Второй замечательный предел. Примеры решения.
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\end{equation}Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e\end{equation}Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}$.
Решение
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. Для начала отметим, что в основании степени формулы (1) расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} $$Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} $$Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} $$Выражение $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}$ полностью соответствует записи второго замечательного предела согласно формуле (1). Следовательно, $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}=e$. Учитывая это, получим:
$$ \lim_{x\to\infty}\left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =e^{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)} $$Отдельно рассмотрим предел в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right) =6\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{4x+7}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =6\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{4+\frac{7}{x}}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8 $$Учитывая то, что степень стремится к 8, будем иметь:
$$ e^{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)} =e^8 $$Ответ получен, $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}=e^8$. Полное решение без пояснений и промежуточных выкладок выглядит так:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}=\left|1^\infty\right| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =e^{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)} =e^8. $$Ответ: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}=e^8$.
Пример №2
Найти предел $\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}$.
Решение
Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x\to{1}$, т.е. $\lim_{x\to{1}}(7-6x)=7-6\cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $\frac{x}{3x-3}$, получаем: $\lim_{x\to{1}}\frac{x}{3x-3}=\infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.
Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x\to{1}$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x\to{1}$, то ${x-1}\to{0}$, т.е. $y\to{0}$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y\to{0}$, получим:
$$ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr )^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}&y=x-1;\;x=y+1\\&y\to{0}\end{aligned}\right|=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y} =\lim_{y\to 0}\biggl(1+(-6y)\biggr)^\frac{y+1}{3y} $$Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $\frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $\frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $\frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $\frac{-6y}{1}=-6y$:
$$ \lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y}=\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{-\frac{1}{6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}}=\\ =e^{\lim_{x\to{0}}\left((-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}\right)} =e^{\lim_{t\to{0}}\left((-2)\cdot(y+1)\right)} =e^{-2\cdot(0+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. $$Итак, $\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}$. Полное решение без пояснений таково:
$$ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}&y=x-1;\;x=y+1\\&y\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y}=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{-\frac{1}{6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}} =e^{\lim_{x\to{0}}\left((-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}\right)} =e^{\lim_{t\to{0}}\left((-2)\cdot(y+1)\right)} =e^{-2\cdot(0+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. $$Ответ: $\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}$.
Пример №3
Найти предел $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to{0}}(\cos{2x})=1$ и $\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sin^2{3x}}=\infty$ (напомню, что $\sin{u}\to{0}$ при $u\to{0}$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^\infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:
$$ \lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =|1^\infty| =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} $$Так как $\sin^2x=\frac{1-\cos{2x}}{2}$, то $\cos{2x}-1=-2\sin^2x$, поэтому:
$$ \lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\left(-2\sin^2x\right)\biggr)^{\frac{1}{-2\sin^2x}\cdot(-2\sin^2x)\cdot\frac{1}{\sin^2 3x}}=\\ =e^{\lim_{x\to{0}}\left(\left(-2\sin^2x\right)\cdot\frac{1}{\sin^2{3x}}\right)} =e^{-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2x}{\sin^2{3x}}} =e^{-2\cdot\frac{1}{9}} =e^{-\frac{2}{9}} $$Подробное описание того, как находить предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2x}{\sin^2{3x}}$ дано в соответствующей теме.
Ответ: $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Решение
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$Ответ: $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =e^{\lim_{t\to{0}}\left(3t\cdot\frac{2t+4}{t\cdot(t+4)}\right)} =e^{\lim_{t\to{0}}\left(3\cdot\frac{2t+4}{t+4}\right)} =e^3. $$Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\biggl(1+\frac{3}{t}\biggr)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\biggr)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =e^{\lim_{t\to\infty}\left(\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}\right)} =e^{\lim_{t\to\infty}\left(\frac{3\cdot(4t+2)}{4t+1}\right)} =e^3. $$Ответ: $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Решение
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =e^{\lim_{x\to\infty}\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$Ответ: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.
math1.ru
Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом называется предел
,
где
— иррациональное число.
Непосредственная подстановка бесконечности в выражение приводит к бесконечности вида .
Значит, если при непосредственном вычислении предела у вас получилась неопределённость такого вида, то решать задачу следует путём приведения ко второму замечательному пределу. Во всех этих задачах для получения второго замечательного предела требуется производить замену сложной функции более простой.
Второй замечательный предел может быть записан в другом виде, если положить тогда .
Из условия
получим
(Alt)
Пример 1. Найти предел .
Решение. Подстановка вместо x бесконечности приводит к неопределённости:
.
Значит, нужно привести выражение ко второму замечательному пределу. Облегчим себе жизнь перед заменой сложной функции более простой, представив степень :
.
Заменяем функцию 6x переменной n, которая также стремится к бесконечности:
.
Это второй замечательный предел, индивидуальна только степень числа е:
.
Пример 2. Найти предел .
Решение. Непосредственная подстановка приводит к неопределённости «бесконечность делить на бесконечность в степени бесконечность»:
.
Бесконечность в показателе степени — признак того, что выражение можно привести к отношению двух вторых замечательных пределов. В самом деле, если числитель и знаменатель поделить почленно на x, то слева и в числителе и в знаменателе будет уже по единице:
.
Почти второй замечательный предел. А чтобы это было не почти, а вторым замечательным пределом, нужно, чтобы во вторых слагаемых и в числителе, и в знаменателе были единицы. Для этого произведём замены функций:
.
.
Подставляем и получаем:
.
Это уже отношение вторых замечательных пределов, а степени выражений в числителе и знаменателе — индивидуальны:
.
Пример 3. Найти предел
Решение. Применяем разновидность (Alt) второго замечательного предела:
Второй замечательный предел служит средством решения многих задач физики, биологии, социальных наук. Показательная функция с основанием e возникает при выводе количественного закона, которому подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост количества древесины на лесных массивах, радиоактивный распад и т.д.
Для вывода этого закона используется формула сложных процентов
,
где — сумма, наращенная через t лет, — начальная сумма, p — процентная такса, t — время роста в годах.
При этом предполагается, что проценты присоединяются к начальной сумме в конце каждого года. Если же ввести условие присоединения процентов по отдельным частям года, равным 1/n доле его, а процентная такса p по-прежнему пусть относится к целому году, то по истечении каждой такой части года наращенные суммы соответственно составят
По прошествии одного года начальная сумма обратится в , по прошествии двух лет — в , по прошествии t лет — в .
Если же предположить, что прирост процентов происходит непрерывно, т. е. число промежутков, на которые делится год, неограниченно возрастает (), а каждый из них стремится к нулю, то величина наращенной суммы выразится следующей формулой:
,
очень напоминающей второй замечательный предел.
Используя формулу альтернативного представления второго замечательного предела (Alt), приведённую в начале статьи, получим показательный закон роста:
.
Заменив p на -p
.
Например, если население страны возрастает на 2% в год, то по формуле показательного закона роста можно с неплохим приближением рассчитать численность населения страны через t лет: , где — численность населения в начале отсчёта.
Начало темы «Предел»
Продолжение темы «Предел»
function-x.ru
Второй замечательный предел, следствия, примеры
Второй замечательный (особый) предел часто вызывает трудности у студентов, хотя сам предел довольно прост и понятен на практике. Он позволяет раскрывать неопределенности вида единица в степени бесконечность . Замечательный предел имеет следующий вид
где «е»-экспонента.
Следствия второго замечательного предела
1)
2)
3)
4)
5)
6)
На практике следствия второго предела реже встречаются на практике чем он сам, однако без них некоторые задачи в простой способ не решить.
Примеры на замечательный предел
Рассмотрим некоторые примеры из сборника А.В. Тевяшев, А.Г. Литвин, Г.М. Кривошеева и др.»Высшая математика в примерах и задачах. Ч.5 Тесты» (Харьков, 2007, ст. 99).
Пример 6.1. Найти предел функции
а)
Решение.
Преобразуем функцию к виду при котором возможно применить формулу замечательного предела
В результате можем применить правило замечательного предела
б)
Решение.
Подобно предыдущему примеру превращаем функцию в скобках чтобы применить замечательный предел
Нужно отметить, что в этом примере и во многих подобных константы в степенях, как правило вклада не несут. Функцию можно расписать следующим образом
Предел умышленно расписан в виде произведения двух множителей чтобы Вы убедились что константы в степенях вклада не несут. Их цель запутать Вас, если плохо знаете теоретический материал или сомневаетесь в правильности решения. Во всех последующих примерах мы не будем расписывать примеры на произведение двух границ, однако помните, что они не меняют конечного результата (вклад — множитель единица).
————————————
в)
Решение.
Выполняем преобразование заданной функции
Запись в таком виде сделана специально, потому что степень нужно свести к подобному виду
В такой простой способ получили искомый предел функции. В дальнейшем необходимые замены или подсказки будут выделены цветом из общего решения.
г)
Решение.
Выполним замену переменных в пределе
и определенные преобразования для нахождения предела
Бывают случаи, когда прямо применить правило второго замечательного предела довольно сложно, в таких ситуациях используйте простые замены которые Вам понятны и позволяют в быстрый способ найти предел.
Пример 6. 2 Вычислить предел функции
а)
Решение.
Сводим функцию к правилу замечательного предела
Подставляем и вычисляем, выполняя нужные манипуляции с показателями
в)
Решение.
За известным уже алгоритмом преобразуем функцию
Применяя определение второго важного предела находим
Пример 6. 3 Определить предел функции
б)
Решение.
Сведем функцию для применения замечательного предела
Подставляем в границу и упрощаем
г)
Решение.
«Как найти предел ? — скажете Вы, ведь переменная равна минус бесконечности.
В этом примере видим что аргумент стремится к минус бесконечности, кроме того функция в скобках следует не до единицы, а до 2 при больших аргументах.
Учитывая что степень отрицательный получим следующее значение предела
Во всех примерах второго замечательного предела следует сначала проверять условие что выражение в скобках стремится к единице. Если нет, то предел функции в зависимости от степени будет равен или нулю или бесконечности. Те из Вас кто часто решает примеры такие проверки осуществляет автоматически. Остальные сводят границу в экспоненте в определенном степени, но все равно вылезает множителем или ноль или бесконечность. В конечном варианте правы все, однако в первом случае тратится гораздо меньше времени, которое так необходима на контрольных работах, тестах, ВНО. Поэтому выбирайте для себя простой путь и делайте в обучении правильные выводы.
Пример 6. 5 Найти предел функции
а)
Решение.
Заданный пример на вид отличается от предыдущих, однако решение получаем по такой же схеме. Выполняем преобразования функции в скобках под правило замечательного предела
Осталось в степени выделить обратный множитель
и подставить в границу
По такой схеме вычисляйте все подобные пределы, она проста и не требует дополнительных пояснений.
————————————
в)
Решение.
К рассматриваемому примеру великих преобразований делать не нужно. Он имеет достаточно простую запись и решение осуществляем в одну строку
Практикуйте с подобными пределами, используйте удобные для себя схемы сведения задач под необходимое правило. Не бойтесь делать ошибки — без них обучение не обходится!
yukhym.com
Второй замечательный предел — примеры решений
Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется второй замечательный предел и его следствия.
Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.
Здесь мы будем иметь дело со степенно-показательной функцией, у которой основание и показатель являются функциями от некоторой переменной: . Ее удобно представить как экспоненту: . В этой связи полезна следующая лемма.
Лемма о пределе степенно-показательной функции
Пусть – функции переменной x, имеющие конечные пределы:
. Здесь .
Тогда
.
Доказательство ⇓
В случае бесконечных пределов, или когда , мы проводим исследование произведения , применяя свойства пределов бесконечно больших и малых функций.
В случае и , мы имеем неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия используется второй замечательный предел.
Раскрытие неопределенности 1 в степени бесконечность
Пусть u и v есть функции от переменной x: . И пусть при . Тогда выражение является неопределенным при . Для раскрытия этой неопределенности, мы вводим переменную t из соотношения
.
Тогда . При .
;
.
Таким образом задача сводится к вычислению предела .
Доказательство леммы о пределе степенно-показательной функции
Примеры решений
Далее мы приводим подробные решения с объяснениями следующих пределов:
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Найти предел:
.
Решение
При , . Это неопределенность вида один в степени бесконечность.
Выполняем преобразования.
;
.
Сделаем замену переменной . При . Применим второй замечательный предел:
.
Находим предел дроби, разделив числитель и знаменатель на x:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑
.
Ответ
.
Пример 2
Найдите предел:
.
Решение
При , . при . Это неопределенность вида один в степени бесконечность. Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела.
Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.
Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.
Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Ответ
.
Пример 3
Найти предел последовательности:
.
Решение
При . Элементы последовательности равны единице. Поэтому . Рассмотрим случай .
При . Это неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия применим второй замечательный предел.
Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.
Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.
Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Эта формула справедлива и при .
Ответ
.
Пример 4
Найти предел:
.
Решение
Пусть . Рассмотрим функцию в проколотой окрестности точки , на которой . Для определения предела, функция должна быть определена на любой проколотой окрестности этой точки. Считаем, что . Тогда . При . Поэтому .
Теперь рассмотрим предел при .
При . У нас неопределенность вида 0/0.
Для ее раскрытия приведем степенно-показательную функцию к основанию e учитывая, что :
.
Согласно следствию второго замечательного предела:
.
В последнем множителе сделаем замену переменной:
.
При . Кроме этого, при . Тогда
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Это же значение является правильным и при .
Ответ
.
Пример 5
Найдите предел функции:
.
Решение
При . Это неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим следствия второго замечательного предела.
Преобразуем числитель дроби:
.
Преобразуем знаменатель:
.
Разделим числитель и знаменатель на x:
.
Чтобы не загромождать формулы, мы ввели обозначение .
Применяя первый замечательный предел и следствия второго, имеем:
; ; ; ; .
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Второй замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения
Второй замечательный предел имеет вид:
или в другой записи
В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .
Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.
Пример.
Вычислить предел
Решение.
Подставляем бесконечность:
Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.
Сделаем замену переменных. Пусть
Если , то
Исходный предел после замены примет вид:
Ответ:
Пример.
Вычислить предел
Решение.
Подставляем бесконечность:
Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:
Тогда предел запишется в виде:
Сделаем замену переменных. Пусть
Если , то
Исходный предел после замены примет вид:
В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.
Ответ:
Пример.
Вычислить предел
Решение.
Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел:
Сейчас домножим показатель на и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени:
Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях (см. непосредственное вычисление пределов):
Если произвести замену , то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно,
Ответ:
39.
Пусть и – бесконечно малые функции при . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при а функция имеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с при x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при . Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
|
40.
megaobuchalka.ru
Второй замечательный предел
Непрерывность показательной функции и логарифмической функции , а также теорема о непрерывности сложной функции позволяют утверждать, что степенно-показательная функция непрерывна всюду в области определения и
.
Пример 1. Найти а) ; б) ; в) .
Решение. а) При основание , показатель . Поэтому
= .б) При основание , показатель :
.
в) При основание , показатель :
.▲
Особый интерес представляют случаи, когда при вычислении предела степенно-показательной функции получаем неопределённость вида , или . Неопределённость вида (т.е. основание , а показатель ) раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Теорема.Предельное значение функции при существует и равно e (второй замечательный предел):
(1)
Следствие 1.Второй замечательный предел можно записать и в виде
(2)
Пример 2. Вычислить = .
Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (1):
▲
Пример 3. Вычислить = .
Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (2):
.▲
Формулам (1) и (2) можно придать другой вид. При стремлении аргумента к некоторому значению основание , значит, его можно представить в виде , где — бесконечно малая в точке функция. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом в виде (1) или (2), надо в показателе иметь бесконечно большую в точке функцию :
(3)
Пример 4. Вычислить = .
Решение. Основание при , здесь — бесконечно малая функция при . Чтобы воспользоваться формулой (3), надо в показателе поставить бесконечно большую функцию = :
,
так как .▲
Пример 5. Вычислить = .
Решение. Функция при , поэтому её можно представить в виде = , при :
, .
Значит, в показателе надо поставить = :
Здесь учтено, что ▲
Следствие 2. Предельное значение функции при существует и равно :
. (4)
В частности,
. (5)
Действительно,
.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Аргумент логарифма представлен в виде суммы , где — бесконечно малая при функция. Чтобы воспользоваться формулой (5), надо логарифм разделить на :
.
Здесь ▲
Следствие 3. Предельное значение функции при существует и равно :
. (6)
В частности,
. (7)
Действительно, введём новую переменную , при . В силу формулы (4) получаем:
.
Пример 7. Найти .
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (7), надо в знаменателе записать бесконечно малую в точке функцию :
.▲
Пример 8. Найти .
Решение. Первый способ. Сначала представим числитель в виде , а затем воспользуемся теоремой о пределе произведения, формулой (7) и первым замечательным пределом:
.
Второй способ. В числителе вычтем и прибавим единицу, в результате приходим к разности пределов:
.
Найдем
и .
Теперь .
Пример 9.Найти .
Решение. Прежде всего преобразуем числитель к виду , прибавляя и вычитая единицу:
.
Остаётся вычислить
,
.
Значит, =1. ▲
Замечание. Неопределённости вида и научимся раскрывать позже с помощью правила Лопиталя.
studopedya.ru
Замечательные примеры. Определение и примеры.
В этой статье будут рассмотрены первый и второй замечательные пределы. Мы дадим их определение и разберем на примерах случаи практического применения. Перед прочтением рекомендую сначала ознакомиться с предыдущей статьей о пределах.
Итак, замечательными пределами будем называть тождества вида:
Первый замечательный предел
Как при решении конкретной задачи увидеть и использовать первый замечательный предел? Для этого нужно выяснить, стремится ли к нулю аргумент синуса. Понятно, что далеко не всегда синус будет зависеть именно от . Чаще всего это будут некоторые выражения, но главное, чтобы они обращались в при подстановке предельного значения .
Пример 1. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Очевидно, что аргумент синуса стремится к нулю при .
Таким образом, для использования первого замечательно предела нужно получить в знаменателе дроби в точности аргумент синуса . Умножим числитель и знаменатель дроби на :
Предел выражения при равен единице, в соответствии с первым замечательным пределом.
Ответ:
[свернуть]
Пример 2. Вычислить предел
Решение: Подставляем предельное значение , получаем неопределенность вида .
В числителе имеем квадрат синуса, аргумент которого стремится к нулю. Следовательно, удобно будет воспользоваться первым замечательным пределом:
Ответ:
Здесь был дважды применен первый замечательный предел. Мы воспользовались тем фактом, что предел выражения равен при .
[свернуть]
Помимо стандартной формы записи первого замечательно предела, будет справедливо следующее равенство:
Рассмотрим пример с использованием данной модификации.
Пример 3. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Аргумент синуса стремится к нулю.
Для использования замечательного предела в числителе дроби должен иметь третью степень. Добьемся этого, умножив числитель и знаменатель дроби на :
Теперь, согласно первому замечательному пределу, вместо выражения можно просто написать :
Ответ:
[свернуть]
Разберем теперь пару примеров, в которых отсутствует синус, но его возможно получить, прибегнув к различным формулам тригонометрии.
Пример 4. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Синуса не видно, однако, можно поступить следующим образом: запишем тангенс как отношение синуса к косинусу.
Синус появился и аргумент его стремится к нулю — всё хорошо, можно применять первый замечательный предел:
Ответ:
[свернуть]
Пример 5. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Синуса опять не видно. Как его получить, чтобы воспользоваться замечательным пределом? Предлагаю умножить и разделить дробь на :
В числителе появилась формула разности квадратов . У нас есть ее левая часть, то есть , а . Имеем:
Синуса мы не получили, однако в числителе хорошо просматривается основное тригонометрическое тождество . Таким образом, вместо можем смело написать :
Ответ:
[свернуть]
И еще одна задача. Чтобы не было зацикливания на том, что обязательно 🙂
Пример 6. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида .
Как видим, не стремится к нулю, а вот выражение стремится. Для решения такой задачи удобно ввести замену . При этом понятно, что . Получаем:
Синуса нет, но его легко получить, расписав котангенс как отношение косинуса к синусу:
Ответ:
[свернуть]
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел служит для избавления от неопределенности вида . Таким образом, если при подстановке предельного значения была получена неопределенность , то сразу понимаем, что предстоит работа именно со вторым замечательным пределом.
Пример 7. Вычислить предел
Решение: Самое первое действие — подставляем предельное выражение . При этом , а всё выражение представляет собой неопределенность .
Наша задача состоит в том, чтобы получить запись вида
Умножим и разделим показатель степени на .
Видим выражение — это второй замечательный предел, заменяем его на букву .
Ответ:
[свернуть]
Замечание. — это иррациональное, равное , то есть приблизительно .
Пример 8. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения имеем неопределенность . Если с понимаем этого факта еще возникают сложности, читайте предыдущую статью о пределах.
В основании находится . Следовательно, в показателе степени должно оказаться выражение, обратное к , то есть . Чтобы ничего не изменилось, умножим и разделим показатель на .
Теперь выражение есть второй замечательный предел. Получаем:
Отдельно вычислим предел, обозначенный через :
Возвращаемся к решению исходного предела:
Ответ:
[свернуть]
В обоих разобранных примерах основание степени изначально имело вид «единица плюс выражение от икс». Однако, чаще всего студенту нужно выделить эту единицу самостоятельно:
Пример 10. Вычислить предел
Решение: При подстановке предельного значения получаем . Преобразуем основание степени, дробь, следующим образом:
Вновь мысленно подставляем предельное значение — получаем нашу неопределенность .
Ответ:
[свернуть]
Рассмотрим самую популярную при решении практических задач модификацию второго замечательного предела:
Буквально пару дней назад встретил интересную задачу как раз для этой формулы:
Пример 11. Вычислить предел
Решение: Икс не стремится ни к нулю, ни к бесконечности. Однако, при подстановке предельного значения мы вновь видим неопределенность . Прибавим и отнимем в основании степени единицу:
Теперь в основании появилась единица плюс выражение от икс, стремящееся к нулю. Используем модификацию второго замечательного предела:
В результате получили новый предел, с которым тоже нужно как-то разобраться. При подставке имеем неопределенность вида . Введем замену . При этом понятно, что .
Для тангенса применим формулу тангенса от суммы двух углов. Для косинуса применим формулу приведения.
Возвращаемся к исходному пределу:
Ответ:
[свернуть]
На этом всё. Надеюсь, что статья была полезна.
Удачи в освоении пределов замечательных и не очень! 🙂
higher-math.ru