Внешний и внутренний радиус кольца – Площадь кольца — формула, пример расчета

Площадь кольца — формула, пример расчета

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус.

Площадь кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы


Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Фигура, заключенная между этими окружностями и будет кольцо, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.
Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью круга с большим радиусом и площадью круга с меньшим радиусом.

Площадь круга с радиусом r выражается формулой:

Площадь круга с радиусом R выражается формулой:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь кольца равна произведению числа на разницу квадратов внешнего и внутреннего радиусов:

Пример расчета площади кольца, если известны его радиусы.
Найдите площадь кольца, если его внешний радиус равен 3, а внутренний – 2
Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Площадь кольца, выраженная через внешний и внутренний диаметры

Иногда при решении задач удобней использовать формулу площади кольца, выраженную через внутренний и внешний диаметры.

Пусть D – внешний диаметр кольца, d -внутренний диаметр кольца, тогда:

Выразим радиус через диаметр. Имеем:

Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив выраженные через диаметр радиусы, получим:

Таким образом, площадь кольца равна четверти произведения числа на разницу квадратов внешнего и внутреннего диаметров:

Пример расчета площади кольца, если известны его диаметры.
Найдите площадь кольца, если его внешний диаметр равен 10, а внутренний – 6
Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Площади кольца, выраженная через средний радиус и ширину кольца

Пусть k– ширина кольца, являющийся разницей между большим и меньшим радиусом, то есть k=R-r-средний радиус кольца, равный

Площадь кольца вычисляется по формуле:

Применив формулу разности квадратов, имеем:

Но R-r=k, а
Подставим правые части равенства в формулу площади кольца.
Получим:

Площадь кольца равна удвоенному произведению числа среднего радиуса на ширину кольца.

Пример расчета площади кольца, если известны его средний радиус и ширина.
Найдите площадь кольца, если его средний радиус равен 5, а ширина – 2

Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Площади кольца через длину самого большого отрезка, проведенного внутри кольца

Пусть AB –самый большой отрезок, лежащий внутри кольца. Точка С – половина этого отрезка. Этот отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Касательная перпендикулярна радиусу меньшей окружности, проведенного в точку каcания C. Тогда
Следовательно, треугольник ACO –прямоугольный, где

По теореме Пифагора имеем:



Площадь кольца равна:

Подставив, получим:

Следовательно, площадь кольца равна произведению числа на квадрат половины самого большого отрезка кольца.

2mb.ru

Площадь кольца | C++ для приматов

Задача

Найти площадь кольца, внутренний радиус которого равен [latex]r[/latex], а внешний – [latex]R[/latex] ([latex]r<R[/latex]).

Входные данные:

В единственной строке указаны внешний и внутренний радиусы, разделенные пробелом.

Выходные данные:

Единственное число — площадь кольца.

Тесты:

R r Площадь кольца
3 2 15.708
12.921 7.903 328.28
25 3.5 1925.01
10.2531 1 327.122

Решение:

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

    double R, r;

    cin>>R>>r;

    cout<<R*R*M_PI-r*r*M_PI<<endl;

    return 0;

}

Описание решения:

При решении данной задачи использовались две переменные типа [latex]double[/latex]. Так как в постановке задачи не было указано, какими могут быть числа, то для обхвата наибольшего диапазона чисел разумно использовать именно этот тип данных. Помимо этого, была использована константа из математической библиотеки [latex]cmath[/latex], а именно, константа числа [latex]\pi[/latex]: [latex]M[/latex]_[latex]PI[/latex].

Чтобы найти площадь кольца, образованного двумя окружностями, необходимо найти площадь круга, образованного внешним радиусом кольца, по формуле [latex]\pi\cdot R^2[/latex], и площадь круга, образованного внутренним радиусом кольца, по формуле [latex]\pi\cdot r^2[/latex]. Затем, из площади большего круга вычесть площадь меньшего.

Получаем формулу: [latex]\pi\cdot R^2 — \pi\cdot r^2[/latex]. Подставляя в формулу переменные и константы, получаем:

После выполнения всех операций перейдем на новую строку с помощью команды [latex]endl[/latex].

Здесь код программы на сайте ideone.com.

cpp.mazurok.com

определить площадь кольца, если известны радиусы


Условие задачи:

Две окружности, имеющие общий центр, образуют кольцо. Радиус внешней окружности равен 10 см, а внутренней 8 см. Найти площадь этого кольца.


Дано:
Радиус внешней окружности, R = 10 см
Радиус внутренней окружности, r = 8 см

Пояснение к рисунку:
O — общий центр окружностей


Найти площадь кольца: S


Решение

Площадь кольца можно выразить как разницу между площадями внешнего круга и внутреннего.

Формула площади внешнего круга.

Формула площади внутреннего круга.

После подстановки и преобразования, получаем следующее выражение для площади кольца.

Вставляем значения.


Ответ:



Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли  π ≈ 3.14


 


Калькулятор для расчета площади кольца


 


www-formula.ru

Площадь сектора кольца — формула, пример расчета

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы


Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги. Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.
Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.
Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная
Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:

Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная
Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.
Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.
Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

2mb.ru

Формула площади кольца

Кольцо, это геометрическая фигура, которая имеет внешний радиус R и внутренний радиус r с общим центром. В повседневной жизни с кольцами приходится встречаться не так уж и редко, поскольку они являются необходимыми элементами многих технических устройств, которыми пользуются практически все. Еще чаще с кольцами имеют дело инженеры и конструкторы, создающие всевозможные машины, узлы и агрегаты.

Расчет площади кольца

 

 

Найти площадь кольца можно по формуле:

S = π ( R2r2)

 

R – радиус внешней окружности

r – радиус внутренней окружности

S – площадь кольца

π3.14

Форму колец имеют шайбы, являющимися элементами крепежа, которые устанавливаются между головками болтов или гаек и скрепляемых изделий для того, чтобы увеличить площадь прилегания, а также для того, чтобы предотвратить самопроизвольное отвинчивание. Если требуется в том или ином случае рассчитать или подобрать для установки в изделие именно ту шайбу, которая необходима, конструкторам нужно, помимо всего прочего, найти площадь кольца. Эти детали чаще всего изготавливаются из стали, цветных металлов или пластмасс и могут иметь как плоскую, так и специальную поверхность. Во втором случае шайбы производятся из пружиненной стали, называемые гроверными шайбами которые служат для предотвращения ослабления резьбовых соединений при тряске и вибрациях.

Большое распространение в технике получили также и уплотнительные кольца. Они предназначаются для того, чтобы обеспечить герметизацию соединений в трубопроводах, по которым производится транспортировка газов или жидкостей, а также в пневматических и гидравлических агрегатах. Устанавливаются они в местах соединений различных деталей и благодаря своей эластичности очень плотно прилегают к поверхностям, между которыми располагаются. Наиболее распространенным материалом для изготовления уплотнительных колец является резина различных сортов и составов, а также некоторые специальные виды пластических масс.

Практически все современные двигатели внутреннего сгорания имеют в своей конструкции такие важные элементы, как поршневые кольца. Эти детали нужны для того, чтобы достичь необходимой степени компрессии в камере сгорания и располагаются между поршнями и стенками цилиндров. Поскольку при работе силовых агрегатов они испытывают постоянное трение, то со временем изнашиваются и требуют замены. Изготавливаются поршневые кольца чаще всего из высококачественного серого чугуна.

Еще одной разновидностью колец являются стопорные кольца. Они используются для фиксации различных механических деталей и почти всегда устанавливаются в специально проточенных для них канавках. Чаще всего стопорные кольца можно встретить на валах, однако нередко они располагаются и в корпусах деталей. В зависимости от местонахождения они подразделяются на те, которые предназначены для вала и те, которые монтируются в отверстиях, а что касается материала изготовления этих деталей, то им чаще всего является сталь. После установки на свое «законное» место стопорное кольцо обычно немного разжимается и своими торцевыми поверхностями препятствует смещению деталей друг относительно друга.

simple-math.ru

Момент инерции кольца, теория и примеры

В роль массы при вращательном движении (или движении материальной точки по окружности) выполняет момент инерции ().

Если тело, которое нельзя считать материальной точкой, совершает вращение вокруг неподвижной оси, то момент инерции служит мерой инертности тела в этом движении. Для вычисления момента инерции такого тела его разбивают на частицы, которые можно принять за материальные точки массы материальных точек), измеряют расстояния от каждой такой точки до оси вращения (), момент инерции тела находят как:

   

где – количество материальных точек, на которое разбито тело.

Если тело можно считать непрерывным ) , то

   

в выражении (3) интегрирование проводят по всему объему тела. Параметр – функция расположения точки в пространстве; – плотность тела; – элемент объема.

Момент инерции бесконечно тонкого кольца

Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо имеющее радиус , массу , вращающееся вокруг оси, проходящей через его центр нормально плоскости кольца (рис.1) (ось X). Считаем, что масса распределена по кольцу равномерно.

Для вычисления момента инерции воспользуемся формулой:

   

где расстояния от любого элемента кольца равно его радиусу, то есть:

   

В таком случае момент инерции тонкого кольца равен:

   

   

Момент инерции тонкого кольца относительно оси параллельной оси найдем, используя теорему Штейнера:

   

условием применения теоремы Штейнера является параллельность осей и , что выполняется в нашем случае. Расстояние между осями равно радиусу кольца. Получаем:

   

Момент инерции толстого кольца

Рассмотрим однородное кольцо внешний радиус которого, равен , внутренний радиус — , масса этого кольца

Разобьем это кольцо на тонкие кольца. Одно из таких колец показано на рис. 2 пунктиром, его радиус . Момент инерции этого кольца относительно оси X равен:

   

где (h — высота кольца, если диск представляем как цилиндр малой высоты), тогда выражение (8) принимает вид:

   

Момент инерции всего нашего толстого кольца найдем как:

   

в формуле (10) мы учли, что объем нашего кольца равен:

   

соответственно масса кольца:

   

И так, получили, что момент инерции толстого кольца относительно оси вращения, проходящей через его центр, перпендикулярно плоскости кольца равен:

   

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *