Воспользовавшись теоремой косинусов, получим
Ответ: .
Пример 4. Длины векторов и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен 60°. Найти длину вектора .
Решение. Рассмотрим рисунок 13.
Рис.13
Воспользовавшись теоремой косинусов, получим
Ответ: .
Пример 5. Найти угол между векторами (3; 6; 2) и (4; 7; 4) .
Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим
Ответ: .
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Работа с векторами. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс
Работа с векторами. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс
Задачи по физике — это просто!
Элементарные задачи из курса школьной физики.
Векторы в физике
Многие физические величины зависят от направления и называются векторными, например, скорость, перемещение, ускорение.
При работе с векторами (векторными величинами) существуют специальные обозначения, которые надо запомнить:
Изображение вектора на чертеже:
Если вектор параллелен координатной оси, то модуль вектора равен модулю проекции вектора на эту ось:
Проекция вектора может быть положительной или отрицательной (в зависимости от его положения относительно оси координат):
Если вектор перпендикулярен оси, то проекция вектора на эту ось равна нулю!
Как бы ни был направлен вектор, его модуль всегда можно рассчитать по формуле:
Сложение векторов (а это часто приходится выполнять в задачах) можно производить графически двумя способами — треугольника и параллелограмма.
Расчетные формулы прямолинейного равномерного движения
Расчетные формулы для прямолинейного равномерного движения — это формулы в проекциях векторов на координатную ось.
Скорость тела:
где
Vx — проекция вектора скорости на координатную ось х
Sx — проекция вектора перемещения на ось х
t —
время, за которое совершается данное перемещение
Координата тела в любой момент времени
или после подстановки скорости:
Последнюю формулу иначе называют уравнением прямолинейного равномерного движения:
где
xo — начальная координата тела
x —
конечная координата тела через время t после начала движения
Расстояние между движущимися телами при прямолинейном равномерном движении в любой момент времени:
где
l — расстояние между телами в любой момент времени движения
x1 — конечная координата первого тела на момент определения расстояния между телами
x2 — конечная координата второго тела на момент определения расстояния между телами
class-fizika.ru
Скалярное произведение векторов
Вы уже знакомы с понятием угла между векторами в пространстве. Поэтому на этом уроке мы приступим к рассмотрению скалярного произведения векторов в пространстве.
Как и на плоскости, скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Задание: по рисунку определить величину угла между векторами.
Рассмотрим куб АBCDА1B1C1D1, сторона которого равна a, а точка О1 — центр грани А1B1C1D1.
Мы с вами выполнили задание, где нашли скалярное произведение данных пар векторов.
Можно заметить, что, если угол между векторами острый, то скалярное произведение больше нуля. А если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение меньше нуля. И только лишь когда векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, конечно, имеется в виду, что рассматриваемые векторы ненулевые.
А сейчас попробуем разобраться, как находить скалярное произведение векторов по их координатам.На плоскости скалярное произведение двух векторов равнялось сумме произведений соответствующих координат. В пространстве имеет место такая же формула.
Задание: по координатам векторов , и найти значения выражений: , , , , .
Решение:
Задание: пользуясь координатами векторов , , , выяснить, каким является угол между парами векторов: острым, прямым или тупым.
а) б) в)
Решение:
Итак, мы узнали и использовали 2 формулы скалярного произведения.
Выразив из первой формулы косинус угла между векторами, скалярное произведение можно расписать по второй формуле. А вот длины векторов запишем как корни квадратные из сумм квадратов их соответствующих координат.
Так мы получили формулу вычисления косинуса угла между векторами по их координатам.
Задание: найти угол между векторами и .
а) , , б) , , в) , , г) , , д) , .
Решение:
Стоит отметить, что для скалярного произведения векторов в пространстве справедливы те же свойства, что и для скалярного произведения на плоскости.
Скалярный квадрат вектора всегда больше либо равен нулю.
; , если
А также можно записать переместительный, распределительный и сочетательный законы скалярного произведения. Они позволят в будущем преобразовывать выражения с векторами.
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)
Итоги:
На этом уроке мы сформулировали определение скалярного произведения двух векторов в пространстве, записали формулу вычисления скалярного произведения векторов по их координатам и получили формулу вычисления косинуса угла между двумя векторами. Помимо этого, для скалярного произведения в пространстве имеют место те же свойства, что и на плоскости.
videouroki.net