ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число – , , .

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ являСтся Π»ΠΈ число ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Как извСстно, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ относится ΠΈ ΠΊ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числам, ΠΈ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ дСсятичным ΠΈ ΠΊ бСсконСчным пСриодичСским дСсятичным дробям. БСсконСчныС нСпСриодичСскиС дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями, это — ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ относятся ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚.Π΅. Π½ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅, Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° m/n (mΒ β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, n – Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅), ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. НапримСр, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 = 1,414213…; число ΠΏΠΈ = 3,14159…; ΠΏΠΈ Π² n-ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΏΡ€ΠΈ этом nΒ β€” число Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 0, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅. ВсякоС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчной нСпСриодичСской дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ любая нСпСриодичСская Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ прСдставляСт ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа большС Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, стСпСнСй ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ мноТСство ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл — I, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ равняСтся I = R/Q. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ R ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Q прСдставляСт мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Над мноТСством ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ всС Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ арифмСтичСскиС дСйствия, Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, Ρƒ этого мноТСства отсутствуСт свойство замкнутости, Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ВмСстС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ:
Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅, ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ числа; бСсконСчныС ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ пСриодичСскиС дСсятичныС ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ; ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, сумма, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, частноС ΠΎΡ‚ дСлСния (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0) 2-Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Если Π² арифмСтичСских опСрациях участвуСт Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получится ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, 1 + 3,14… = 4,14… Если ΠΆΠ΅ арифмСтичСскиС дСйствия ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ лишь с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. НапримСр, Ссли Π» ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 (Ρ‚. Π΅. Π΄Π²Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числа), Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число 2. А Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл: (ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3) Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 6. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° 0 Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число 0.

Π’ числах, прСдставлСнных Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, стСпСнСй ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ слоТно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ быстро ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ точности.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ являСтся Π»ΠΈ число ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ

infofaq.ru

πŸ“Œ Π§Π˜Π‘Π›Πž Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• — это… πŸŽ“ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π§Π˜Π‘Π›Πž Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•?

ο»Ώ
Π§Π˜Π‘Π›Πž Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•

Π§Π˜Π‘Π›Πž, Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•, число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π¦2 ΠΈ число p. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа — это числа с бСсконСчным числом (нСпСриодичСских) Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой. (Однако ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²Π΄ΠΎΠΉ: Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

1/3, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.) Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа вмСстС с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ (см. число Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•) ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (число Π”Π•Π™Π‘Π’Π’Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠžΠ•).

Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ.

  • Π•Π₯Π 
  • Π§Π˜Π‘Π›Πž ΠšΠžΠ›Π˜Π§Π•Π‘Π’Π’Π•ΠΠΠžΠ•

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ «Π§Π˜Π‘Π›Πž Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•» Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… словарях:

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž Π’Π ΠΠΠ‘Π¦Π•ΠΠ”Π•ΠΠ’ΠΠžΠ• β€” Π§Π˜Π‘Π›Πž, Π’Π ΠΠΠ‘Π¦Π•ΠΠ”Π•ΠΠ’ΠΠžΠ•, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (см. число, Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•), Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ алгСбраичСского уравнСния с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами. НапримСр, число ΠΈ число Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ трансцСндСнтными числами, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° как… … Β  Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• Π§Π˜Π‘Π›Πž β€” Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• Π§Π˜Π‘Π›Πž, см. Π§Π˜Π‘Π›Πž Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• … Β  Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž Π• β€” Π§Π˜Π‘Π›Πž Β«Π•Β» (Π•Π₯Π ), ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, слуТащСС основаниСм Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€ΠœΠžΠ’. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ дСсятичноС число, бСсконСчная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, равная 2,7182818284590…., являСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ выраТСния (1/ ) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏ, стрСмящСмся ΠΊ бСсконСчности. По сути,… … Β  Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž Π”Π•Π™Π‘Π’Π’Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠžΠ• β€” Π§Π˜Π‘Π›Πž, Π”Π•Π™Π‘Π’Π’Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠžΠ•, ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам относятся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Они ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичных Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚ комплСксных чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π° + bi (Π³Π΄Π΅ i = Π¦ … Β  Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• β€” Π§Π˜Π‘Π›Πž, Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ•, число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ a/b, Π³Π΄Π΅ Π° ΠΈ b Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа (b Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ). Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ всС Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записано Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, называСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом (см.… … Β  Научно-тСхничСский энциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • Число (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ.) β€” Число, ваТнСйшСС матСматичСскоС понятиС. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΠ² Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‚Π½ΠΎΠΌ общСствС, понятиС Π§. измСнялось Π½Π° протяТСнии Π²Π΅ΠΊΠΎΠ², постСпСнно ΠΎΠ±ΠΎΠ³Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ содСрТаниСм ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ сфСры чСловСчСской Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ связанного с ним… … Β  Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

  • Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠžΠ• Π§Π˜Π‘Π›Πž β€” число, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‰Π΅Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ m/n, Π³Π΄Π΅ m ΠΈ n Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны бСсконСчными нСпСриодичСскими дСсятичными дробями … Β  Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

  • ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число β€” β€” [А.Π‘.Π“ΠΎΠ»ΡŒΠ΄Π±Π΅Ρ€Π³. Англо русский энСргСтичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ. 2006 Π³.] Π’Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ энСргСтика Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ EN irrational number … Β  Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ тСхничСского ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΊΠ°

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž β€” абстрактноС, лишСнноС особСнного содСрТания ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎΠ»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ряда, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ этому Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ слСдуСт Π·Π° Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΄Ρ€. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½; абстрактный ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ мноТСство от… … Β  Ѐилософская энциклопСдия

  • Π§Π˜Π‘Π›Πž e β€” Число, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 2,718, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ часто встрСчаСтся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ СстСствСнных Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ…. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ распадС Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ вСщСства ΠΏΠΎ истСчСнии Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t ΠΎΡ‚ исходного количСства вСщСства остаСтся доля, равная e kt, Π³Π΄Π΅ k число,… … Β  ЭнциклопСдия ΠšΠΎΠ»ΡŒΠ΅Ρ€Π°

dic.academic.ru

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число β€” ВикипСдия

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°ΜΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число́ — это вСщСствСнноС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π³Π΄Π΅ Β β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчной нСпСриодичСской дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обозначаСтся Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ латинской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ€Π½ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· Π·Π°Π»ΠΈΠ²ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств вСщСствСнных ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

О сущСствовании ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², нСсоизмСримых с ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π·Π½Π°Π»ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: ΠΈΠΌ Π±Ρ‹Π»Π° извСстна, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π΅ΡΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΈ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ числа .

  • Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.
  • Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ сСчСния Π²ΠΎ мноТСствС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ классС Π½Π΅Ρ‚ наибольшСго, Π° Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‚ наимСньшСго числа.
  • КаТдоС вСщСствСнноС трансцСндСнтноС число являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.
  • КаТдоС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число являСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ алгСбраичСским, Π»ΠΈΠ±ΠΎ трансцСндСнтным.
  • ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎ Π½Π° числовой прямой: ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ двумя Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами имССтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
  • ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π° мноТСствС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π΅Π½ порядку Π½Π° мноТСствС вСщСствСнных трансцСндСнтных чисСл.
  • ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл нСсчётно, являСтся мноТСством Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ.[1]

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Допустим ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅: Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π³Π΄Π΅ Β β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Π° Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚:

.

Π’ каноничСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства число 2 Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни, Π° Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 2n2Β β€” Π² Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ равСнство m2=2n2 Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, исходноС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ Β β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π”Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа 3[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Допустим ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅: Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π³Π΄Π΅ ΠΈ Β β€” Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Но Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Π° правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ равСнства Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Π°. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅.

e[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Π‘ΠΌ. Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΒ» Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Β«eΒ».

ΠΠ½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π±Ρ‹Π»Π° нСявным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ воспринята индийскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² VII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ нашСй эры, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Манава (ΠΎΠΊ. 750Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.Β β€” ΠΎΠΊ. 690Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.) выяснил, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ 2 ΠΈ 61, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ явно Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹[источник нС указан 1371 дСнь].

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ сущСствования ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ приписываСтся Гиппасу ΠΈΠ· ΠœΠ΅Ρ‚Π°ΠΏΠΎΠ½Ρ‚Π° (ΠΎΠΊ. 500Β Π³Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.), ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Ρƒ. Π’ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Π΅Π² ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Сдиная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, достаточно малая ΠΈ нСдСлимая, которая Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Ρ€Π°Π· Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² любой ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ[источник нС указан 1371 дСнь

].

НСт Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Гиппасом. Богласно Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π½Π°ΡˆΡ‘Π» Π΅Π³ΠΎ изучая Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон ΠΏΠ΅Π½Ρ‚Π°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС[источник нС указан 1342 дня].

ГрСчСскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π»ΠΈ это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСсоизмСримых Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ алогос (Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ согласно Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π°ΠΌ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π΄Π°Π»ΠΈ Гиппасу Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уваТСния. БущСствуСт Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Гиппас ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ» ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡΡŒ Π² морском ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π΅, ΠΈ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ Π·Π° Π±ΠΎΡ€Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Π°ΠΌΠΈ Β«Π·Π° созданиС элСмСнта всСлСнной, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС сущности Π²ΠΎ всСлСнной ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ свСдСны ΠΊ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числам ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΒ». ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Гиппаса поставило ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ пифагорСйской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠΈΠ² лСТавшСС Π² основС всСй Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числа ΠΈ гСомСтричСскиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹.

Π€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΡ€ ΠšΠΈΡ€Π΅Π½ΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π΄ΠΎ 17 (ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ, СстСствСнно, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹Β β€” 1, 4, 9 ΠΈ 16), Π½ΠΎ остановился Π½Π° этом, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ имСвшаяся Π² Π΅Π³ΠΎ инструмСнтарии Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π΅ позволяла Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 17. По ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, историками ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ высказано нСсколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Богласно Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌΡƒ

[2] ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π–Π°Π½Π° Π˜Ρ‚Π°Ρ€Π°[fr], ΠΎΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ основано Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число дСлится Π½Π° восСмь с остатком ΠΎΠ΄ΠΈΠ½[3].

ПозТС Евдокс Книдский (410 ΠΈΠ»ΠΈ 408Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.Β β€” 355 ΠΈΠ»ΠΈ 347Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.) Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ» Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΉ, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π° Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π­Ρ‚ΠΎ послуТило основаниСм для понимания Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сути ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° стала ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ числом, Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сущностСй, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ прямых, ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈΒ β€” сущностСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ (Π² соврСмСнном ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ этого слова). Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ противопоставлСны числам, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ лишь Β«ΠΏΡ€Ρ‹ΠΆΠΊΠ°ΠΌΠΈΒ» ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊ сосСднСму, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с 4 Π½Π° 5. Числа ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· наимСньшСй Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ бСсконСчно.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ количСствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Евдокс смог ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ соизмСримыС, ΠΈ нСсоизмСримыС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ равСнства Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π£Π±Ρ€Π°Π² ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ количСствСнныС значСния (числа), ΠΎΠ½ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Π» Π»ΠΎΠ²ΡƒΡˆΠΊΠΈ, состоящСй Π² нСобходимости Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ числом. ВСория Евдокса ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»Π° грСчСским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСвСроятный прогрСсс Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, прСдоставив ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ логичСскоС обоснованиС для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с нСсоизмСримыми Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. «Книга 10 Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²Β» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° посвящСна классификации ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΠ°[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΠ° ознамСновались принятиСм Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… понятий ΠΊΠ°ΠΊ ноль, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ числа, спСрва индийскими, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ китайскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ПозТС ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ арабскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ стали ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа алгСбраичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ (наряду ΠΈ Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²Π°Ρ… с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΡŒ дисциплину, Π½Ρ‹Π½Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ.

АрабскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ соСдинили дрСвнСгрСчСскиС понятия «числа» ΠΈ Β«Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Β» Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡƒΡŽ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ идСю вСщСствСнных чисСл. Они критичСски ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΊ прСдставлСниям Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…, Π² противовСс Π΅ΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ»ΠΈ понятиС числа Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π’ своих коммСнтариях Π½Π° ΠšΠ½ΠΈΠ³Ρƒ 10 Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, пСрсидский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Аль ΠœΠ°Ρ…Π°Π½ΠΈ (ΠΎΠΊ 800Β Π³Π³. Π½. э.) исслСдовал ΠΈ классифицировал ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (числа Π²ΠΈΠ΄Π°) ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ кубичСскиС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Он Π΄Π°Π» ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Он Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» этими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ рассуТдал ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± обособлСнных ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ [Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ] являСтся, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 10, 12, 3%, 6% ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эти Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ произнСсСны ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ количСствСнно. Π§Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произнСсти ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ количСствСнно. НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ чисСл Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ 10, 15, 20 β€” Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

Π’ противовСс ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΡƒΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ прямых, Аль ΠœΠ°Ρ…Π°Π½ΠΈ считал Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π²Π΅Π» арифмСтичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ мноТСству ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ слоТСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ вычитания Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ вычитания ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ЕгипСтский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Абу Камил (ΠΎΠΊ. 850Β Π³. Π½. э.Β β€” ΠΎΠΊ. 930Β Π³. Π½. э.) Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ, ΠΊΡ‚ΠΎ счСл ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ коэффициСнтами Π² уравнСниях — Π² основном, Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ кубичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни. Π’ X Π²Π΅ΠΊΠ΅ иракский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Аль Π₯ашими Π²Ρ‹Π²Π΅Π» ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° (Π° Π½Π΅ наглядныС гСомСтричСскиС дСмонстрации) ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ произвСдСния, частного ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… матСматичСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Ал Π₯Π°Π·ΠΈΠ½ (900Β Π³. Π½. э.Β β€” 971Β Π³. Π½. э.) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° содСрТится Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Ρ€Π°Π·, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° эта [данная] Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° соотвСтствуСт Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌΡƒ числу… КаТдая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая составляСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈΠ»ΠΈ, сравнСнная с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ составляСт Ρ‚Ρ€ΠΈ пятых ΠΎΡ‚ Π½Π΅Ρ‘, это Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. И Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ, всякая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая относится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Если ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ΠΊΠ°ΠΊ нСсколько ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (l/n), ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько частСй (m/n) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΠ½Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСвыразимая ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

МногиС ΠΈΠ· этих ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ пСрСняты СвропСйскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ послС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ арабских тСкстов Π² XII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Аль Π₯ассар, арабский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈΠ· ΠœΠ°Π³Ρ€ΠΈΠ±Π°, ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ Π½Π° исламских Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… ΠΎ наслСдствС, Π² XII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²Π²Π΅Π» ΡΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ для Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ. Π’Π° ΠΆΠ΅ нотация появилась Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ Π² XIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ XIVβ€”XVIΒ Π²Π². ΠœΠ°Π΄Ρ…Π°Π²Π° ΠΈΠ· Π‘Π°Π½Π³Π°ΠΌΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΡ‹ ΠΈ прСдставитСли ΠšΠ΅Ρ€Π°Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ астрономии ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ исслСдовали бСсконСчныС ряды, сходящиСся ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊ Ο€, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ДТСстадСва ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π» эти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Β«Π™ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ±Ρ…Π°Π·Π°Β».

НовоС врСмя[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Π’ XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΡƒΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ комплСксныС числа, Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… внСсли Абрахам Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€ (1667β€”1754) ΠΈ Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ (1707β€”1783). Когда тСория комплСксных чисСл Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ стала Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ, стало Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° алгСбраичСскиС ΠΈ трансцСндСнтныС (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π² ΠΏΡ€ΠΈ этом сущСствованиС трансцСндСнтных чисСл), Ρ‚Π΅ΠΌ самым пСрСосмыслив Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ΠΏΠΎ классификации ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. По этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π² 1872 Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠ°, Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅, ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄Π°. Π₯отя Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² 1869 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠœΠ΅Ρ€Ρ Π½Π°Ρ‡Π°Π» рассмотрСния, схоТиС с Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ 1872 Π³ΠΎΠ΄ принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ роТдСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡ, ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅ обосновывали свои Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ бСсконСчных рядов, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» с (Π½Ρ‹Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ) Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сСчСниСм мноТСства вСщСствСнных чисСл, раздСляя всС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° Π΄Π²Π° мноТСства с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ характСристичСскими свойствами.

Π¦Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, тСсно связанныС с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами (цСпная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число, бСсконСчна Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° число являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ), Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ исслСдованы ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ΄ΠΈ Π² 1613 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ снова ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ»ΠΈ ΠΊ сСбС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ XIX Π²Π΅ΠΊΠ°Β β€” Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°. Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ внёс Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

Π’ 1761 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ο€ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ eⁿ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ n. Π₯отя Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΡ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌ, принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ достаточно строгим, особСнно учитывая врСмя Π΅Π³ΠΎ написания. Π›Π΅ΠΆΠ°Π½Π΄Ρ€ Π² 1794 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, послС ввСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ БСссСля β€” ΠšΠ»ΠΈΡ„Ρ„ΠΎΡ€Π΄Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ π² ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€ слСдуСт Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ (Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅). БущСствованиС трансцСндСнтных чисСл Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π›ΠΈΡƒΠ²ΠΈΠ»Π»Π΅ΠΌ Π² 1844β€”1851 Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ…. ПозТС Π“Π΅ΠΎΡ€Π³ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ (1873) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΈΡ… сущСствованиС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΈ обосновал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» вСщСствСнного ряда содСрТит бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ трансцСндСнтных чисСл. Π¨Π°Ρ€Π»ΡŒ Π­Ρ€ΠΌΠΈΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π² 1873 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ e трансцСндСнтно, Π° Π€Π΅Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π½Π΄ Π›ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΌΠ°Π½ Π² 1882 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° этом Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ†Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π›ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΌΠ°Π½Π½Π° Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠΎΠΌ Π² 1885 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π΅Ρ‰Ρ‘ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π”Π°Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ Π² 1893 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ элСмСнтарного ΠΠ΄ΠΎΠ»ΡŒΡ„ΠΎΠΌ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π΅ΠΌ ΠΈ ΠŸΠ°ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π“ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠΌ.

www.wikiznanie.ru

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠžΡ‚ абстрактности матСматичСских понятий ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡ‚ΡΡ‚Ρ€Π°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСвольно Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ: Β«Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ это всё?Β». Но, нСсмотря Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, всС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. – Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ насущныС потрСбности. ОсобСнно Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ появлСния Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств.

Всё Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ с появлСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. И, хотя, вряд Π»ΠΈ сСйчас ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ смоТСт ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ, Π½ΠΎ скорСС всСго, Π½ΠΎΠ³ΠΈ Ρƒ Ρ†Π°Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°ΡƒΠΊ растут ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°-Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ‰Π΅Ρ€Ρ‹. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, анализируя количСство ΡˆΠΊΡƒΡ€, ΠΊΠ°ΠΌΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ соплСмСнников, Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» мноТСство «чисСл для счёта». И этого Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Π»ΠΎ достаточно. Π”ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅.

Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΡˆΠΊΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΌΠ½ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² арифмСтичСских опСрациях, Π° вмСстС с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° m/n, Π³Π΄Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, m — количСство ΡˆΠΊΡƒΡ€, n – количСство соплСмСнников.

Казалось Π±Ρ‹, ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ матСматичСского Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Тизнью. Но вскорС оказалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Π½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ! И, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π½Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числитСля ΠΈ знамСнатСля. Или, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, всСм извСстноС число Пи, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ дрСвнСгрСчСским ΡƒΡ‡Ρ‘Π½Ρ‹ΠΌ АрхимСдом, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. И Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΉ со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ стало Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Β«Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈΒ» числа объСдинили ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

РассмотрСнныС Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ мноТСства ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… понятий ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π½Π΅ получится ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простыС матСматичСскиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹. Но это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΉ (с Π³Ρ€Π΅Ρ‡. «высказывания») ΠΈΠ»ΠΈ постулатов. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ свойства Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… мноТСств.

o Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ сСчСния Π² мноТСствС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ классС Π½Π΅Ρ‚ наибольшСго, Π° Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‚ наимСньшСго числа.

o КаТдоС трансцСндСнтноС число являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

o КаТдоС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число являСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ алгСбраичСским, Π»ΠΈΠ±ΠΎ трансцСндСнтным.

o ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎ Π½Π° числовой прямой: ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ двумя числами имССтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

o ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл нСсчётно, являСтся мноТСством Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Бэра.

o Π­Ρ‚ΠΎ мноТСство упорядочСнноС, Ρ‚. Π΅. для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл a ΠΈb ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… мСньшС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ.
o ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌΠΈ двумя Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами сущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ бСсконСчноС мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

o АрифмСтичСскиС дСйствия (слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π½Π°Π΄ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ двумя Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами всСгда Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ число. Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ являСтся Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

o КаТдоС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчной пСриодичСской).

www.kakprosto.ru

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число β€” WiKi

ΠΠ½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π±Ρ‹Π»Π° нСявным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ воспринята индийскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² VII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ нашСй эры, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Манава (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 750β€”690 Π³ΠΎΠ΄Π° Π΄ΠΎ нашСй эры) выяснил, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ 2 ΠΈ 61, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ явно Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹[источник Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ 1363 дня].

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ сущСствования ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ сущСствованиС нСсоизмСримых ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ приписываСтся ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Ρƒ Гиппасу ΠΈΠ· ΠœΠ΅Ρ‚Π°ΠΏΠΎΠ½Ρ‚Π° (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 470 Π³ΠΎΠ΄ до нашСй эры). Π’ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Π΅Π² ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Сдиная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, достаточно малая ΠΈ нСдСлимая, которая Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Ρ€Π°Π· Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² любой ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ[источник Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ 1363 дня].

НСт Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Гиппасом. Богласно Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π½Π°ΡˆΡ‘Π» Π΅Π³ΠΎ, изучая Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон ΠΏΠ΅Π½Ρ‚Π°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.[3] ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊ сторонС Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.

ГрСчСскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π»ΠΈ это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСсоизмСримых Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ алогос (Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ согласно Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π°ΠΌ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π΄Π°Π»ΠΈ Гиппасу Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уваТСния. БущСствуСт Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Гиппас ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ» ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡΡŒ Π² морском ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π΅, ΠΈ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ Π·Π° Π±ΠΎΡ€Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Π°ΠΌΠΈ Β«Π·Π° созданиС элСмСнта всСлСнной, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС сущности Π²ΠΎ всСлСнной ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ свСдСны ΠΊ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числам ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΒ». ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Гиппаса поставило ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ пифагорСйской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠΈΠ² лСТавшСС Π² основС всСй Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числа ΠΈ гСомСтричСскиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹.

Π€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΡ€ ΠšΠΈΡ€Π΅Π½ΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»[4] ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π΄ΠΎ 17 (ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ, СстСствСнно, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹Β β€” 1, 4, 9 ΠΈ 16), Π½ΠΎ остановился Π½Π° этом, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ имСвшаяся Π² Π΅Π³ΠΎ инструмСнтарии Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π΅ позволяла Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 17. По ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, историками ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ высказано нСсколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Богласно Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌΡƒ[5] ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π–Π°Π½Π° Π˜Ρ‚Π°Ρ€Π°[fr], ΠΎΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ основано Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число дСлится Π½Π° восСмь с остатком ΠΎΠ΄ΠΈΠ½[6].

ПозТС Евдокс Книдский (410 ΠΈΠ»ΠΈ 408Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.Β β€” 355 ΠΈΠ»ΠΈ 347Β Π³. Π΄ΠΎΒ Π½. э.) Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ» Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΉ, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π° Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π­Ρ‚ΠΎ послуТило основаниСм для понимания Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сути ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° стала ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ числом, Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сущностСй, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ прямых, ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈΒ β€” сущностСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ (Π² соврСмСнном ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ этого слова). Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ противопоставлСны числам, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ лишь Β«ΠΏΡ€Ρ‹ΠΆΠΊΠ°ΠΌΠΈΒ» ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊ сосСднСму, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с 4 Π½Π° 5. Числа ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· наимСньшСй Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ бСсконСчно.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ количСствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Евдокс смог ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ соизмСримыС, ΠΈ нСсоизмСримыС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ равСнства Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π£Π±Ρ€Π°Π² ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ количСствСнныС значСния (числа), ΠΎΠ½ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Π» Π»ΠΎΠ²ΡƒΡˆΠΊΠΈ, состоящСй Π² нСобходимости Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ числом. ВСория Евдокса ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»Π° грСчСским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСвСроятный прогрСсс Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, прСдоставив ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ логичСскоС обоснованиС для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с нСсоизмСримыми Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. ДСсятая ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° посвящСна классификации ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΠ°

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΠ° ознамСновались принятиСм Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… понятий ΠΊΠ°ΠΊ ноль, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ числа, спСрва индийскими, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ китайскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ПозТС ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ арабскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ стали ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа алгСбраичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ (наряду ΠΈ Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²Π°Ρ… с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΡŒ дисциплину, Π½Ρ‹Π½Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ.

АрабскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ соСдинили дрСвнСгрСчСскиС понятия «числа» ΠΈ Β«Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Β» Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡƒΡŽ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ идСю вСщСствСнных чисСл. Они критичСски ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΊ прСдставлСниям Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…, Π² противовСс Π΅ΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ»ΠΈ понятиС числа Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π’ своих коммСнтариях Π½Π° ΠšΠ½ΠΈΠ³Ρƒ 10 Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, пСрсидский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Аль ΠœΠ°Ρ…Π°Π½ΠΈ (ΠΎΠΊ 800Β Π³Π³. Π½. э.) исслСдовал ΠΈ классифицировал ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (числа Π²ΠΈΠ΄Π°) ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ кубичСскиС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Он Π΄Π°Π» ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Он Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» этими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ рассуТдал ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± обособлСнных ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Β Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ [Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ] являСтся, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 10, 12, 3%, 6% ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эти Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ произнСсСны ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ количСствСнно. Π§Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произнСсти ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ количСствСнно. НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ чисСл Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ 10, 15, 20 β€” Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.Β 

Π’ противовСс ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΡƒΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ прямых, Аль ΠœΠ°Ρ…Π°Π½ΠΈ считал Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π²Π΅Π» арифмСтичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ мноТСству ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

Β Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ слоТСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ вычитания Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ вычитания ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.Β 

ЕгипСтский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Абу Камил (ΠΎΠΊ. 850Β Π³. Π½. э.Β β€” ΠΎΠΊ. 930Β Π³. Π½. э.) Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ, ΠΊΡ‚ΠΎ счСл ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ коэффициСнтами Π² уравнСниях — Π² основном, Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ кубичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни. Π’ X Π²Π΅ΠΊΠ΅ иракский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Аль Π₯ашими Π²Ρ‹Π²Π΅Π» ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° (Π° Π½Π΅ наглядныС гСомСтричСскиС дСмонстрации) ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ произвСдСния, частного ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… матСматичСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Ал Π₯Π°Π·ΠΈΠ½ (900Β Π³. Π½. э.Β β€” 971Β Π³. Π½. э.) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹:

Β ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° содСрТится Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Ρ€Π°Π·, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° эта [данная] Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° соотвСтствуСт Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌΡƒ числу… КаТдая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая составляСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈΠ»ΠΈ, сравнСнная с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ составляСт Ρ‚Ρ€ΠΈ пятых ΠΎΡ‚ Π½Π΅Ρ‘, это Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. И Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ, всякая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая относится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Если ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ΠΊΠ°ΠΊ нСсколько ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (l/n), ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько частСй (m/n) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΠ½Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСвыразимая ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.Β 

МногиС ΠΈΠ· этих ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ пСрСняты СвропСйскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ послС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ арабских тСкстов Π² XII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Аль Π₯ассар, арабский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈΠ· ΠœΠ°Π³Ρ€ΠΈΠ±Π°, ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ Π½Π° исламских Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… ΠΎ наслСдствС, Π² XII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²Π²Π΅Π» ΡΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ для Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ. Π’Π° ΠΆΠ΅ нотация появилась Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ Π² XIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ XIVβ€”XVIΒ Π²Π². ΠœΠ°Π΄Ρ…Π°Π²Π° ΠΈΠ· Π‘Π°Π½Π³Π°ΠΌΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΡ‹ ΠΈ прСдставитСли ΠšΠ΅Ρ€Π°Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ астрономии ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ исслСдовали бСсконСчныС ряды, сходящиСся ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊ Ο€, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ДТСстадСва ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π» эти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Β«Π™ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ±Ρ…Π°Π·Π°Β».

НовоС врСмя

Π’ XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΡƒΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ комплСксныС числа, Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… внСсли Абрахам Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€ (1667β€”1754) ΠΈ Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ (1707β€”1783). Когда тСория комплСксных чисСл Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ стала Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ, стало Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° алгСбраичСскиС ΠΈ трансцСндСнтныС (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π² ΠΏΡ€ΠΈ этом сущСствованиС трансцСндСнтных чисСл), Ρ‚Π΅ΠΌ самым пСрСосмыслив Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ΠΏΠΎ классификации ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. По этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π² 1872 Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠ°, Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅, ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄Π°. Π₯отя Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² 1869 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠœΠ΅Ρ€Ρ Π½Π°Ρ‡Π°Π» рассмотрСния, схоТиС с Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ 1872 Π³ΠΎΠ΄ принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ роТдСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡ, ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π“Π΅ΠΉΠ½Π΅ обосновывали свои Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ бСсконСчных рядов, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» с (Π½Ρ‹Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ) Π΄Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ сСчСниями мноТСства вСщСствСнных чисСл, раздСляя всС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° Π΄Π²Π° мноТСства с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ характСристичСскими свойствами.

Π¦Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, тСсно связанныС с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами (цСпная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число, бСсконСчна Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° число являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ), Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ исслСдованы ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ΄ΠΈ Π² 1613 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ снова ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ»ΠΈ ΠΊ сСбС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ XIX Π²Π΅ΠΊΠ°Β β€” Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°. Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ внёс Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π’ 1761 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŽ Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ο€{\displaystyle \pi }Β  Π½Π΅ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ex{\displaystyle e^{x}}Β  ΠΈ tg⁑x{\displaystyle \operatorname {tg} x}Β  ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ x{\displaystyle x}Β . Π₯отя Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΡ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌ, принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ достаточно строгим, особСнно учитывая врСмя Π΅Π³ΠΎ написания. Π›Π΅ΠΆΠ°Π½Π΄Ρ€ Π² 1794 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, послС ввСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ БСссСля β€” ΠšΠ»ΠΈΡ„Ρ„ΠΎΡ€Π΄Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ο€2{\displaystyle \pi ^{2}}Β  ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€{\displaystyle \pi }Β  слСдуСт Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ (Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅).

БущСствованиС трансцСндСнтных чисСл Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π›ΠΈΡƒΠ²ΠΈΠ»Π»Π΅ΠΌ Π² 1844β€”1851 Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ…. ПозТС Π“Π΅ΠΎΡ€Π³ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ (1873) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΈΡ… сущСствованиС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΈ обосновал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» вСщСствСнного ряда содСрТит бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ трансцСндСнтных чисСл. Π¨Π°Ρ€Π»ΡŒ Π­Ρ€ΠΌΠΈΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π² 1873 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ e трансцСндСнтно, Π° Π€Π΅Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π½Π΄ Π›ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΌΠ°Π½ Π² 1882 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° этом Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ†Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€{\displaystyle \pi }Β . Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π›ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΌΠ°Π½Π½Π° Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠΎΠΌ Π² 1885 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π΅Ρ‰Ρ‘ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π”Π°Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ Π² 1893 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ элСмСнтарного ΠΠ΄ΠΎΠ»ΡŒΡ„ΠΎΠΌ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π΅ΠΌ ΠΈ ΠŸΠ°ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π“ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠΌ.

ru-wiki.org

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число β€” Π’ΠΈΠΊΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅… Π­Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΠΌ НЕ ВикипСдия!

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (Π»Π°Ρ‚. irrationalis β€” Π½Π΅Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΎΡ‚ Π»Π°Ρ‚. in(ir) β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ приставка ΠΈ Π»Π°Ρ‚. ratio β€” счёт, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅) β€” вСщСствСнноС число, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Ρ‚. Π΅. Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны бСсконСчными нСпСриодичСскими дСсятичными дробями, Π½Π°ΠΏΡ€. . Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π½Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС числа ΠΈ трансцСндСнтныС числа. БущСствованиС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Π½Π°ΠΏΡ€., ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΊ Π΅Π³ΠΎ сторонС) Π±Ρ‹Π»ΠΎ извСстно Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² дрСвности. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π²Π²Ρ‘Π» М. Π¨Ρ‚ΠΈΡ„Π΅Π»ΡŒ (1544). Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ числа Π±Ρ‹Π»Π° установлСна И. Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ (1766). Бтрогая тСория ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π±Ρ‹Π»Π° построСна Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²ΠΎ 2-ΠΉ ΠΏΠΎΠ». 19 Π².

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (Π‘Ρ€ΠΎΠΊΠ³Π°ΡƒΠ· ΠΈ Π•Ρ„Ρ€ΠΎΠ½)[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ]

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число — Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π½ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π½ΠΈ арифмСтичСскими дробями, Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ бСсконСчными ΠΈ нСпСриодичСскими дСсятичными дробями; ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ особыми Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ) ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ (Π΅, Ο€). Полная, прСвосходная ΠΏΠΎ своСй строгости тСория И. чисСл, ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, нСсоизмСримых ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, сущСствовала ΡƒΠΆΠ΅ Ρƒ Π³Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π­Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π² V-ΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π΅Π³ΠΎ «ΠΠ°Ρ‡Π°Π»». Π’ настоящСС врСмя ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ взгляды Π³Π΅ΠΉΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Π³ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ профСссора ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π°. Для выяснСния сущности И. числа рассмотрим ряд чисСл

u1u2u3….. un… (1)

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ u Числа u1 u2 … un ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‚. Π΅. Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ извСстны ΠΈΠ· элСмСнтарной Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Если сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ разности (una) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сдСлано, ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом n, мСньшС всякого Π½Π°ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа Ξ΅, Ρ‚ΠΎ Π° называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ u. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ряд (1) ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ свойством:

числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ u n+m — un < Ξ΅… (2)
ΠΏΡ€ΠΈ всяком Ρ‚ (хотя Π±Ρ‹ Π΄Π°ΠΆΠ΅ зависящСм ΠΎΡ‚ n), ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом n.

Бвойство ряда (1), Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ нСравСнством (2), Π΅ΡΡ‚ΡŒ основноС для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСдлоТСния Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚. Π΅. пСрСмСнная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ряд частных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… свойством (2), ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа Π° (Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚, Ссли Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π° частныС значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ свойству, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ нСравСнством (2), Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта пСрСмСнная ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ И. число. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ И. число с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ 1/Ρ€ — это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ n частного значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ свойство (2), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для всСх Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², удовлСтворяСтся нСравСнство:

un+m — un < 1/p.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· uo, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число u ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ И., Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ извСстным рядом, с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 1/ p. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число uo ΠΈ вводится Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ вычислСния вмСсто И. числа. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° дСсятичная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

3,14159….

Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ дСсятичных ΠΈΠ΄ΡƒΡ‚ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚. Π΅. ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для продолТСния этих Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ряд Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π½Π΅ кончаСтся ΠΈ сколько Π±Ρ‹ ΠΈΡ… Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ написано, всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ссли ΠΏΠΎΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ряд Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ряда (1) Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚:

u1 = 3
u2 = 3,1
u3 = 3,14
u4 = 3,141
……………..
……………..


Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

u ΠΏ+Ρ‚un = 0,000… 00 Ξ±Ξ²Ξ³ … Ξ΄


Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ послС запятой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ n Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚ дСсятичных Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Ξ², Ξ³,… Ξ΄, число Ξ±Ξ²Ξ³… Ξ΄ < (Ξ± + 1)000… ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом n ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ нСзависимом ΠΎΡ‚ числа m, Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ (Ξ± + 1)/10n ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сдСлана ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ, Π°

un+mun < (Ξ± + 1)/10n

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ это нСравСнство ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто, сколько Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Ξ², Ξ³… Ξ΄, Ρ‚. Π΅. ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ всякая бСсконСчная дСсятичная нСпСриодичСская Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ опрСдСляСт всСгда Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ И. число, Π½Π°ΠΏΡ€. Ο€, Π΅ , √2 ΠΈ ΠΏΡ€. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ И. число с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 1/10 n это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ n дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ И. числа Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.

Π”. Π“Ρ€Π°Π²Π΅. Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½:Π‘Π­Π‘Π‘Π•

www.wikiznanie.ru

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *