Производная x^2/(3-4*x)
Дано$$\frac{x^{2}}{- 4 x + 3}$$
Подробное решение
Применим правило производной частного:
\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)
f{\left (x \right )} = x^{2}
и
g{\left (x \right )} = — 4 x + 3
$$ .Чтобы найти $$
\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
:В силу правила, применим:
x^{2}
получим
2 x
Чтобы найти
\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
:дифференцируем
— 4 x + 3
почленно:Производная постоянной
3
равна нулю.Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
В силу правила, применим:
x
получим
1
Таким образом, в результате:
-4
В результате:
-4
Теперь применим правило производной деления:
\frac{4 x^{2} + 2 x \left(- 4 x + 3\right)}{\left(- 4 x + 3\right)^{2}}
Теперь упростим:
\frac{2 x \left(- 2 x + 3\right)}{\left(4 x — 3\right)^{2}}
Ответ:
\frac{2 x \left(- 2 x + 3\right)}{\left(4 x — 3\right)^{2}}
Первая производная
2
2*x 4*x
——- + ———-
3 — 4*x 2
(3 — 4*x)
$$\frac{4 x^{2}}{\left(- 4 x + 3\right)^{2}} + \frac{2 x}{- 4 x + 3}$$
Вторая производная
/ 2
| 8*x 16*x |
2*|1 + ——- + ———-|
| 3 — 4*x 2|
(3 — 4*x) /
—————————-
3 — 4*x
$$\frac{1}{- 4 x + 3} \left(\frac{32 x^{2}}{\left(- 4 x + 3\right)^{2}} + \frac{16 x}{- 4 x + 3} + 2\right)$$
Третья производная/ 2
| 8*x 16*x |
24*|1 + ——- + ———-|
| 3 — 4*x 2|
(3 — 4*x) /
——————————
2
(3 — 4*x)
$$\frac{1}{\left(- 4 x + 3\right)^{2}} \left(\frac{384 x^{2}}{\left(- 4 x + 3\right)^{2}} + \frac{192 x}{- 4 x + 3} + 24\right)$$
Загрузка… log(9)^(x+2)*729*1/(log(9)^(x+2))*(-9)*x>0 100>=|15*x-14|+x >>uchimatchast.ru
| 1 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x | |
| 2 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 3 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 4 | Найти производную — d/dx | e^x | |
| 5 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 6 | Найти производную — d/dx | 1/x | |
| 7 | Найти производную — d/dx | x^2 | |
| 8 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 9 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 10 | Найти производную — d/dx | sin(x)^2 | |
| 11 | Найти производную — d/dx | sec(x) | |
| 12 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 13 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 14 | Вычислить | интеграл квадратного корня x по x | |
| 15 | Вычислить | натуральный логарифм 1 | |
| 16 | Вычислить | e^0 | |
| 17 | Вычислить | sin(0) | |
| 18 | Найти производную — d/dx | cos(x)^2 | |
| 19 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 20 | Вычислить | cos(0) | |
| 21 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | x^3 | |
| 23 | Найти производную — d/dx | sec(x)^2 | |
| 24 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 25 | Вычислить | интеграл arcsin(x) относительно x | |
| 26 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 27 | Вычислить | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 28 | Найти производную — d/dx | e^(x^2) | |
| 29 | Вычислить | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 30 | Найти производную — d/dx | sin(2x) | |
| 31 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 32 | Найти производную — d/dx | tan(x)^2 | |
| 33 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 34 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 35 | Найти производную — d/dx | 2^x | |
| 36 | График | натуральный логарифм a | |
| 37 | Вычислить | e^1 | |
| 38 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 39 | Вычислить | натуральный логарифм 0 | |
| 40 | Найти производную — d/dx | cos(2x) | |
| 41 | Найти производную — d/dx | xe^x | |
| 42 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 43 | Вычислить | интеграл 2x относительно x | |
| 44 | Найти производную — d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 45 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | 3x^2 | |
| 47 | Вычислить | натуральный логарифм 2 | |
| 48 | Вычислить | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 49 | Найти производную — d/dx | 2e^x | |
| 50 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 51 | Найти производную — d/dx | -sin(x) | |
| 52 | Вычислить | tan(0) | |
| 53 | Найти производную — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 54 | Найти производную — d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 55 | Найти производную — d/dx | 2x^2 | |
| 56 | Вычислить | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 57 | Вычислить | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 58 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 59 | Найти производную — d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 60 | Вычислить | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 61 | Вычислить | sec(0) | |
| 62 | Вычислить | e^infinity | |
| 63 | Вычислить | 2^4 | |
| 64 | Найти производную — d/dx | x/2 | |
| 65 | Вычислить | 4^3 | |
| 66 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 67 | Найти производную — d/dx | sin(3x) | |
| 68 | Вычислить | натуральный логарифм 1/e | |
| 69 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 70 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 71 | Найти производную — d/dx | 1/(x^3) | |
| 72 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 73 | Вычислить | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 74 | Вычислить | интеграл 1 относительно x | |
| 75 | Найти производную — d/dx | x^x | |
| 76 | Найти производную — d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 77 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 78 | Найти производную — d/dx | x^4 | |
| 79 | Вычислить | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 80 | Вычислить | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 81 | Найти производную — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 82 | Найти производную — d/dx | x^2sin(x) | |
| 83 | Вычислить | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 84 | Найти производную — d/dx | 3e^x | |
| 85 | Вычислить | интеграл xe^x относительно x | |
| 86 | Найти производную — d/dx | y=x^2 | |
| 87 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 88 | Найти производную — d/dx | sin(x^2) | |
| 89 | Вычислить | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 90 | Вычислить | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 91 | Вычислить | 2^5 | |
| 92 | Найти производную — d/dx | e^2 | |
| 93 | Найти производную — d/dx | x^2+1 | |
| 94 | Вычислить | интеграл sin(x) относительно x | |
| 95 | Вычислить | 2^3 | |
| 96 | Найти производную — d/dx | arcsin(x) | |
| 97 | Вычислить | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 98 | Вычислить | e^2 | |
| 99 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 100 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x |
www.mathway.com
Производная.Таблица производных. Найти производную функции.
Дифференциальное исчисление было изобретено Ньютоном и Лейбницем в конце \(17\) века. Это дало мощный толчок в развитии математических исследований. Дифференциальное исчисление радикально изменило математику, как в практических, так и в теоретических вопросах. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
В учебной программе по естественным наукам и технике дифференциальное исчисление образует мост между элементарной математикой, такой как геометрия, алгебра и тригонометрия, векторный анализ и сложные переменные. Сложные переменные выполняют другие обязанности, помимо простого представления своих элементов. Для начала изучения дифференциальное исчисления необходимо знать понятие функции, непрерывной функции и пределов, а также некоторое представление о природе математического доказательства. В ходе курса вы должны быть ознакомлены с теорией кривых, бесконечных рядов, степенных рядов, элементарных функций и других тем, в качестве примеров, к которым может быть применено исчисление.
Дифференциальное исчисление использует определение производной и свободно использует такие понятия, как дифференциал \(dx\), который отличается от конечной разности Δx. Производная может быть записана \(\frac{dy}{dx}\). Символ \(\frac{dy}{dx}\) используется двояко – как цельный символ производной и как частное дифференциалов.
В самом определении производной в точке подставим на \(x:\)
\(f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x_o+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)
\(f'(x)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)
Итого функция определяется \(y=f(x)\) по закону:
\(\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)}{Δx}\)
в соответствии другой функции \(y’=f'(x)\) , которая называется производной функцией или просто производной.
Выведены таблицы производных элементарных функций, включающие тригонометрические, гиперболические, логарифмические и экспоненциальные функции, которые надо выучить.
Производная константы всегда равна нулю, то есть производная любого числа равна \(0.\)
Пример 1. Производная \(2x^2=2*2x^{2-1} =4x\) или \(5x^3=5*3x^{3-1}=15x^2\) по правилу \((x^n)’=nx^{n-1}.\)
Производная \(ln(2x^2)’=\frac{1}{2x^2}*(2x^2)’=\frac{4x}{2x^2}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\).
Пример 2. Вычислить производную \(5x^{\frac{3}{5}}.\). Решение:
\(y’=(5x^{\frac{3}{5}})’=5*\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1}=3x^{-\frac{2}{5}}\)
Ответ: \(3x^{-\frac{2}{5}}\).
Пример 2. Вычислить производную \(\frac{2x^3}{x^{\frac{1}{3}}}\). Решение:
\(y=\frac{2x^3}{x^{\frac{1}{3}}}=2x^{3-\frac{1}{3}}=2x^{\frac{8}{3}};\)
\(y(2x^{\frac{8}{3}})’=2*\frac{8}{3}x^{\frac{8}{3}-1}=\frac{16}{3}x^{\frac{5}{3}}\)
Ответ: \(\frac{16}{3}x^\frac{5}{3}\).
Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
Производная ((x^2+1)/(x))^2
Дано$$\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2}$$
Подробное решение
Заменим
u = \frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)
.В силу правила, применим:
u^{2}
получим
2 uЗатем примените цепочку правил. Умножим на
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)
:Применим правило производной частного:
\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)
f{\left (x \right )} = x^{2} + 1
и
g{\left (x \right )} = x
$$ .Чтобы найти $$
\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
:дифференцируем
x^{2} + 1
почленно:Производная постоянной
1
равна нулю.В силу правила, применим:
x^{2}
получим
2 x
В результате:
2 x
Чтобы найти
\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
:В силу правила, применим:
x
получим
1
Теперь применим правило производной деления:
\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} — 1\right)
В результате последовательности правил:
\frac{2}{x^{3}} \left(x^{2} — 1\right) \left(x^{2} + 1\right)
Теперь упростим:
2 x — \frac{2}{x^{3}}
Ответ:
2 x — \frac{2}{x^{3}}
Первая производная
2
/ 2 / / 2 \
x + 1/ | 2*x + 1/|
x*———*|4 — ———-|
2 | 2 |
x x /
—————————-
2
x + 1
$$\frac{\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$
Вторая производная
$$2 \left(2 \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} — 4 — \frac{2}{x^{2}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$/ / 2 / 2\
| / 2 | 1 + x | / 2 | 1 + x ||
| 2 1 + x /*|2 — ——| 2*1 + x /*|1 — ——||
| / 2 / 2 | 2 | | 2 ||
| | 1 + x | 2*1 + x / x / x /|
2*|-4 + 2*|2 — ——| + ———- + ——————— — ————————|
| | 2 | 2 2 2 |
x / x x x /
Третья производная
$$4 \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) + \frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} + 1\right)^{2}\right) — \frac{2}{x} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{3}{x^{3}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) — \frac{1}{x^{3}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right)\right)$$ Загрузка… sqrt(6-x)=-x 1+cos(x)=2*cos(x)/2 >>/ 2 2 / 2\
|/ 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 | / 2 / 2 ||
|| 1 + x | 1 + x / 2 | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | / 2 | 1 + x | | 1 + x | | 6*1 + x / 3*1 + x / ||
||2 — ——| 2 — —— 1 + x /*|2 — ——| 2*x*|2 — ——| 2*|1 — ——|*|2 — ——| 3*1 + x /*|1 — ——| x*|2 — ——|*|4 — ———- + ————||
|| 2 | 2 | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 4 ||
| x / x x / x / x / x / x / x / x x /|
4*|————- + ———- — ——————— — —————— — ————————— + ———————— + ———————————————|
| x x 3 2 x 3 2 |
x 1 + x x 1 + x /
uchimatchast.ru