Вероятность безотказной работы это – 5.1. Вероятность безотказной работы

Практическая работа 1

Практическая работа №1.

Тема: Определение показателей надёжности по статистическим данным

Цель:определить показатели надёжности и произвести расчеты на С++ партии изделий при проведении испытаний в течение заданного промежутка времени.

Теоретические сведения

Показатели безотказности.

Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что в заданном интервале времениtв изделии не возникает отказа.;;

Для определения P(t) используется следующая статическая оценка:

где

– число изделий, поставленных на испытание (эксплуатацию).

– число изделий, отказавших в течении времениt.

Вероятность отказа— это величина, обратная вероятности безотказной работы

Зависимость вероятности безотказной работы от времени

Вероятность бессбойной работы – это вероятность того, что в заданном интервале временибудет отсутствовать сбой в изделии. График зависимости от времени такой же, как и для вероятности безотказной работы

; где —функция распределения сбоев в течение времени

.

Для определения стабильности оценки мы имеем формулу:

где – число изделий поступивших на эксплуатацию.

– число изделий, в которых произошел сбой в течение времениt.

Интенсивность отказа – это условная плотность вероятности возникновения отказа не восстанавливаемого объекта, определенного рассмотренного момента времени, при условии, что до этого момента отказ не возник.

Для определенно

используется следующая статистическая оценка:

где– число отказавших изделий в интервал времени.

– среднее число исправных изделий в интервал времени.

.

— зависимость между интенсивностью отказа и вероятностью безотказной работы

Вероятность безотказной работы в интервале времени

Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) Т– это математическое ожидание наработки до первого отказа определяется так:

Частота отказов или плотность распределения отказовравна отношению числа отказавших объектов в интервале временик произведению числа исправных объектов в начальный момент времени на ширину интервала времени:

Постановка задачи.

Проводится испытание объектов на надёжность. Испытываемая партия шт. Требуется определить частоту отказов на интервале времени

часов, если за этот период отказалообъектов. При этом известно, что в течение первыхчасов отказалообъектов. Определить вероятность безотказной работы на интервале времени,; интенсивность отказов в моменты времении; среднее время наработки на отказ, учитывая интенсивность отказов в момент времени .

Варианты к выполнению заданий.

№ варианта	, шт	, часов	, шт	, шт	, часов
1	1000	5000	300	100	50
2	1500	6000	270	110	60
3	2000	7000	260	120	70
4	2500	8000	250	130	80
5	3000	9000	240	140	90
6	3500	11000	230	150	100
7	4000	5000	220	160	110
8	4500	6000	210	170	120
9	5000	7000	200	90	130
10	6000	8000	350	80	140
11	1000	9000	370	70	150
12	1500	10000	390	60	160
13	2000	5000	400	50	170
14	2500	6000	500	40	180
15	3000	7000	450	30	190
16	3500	8000	300	150	200
17	4000	9000	270	160	190
18	4500	10000	260	170	180
19	5000	5000	250	180	170
20	6000	6000	240	200	160
21	1000	7000	230	100	150
22	1500	8000	220	110	140
23	2000	9000	210	120	130
24	2500	10000	200	130	120
25	3000	5000	350	140	110
26	3500	6000	370	150	100
27	4000	7000	390	160	90
28	4500	8000	400	170	80
29	5000	9000	500	90	70
30	6000	10000	450	80	60

Пример выполнения задания.

Проводится испытание объектов на надёжность. Испытываемая партия шт. Требуется определить частоту отказов на интервале временичасов, если за этот период отказалообъектов. При этом известно, что в течение первыхчасов отказалообъектов. Определить вероятность безотказной работы на интервале времени,; интенсивность отказов в моменты времении; среднее время наработки на отказ, учитывая интенсивность отказов в момент времени.

, шт	, часов	, шт	, шт	, часов
3000	2000	300	150	400

Решение.

1. Определяем частоту отказов

2. Определяем вероятность безотказной работы за период времени t:

3. Определяем вероятность безотказной работы на интервале времени t+Δt:

4. Определяем вероятность безотказной работы на промежутке времени Δt:

5. Определяем интенсивность отказов на интервале времени t+ Δt:или

6. Определяем интенсивность отказов на интервале времени t:

Определяем среднее время наработки на отказ:

Порядок выполнения работы

1. Запускаем программу С++.

2. Создаем новый файл File→New…(<Ctrl>+<N>)

3. В диалоговом окне «New» на вкладкеFilesвыбираемC++SourceFile, задаем имя файлу и его расположение.

4. Пишем код программы для расчета вычислений: Подключаем необходимые заголовочные файлы 1. #include «iostream.h» Пишем главную функцию программы 2. int main() 3. { Объявляем переменные, которые нам даны по заданию 4. int N=3000; 5. int t=2000; 6. int n1=300; 7. int n2=150; 8. int delta_t=400; Объявляем переменные, которые нам понадобятся для расчетов и присваиваем им начальные нулевые значения 9. double f_t=0, 10. P_t=0, 11. P_delta_t=0, 12. lyamb_delta_t=0, 13. lyamb_t=0, 14. T_M=0; Зная формулу вычисления частоты отказов, запрограммируем расчеты 15. код вычисления частоты отказов Зная формулу вычисления вероятности безотказной работы за период времени , запрограммируем расчеты16. код вычисления вероятности безотказной работы времени t Зная формулу вычисления вероятности безотказной работы на интервале времени , запрограммируем расчеты17. код вычисления вероятности безотказной работы на интервале времени Определяем вероятность безотказной работы на промежутке времени, зная формулу расчета18. код вычисления вероятности безотказной работы на промежутке времени Определяем интенсивность отказов на интервале времени, зная формулу вычисления. Интенсивность отказов на интервале времениможно найти по одной из двух формул. Рассчитаем, используя оба способа:I-й способ — или II-й способ — 19. код вычисления интенсивность отказов на интервале времени (I-й способ) 20. код вычисления интенсивность отказов на интервале времени (II-й способ) Запрограммируем расчеты интенсивности отказов на интервале времени t, зная, что интенсивность отказов на интервале времени t рассчитывается по формуле: 21. код вычисления интенсивность отказов на интервале времени Рассчитываем среднее время наработки на отказ, используя в формуле интенсивности отказов на интервале времени t, полученные двумя способам — 22. код вычисления среднего времени наработки на отказ (I-й способ) 23. код вычисления среднего времени наработки на отказ (II-й способ) 24. выводим на экран результаты расчетов Функция main() возвращает целочисленное значение: 25. return 0; 26. }

5. Откомпилируйте проект, исправьте все ошибки и предупреждения.

6. Создайте исполнительный файл, с возможностью ввода и вывода данных и вывода ответов с различными способами расчетов интенсивности отказов на интервале времени .

Содержание отчета

1. Содержание отчета должно быть оформлено в тетради.

2. Тема и цель работы.

1. Задание и данные, представленные в табличном виде.

2. Расчет показателей надежности.

3. Расчет показателей надежности с вычислениями на компьютере.

4. Сравнить данные, полученные вручную с данными, получившимися в результате расчетов на компьютере.

5. Провести анализ: как изменяется результат среднего времени наработки на отказ при различных способах вычисления интенсивности отказов на интервале времени .

studfiles.net

4.Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы объекта называется вероятность того, что он будет сохранять свои параметры в заданных пределах в течение определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации.

В дальнейшем полагаем, что эксплуатация объекта происходит непрерывно, продолжительность эксплуатации объекта выражена в единицах времени t и эксплуатация начата в момент времени t=0.

Обозначим P(t) вероятность безотказной работы объекта на отрезке времени [0,t]. Вероятность, рассматриваемую как функцию верхней границы отрезка времени, называют также функцией надежности.

Вероятностная оценка: P(t) = 1 – Q(t), где Q(t) — вероятность отказа.

Рисунок 2. Типичная кривая вероятности безотказной работы

Из графика очевидно, что:

1. P(t) – невозрастающая функция времени;

2. 0 ≤ P(t) ≤ 1;

3. P(0)=1; P(∞)=0.

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы объекта или вероятность отказа:

Q(t) = 1 – P(t).

Статистическая характеристика вероятности отказов: Q*(t) = n(t)/N.

5.Плотность вероятности отказа

Плотность вероятности отказа — отношение числа отказавших аппаратов в единицу времени к числу аппаратов, первоначально установленных на испытание, при условии, что отказавшие аппараты не восстанавливаются и не заменяются новыми.

a*(t) = n(t)/(NΔt),

где a*(t) — частота отказов;

n(t) – число отказавших объектов в интервале времени от t – t/2 до t+ t/2;

Δt – интервал времени;

N – число объектов, участвующих в испытании.

Между плотностью вероятности отказа, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени отказов существует однозначная зависимость:

Q(t) = ∫ a(t)dt.

6.Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа — математическое ожидание наработки объекта до первого отказа.

Часто этот показатель называют средним временем безотказной работы и обозначают Т₀.

Определяется по двум формулам:

Для наиболее часто используемого экспоненциального распределения

tсредн. = a , а экспоненциальное распределение принимает вид:

7. Гамма-процентная наработка до отказа

Весьма информативным показателем безотказности невосстанавливаемых объектов является гамма-процентная наработка до отказа, понимаемая как наработка, в течение которой отказ объекта не возникнет с вероятностью γ, выраженной в процентах.

В случае экспоненциального распределения гамма-процентная наработка до отказа определяется по формуле:

Рисунок 4

Наработку до отказа обычно определяют для значений γ > 80% (верхняя горизонтальная линия на рис.4).

Для прогнозирования потребности в запасных частях определяют гамма-процентную наработку и при меньших значениях, например при γ = 50% (нижняя горизонтальная линия на рис.4).

При γ = 100% гамма-процентная наработка называется установленной безотказной наработкой, при γ = 50% гамма-процентная наработка называется медианной наработкой.

Следует учитывать, что экстраполяция эмпирических результатов за пределы продолжительности испытаний может привести к значительным ошибкам.

studfiles.net

Диагностика и надежность в технике

1. Расчет показателей безотказности
1.1 Вероятность безотказной работы
1.2 Вероятность отказа
1.3 Частота отказа
1.4 Интенсивность отказа
1.5 Средняя наработка до отказа
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
1.7 Пример расчета показателей безотказности
2. Примеры расчета показателей надежности для различных законов распределения случайных величин
2.1 Экспоненциальный закон распределения
2.2  Закон распределения Вейбулла-Гнеденко
2.3  Закон распределения Рэлея
3. Примеры расчета показателей надежности сложных систем
3.1 Основное соединение элементов
3.2 Резервное соединение

 

1.1 Вероятность безотказной работы

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):

где N₀ – число элементов в начале испытания; r(l) – число отказов элементов к моменту наработки.Следует отметить, что чем больше величина N₀, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность P(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P(0) = 1, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение – 1. С ростом пробега l вероятность P(l) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P(l→∞) = 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.

Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки

Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P(l), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.

 

1.2 Вероятность отказа

Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):

В начале эксплуатации исправного локомотива Q(0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q(l) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q(l→∞) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2.Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.

Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки

 

1.3 Частота отказов

Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.3):

где  –  количество отказавших элементов за промежуток пробега . 
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.

Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

 

1.4 Интенсивность отказов

Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.4):

 

где 

Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.

Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.

 

1.5 Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа. 
Средняя наработка до отказа обозначается как L₁ и определяется по формуле (1.5):

 

где l_i – наработка до отказа элемента; r_i – число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.

 

1.6 Среднее значение параметра потока отказов

Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W_ср и определяется по формуле (1.6):

 

1.7 Пример расчета показателей безотказности

Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега   принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.

Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Исходные данные к расчету

, тыс. км	0 — 100	100 — 200	200 — 300	300 — 400	400 — 500	500 — 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60

 Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:

Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.

Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).

Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:

Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:

Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.

По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.

Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).

Таблица 1.2.

Результаты расчета показателей безотказности

, тыс.км.	0 — 100	100 — 200	200 — 300	300 — 400	400 — 500	500 — 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60
P(l)	0,989	0,922	0,833	0,778	0,7	0,667
Q(l)	0,011	0,078	0,167	0,222	0,3	0,333
10-7, 1/км	1,111	6,667	8,889	5,556	7,778	3,333
10-7, 1/км	1,117	6,977	10,127	6,897	10,526	4,878

 Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1. 

Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки

Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0. 

Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки

Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
 

На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.

Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

 

2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин

Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.
 
Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.
 
Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов  , а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.

Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:

Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:

Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:

Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:

 

2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.

Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.
 
Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.

Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:

Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:

 

2.3 Закон распределения Рэлея

Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов). 
 
Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.

Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора. 

 

3.1 Основное соединение элементов

Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.

Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1
 
Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и  a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.

Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:

 

Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:

Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1.

Результаты расчета вероятности безотказной работы и частоты отказов системы на интервале времени от 0 до 1000 ч.

l, час	P(l)	a(l), час-1
0	1	0,00026
100	0,974355	0,000253
200	0,949329	0,000247
300	0,924964	0,00024
400	0,901225	0,000234
500	0,878095	0,000228
600	0,855559	0,000222
700	0,833601	0,000217
800	0,812207	0,000211
900	0,791362	0,000206
1000	0,771052	0,0002

 

Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2. 

Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.

Рис. 3.2. Частота отказов системы.

 

3.2 Резервное соединение элементов

Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85. 

Требуется.
Необходимо рассчитать надежность двух систем. 

Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.

Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.

Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:

Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:

Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:

 

Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:

Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).

 

Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.

Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют. 

Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.

Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.

Рис. 3.6. Сблокированная схема.

Надежность системы без резервирования составит:

Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.

diagnosticlab.ucoz.ru

Вероятность безотказной работы элемента p(t).

— вероятность того, что в заданном интервале времени t в элементе не возникнет отказ.

Если взять группу, состоящую из N одинаковых элементов, и поставить их на испытания то графически процесс испытания будет выглядеть так:

 

 

Так как отказ — случайная величина, то нельзя заранее сказать чему будет равно время работы i элемента, но можно определить вероятность того, что он не откажет в течении заданного времени t. Это может быть определено по данным испытания. Практически для вероятности безотказной работы p(t) используется следующая статистическая оценка p*(t)=[N-n(t)]/N, где N- число элементов на испытании, n(t)- число элементов отказавших в течение времени t. Точность оценки будет тем выше, чем больше N, в пределе статистическая оценка будет стремится к истинному значению при NÞ к бесконечности: p*(t)=Lim[N-n(t)]/NÞp(t).

 

 

Вероятность безотказной работы системы P(t).

— вероятность того, что в заданном интервале времени t в системе не возникнет отказ. Если элементы в системе соединены последовательно относительно надежности, то выход из строя хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Если вероятности безотказной работы элементов в системе будут p₁(t), p₂(t),.. p_N(t) то в соответствии с теоремой умножения вероятности (вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии что первая имело место) вероятность безотказной работы системы имеет вид: P(t)= p₁(t) p₂(t)… p_N(t). Если p₁(t)= p₂(t)= p_N(t), тогда P(t)=[p(t)]^N. Так как вероятность безотказной работы элементов всегда меньше единицы, то из расчетов следует: 1) надежность системы уменьшается при увеличении числа элементов в ней; 2) вероятность безотказной работы системы всегда меньше вероятности безотказной работы самого ненадежного элемента.

 

 

Вероятность отказа системы Q(t).

Под вероятностью отказа системы понимают вероятность того, что за малый интервал времени t в системе произойдет отказ, т.е. время исправной работы системы будет меньше заданного. Так как безотказная работа и отказ- события противоположные, то Q(t)=1-P(t)

Q(t)=1-{[1- [1-q₂(t)]… [1-q_N(t)]} при q(t)- одинаковых Q(t)=1-[1-q(1)]^N. Если надежность оценивается для малых промежутков времени, когда вероятность отказа много меньше 1, тогда Q(t)=1-{1-[q₁(t)+ q₂(t)+… q_N(t)]}=Sq_i(t)(от 1 до N). Если вероятность отказов элементов равны, то Q(t)=Nq(t).

 

Частота отказов f(t).

Под частотой отказов элементов понимают число отказов за единицу времени, отнесенное к первоначальному числу элементов, поставленных на испытание. Статистически определение частоты производится по выражению: f=n(Dt)/(N*Dt), где n(Dt)- число элементов, отказавших за интервал времени Dt; N- число элементов, поставленных на испытание; Dt- рассматриваемый интервал времени. При определении частоты отказов элементы не ремонтируются и новыми не заменяются. По полученным оценочным значениям строится гистограмма. Если dt мало, то вероятность отказа одновременно 2х элементов весьма мала и следовательно вероятность отказа любого элемента пропорционально длине промежутка времени и равна q*(t,t+dt)=f*(t)dt. График показывает как распределена плотность вероятности времени исправной работы в каждой точке. Вероятность отказа элемента за время t может быть найдена интегрированием функции f(t) за этот промежуток времени: q(t)=$f(t)dt(от 0 до t) или p(t)=1-q(t)=1-$f(t)dt(от 0 до t)=$f(t)dt(от t до +бесконечности). Если продеффиринцировать полученное уравнение то получим: dp(t)/dt=-f(t)=-p’(t) или f(t)=q’(t). Производная показывает скорость снижения надежности во времени. Так, частота отказов показывает скорость падения надежности невосстанавливаемых элементов.

Достоинства этого критерия в том, что он позволяет судить о числе элементов которые откажут в течении определенного интервала времени. Понятие частоты отказов используется только для невосстанавливаемых изделий. Для восстанавливаемых изделий используется критерий средняя частота отказов (параметр потока отказов)- f_ср(t) – это отношение числа отказавших в единицу времени элементов к общему их числу, при условии что отказавшие элементы заменяются новыми: f_ср(t)= n(Dt)/(N*Dt). Если сравнить f_ср(t) и f(t) то мы увидим что f_ср(t)>f(t). Эти два критерия связаны между собой интегральным уравнением Вольтера второго рода. Достоинства этого критерия в том, что он отражает реальные условия эксплуатирования.

 

 

6. Средняя частота отказа — это отношения числа отказавших в единицу времени элементов к общему числу элементов при условии, что отказавшие элементы заменились новыми

Формула имеет вид

f ср * (ti) = n(Δti)/NΔti; [1/r]

(1.19 )

где n(Δt_i) – число элементов отказавших в интервале Δti

N – число элементов поставленных на испытание

Δt_i– интервал времени для которого определяется средняя частота отказов.

f_ср(t_i) = ω(t) = lim n(Δt_i)/NΔt_i

N→∞

F(t) = a(t) – частота отказов

Параметр потокоотказа и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последствием при мгновенном восстановлении связи интегрируемым уравнением Вольтера 2 рода

t

f _ср (t) = f(t) + ∫ f _ср (τ) f (t – τ) dτ

Данное уравнение в оперативной форме

f_ср (s) = f(s)/ 1-f(s)

 

f(s) = f_ср(s) / 1+ f _ср(s)

∞ -sτ

f(s) = ∫f(t)e dt

Критерий этот используется для восстанавливающейся аппаратуры, а так как элементы которые вновь будут отказывать то всегда f _ср(t) ≥ f(t)

Достоинство этого критерия в том ,что отражает реальны процесс эксплуатации аппаратуры.

 

Интенсивность отказов l(t).

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказов в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов, исправно работающих в данный отрезок времени. При определении интенсивности отказов отказавшие элементы новыми не заменяют l*(t_i)= n(Dt)/(N_ср*Dt)[1/час]; N_ср=(N_i+N_i+1)/2=N_i-[n(t)/2]. Этот критерий показывает как снижается надежность во времени, т.е. какое число элементов откажет после некоторого времени работы. Для абсолютного большинства приборов, машин, механизмов и систем этот график имеет следующий вид: Область 1 характеризуется повышенной и постоянно снижающейся интенсивностью отказов. Отказы в этом интервале в основном происходят из-за грубых дефектов производства, а сам участок носит название участка приработки. Участок 2- участок нормальной эксплуатации, характеризуется тем, что на этом участке интенсивность постоянна, длительность его тысячи и десятки тысяч часов. Участок 3- наблюдается увеличение интенсивности отказов, которая связана со старением и износом элементов. Момент времени t₂ может служить тем моментом, когда аппаратуру необходимо снимать с эксплуатации. l- характеристика является одной из важнейших и значение ее приводится в справочниках и учебниках по надежности (для нормального периода эксплуатации).

Интенсивность отказов для восстанавливаемых систем. Для этих систем под интенсивностью отказа системы понимают количество отказов в единицу времени. При этом после каждого отказа система восстанавливается, а отказавшие элементы заменяются новыми L(t)=1/mS[n(Dt)/Dt]( сумма от1 до m), где m- число интервалов наблюдения; n(Dt)- число элементов отказавших за Dt. Так как отказы любой системы слагаются из отказов входящих в нею элементов то при l(t)=const интенсивность отказов системы L(t) может быть определена: L(t)=Sf_срi(Dt)( сумма от i=1 до к), где к- число групп элементов с различной средней частотой отказов, т.е. интенсивность отказов равна сумме средних частот отказов всех элементов.

 



infopedia.su

Вероятность безотказной работы. — Мегаобучалка

 

Под вероятностью безотказной работы понимается вероятность того, что в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки отказ не возникает.

Математически этот показатель можно определить как вероятность того, что время Т безотказной работы, являющегося случайной величиной, будет больше некоторого заданного времениt, т.е.

P*( t )=P{Т>t}

Согласно определению вероятность безотказной работы подсчитывается по формуле:

 

,

 

где : N₀ – число образцов аппаратуры в начале испытаний;

n(t) –число отказавших образцов за время t.

На практике пользуются приближенной зависимостью:

.

 

 

Точность определения Р* (t) зависит от числа N₀. Функция вероятности безотказной работы Р (t) является не возрастающей функцией времени и обладав следующими очевидными свойствами:

а) 0 < Р (t)< 1;

б) Р (0) = 1;

в) Р (¥) = 0.

График зависимости P(t) от времени представлен на рис. 2.1.

 

Рис. 2.1

На практике часто приходится пользоваться понятием вероятности отказа

Q* (t), т.е. события, противоположного событию безотказной работы.

Из определения Q* (t)= P*{T < t}=l — P (t) очевидно, что Р* (t) + Q* (t)= 1- как сумма противоположных событий. Вероятность безотказной работы является основным количественным показателем надежности, так как наиболее полно охватывает все многообразие факторов, влияющих на надежность. Чем больше P(t), тем выше ее надежность

Частота отказов

Частота отказов — число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу элементов.

Прежде всего, определим статистически частоту отказов f * (t), которая имеет важное теоретическое значение, так как применяется в расчетах для связи с другими основными показателями надежности. В математическом смысле f * (t) есть безусловная плотность распределения наработки до отказа.

Из статистических данных, полученных в результате испытаний или опытной эксплуатации, частота отказов определяется по формуле:

,

где n(t) — число отказавших изделий в рассматриваемый интервал времени Dt, т.е.

 

в период от до ;

N₀ — число изделии, первоначально взятых на испытание (поставленных на

эксплуатацию).

Считаем, что изделия при испытании (эксплуатации) не восстанавливаются и

не заменяются новыми.

Типичная кривая изменения частоты отказов изделий в соответствии с

зависимостью f * (t) показана на рис. 2.2. На этой кривой можно отметить три характерных участка.

Первый участок характеризуется большими значениями частоты отказов. Здесь проявляются отказы, обусловленные грубыми ошибками в принципиальной схеме или в конструкции изделия, технологии его изготовления, несоблюдением требований конструкторской и технологической документации, применением некондиционных материалов и элементов, слабым контролем качества изделий на всех этапах производства и ввода техники в эксплуатацию.

К этой группе отказов можно отнести также эксплуатационные отказы, вызванные слабым знанием правил эксплуатации (или отсутствием необходимого опыта). Поэтому первый период называется периодом приработки изделий (элементов).

Второй участок характерен сравнительно постоянным значением частоты отказов и называется периодом нормальной эксплуатации.

На третьем участке частота отказов вначале вновь возрастает за счет наступления старения и износа элементов или устройств, а затем падает до нуля. Этот период называется периодом старения.

Длительность вышерассмотренных участков различна: для первого она составляет величину порядка нескольких десятков, нескольких сотен часов в зависимости от сложности изделия; второй участок самый продолжительный и при расчетах принимается равным 2/3 технического ресурса; третий период зачастую не достигается, так как раньше наступает «моральное старение», при котором данный ТУ списывается.

 

Рисунок 2.2. Кривая изменения частоты отказов от наработки

 

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов — вероятность отказов невосстанавливаемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Интенсивность отказов определяется числом отказов в единицу времени, отнесенному к среднему числу элементов, исправно работающих в данный отрезок времени, т.е.

,

 

где — среднее число элементов, продолжающих исправно работать на интервале Dt.

Рисунок 2.3. Зависимость интенсивности отказов от наработки

 

Число определяют с помощью выражения:

Интенсивность отказов характеризует степень надежности элементов (изделий) в каждый момент времени, поэтому является более полной и качественной характеристикой надежности.

Зависимость l* от t представлена на рисунке 2.3.

Из сравнения данных по f * (t) и l* (t) следует, что l* (t) в начале испытаний (эксплуатации) несколько выше f * (t) , а в конце испытаний существенно отличается от частоты отказов (см. рис. 2.2).

Интенсивность отказов, являясь одним из основных количественных показателей надежности изделий, широко используется для определения других показателей свойств надежности.

 

megaobuchalka.ru

Оценка вероятности безотказной работы системы по результатам испытаний

Методика оценки результатов испытаний систем, вероятность безотказной работы которых подчиняется экспоненциальному за­кону Р(t) = е^—t/T, может быть двоякой в зависимости от харак­тера системы.

По результатам испытаний оценивается величина Т. Как из­вестно из математической статистики, по результатам испытаний можно определить доверительный интервал для Т с некоторой достоверностью (вероятностью).

Если проведено испытание, в течение которого система про­работала t_nчасов и при этом произошлоnотказов (последний отказ произошел в моментt_n), то доверительный интервал для Т с доверительной вероятностью 1 —αопределяется следующим образом:

(3.33)

где x²_α/2(2n),x²_1-α/2(2n) — значение функцииx²с 2nстепенями свободы дляα/2 и для 1-α/2 соответственно. Значение этой функции на­ходятno-известным таблицам [3.1].

Пример 3.2. АСУ испытывалась в течение 140 ч. За это время произошло 10 отказов. Необходимо по результатам испытаний оценить среднее время на­работки на отказ с доверительной вероятностью 0,96=1—α.

По величинам α= 0,04 иn=10 определяемx²_α/2(2n) иx²_1-α/2(2n). По таб­лицеx²_0,02=35,x²_0,98=9,2. Затем вычисляем:Tmin= 2*140/35 = 8;Tmах =.2*140/9,2 = 31.

Следовательно, с доверительной вероятностью 0,96 можно считать, что истин­ная величина среднего времени наработки на отказ заключена в пределах 8< Т < 31.

Описанная методика применима для определения доверитель­ного интервала для Т по результатам законченного испытания до отказа. Возникает вопрос о продолжительности испытаний, так как для Т .получается не одно значение, а целый интервал значений. Если левая доверительная граница доверительного интервала стала больше Тзад, то испыта­ния можно прекратить и считать, что система удовлетворяет заданному требованию. Наоборот, если получилось, что правая доверительная граница стала меньше, то система не будет удовлетворять поставленным требованиям.

Испытания могут быть прекращены, если Тmах << Тзад. Если Тmin<Тзад<Тmaxто нет оснований для принятия того или иного решения; испытания необходимо продолжать до тех пор, пока интервал значений Т = Тmах—Tminне станет меньше некоторого значенияD. ВыборDи принятие в этом случае реше­ния зависят от конкретных условий.

Матричный метод расчета надежности

В ряде случаев отказ элемента системы приводит к изменению режимов работы других связанных с ним элементов, что может повлечь за собой изменение характеристик надежности этих эле­ментов. Например, пробой конденсатора вызывает изменение тока в цепях схемы, в результате чего изменяются коэффициенты на­грузки элементов, а следовательно, и их надежность. В подобных случаях желательно при расчете надежности учитывать взаимоза­висимость отказов элементов и перераспределение интенсивностей отказов за счет изменения режимов работы, вызванных отказами. Для решения этой задачи может быть использован матричный метод анализа и расчета надежности (см. [4.5]), позволяющий учитывать последствие отказов.

Сущность метода состоит в том, что для определения вероят­ности безотказной работы ВМ от внезапных отказов с учетом последствия отказов составляется матрица всевозможных несовме­стимых событий x₁,x₂,…,x_N, вычисляются вероятности всех этих событий, затем суммируются вероятности благоприятных гипотез, при которых система находится в работоспособном состоянии.

В общем случае матрица несовместимых событий для аппара­туры, состоящей из N элементов, за период tимеет следующий вид:

В этой матрице х_i— состояниеi-гoэлемента;означает, чтоiэлемент отказал;H₀— гипотеза, заключающаяся в том, что ни один из элементов не отказал; Нi— гипотеза, заключающаяся в том, чтоi-й элемент отказал; Нα,β— гипотеза отказа двух эле­ментовαиβ, причем вначале отказывает элементα, а потомβ.

Так как матрица образует полную группу несовместимых со­бытий, то их можно принять за соответствующие гипотезы. Среди гипотез матрицы есть благоприятные с точки зрения работоспо­собности системы и неблагоприятные. Сумма вероятностей всех гипотез равна единице.

Сумма вероятностей благоприятных гипотез определяет надеж­ность системы, т. е. вероятность безотказной работы за некоторое заданное время

(3.34)

где m— число благоприятных гипотез.

Наиболее трудоемкой частью расчета является определение вероятностей гипотез (состояний), особенно для сложных устройств.

Вероятность отсутствия отказов элементов определяется произ­ведением вероятностей безотказной работы всех элементов:

Вероятности остальных гипотез имеют более сложные выраже­ния и определяются через условные вероятности частных событий. Приведем без вывода формулу для расчета вероятности отказа элемента :

где υ≠α,λ_υ^α—изменение интенсивности отказовυ-roэлемента вследствие отказаα-го элемента.

Таким образом, для выполнения расчета надежности с помощью данного метода необходимо знать интенсивности отказов элемен­тов λпри нормальных режимах работы устройства и их измене­ния, вызванные сменой режимов за счет отказов различных элементов.

Пример 4.1. Узел аппаратуры состоит из двух параллельно включенных блоков, имеющих одинаковую интенсивность отказов: λ₁=λ₂= 0,4*10^-5. При отказе одного из блоков узел еще продолжает функционировать, но коэффициент электрической нагрузки второго элемента увеличивается, вследствие чего интен­сивность отказов возрастает до величиныλ₁⁽²⁾=λ₂⁽¹⁾= 10^-5. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы звена на этих условиях за время 50000 ч.

Из общего числа состояний узла выбираем следующие три благоприятные гипотезы: оба элемента исправны (H₀), отказал 1-й элемент (Н₁), отказал 2-й элемент (H₂). Остальные состояния, когда отказали оба элемента в различной временной последовательности, соответствуют неблагоприятным гипотезам (отказ узла).

Вероятность первого состояния

Вероятность второго состояния

Вероятность третьего состояния

Вероятность безотказной работы узла

Если рассчитать надежность узла по формуле для резервного соединения (без учета последствия отказа), то вероятность безотказной работы P(t)=1-(1—е^—λt)²=1—(1—е^-0,2)2 = =0.967, т. е. получаем завышенный результат.

Матричный метод расчета надежности не накладывает никаких ограничений на структуру и способы соединения. В этом его достоинство.

studfiles.net

Вероятность безотказной работы — это… Что такое Вероятность безотказной работы?

Вероятность безотказной работы — вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникает отказ изделия (объекта). Источник: НП 068 05: Трубопроводная арматура для атомных станций. Общие технические требования 3.1.9 вероятность безотказной работы: Вероятность того, что в …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

вероятность безотказной работы — Вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. [ГОСТ 27.002 89] [ОАО РАО «ЕЭС России» СТО 17330282.27.010.001 2008] Тематики надежность, основные понятия EN reliability functionsurvival function …   Справочник технического переводчика

вероятность безотказной работы R ( t ₁ , t ₂ ) — 89 вероятность безотказной работы R ( t 1 , t 2 ): Вероятность выполнить требуемую функцию при данных условиях в интервале времени (t1, t2). Источник: ГОСТ Р 53480 2009: Надежность в технике. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

вероятность безотказной работы R(t₁, t₂) — 89 вероятность безотказной работы R(t1, t2): Вероятность выполнить требуемую функцию при данных условиях в интервале времени (t1, t2). Примечания 1 Обычно предполагают, что в начале интервала времени изделие находится в работоспособном состоянии …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

вероятность безотказной работы — negendamumo tikimybė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tikimybė, kad per numatytą išdirbį objektas nesuges. atitikmenys: angl. reliability probability rus. вероятность безотказной работы, f pranc. probabilité de… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Вероятность безотказной работы — – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. ГОСТ 27.002 89 …   Коммерческая электроэнергетика. Словарь-справочник

вероятность безотказной работы — вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ не возникнет …   Политехнический терминологический толковый словарь

Вероятность безотказной работы — English: Reliability function Вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет (по ГОСТ 27.002 89) Источник: Термины и определения в электроэнергетике. Справочник …   Строительный словарь

Вероятность безотказной работы —         показатель надёжности (См. Надёжность) устройства, схемы или отдельного элемента, который оценивает возможность сохранения изделием работоспособности (См. Работоспособность) в определённом интервале времени или при выполнении заданного… …   Большая советская энциклопедия

Вероятность безотказной работы системы — [Р] способность системы не допускать отказов, приводящих к падению температуры в отапливаемых помещениях жилых и общественных зданий ниже +12 °С, в промышленных зданиях ниже +8 °С, более числа раз, установленного нормативами. Источник: СНиП 41 02 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

dic.academic.ru