Нахождение площади фигуры
Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).
В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b],
для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке[a;b].
Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.
В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.
Навигация по странице.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями
y=f(x) или x=g(y).Теорема.
Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле .
Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c,y=d, и : .
Доказательство.
Покажем справедливость формулы для трех случаев:
В
первом случае, когда обе функции
неотрицательные, в силу
Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.
Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:
В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:
Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.
Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок [a; b]на n частей , где . Фигуру Gможно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
Следовательно,
Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.
Графическая
иллюстрация общего случая. 
Таким образом, формула доказана.
Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).
К началу страницы
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиямиy=f(x) или x=g(y).
Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми , x=1, x=4.
Решение.
Построим эти линии на плоскости.
Всюду
на отрезке [1;4] график
параболы выше
прямой .
Поэтому, применяем полученную ранее
формулу для площади и вычисляем
определенный интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница: 
Немного усложним пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.
Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:
Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.
Обратите внимание.
В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке(2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.
Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:
Еще усложним задание.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .
Решение.
Построим график обратной пропорциональности и параболы .
Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .
При отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно уравнению третьей степени с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.
Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .
Разделив выражение на двучлен x-1, имеем:
Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения :
Теперь
из чертежа стало видно, что фигура G заключена
выше синей и ниже красной линии на
интервале .
Таким образом, искомая площадь будет
равна 
Рассмотрим еще один характерный пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и осью абсцисс.
Решение.
Сделаем чертеж.
— это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.
Найдем точки пересечения всех линий.
Ось абсцисс имеет уравнение y=0.
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как
Графики функций и пересекаются в точке (1;1), так как x=1является единственным корнем уравнения . Это утверждение не совсем очевидно, но — функция строго возрастающая, а — строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.
Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.
Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке . Следовательно, искомая площадь будет равна .
Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как .
- А можно фигуру G рассматривать на отрезке , заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.
Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида . То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x:
Таким образом, искомая площадь равна
Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.
Можно переходить к последнему примеру.
Пример.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции , синей линией , а черной линией .
Определим точки пересечения линий.
Начнем
с графиков функций и : 
Найдем
точку пересечения графиков функций и : 
Осталось найти точку пересечения прямых и :
Дальше можно поступить двояко:
Тогда площадь фигуры равна:
Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:
Таким
образом, площадь равна: 
Как видите, значения совпадают.
К началу страницы
Подведем итог.
Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.
studfiles.net
Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.
Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f(x), осью OX и линиями x = a; x = b.
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
.
У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решениймы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Рассмотрим определенный интеграл
.
Подынтегральная функция
задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX):
Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке [-2; 1] график функции y = x2 + 2 расположен над осьюOX, поэтому:
.
Ответ: .
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница
,
обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений. После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осьюOX?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e—x, x = 1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то её площадь можно найти по формуле:
.
В данном случае:
.
Ответ: .
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x2, y = —x.
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x2 и прямой y = —x. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
.
Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».
А теперь рабочая формула:
Если на отрезке [a; b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ(относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0; 3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x2 необходимо вычесть –x.
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x2 сверху и прямой y = —x снизу.
На отрезке [0; 3] 2x – x2 ≥ —x. По соответствующей формуле:
.
Ответ: .
На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы
.
Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g(x) расположен ниже оси OX, то
.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, .
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, .
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.
Далее, реальный случай:
Пример 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x+1;
2) На отрезке [1; 3] над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x).
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, .
Представим уравнения в «школьном» виде
, .
и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?
Может быть, a=(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a=(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения графиков
и .
Для этого решаем уравнение:
.
, .
Следовательно, a=(-1/3).
Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке
, ,
по соответствующей формуле:
Ответ:
В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, , .
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций. В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:
– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке [0; π] график функции y = sin3x расположен над осью OX, поэтому:
(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций. Отщипываем один синус.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде
(3) Проведем замену переменной t = cos x, тогда:
Новые переделы интегрирования:
У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.
.
(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла
,
расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке
Ответ: .
Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, , .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ ниже.
Рассмотрим интересный пример с арккотангенсом:
Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
;
и координатными осями. Полного решения не будет. Правильный ответ:
.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Выполним чертеж:
На отрезке [2; 4] график функции y = 4/x расположен над осью OX, поэтому:
.
Ответ:
Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно.
Пример 5: Решение: Выполним чертеж:
На отрезке [-1; 3] , , по соответствующей формуле:
.
Ответ:
Пример 6: Решение: Выполним чертеж.
На отрезке [1; 3], (4-x)≥(3/x), по соответствующей формуле:
.
Ответ:
Пример 10: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
.
Ответ:
.
Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества
.
Далее в интегралах использован метод подведения функций под знак дифференциала (можно использовать замену в определенном интеграле, но решение будет длиннее).
infopedia.su
11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. Сделать чертеж.
1. , | 2. , |
3. , | 4. , |
5. , | 6. , |
7., | 8. , |
9. , | 10. , |
11. , | 12. , |
13. , | 14. , |
15. , | 16., |
17., | 18. , |
19., | 20., |
21. , | 22. , |
23. , | 24. , |
25. , | 26. , |
27. , | 28. , |
29. , | 30. , |
12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. Сделать чертеж.
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. |
16. | 17. | 18. |
19. | 20. | 21. |
22. | 23. | 24. |
25. | 26. | 27. |
28. | 29. | 30. |
13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. ;
26. ;
27. ;
28. ;
29. ;
30. .
14. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
1. ,, ось вращенияOX.
2. ,, ось вращенияOY.
3. ,, ось вращенияOX.
4. ,, ось вращенияOY.
5. ,, ось вращенияOX.
6. ,, ось вращенияOY.
7. ,, ось вращенияOX.
8. ,,, ось вращенияOY.
9. ,, ось вращенияOX.
10. ,,,, ось вращенияOY.
11. ,, ось вращенияOX.
12. ,, ось вращенияOY.
13. ,, ось вращенияOX.
14. ,, ось вращенияOY.
15. ,, ось вращенияOX.
16. ,, ось вращенияOY.
17. ,, ось вращенияOX.
18. ,,,, ось вращенияOY.
19. ,, ось вращенияOX.
20. ,, ось вращенияOY.
21. ,, ось вращенияOX.
22. ,, ось вращенияOY.
23. ,, ось вращенияOX.
24. ,, ось вращенияOY.
25. ,, ось вращенияOX.
26. ,, ось вращенияOY.
27. ,, ось вращенияOX.
28. ,, ось вращенияOY.
29. ,, ось вращенияOX.
30. ,, ось вращенияOY.
15. Выяснить сходимость несобственного интеграла.
1. ; | 2. ; | 3. ; |
4. ; | 5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; | 9. ; |
10. ; | 11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; | 15. ; |
16. ; | 17. ; | 18.; |
19. ; | 20. ; | 21.; |
22. ; | 23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; | 27. ; |
28. ; | 29. ; | 30. . |
studfiles.net