Вероятность как считается – Теория вероятности простыми словами, как рассчитать вероятность событий

alexxlab / / Школьная жизнь

Теория вероятности простыми словами, как рассчитать вероятность событий

Теория вероятностей (тервер) – раздел математики, который изучает случайные события и их свойства. Ознакомиться с ней нужно, чтобы понимать, как принимать взвешенные решения. Ведь зная статистические данные и анализируя закономерности, можно «предсказать» исход события.

Я не станут грузить вас сложными формулами – желающие углубленно заняться тервером могут сделать это по книге В. Е. Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика». В статье покажу простые примеры для понимания зависимых и независимых событий, расскажу о состоянии неопределенности и интуитивном знании.

Материал полезен широкому кругу читателей.

Коротко о теории вероятностейКоротко о теории вероятностей

Вероятность в зависимых событиях

Вы решаете отправить в подарок другу балык. Знаете номер дома, подъезд, этаж. Курьер просит называть номер квартиры. С мучительными усилиями вспоминаете, что в доме по три двери на площадку, но дальше – туман. Давайте рассчитаем, сможет ли курьер попасть в нужную квартиру с первого раза.

Имеем три варианта развития событий:

  1. Курьер звонит в первую (1) дверь.
  2. Курьер звонит во вторую (2) дверь.
  3. Курьер звонит в третью (3) дверь.

Но в истории участвует еще один человек: ваш друг. И событийность в его случае выглядит так:

  • Друг за первой (1) дверью.
  • Друг за второй (2) дверью.
  • Друг за третьей (3) дверью.

Прежде чем пойти дальше, введем определение вероятности – количество благоприятных исходов к вероятному числу событий.

Теперь соберем данные в таблицу (таблица 1). Всего — 9 исходов. Отметим положительные (курьеру откроет друг) – их 3. Получается, что вероятность с первого раза позвонить в дверь к нужному человеку – 3/9 или 1/3. Если вам нравится видеть вероятность в процентах, умножьте результат на 100%.

Таблица 1 – Девять исходов, три благоприятныхТаблица 1 – Девять исходов, три благоприятных

Представим, что курьер ошибся, и за дверью оказалась сногсшибательная блондинка в коротком халате. Для курьера исход положительный, для вас – нет. Поэтому считаем новую вероятность:

  1. Курьер звонит в первую (1) квартиру.
  2. Курьер звонит во вторую (2) квартиру.

То же самое с другом:

  • Друг ждет в первой (1) квартире.
  • Друг ждет во второй (2) квартире.

Теперь у нас 4 варианта и 2 – выигрышные (таблица 2). Вероятность со второго раза попасть в квартиру друга – 1/2. Она уменьшилась из-за зависимости событий: мы уже исключили неблагоприятный исход и расчёт нужно производить заново. Если курьер настолько невезуч, что промахнется во второй раз, вероятность попасть по адресу в третий раз – 100%. Опытным путем мы проверили, что за двумя предыдущими дверьми балык никто не ждет.

Таблица 2 Четыре исхода, два благоприятныхТаблица 2 Четыре исхода, два благоприятных

Пример с курьером — начальный уровень тервера. Он применим для бытовых нужд: предугадать вероятность побочного эффекта от антибиотиков, выбрать из разнообразия бабушкиных пирожков пирожок с повидлом и др.

На экзамене по теории вероятности советский математик и автор учебника Елена Вентцель спросила:

— Кому все понятно? Поднимите руки.

В аудитории живо взметнулся лес рук.

— Отлично! Остальные свободны, оценка – пять баллов! Поднявшие руки – останьтесь. За годы преподавания я так и не поняла большей части тервера. Рада, что вы мне все сейчас объясните.

Байка с математического факультета

Вероятность в независимых событиях

Независимые события не влияют друг на друга: количество благоприятных исходов в каждом новом событии не меняется.

Регина Тодоренко и Леся Никитюк в рамках программы «Орел и Решка» приехали в США. Обе хотят провести уик-энд «по богатому» и кидают монетку. Леся поставила на орла, Регина – на решку. Вероятность уехать на собственном авто у девушек одинакова: 1/2. На это раз повезло Лесе. Впрочем, как в следующей поездке тоже.

Регина негодует, почему тервер работает не в ее сторонуРегина негодует, почему тервер работает не в ее сторону

Теперь определим, могут ли независимые события происходить подряд с одним и тем же исходом. Лесе везло уже два раза и выпадал «орел». Повезет ли в третий раз? Составим список возможных исходов:

  1. Орел, орел, орел.
  2. Орел, орел, решка.
  3. Орел, решка, орел.
  4. Орел, решка, решка.
  5. Решка, орел, орел.
  6. Решка, орел, решка.
  7. Решка, решка, орел.
  8. Решка, решка, решка.

По результату видно: вероятность определенной последовательности каждый раз меньше на вероятность одного события. То есть вероятность определенной последовательности – произведение вероятностей каждого события. Если в одном событии вероятность 1/2, то в трех: 1/2*1/2*1/2=1/8.

Как человек принимает решения в состоянии неопределённости

Часть мозга, которая ответственна за оценку ситуации связана с медиаторной системой — центром мотивационных и эмоциональных процессов. Логика и эмоции часто конфликтуют между собой, поэтому решение принимается случайным образом.

У моей подруги аллергия на виноград. Но в студенчестве она не могла отказаться от бокала вина на вечеринке. Часто ее дерзость оставалась безнаказанной и организм нормально воспринимал аллерген. Реже протестовал: у подруги появлялись отеки на лице и в горле. В эти моменты ее левое полушарие отчаянно искало закономерность и просчитывало вероятность наступления аллергической реакции, правое же шептало: «Не пей, лицо распухнет!». Она могла вывести количество благоприятных исходов математическим путем и пить вино без опасений, но эмоции оказались сильней. Подруга раз и навсегда отказалась от любых продуктов с виноградом.

Хороший пример принятия решений описан в книге Млодинова «(Не) совершенная случайность». Допустим, вы отправили рассказ в четыре издательства. От каждого получили отказ. На эмоциях вы придете к мысли: рассказ ужасный! Хотя, если изучить биографии популярных писателей, может оказаться, что дело не в вас. Отказы в публикации получали Стивен Кинг, Джоан Роулинг, Виктор Франкл. Такие истории случались вовсе не из-за отсутствия у них дара: просто в одном издательстве редактор не понял тонкую философию автора, в другом – спешил домой и проставил визу не читая.

Почему интуитивное знание всегда противоречит статистике

Моя бабушка считает: в Албании убивают на каждом шагу. Хотя в стране она не была и новостей о не слышала: ей так кажется интуитивно. Наверняка и вы не раз испытывали подобное чувство. Оно называется интуитивное знание – внутреннее убеждение, что собственная оценка более правдива, чем официальные источники и статистика.

Всего 127 убийств на 100 000 человекВсего 127 убийств на 100 000 человек

Классическое исследование на тему интуитивного знания провели Даниэль Канеман и Амос Тверский. Они дали задание группе студентов: на основании портрета, оценить утверждения с таблицы как более (1 балл) и менее (8 баллов) вероятные (таблица 3).

Портрет выглядел так: «Линда, возраст – немного за 30. Умная, говорит, что думает. В колледже изучала философию. Тогда же выступала против социального неравенства, дискриминации и использования ядерного оружия. Не замужем».

Таблица 3Таблица 3

По портрету логично предположить, что Линда участвует в феминистском движении. Но студенты принимали решения интуитивно, что привело к ошибке. Вероятность, что Линда работает в банке и принимает участие в феминистском движении больше вероятности работы в банке.

Посмотрите на таблицу: вероятность работы в банке и увлечение феминистским движением – 4,1 балл. Но первое (работа в банке) и второе (феминистское движение) в сумме дают 8,3 балла. Согласно терверу, вероятность, что произойдут оба события не может быть выше, чем вероятность каждого события по отдельности. Главное утверждение (4,1 балла) содержит 2 события и является единым. В интуитивном решения правило тервера нарушено. Это доказывает — наши убеждения часто являются ложными.

В дальнейшем проводились множественные эксперименты, которые подтвердили догадку Канемана.

Вместо заключения

Теория вероятностей почти всегда разбивается о «случай», продиктованный убеждением или эмоцией отдельного человека. Поэтому использование ее в повседневной жизни может не оправдать ожиданий. Но выбирать вам! Хорошего дня!

teachline.ru

Как рассчитать вероятность события?

Понимаю, что всем хочется заранее знать, как завершится спортивное мероприятие, кто одержит победу, а кто проиграет. Обладая подобной информацией, можно без страха делать ставки на спортивные мероприятия. Но можно ли вообще и если да, то как рассчитать вероятность события?

Вероятность – это величина относительная, поэтому не может с точностью говорить о каком-либо событии. Данная величина позволяет проанализировать и оценить необходимость совершения ставки на то или иное соревнование. Определение вероятностей – это целая наука, требующая тщательного изучения и понимания.

Коэффициент вероятности в теории вероятности

В ставках на спорт есть несколько вариантов исхода соревнования:

  • победа первой команды;
  • победа второй команды;
  • ничья;
  • тотал.

У каждого исхода соревнования есть своя вероятность и частота, с которой данное событие совершится при условии сохранения начальных характеристик. Как уже говорили ранее, невозможно точно рассчитать вероятность какого-либо события – оно может совпасть, а может и не совпасть. Таким образом, ваша ставка может как выиграть, так и проиграть.

Точного 100% предугадывания результатов соревнования не может быть, так как на исход матча влияет множество факторов. Естественно, и букмекеры не знают заранее исход матча и лишь предполагают результат, принимая решение на своей системе анализа и предлагают определенные коэффициенты для ставок.

Как посчитать вероятность события?

Допустим, что коэффициент букмекера равен 2. 1/2 – получаем 50%. Получается, что коэффициент 2 равен вероятности 50%. По тому же принципу можно получить безубыточный коэффициент вероятности – 1/вероятность.

Многие игроки думают, что после нескольких повторяющихся поражений, обязательно произойдет выигрыш — это ошибочное мнение. Вероятность выигрыша ставки не зависит от количества поражений. Даже если вы выбрасываете несколько орлов подряд в игре с монеткой, вероятность выбрасывания решки останется прежней – 50%.

bookmakersmobile.ru

как рассчитать вероятность выигрыша в процентах ?

вероятность есть отношение выигрышных вариантов ко всем возможным, то есть если выбирают 1 победителя из 5000 участников, то вероятность победы 1/5000=0,0002,или 0,02 %

Если участвует 5 тыс а побеждает 1. 100/5000=0,02%

По классическому определению вероятности в данном случае вероятность равна одной пятитысячной, деточка.

По определению: P=m/n, m-кол-во благоприятных исходов, n-кол-во всех возможных исходов. Например. Есть 50 билетов из них 3 выигрышных. m=50, n=3, p=3/50=0,06, чтобы найти в процентах нужно это число умножить на 100%, т. е. 0,06*100%=6% вероятность выигрыша. Вообще перевод дроби в проценты изучают в 5 классе.

Да это невозможно ни как рассчитать! Это случай и все как ты расчитаешь, к примеру из 100500 человек трем положен выигрыш, посредством выбора их числа генератором случайных чисел! Я хоть миллион раз этот генератор прокручу! Мое число все равно не выпадет

touch.otvet.mail.ru

Как считать вероятности? — блог Привычка не думать

Добрый день!

Неделю назад мы провели небольшой опрос на тему «Проще выиграть три раза из четырёх или пять раз из восьми?»

Опрос показал, что заметная часть подписчиков не только изучала, но и успешно освоила азы теории вероятностей. Если вы к ним относитесь, то можете смело переходить к последним двум абзацам заметки.

А остальных я приглашаю разобраться в этой задачке. Напомню, что игра у нас была очень простой — мы несколько раз подбрасывали симметричную монетку, после чего считали, сколько раз выпал «орёл» (т.е. сколько раз мы выиграли).

В комментариях можно прочитать разные мнения:
— кто-то считает, что из того, что подбрасывания монетки друг на друга не влияют (что верно), следует, что выиграть 3 раза из 4, 6 раз из 8, 5 раз из 8 можно с равными вероятностями (что неверно),
— кто-то считает, что раз 3 к 4 относится как 6 к 8, то одинаковы вероятности выигрыша 3 раза из 4 и 6 раз из 8,
— кому-то очевидно, что 3 раза из 4 можно выиграть с вероятностью 1/16, а хоть 5, хоть 6 из восьми можно выиграть с вероятностью 1/256.

Короче, разных мнений много, но разводить демократию для выбора правильного ответа мы здесь не будем. Давайте сначала выясним примерный ответ, проведя эксперимент (на JS, как обычно):

<script type="text/javascript">
n = 100000;  nb3of4 = 0;  nb6of8 = 0;  nb5of8 = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
nbWin = 0;
for (j = 0; j < 4; j++)
if (Math.random() > 0.5)
nbWin++;
if (nbWin == 3)
nb3of4++;
for (j = 4; j < 8; j++)
if (Math.random() > 0.5)
nbWin++;
if (nbWin == 5)
nb5of8++;
if (nbWin == 6)
nb6of8++;
}
document.write('pA = ' + nb3of4/n + ', pB = ' + nb6of8/n + ', pC = ' + nb5of8/n);
</script>

Скопируйте этот текст в файл test.html, после чего откройте его браузером (на медленных компьютерах может работать несколько секунд).

Это простая программа проводит 100000 следующих экспериментов:
сначала подбрасывает монетку четыре раза (и если три раза выпал «орёл», то увеличивает на один счётчик nb3of4), а потом подбрасывает её ещё четыре раза (и тут уже увеличивает на единицу nb5of8 или nb6of8, если победа была ровно пять или ровно шесть раз из восьми, соответственно). В последней строке программа выводит три искомых числа (отношение числа побед заданное число раз к общему количеству проведённых экспериментов).

У меня этот эксперимент дал следующие результаты:
  pA = 0.24865,
  pB = 0.10918,
  pC = 0.21898.

Вроде бы уже понятно, что вероятность события А больше В, а В больше Б, но как раз тут важно не остановиться, а понять, что означают эти числа. Давайте попробуем в первой строке программы заменить число 100000 на 10 (т.е. заметно сократим число экспериментов). У меня получались следующие результаты при n=10:
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.1,
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.5,
pA = 0.1, pB = 0.2, pC = 0.3,
pA = 0.4, pB = 0, pC = 0.2,
pA = 0.3, pB = 0.1, pC = 0.4.

Как видите, в первой и четвёртой строчках наша теория «pA > pC > pB» подтвердилась, а в трёх других строчках не подтвердилась. Что это означает? А это означает это, что мы провели эксперимент с низкой степенью достоверности.

Если вы читали результаты социологических опросов, то могли обратить внимание на примерно такую фразу: «Статистическая погрешность подобных опросов не превышает 3.4%». Люди, изучившие математическую статистику, знают, как вычислить вероятность того, что результаты опроса нескольких тысяч человек не слишком отличаются от результатов опроса всех граждан страны. Интуитивно мы понимаем, что по мнению 10 случайных опрошенных нельзя надёжно понять, что думают люди в стране, поэтому хотим увеличить число опрошенных. Проблема в том, что всех опросить почти невозможно (очень затратно), поэтому приходится искать компромисс.

Так и у нас с этой задачкой: если мы проводим всего 10 экспериментов, то вероятность получить правильный результат не очень высока. Преимущество же наше в том, что мы можем «опросить» всех, что позволит получить совершенно точный ответ.

Итак, кто же эти все? Это элементарные события. Мы можем перечислить все возможные равновероятные ситуации для нашей игры, а потом посчитать количество интересных. Например, если мы будем обозначать победу единицей, а поражение нулём, то список элементарных исходов для четырёх бросков монеты будет выглядеть так:
— 0000,
— 0001,
— 0010,
— 0011,
— 0100,
— 0101,
— 0110,
— 0111,
— 1000,
— 1001,
— 1010,
— 1011,
— 1100,
— 1101,
— 1110,
— 1111.

Поскольку монетка симметричная, а результаты предыдущих бросков не влияют на следующие, то все эти 16 ситуаций имеют равную вероятность. И так как в четырёх случаях из шестнадцати (выделенные строки) победа случается ровно три раза (три единички в строке), то и вероятность таких событий 4/16 = 0.25. Примерно это число мы и увидели в эксперименте при большом n.

Аналогично можно перечислить все расклады для 8 бросков монетки:
— 00000000,
— 00000001,
…
— 11111110
— 11111111.

Далее можно просто посчитать количество строк, в которых ровно 5 и ровно 6 единичек. Знатоки двоичной системы счисления уже давно поняли, что строк будет 2^8 = 256. Понятно, что работа была бы большая, но вполне выполнимая. Но давайте лучше найдём более простой способ посчитать число таких строк.

Начнём с «6 из 8». Нам проще будет посчитать, в каком количестве строк ровно два нуля (это то же самое, что и ровно 6 единиц). Первый нолик можно поставить на одно из восьми мест, а второй нолик — на одно из оставшихся семи мест. Получается, что два нолика можно разместить на восьми местах 8*7 способами. Надо только учесть, что каждый расклад мы посчитали дважды (сначала первый нолик левее второго, а потом на тех же местах второй нолик левее первого). Поэтому наш ответ надо ещё разделить на 2. Получается, что вероятность выиграть 6 раз из 8 равна 4*7/256 = 28/256 = 7/64 = 0,109375.

Теперь понятно, как посчитать число строк с пятью единичками на восьми местах. Будем считать, сколько у нас строк ровно с тремя нулями:
первый нолик можно поставить одним из 8 способов, второй — одним из 7 оставшихся способов, а третий — на одно из шести свободных мест. Получается 8*7*6 вариантов. Но здесь мы опять получили завышенную оценку, так как посчитали каждую возможную конфигурацию 6 раз (три нолика могут занять одни и те же позиции шестью способами: абв, авб, бав, бва, ваб, вба). Это значит, что наш ответ надо поделить на 6. Получается, что вероятность выиграть 5 раз из 8 равна 8*7/256 = 56/256 = 7/32 = 0,21875.

Как видите, наши первые эксперименты неплохо предсказали точный результат. Но тут важнее другое:
— мы вспомнили/узнали, как можно точно посчитать вероятность события (перечислить все возможные равновероятные события, посчитать, сколько из них нам интересны, поделить второе на первое),
— на простом примере убедились, что это имеет смысл,
— лишний раз увидели, что вроде бы очевидные рассуждения могут приводить к неправильному ответу (в комментариях к прошлой заметке есть немало сообщений, содержащих неправильные объяснения ложных утверждений).

Дело в том, что в теории вероятностей ориентируется не так уж и много людей, но «применить здравый смысл» и «порассуждать о нормальном распределении» готовы очень многие (хоть и не готовы сформулировать определение нормального распределения). Я не спорю, иногда некорректные рассуждения приводят к верному ответу. Но надо помнить, что нередко правдоподобные о вроде бы очевидные мысли уводят от истины и мешают к ней вернуться. Поэтому я считаю правильным начинанием введение в ЕГЭ по математике одной простой задачки на теорию вероятностей. Это даёт надежду на постепенное движение к тому, что почти все школьники России будут легко справляться с элементарными вопросами о вероятностях.

Если человек не способен решать даже школьные задачки по теории вероятностей, то ему не следует пользоваться терминологией из этой теории для убеждения себя или кого-то другого. Почему? Да потому что это будет самообман или обман кого-то другого.

my-tribune.blogspot.com

Долой неопределенность, или Как найти вероятность

Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.

Формула теории вероятности

В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: «Как найти вероятность какого-либо явления?», нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,…, An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А – это бросок игральной кости, m – выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n – это все шесть возможных вариантов.

Сама же формула расчета выглядит следующим образом:

Р(А) = m / n.

Легко подсчитать, что в нашем примере искомая вероятность равна 1/3. Чем ближе результат к единице, тем больше шансов того, что такое событие случится на самом деле, и наоборот. Вот такая вот теория вероятности.

Примеры

С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1/36+ 1/36 = 1/18. А как же быть тогда, когда несколько независимых событий происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.

Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:

  1. Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
  2. Хотя бы один из них принесет приз.
  3. Оба окажутся проигрышными.

Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:

10/30 * 9/29 = 0,1034.

Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10/30 * 20/29 + 20/29 *10/30 = 0,4598.

Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20/30 * 19/29 = 0,4368.

fb.ru

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

  • Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

    Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

  • Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

    Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

statistica.ru

Как считать вероятности — Ставки на спорт

Иногда очень нужно бывает решить проблемы следующего вида:
«Мы совершили 2000 испытаний и получили 900 успехов. С уверенностью 95% мы можем предположить, что истинная вероятность наступления события находится в интервале 900 / 2000 плюс-минус Х. Найти Х»

Решается всё очень просто, если знать, как решать.
Пусть A = 2000, B = 900.
Тогда p = B / A — это вероятность фактическая, по итогам испытаний.
Среднеквадратическое отклонение s равно:

Теперь нам нужно выбрать число Z, соответствующее нашей степени уверенности. На английском называется confidence level (z value), там уже небольшая магия, поэтому просто запишите значения:
Для 80% уверенности 1.28
Для 95% уверенности 1.96
Для 99% уверенности 2.58
[Как рассчитать самому]Переходим на табличку, она называется Z-table (Right of Curve) их много бывает всяких, нам нужна та, в которой числа в районе 0.5 в таблице. Теперь нужную нам вероятность, например мы хотим узнать какое число соответствует уверенности 70%, мы делим на два, получается 0.7 / 2 = 0.35. Теперь ищем в табличке 0.35, оно находится на пересечении 1 и 0.04, значит искомое z для уверенности 70% равно 1.04

Ну и всё, можно посчитать искомое число по формуле, Х = Z * s / √Ā (это корень из А, если что)

Таким образом для нашей задачи ответ будет 2.18%. Это отклонение от полученной вероятности, которая равна 45% (900 / 2000). То есть можно утверждать с уверенностью 95%, что вероятность события находится в интервале от 42.82% до 47.18%.

[Делаем файлик в экселе]
Кто хочет может скопипастить формулы в эксель.
Ячейка А1 будет количество испытаний (2000 в нашем примере)
Ячейка B1 будет количество успехов (900 в нашем примере)
Ячейка C1 будет числом Z, соответствующим желаемой уверенности (1.96 в нашем примере)
В ячейку D1 вставьте формулу «=B1/A1», это будет вероятность фактическая.
В ячейку E1 вставьте формулу «=SQRT(((A1-B1) * POWER(D1; 2) + B1 * POWER(1-D1;2))/(A1-1))», это будет среднеквадратическое отклонение
В ячейку F1 вставьте формулу «=C1 * E1 / SQRT(A1)», это и будет доверительный интервал (возможное отклонение реальной вероятности от полученной)

smartpunter.livejournal.com

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *