Рубрика: По математике

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

История

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек

Через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на асимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

• Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
• Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
• Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
• Середина большой оси называется центром гиперболы.
• Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
  • Обычно обозначается a.
• Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
  • Обычно обозначается c.
• Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
• Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
• Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
• Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
  • Обычно обозначается b.
• В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
  • Обычно обозначается ..

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

Типы гипербол

Гиперболу, у которой , называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником

См. также Треугольник#Эллипсы, параболы и гиперболы

Уравнения

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

,

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

и

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

где a и b — полуоси^{[источник?]}.

Полярные координаты

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

Уравнения в параметрической форме

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции^[1].

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Свойства

• Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
  • Иначе говоря, если и фокусы гиперболы, то касательная в любой точки гиперболы является биссектрисой угла .
• Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Асимптоты

Для гиперболы, заданной в каноническом виде

уравнения двух асимптот имеют вид:

.

Диаметры и хорды

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент соответствующего диаметра связан соотношением

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Касательная и нормаль

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

,

или, что то же самое,

.

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

.

Кривизна и эволюта

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

.

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

Применения

• Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

См. также

Примечания

Литература

dic.academic.ru

Графики математических функций Гипербола ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ

Графики математических функций. Гипербола

ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н. э. ). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей? »

ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой. Название этих кривых придумал не Менехм.

ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Названия предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» ( «О кониках» ). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе. Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения.

ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого. При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПЕРБОЛА Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , называется гиперболой. Однако это —частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола). Определение: гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности которых до двух данных точек (F 1 и F 2), называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2 а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (2 c).

ЭЛЕМЕНТЫ ГИПЕРБОЛЫ Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью (2 а) гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы), а половина действительной оси – действительной полуосью (а). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (2 b) (в канонических координатах – ось Оу), а половина мнимой оси – мнимой полуосью (b). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. Прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b называется основным прямоугольником гиперболы.

ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ ЕСЛИ К>0 1. Построим простейший график функции y = 1/x ООФ: х не равен 0 МЗФ: у не равен 0 y = k/x — нечетная

ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ ЕСЛИ К

АСИМПТОТА Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат (см. рис. 1). Асимптота кривой, имеющая бесконечную ветвь — это прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

СВЯЗАННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями. Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами. Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы. Середина большой оси называется центром гиперболы. Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. ◦Обычно обозначается a. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. ◦Обычно обозначается c.

СВЯЗАННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы. Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы. Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром: Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром. ◦Обычно обозначается b. • Уравнения директрис:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Примером является зона слышимости звука пролетающего самолета. Если самолет движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует конус. Поверхность Земли может приближенно считаться плоскостью, рассекающей этот конус. Если гиперболу вращать вокруг ее оси, проходящей через фокусы, то получающаяся поверхность будет называться двуполостным гиперболоидом, потому что состоит из двух полостей: одна – рассмотренная нами, а вторая получается от вращения второй ветви гиперболы. Если же вращать гиперболу вокруг второй ее оси, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Такую форму имеют секции Шаболовской радиобашни в Москве.

ПРЕЗЕНТАЦИЮ ВЫПОЛНИЛИ: УЧЕНИЦЫ 10 «Б» КЛАССА ЯКУБОВСКАЯ КСЕНИЯ ЛЕПЕШКО ЕКАТЕРИНА

present5.com

Построение гиперболы, с примерами

Схема построения графика гиперболы

Функцию, которую можно задать формулой вида называют обратной пропорциональностью. Кривая, которая является графиком функции , называется гиперболой.

Гипербола состоит из двух частей – веток гиперболы. Если , то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, а если – то в II и IV четвертях.

Областью определения и областью значений функции , где , есть все числа, кроме 0. Гипербола не имеет общих точек с осью ординат.

Функция – нечетная функция, поскольку

значит, график функции симметричен относительно начала координат.

Если , то функция убывает на промежутке .

Если , то функция возрастает на промежутке .

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Что такое гипербола: уравнения и свойства

Определение 1

Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.

Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы

Свойства гиперболы

• Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
• Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
• Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
• Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
• У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.

Основные определения

• Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
• Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
• Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2\cdot a$;
• Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
• Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2\cdot a/2 = a$;
• Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
• Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.

Уравнение гиперболы

Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $\frac{x^2}{a^2} — \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ — положительные действительные числа.

Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: $\frac{x}{a} — \frac{y}{b} = 0$

Уравнение гиперболы со смещенным центром $\frac{(x — x_0)^2}{a^2} — \frac{(y — y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ — координаты центра гиперболы.

Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.

Пример вывода формулы параметрического уравнения гиперболы в математике

Пример 1

Рассмотрим уравнение: $5x^2 – 4y^2 = 20$

Для того чтобы привести его к каноничному виду, сначала разделим всё на 20:

$\frac{5x^2}{20} — \frac{4y^2}{20} = 1$

Теперь сократим числители и знаменатели: $\frac{x^2}{4} — \frac{y^2}{5} = 1$

Для получения каноничной формы выразим в знаменателе квадрат:

$\frac{x^2}{2^2} — \frac{y^2}{\sqrt(5)^2} = 1$

spravochnick.ru

Презентация на тему: Что такое гипербола?

История происхождения гиперболы

Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?». Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой.

Название этих кривых придумал не Менехм. Их предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» («О кониках»). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе. Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения. Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого.

При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.

Описывая кривые языком алгебры, математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид. Если направить ось абсцисс по оси симметрии конического сечения и поместить начало координат на саму кривую.

Происхождение названия объясняется следующим рисунком.

Построим в вершине любой прямоугольник. К нему приставим квадрат, касающийся вертикальной кривой, а стороной — оси симметрии. Тогда в гиперболе площадь квадрата больше, чем прямоугольника.

Математическая гипербола

Определение

•Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную формулой y = k/x где k неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.

•Если считать х независимой переменной, а у — зависимой, то формула y = k/x определяет у как функцию от х. График функции y = k/x называют гиперболой.

•Гипербола имеет две ветви, которые расположены в первом и третьем квадратах, если k > 0, и во втором и четвертом квадрантах, если k > 0.

•Функция y = k/x , где k > 0 обладает следующими свойствами:

•область определения функции — множество всех действительных чисел, за исключением числа 0

•множество значений функции, все числа кроме числа 0

•y = k/x — нечетная

•принимает положительные значения при х > 0 и отрицательные — при x < 0

•убывает на промежутках х < 0 и х > 0.

Если k < 0, то функция y = k/x обладает свойствами 1—3, а свойства 4—5 формулируются так: принимает положительные значения при х < 0 и отрицательные при х > 0

•возрастает на промежутках х < 0 и х > 0.

Строение графика если K>0

Построим график функции y = 1/x

ООФ: х неравен 0 МЗФ: у неравен 0 y = k/x — нечетная

Строение графика ели К<0

Построим график функции y = k/x

При k = 2 y = -2/x ООФ: х неравен 0 МЗФ: у неравен 0 y = k/x — нечетная

Вот мы и узнали, что называют гиперболой в математике

А где же еще применяют гиперболу?

Примеры стилистической гиперболы

Толковый словарь русского языка гиперболу математическую и стилистическую практикует, как слова — амонимы, но исходя из выше приведенных фактов мы можем говорить о сходстве понятий гиперболы в математике и литературе.

Например, в «Повести о том, как поссорился Иван Иванович с Иваном Никифоровичем» Н. В. Гоголя основным художественным средством выразительности служит гипербола, использование которой придает сатирический эффект всему произведению. Например, «Иван Иванович несколько боязливого характера. У Ивана Никифоровича, напротив того. Шаровары в таких широких складках, что если бы раздуть их, то в них можно было бы поместить весь двор с амбаром и строениями».

У Гоголя гипербола вообще является излюбленным средством выразительности. Например, в повести «Тарас Бульба» автор использует следующие гиперболы: «Вся поверхность земли представлялась зелено-золотым океаном, по которому брызнули миллионы разных цветов…»; «Он веял холодными веками и расстилался ближе, ближе и, наконец, охватил половину всей поверхности земли…»; «…запорожец, как лев, растянулся на дороге. Закинутый гордо чуб его захватывал на пол-аршина земли».

В комедии «Ревизор», усиливая эффект вранья Хлестакова, Гоголь вкладывает в его уста следующую фразу: «Курьезы, курьезы … тридцать пять … тысяч курьезов». Автор прибегает к гиперболе для усиления впечатления, для заострения образа важный способ передачи авторской мысли построение сюжета образной системы

Литературная гипербола

Гипербола — образное выражение, содержащие непомерное преувеличение размера, силы, значения какого-либо предмета, явления. Например: «В сто сорок солнца закат пылал» (Маяковский). Используется гипербола для усиления эмоционального воздействия на читателя, а также для того, чтобы ярче выделить в изображаемом явлении те или иные стороны. Например: «И ядрам пролетать мешала гора кровавых тел» (М. Ю. Лермонтов). Или у Н. В. Гоголя: «Шаровары, шириной в Черное море»; «Рот величиной в арку Главного штаба». Наибольшую роль гипербола приобретает в сатире. Гипербола может быть идеализирующей и уничтожающей.

studfiles.net

Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где- число, называется гиперболой. Однако это — частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

Определение 2.5.Гиперболойназывается геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемыхфокусамигиперболы, есть величина постоянная.

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат — перпендикулярно к нему.

Теорема 2.3. Пусть расстояние между фокусами игиперболы равно, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение:

-,

где (2.9)

Доказательство.Пусть- текущая точка гиперболы (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть,. В силу последнего неравенства вещественное число, определяемое формулой (2.9), существует.

По условию, фокусы — ,. По формуле для случая плоскости получаем:

, .

По определению гиперболы

.

Это уравнение запишем в виде:

.

Обе части возведем в квадрат:

.

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству:

.

Опять обе части возведем в квадрат:

.

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

.

С учетом формулы (2.9) уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение (2.8).

Уравнение (2.8) называетсяканоническимуравнением гиперболы.

Предложение 2.3Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и, а начало координат — центр симметрии гиперболы.

Доказательство.Проводится аналогично доказательствупредложения 2.1.

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (2.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнениякак функцию, при условии, что,

и построим график этой функции.

Область определения — интервал ,, функция монотонно растет. Производная

существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график — гладкая кривая (без углов). Вторая производная

во всех точках интервала отрицательна, следовательно, график — выпуклый вверх.

Проверим график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение. Тогда по правилам математического анализа

,

.

Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим

.

Итак, график функции имеет асимптоту . Из симметрии гиперболы следует, что- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки, а именно, образует ли графики симметричная ему относительно осичасть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке — гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (2.8)xчерезy:

Очевидно, что данная функция имеет производную в точке y=0,x’(0)=0, и в точкеу гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции(рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 — График функции

Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 2.11.

Рисунок 2.11 — Гипербола

Определение 2.6.Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (2.8), с осьюназываютсявершинамигиперболы, отрезок между ними называетсядействительной осьюгиперболы. Отрезок оси ординат между точкамииназываетсямнимой осью. Числаaиbназываются соответственнодействительнойимнимой полуосямигиперболы. Начало координат называется ее центром. Величинаназывается эксцентриситетом гиперболы.

Замечание 2.3.Из равенства (2.9) следует, чтоc > a, то есть у гиперболы. Эксцентриситетхарактеризует угол между асимптотами, чем ближек 1, тем меньше этот угол.

Замечание 2.4.В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинамиaиbможет быть произвольным. В частности, приa = bмы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид, если взять, а осиинаправить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 — Равносторонняя гипербола

Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 2.10.

Пример 2.4.Постройте гиперболу, найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение.Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение

a = 1, b = 2.Проводим асимптотыи строим гиперболу (рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Гипербола

Из формулы (2.9) получим. Тогда фокусы -,,.

Пример 2.5.Постройте гиперболу. Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение.Преобразуем уравнение к виду

Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед ипротивоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные,, то в новых переменных получим каноническое уравнение

Действительная ось этой гиперболы лежит на оси , то есть на осиисходной системы координат, асимптоты имеют уравнение, то есть уравнениев исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая — 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Гипербола с уравнением

Из формулы (2.9) получим,, фокусы лежат на действительной оси -,,где координаты указаны в исходной системе координат.

studfiles.net

Число, стоящие внутри маленького многоугольника, прибавляем к количеству сторон этого многоугольника.

Полученные суммы складываем и  умножаем на количество сторон большого многоугольника.

Итого, 4∙[(4+3)+(6+4)+(8+2)]=108.

Показать решение

Чтобы получить число, стоящее в центре, нужно из суммы чисел, стоящих на горизонтали, вычесть сумму чисел, стоящих на вертикали:

I. (10+18)-(9+12)=7,

II. (4+15)-(9+5)=5,

III. (20+19)-(14+11)=14.

Показать решение

Сумма четырех чисел в каждом квадрате равна 39.

I: 10+16+4+9=39,

II: 21+13+2+3=39,

III: следовательно, 39-(12+6+7)=14.

Показать решение

I: 6²=21+15,

II: 7²=23+26,

III: 9²=24+57.

Показать решение

I. Число, стоящего внутри пятиугольника, умножаем на количество его сторон, то есть на 5.

К числу, стоящему внутри четырехугольника, прибавляем количество сторон, то есть 4.

Из числа, стоящего внутри треугольника, вычитаем количество его сторон, то есть 3.

Что делать с полученными результатами, указано на схеме (в каждом примере — своей).

В примере I результаты складываются.

В примерах II и III из суммы двух первых чисел вычитаем третье:

II: (5∙2)+(7-3)-(4+3)=7,

III: (5-3)+(5∙3)-(4+4)=9.

Показать решение

Результат — сумма куба числа, стоящего в двойном треугольнике, и квадрата числа, стоящего в маленьком треугольнике (в случае III — квадратов двух чисел).

II: 2³+3²=17,

III: 2³+5²+1²=34.

Показать решение

Число внизу «дерева» равно сумме чисел на «листиках»:

I: 3+9+7+4=23.

II: 4+8+7+6+3=28,

III: 34-(12+3+6+9)=4.

Показать решение

Чтобы получить число внутри треугольника, сумму чисел, стоящих по бокам, делим на число, стоящее внизу:

I: (12+24):4=9.

II: (14+18):4=8,

III: (16+24):10=4.

Показать решение

Число внутри домика равно произведению двух сумм. Первую сумму получаем, сложив числа, стоящие по бокам и внизу домика, вторую — сложив числа «на крыше».

I: (4+6+8)∙(1+2)=54,

II: ((3+6+3)∙(3+2)=60,

III: (7+5+3)∙(4+1)=75.

Показать решение

Результат — произведение числа внутри многоугольников и количества сторон этих многоугольников.

I: 2∙4∙3=24,

II:3∙4∙4=48,

III: 2∙3∙6=36.

В следующий раз рассмотрим задания, которые ближе к традиционной алгебре, но оформлены непривычным для нас образом.

www.uznateshe.ru

Комбинаторика — это часть так называемой Дискретной математики, изучающая разнообразные соединения элементов. Под элементами понимаются любые однотипные вещи: предметы, буквы, числа, живые существа и т. д. Различают 3 вида соединений элементов:

· Размещения;

· Перестановки;

· Сочетания.

1. Размещения. Пусть рассматривается совокупность из N упорядоченных, т. е. пронумерованных, элементов (A1; A2;…An). Будет составлять из этих N элементов всевозможные Упорядоченные группы По M элементов в каждой группе, где M – любое натуральное число, не превосходящее N. Эти группы будем считать различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или даже только порядком следования элементов в группе (у каждого элемента в упорядоченной группе есть свое учитываемое место). Такие группы называются Размещениями из N элементов по M элементов в каждом размещении. Их общее число обозначается символом , и находится оно по формуле:

= (2.1)

Напомним, что выражение N! Называется эн–факториал, и определяется оно так:

0!=1; 1!=1; 2!= 1·2=2; 3!=1·2·3=6; 4!=1·2·3·4=24;… N!= 1·2·3···N. (2.2)

Доказательство формулы (2.1).

1) Составим сначала все возможные размещения из N Элементов (A1; A2;…An) по одному элементу в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения – просто отдельно взятые элементы A1; A2;…An. Их количество равно N. То есть

=N (2.3)

2) Составим теперь все возможные размещения из N элементов по два элемента в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения тоже очевидны:

A1 a2 a2 a1 a3 a1 an a1

A1 a3 a2 a3 a3 a2 an a2

A1 a4 a2 a4 a3 a4 an a3 (2.4)

…… …… …… ……

A1 an a2 an a3 an an an-1

В каждом из столбцов (2.4) N —1 размещение, а всех столбцов N, поэтому

=N(N—1) (2.5)

3) Составим все возможные размещения из N элементов по три элемента в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения получим, если возьмем за основу все возможные размещения (2.4) по два элемента и добавим по очереди справа к каждому из них любой из оставшихся N-2 элементов. Таким образом, из каждого размещения (2.4) по два элемента можно образовать N-2 размещения по три элемента. Например, из одного размещение A1 A2 , содержащего два элемента, можно образовать следующее N-2 размещений по три элемента:

A1 a2 a3 ; a1 a2 a4; a1 a2 a5;……… a1 a2 an (2.6)

Следовательно,

=· (N-2)=N(N-1)(N-2) (2.7)

Аналогично:

= · (N-3)=N(N-1)(N-2)(N-3) (2.8)

= · (N-4)=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)

………………………………………

То есть

= N(N-1)(N-2)(N-3)…..(N—M+1) (2.9)

Итак, мы получили формулу для при произвольном M (M=1,2,…N).

Преобразуем ее к более удобному виду. Для этого домножим и разделим выражение (2.9) на убывающие недостающие множители (N—M)(N—M-1)····3·2·1 так, чтобы последний множитель в (2.9) стал 1:

==

==

Формула (2.1) доказана.

Для примера подсчитаем общее количество всех возможныхРазмещений из трех элементов (A1; A2; A3) по одному, по два и по три элемента. Причем сделаем это и непосредственно, составив все эти размещения и пересчитав их, и по формуле (2.1):

=3; =6; =6 (2.11)

Эти же результаты дает и формула (2.1):

==; =; = (2.12)

2. Перестановки. Перестановками из данной совокупности N Элементов (A1; A2;…An) называются различным образом упорядоченные (по разному переставленные) комбинации всех этих элементов. Их общее количество обозначается символом . Так как перестановки – это по сути размещения из N элементов по N элементов в каждом размещении, то

(2.13)

3. Сочетания. Сочетаниями из N элементов по M Элементов в каждом сочетании называются (в отличие от размещений) всевозможные Неупорядоченные группы по M элементов в каждой группе. Неупорядоченные — это значит, что важно, какие элементы содержатся в каждом сочетании, а каком порядке они там находятся – это неважно. Различные размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Общее их количество обозначается символом , и находится оно по формуле:

= (2.14)

Доказательство формулы (2.14)

Очевидно, что если взять все возможные сочетания из N элементов по M элементов и сделать в каждом из них все возможные перестановки, то в итоге получим все возможные размещения из N Элементов по M элементов в каждом размещении. Отсюда следует:

, и значит (2.15)

Для примера подсчитаем общее количество всех возможных сочетаний из трех элементов (A1; A2; A3) по одному, по два и по три элемента. Причем сделаем это и непосредственно, составив все эти сочетания и пересчитав их, и по формуле (2.14):

(2.16)

Эти же результаты дает и формула (2.14):

; (2.17)

Кстати, комбинации в (2.11) и в (2.16) наглядно демонстрируют разницу между размещениями и сочетаниями.

Выводя формулы (2.1), (2.13) и (2.14) для общего числа размещений, перестановок и сочетаний, мы полагали, что в каждом из указанных соединений любой из элементов совокупности (А1; а2; …..аN) может встретиться только один раз. То есть повторять в них элементы нельзя. Если же повторять их всё же можно, то мы придём к Размещениям, перестановкам и сочетаниям с повторениями.

4. Размещения с повторениями. Начнём с рассмотрения частного случая. Пусть исходная совокупность элементов составляет всего три элемента (А1; а2; а3). Составим из них все возможные размещения с повторениями по два элемента в каждом размещении и пересчитаем их. Очевидно, их будет 9 – те 6 , что представлены в (2.11) и в которых оба элемента разные, и ещё три размещения А1а1; а2а2; а3а3 с повторяющимися элементами. Если обозначить общее число всех возможных размещений из трёх элементов по два в каждом размещении символом , то получим: =9.

Впрочем, мы могли подсчитать это число и иначе. Составляя любое размещение из двух элементов, на первое место в таком размещении можно поставить любой из данных трёх элементов (три варианта). На второе место – тоже любой из трёх элементов (тоже три варианта). Комбинируя каждый элемент, стоящий на первом месте, с каждым элементом, стоящим на втором месте, получим 32=9 всех возможных комбинаций. То есть =32=9.

А теперь легко понять, что если всех элементов не три, а N, и из них составляются все возможные размещения с повторениями по M Элементов в каждом размещении, то их общее число найдётся по формуле:

=Nm (2.18)

5. Сочетания с повторениями. Опять начнём с частного случая. А именно, подсчитаем – общее число всех возможных сочетаний с повторениями из трёх элементов (А1; а2; а3) по два элемента в каждом сочетании. Этих сочетаний, очевидно, будет 6 – те 3, которые представлены в (2.16) и в которых оба элемента разные, и ещё три сочетания А1а1; а2а2; а3а3 с повторяющимися элементами. То есть =6=. И вообще, можно доказать, что

(2.19)

6. Перестановки с повторениями. Пусть среди элементов (А1; а2; …..аN) содержится лишь K различных элементов (K<N), причём первый из них повторяется N1 раз, второй N2 раз, …K-ый Nk раз. Очевидно, что N1+N2+… Nk=N. Тогда число всех возможных перестановок из таких N Элементов обозначается символом И находится по формуле:

(2/20)

В самом деле, если бы все N Элементов были разными, то число всех возможных перестановок из них, согласно (2.13), было бы равно Но среди них разных элементов лишь K, остальные N – K элементов повторяют эти K элементов. В частности, первый из этих K элементов повторяется раз. Сделав любую перестановку из этих Одинаковых элементов (не трогая остальных!) мы ничего не нарушим ни в какой перестановке из N элементов. А вот если бы все эти повторяющихся элементов были разными, то сделав любую их перестановку, мы получили бы другую перестановку из N элементов. Количество всех возможных перестановок из N1 Элементов равно . Значит, наличие этих одинаковых элементов уменьшает в раз общее количество всех возможных перестановок из N Элементов по сравнению с тем случаем, когда все N элементов были бы разными. Тот же эффект производит наличие второго повторяющегося раз элемента, третьего, … K-ого. В итоге и приходим к формуле (2.20).

А теперь рассмотрим примеры на применение полученных выше формул.

Пример 1. В посёлке устанавливается телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами. Сколько всего можно установить телефонных номеров? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры? 2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Решение. Всех возможных трёхзначных телефонных номеров будет, очевидно, 1000: это номера 000, 001, 002, … 999.

1) Номеров с тремя разными цифрами будет, очевидно, столько, сколько существует всех возможных соединений (комбинаций) из 10 цифр 0,1,2,…9 по три цифры в каждом соединении. Так как в этих соединениях важен порядок следования цифр (например, 137 и 173 – это разные номера), то этими соединениями будут размещения. А значит, их общее количество N1 можно найти по формуле (2.1):

3) Пропуская вопрос (2), ответим на вопрос (3). Номеров с тремя одинаковыми цифрами будет, очевидно, 10. Это номера 000, 111, 222, … 999. То есть N3 = 10.

2) Все остальные номера – с двумя одинаковыми цифрами. Следовательно, их общее количество

N2 = 1000 – (N1 + N3 ) = 1000 – (720 + 10) = 270.

Пример 2. Сколько всего диагоналей у выпуклого N – угольника?

Решение: Соединяя каждую пару вершин треугольника, получим либо диагональ, либо сторону многоугольника. Число всех различных пар вершин N-угольника равно числу всех возможных соединений из N элементов (вершин многоугольника) по два элемента (по две вершины) в каждом соединении. Так как порядок следования элементов в этих парах, очевидно, не важен (диагональ, соединяющая, например, 2-ю и 5-ю вершину – это та же диагональ, которая соединяет 5-ю и 2-ю вершину), то такими парными соединениями будут сочетания из N элементов по два элемента в каждом сочетании. Следовательно, их общее число равно . В это число входят и сами N сторон многоугольника. Поэтому искомое число N Диагоналей N-угольника найдётся по формуле:

Пример 3. В чемпионате области по футболу участвуют 20 команд, причём каждые две из них встречаются между собой два раза (игры идут в два круга). Сколько всего матчей играется в течение сезона?

Решение. В первом круге состоится столько матчей, сколько существует сочетаний из 20 команд по две в каждом сочетании. То есть их число равно:

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона их состоится 190·2=380.

Пример 4. Сколькими различными способами можно рассадить N человек за круглым столом?

Решение. Общее число всех способов, с помощью которых N человек может занять N мест за любым (не только круглым) столом равно, очевидно, числу всех перестановок из N Элементов (из N человек), то есть равно Но если стол круглый, то любая циклическая перестановка (одновременная пересадка всех вправо или влево на одно или несколько мест) не нарушает порядка рассаживания людей за столом. А таких циклических пересаживаний всего N. Поэтому искомое число Nn рассаживания N человек за круглым столом равно:

В частности, N2=1; N3 = 2; N4 = 6; N5 = 24;…..

Пример 5. Автомобильные номера состоят из двух букв (всего используется 30 букв) и трёх цифр (используются все 10 цифр). Сколько всего автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

Решение: Различных пар букв будет столько, сколько можно составить размещений с повторениями из 30 букв по две в каждом размещении. То есть, согласно формуле (2.18), их будет:

=302=900.

Аналогично различных троек цифр будет:

=103=1000.

(впрочем, это и так очевидно). Комбинируя (соединяя) теперь каждую пару букв с каждой тройкой цифр, получим искомое общее число N различных автомобильных номеров:

N= 900 · 1000 = 900000.

Пример 6. Имеются две колоды по 36 карт. Из каждой колоды вынимаются по одной карте. Сколько различных пар карт может быть при этом образовано?

Решение. В образовываемых парах карт порядок их следования, очевидно, не важен. Поэтому эти пары – различные сочетания из 36 карт. По условию, среди этих пар могут оказаться n пары с одинаковыми картами. То есть образованные пары карт – это сочетания с повторениями. А значит, их общее число:

Пример 7. Сколько всех возможных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение. В слове «математика» всего 10 букв, из которых буква А повторяется 3 раза, буква М – два раза, буква т – два раза. Поэтому искомое число N Перестановок в слове «математика» — это число перестановок с повторениями. Согласно формуле (2.20),

Пример 8. Сколькими различными способами могут занять места в президиуме 5 человек, если в президиуме 8 мест?

Решение. – число всех возможных способов выбора пяти различных мест из имеющихся восьми. На этих местах 5 человек можно рассадить числом способов = 5! В итоге искомое число способов

Пример 9. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются две карты. Какова вероятность того, что ими окажется два туза (любых)?

Решение. В данной задаче испытание – это вынимание из колоды наудачу двух карт, а событие А – вынимание двух тузов. Возможных исходов в испытании столько, сколько всего пар карт можно составить. Таких пар будет, очевидно, N = = 630. Все эти 630 возможных исходов испытания, очевидно, равновозможны. А число M исходов, благоприятствующих событию А – это, очевидно, число всех пар из четырёх тузов, то есть M = = 6. Поэтому по классической формуле (1.3) получаем:

Пример 10. Ребёнок играет двумя карточками с буквой «М» и двумя карточками с буквой «А», выкладывая их в линию. Какова вероятность того, что у него получится слово «МАМА»?

Решение. В данной задаче испытание — это выкладывание ребёнком наудачу в линию четырёх карточек, а событие А – выкладывание слова «МАМА». Возможные исходы испытания – это различные перестановки четырёх карточек, причём перестановки с повторениями, в которых и буква М, и буква А повторяются два раза. Число таких перестановок, согласно формуле (2.20), равно

Это – число N Всех возможных исходов испытания, причём исходов равновозможных. А число M исходов, благоприятствующих событию А, равно 1: M=1 (перестановка «МАМА»). В итоге по классической формуле (1.3) получаем:

Пример 11. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) только один выигрышный; б) оба выигрышные.

Решение. Здесь испытание – выбор пяти билетов из десяти. Всего существует способов выбрать 5 билетов из 10. Следовательно, число N Всех возможных исходов испытания и в задаче а), и в задаче б) одинаково и равно . Причём все эти исходы равновозможны.

В задаче а) благоприятный исход испытания состоит в том, что из двух выигрышных билетов будет выбран один (это можно сделать двумя способами), а из восьми невыигрышных будут выбраны четыре (это можно сделать Способами). Таким образом, общее число всех благоприятных исходов равно 2·, а значит, вероятность события А, состоящего в том, что среди пяти отобранных билетов окажется лишь один выигрышный, по классической формуле (1.3) равна:

В задаче б) благоприятный исход испытания состоит в том, что из двух выигрышных билетов будут взяты оба (их можно взять одним способом) и ещё три билета будут взяты невыигрышных (их можно взять способами). Число благоприятных исходов, таким образом равно , а вероятность события В, состоящего в том, что среди пяти отобранных билетов окажется два выигрышных, по классической формуле равна

Пример 12. На книжную полку в произвольном порядке выставлены 5 книг. Какова вероятность того, что некоторые две из них, составляющие двухтомник, окажутся на полке рядом?

Решение. В данной задаче испытание – это установка на полку в произвольном порядке пяти книг. А событие А – то, что книги двухтомника окажутся рядом.

Всех возможных исходов испытания, очевидно, столько, сколько существует перестановок из пяти книг. То есть их = 5! = 120. Благоприятствующими событию А будут те из них, когда книги двухтомника стоят рядом.

Для начала подсчитаем число тех благоприятствующих исходов, когда книги двухтомника стоят на первых двух местах, причём первый том стоит на первом месте, а второй на втором. Так как последние три книги могут быть установлены произвольно, то таких исходов будет =3! = 6. Меняя местами книги двухтомника, получим ещё 6 благоприятствующих исходов. Таким образом, если книги двухтомника занимают на полке первые два места, то всего соответствующих благоприятствующих исходов (перестановок книг) оказывается 2· = 12. Но благоприятствующими событию А Исходами будут и те, при которых книги двухтомника стоят на 2-3, 3-4, 4-5 местах. Итого всех таких исходов оказывается 12·4=48. А тогда по классической формуле (1.3) получаем:

Упражнения.

1. В пятом классе изучается 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 4 урока? Решить задачу в предположении, что:

А) порядок уроков важен;

Б) порядок уроков не важен.

Ответ: а) 11880; б) 495.

2. Сколько различных символов можно закодировать с помощью 8-значных двоичных чисел (чисел, содержащих в своей записи лишь нули и единицы общим числом 8)?

Ответ: 256.

3. Пять девушек и пять юношей разыграли 10 мест выделенного им на концерт зрительного ряда (места с 31 по 40). Какова вероятность того, что они будут сидеть строго вперемешку (никакие две девушки и два юноши не будут сидеть рядом)?

Ответ: 1/126.

4. Найти вероятность того, что в лотерее «Спортлото 5 из 36» можно угадать:

А) все 5 номеров; б) 4 номера; в) 3 номера.

Ответ: а) 1/324632; б) 150/324632; в) 4350/324632.

5. Доказать, что вероятность того, что у двенадцати случайно выбранных человек дни рождения приходятся на разные месяцы, меньше 0,0001.

6. Сколькими различными способами можно распределить 6 различных учебников между тремя студентами по два учебника каждому?

Ответ: 90 способами.

matica.org.ua

Элементы комбинаторики. Методы решения некоторых задач

Разделы: Математика

Класс:

1) Немного истории.

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов — во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

2) ЗАДАЧИ

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи — М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ.
Перечислим возможные варианты.

2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .

4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

Ответ: 25 человек.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 — Саша — есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 — Петя — 4 варианта
№3- Денис — 3 варианта
№4- Оля — 2 варианта
№5 — Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 — имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 — 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков -= 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 — =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х= 700х

12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 — =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя — из 8, на профорга — из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной — из 24, завуча среднего звена — из 23, завуча по воспитательной работе — 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600
Или, зная формулу размещения, получаем

15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи — 5х7х9=315, для Коли — 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв — а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно=120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет — 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.

18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

1 способ. Обозначим белые — Б1, Б2, Б3, алые — А1,А2, чайные — Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

2способ. Дерево возможностей

 3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В — по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

1 способ. Обозначим СБ — путь из Сосновки в Бытовку, ВГ — путь из Быковки в Масловку, МВ — путь из Масловки в Видово.
По реке -Р, пешком — П, на автобусе — А
Перечислим возможные варианты:
СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
Ответ: 12 вариантов.

2 способ. Дерево возможностей

ЛИТЕРАТУРА

1) Еженедельное учебно-методическое приложение “Математика” Изд. Пресса. Москва.1999 г

2) Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра 9. Учебник для класса с углубленным изучением математики. Изд. Мнемозина, Москва.2005 год.

3) Л.Г. Петерсон. Математика 4 класс. Изд. Баласс. Москва.1999 г.

4) Ю.Н. Тюрин и др. Теория вероятностей и статистика. МЦНМО. Москва. 2004 год.

28.02.2007

urok.1sept.ru

Задание №10 ЕГЭ по математике базовый уровень

Вероятность и статистика

В задании №10 ЕГЭ по математике базового уровня нам предстоит решить задачу по теории вероятности. Задачи довольно простые и адаптированы под реальные жизненные ситуации, что делает их решение интересным для школьников. Разберем с Вами несколько подробных примеров.

 Разбор типовых вариантов задания №10 ЕГЭ по математике базового уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить определение вероятности.
2. Определить из условия задачи необходимые величины.
3. Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что первым будет россиянин) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 7, так как россиян 7 и каждый из них имеет равные шансы выступать первым.

Всего общее число вариантов 35, так как спортсменов всего 35 и каждый из них может выступать первым.

Подставим значения и вычислим вероятность.

7/35 = 1/5 = 0,2

Ответ: 0,2.

Второй вариант задания

Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Миша.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить определение вероятности.
2. Определить из условия задачи необходимые величины.
3. Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать не Миша) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 3, так как «не Миш» трое и каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 4 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

3/4 = 0,75

Вариант решения в общем виде:

При бросании жребия начинает игру один из 4 мальчиков. Вероятность этого события составляет P = 1/4 (для любого мальчика, в том числе и для Миши). Тогда обратная вероятность того, что Миша не будет начинать игру, равна:

Ответ: 0,75.

Третий вариант задания

Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Вася или Петя.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить определение вероятности.
2. Определить из условия задачи необходимые величины.
3. Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать Вася или Петя) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 2, так как Вася и Петя – это два мальчика, каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 5 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

2/5 = 0,4

Решение в общем виде:

Всего при бросании жребия может быть n = 5 исходов (для 5 человек). Обозначим через событие А – жребий выпал Васе или Пете. Число благоприятных исходов для события A равно m = 2. Следовательно, искомая вероятность, равна:

Ответ: 0,4.

Четвертый вариант задания

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

Алгоритм выполнения:

1. Определить вероятность каждого события в отдельности.
2. Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,1. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,1.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Ответ: 0,01.

Пятый вариант задания

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

Алгоритм выполнения:

1. Определить вероятность каждого события в отдельности.
2. Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,15. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,15.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Ответ: 0,0225.

Вариант десятого задания 2017

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Данная задача даже проще, чем предыдущая. В начале, нам необходимо найти количество исправных лампочек:

100 — 3 = 97

После этого находим вероятность, она равна отношению количества исправных лампочек к общему количеству:

97 / 100 = 0,97

Ответ: 0,97

Вариант десятого задания 2019 года(1)

На семинар приехали 6 ученых из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый ученый подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Алгоритм выполнения

1. Поскольку событие, описанное в условии, является независимым, то вероятность того, что ученый из России выступит именно 8-м, такая же, как и вероятность выступления под любых другим номером. Поэтому для решения можем применить формулу-определение для вероятности P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятствующих данному событию исходов, N – общее кол-во исходов.
2. Подсчитываем общее кол-во исходов. Оно равно сумме всех докладов.
3. Определяем кол-во благоприятствующих исходов как число докладов от российских ученых.
4. Подставляем полученные данные в формулу, вычисляем вероятность.

Решение:

P=N_б/N

N=6+5+9=20

N_б=5

P=5/20=0,25

Вариант десятого задания 2019 года(2)

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 4 раза больше, чаем пакетиков с зеленым. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зеленым чаем.

Алгоритм выполнения

1. Обозначаем через х кол-во пакетиков с зеленым чаем. Выражаем затем через х кол-во пакетиков с черным чаем.
2. Записываем ф-лу для нахождения вероятности, имея в виду, что число благоприятствующих исходов равно кол-ву пакетиков зеленого чая, а общее число исходов – общему кол-ву пакетиков.
3. Вычисляем вероятность.

Решение:

Пусть х – кол-во пакетиков зеленого чая. Тогда кол-во пакетиков черного составляет 4х.

Вероятность P=N_б/N. Здесь N_б=х, поскольку вероятность определяется именно для пакетиков с зеленым чаем. N=х+4х=5х.

Получаем: P=х/(5х)=1/5=0,2.

Вариант десятого задания 2019года(3)

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Алгоритм выполнения

1. Из 1400 вычитаем 14. Получаем кол-во исправных насосов.
2. По ф-ле P=N_б/N (где N_б – кол-во исправных насосов, N – общее кол-во насосов) находим искомую вероятность.

Решение:

1400 – 14 = 1386 (шт.) – исправных насосов поступило в продажу.

1386 / 1400 = 0,99 – вероятность того, что случайно подобранный насос исправен (не подтекает).

Вариант десятого задания 2019 года(4)

В кармане у Дани было пять конфет – «Ласточка», «Взлетная», «Василек», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлетная».

Алгоритм выполнения

1. Определяем общее кол-во конфет. Фиксируем, что упала единственная конфета.
2. Применяя ф-лу для вероятности P=N_б/N, находим искомую вероятность.

Решение:

В кармане у Дани находится 6 предметов – 5 конфет и ключи. Ключи для расчета не учитываем, поскольку их извлечение из кармана не является случайным событием. Тогда общее кол-во случайных событий N=5. Кол-во благоприятных исходов для этих событий в данном случае равно 1, т.к. падает 1 конфета. Отсюда N_б=1.

Вероятность находим по ф-ле P=N_б/N. Подставляем числовые данные, получаем: P=1/5=0,2.

Вариант десятого задания 2019 года(5)

На борту самолета 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолете 300 мест.

Алгоритм выполнения

1. Суммируем 26 и 10, чтобы найти общее кол-во удобных для пассажира Д. мест.
2. Используя ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во удобных мест, N – общее кол-во мест, находим искомую вероятность.

Решение:

26 + 10 = 36 – кол-во мест, которые удобны для пассажира Д

Р = 36 / 300 = 0,1233 – вероятность того, что при случайном выборе пассажиру достанется удобное место

Вариант десятого задания 2019 года(6)

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель не глядя берет одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Алгоритм выполнения

1. Анализируем ситуацию, описанную в условии. Определяем, что существует только 2 варианта возможных событий.
2. Находим искомую вероятность как разность единицы и вероятности того, что ручка пишет плохо.

Решение:

Вариантов событий в данном случае имеется два – ручка пишет хорошо или она пишет плохо. При этом ручка в любом случае будет из коробки взята, т.е. событие состоится. Это означает, что его вероятность равна 1.

Поскольку вероятность того, что ручка пишет плохо, составляет 0,21, то вероятность того, ручка будет писать хорошо, равна:

1 – 0,21 = 0,79.

Вариант десятого задания 2019 года(7)

На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Алгоритм выполнения

1. Умножаем 130 на 2, получаем кол-во участников в первых двух аудиториях.
2. Из 400 вычитаем полученное произведение. Узнаем, сколько участников находилось в запасной аудитории.
3. Делим полученную разность на 400. Находим искомую вероятность.

Решение:

130 · 2 = 260 – участников писали олимпиаду в первых 2-х аудиториях.

400 – 260 = 140 – участников находилось в запасной аудитории.

Вероятность P = N_б / N. Здесь N_б = 140, N = 400.

Получаем: Р = 140 / 400 = 0,35.

Вариант десятого задания 2019 года(8)

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Алгоритм выполнения

1. Записываем ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятных исходов для ситуации, N – общее кол-во исходов.
2. Благоприятным исходом в данном случае является попадание туриста Д. в группу из 2 человек, которым нужно идти в магазин. Т.е. N_б=2.
3. Общее кол-во исходов – число туристов, составляющих полную группу.
4. Подставляем определенные числовые величины в ф-лу, находим искомую вероятность.

Решение:

Вероятность равна: P = N_б / N.

N_б = 2, т.к. по условию для похода в магазин требуется 2 человека.

N = 8, т.к. всего в группе 8 туристов.

Р = 2 / 8 = 0,25.

Вариант десятого задания 2019 года(9)

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 1 с мясом, 12 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что этот пирожок окажется с капустой.

Алгоритм выполнения

1. Для вычисления вероятности используем ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятных исходов ситуации, N – общее кол-во исходов.
2. Определяем кол-во благоприятных исходов. Здесь таковым является кол-во пирожков с капустой.
3. Находим общее кол-во исходов. Это – кол-во всех (любых) пирожков.
4. Подставляем числовые данные в формулы, определяем требуемую вероятность.

Решение:

Искомую вероятность найдем по ф-ле P=N_б/N.

В данном случае N_б = 12, поскольку именно столько на тарелке пирожков с капустой.

Общее число исходов N = 1 + 12 + 3 = 16 (пирожков).

Р = 12 / 16 = 0,75.

Вариант десятого задания 2019 года(10)

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.

Алгоритм выполнения

1. Из 50 вычитаем 14. Получаем кол-во незапланированных выступлений, которые приходятся на 2–5-й дни.
2. Полученную разность делим на 4, т.е. на кол-во дней, в течение которых будет заслушано выступление российского исполнителя. Получим кол-во выступлений, которые приходятся на каждый из этих дней.
3. По ф-ле P=N_б/N (где N_б – кол-во выступлений в каждый из дней, кроме первого; N – общее кол-во выступлений в эти дни) находим искомую вероятность.

Решение:

50 – 14 = 36 – кол-во незапланированных выступлений, в числе которых как раз и предполагается выступление россиянина.

5 – 1 = 4 – кол-во дней, в течение которых распределены поровну 36 выступлений.

36 : 4 = 9 – кол-во выступлений, приходящихся на каждый день, начиная со 2-го.

Поскольку выступление в 3-й день, равно как и в любой другой, начиная со 2-го, является независимым и равновероятным событием, то вероятность его положит.исхода можно определить по ф-ле P=N_б/N. Здесь N_б = 9, N = 36. Тогда: Р = 9 / 36 = 0,25.

spadilo.ru

С++. Задачи с решениями. Числа и циклы. Задачи 1-10

1. Составьте программу, выводящую на экран квадраты чисел от 10 до 20 включительно.

2. Даны натуральные числа от 35 до 87. Вывести на консоль те из них, которые при делении на 7 дают остаток 1, 2 или 5.

3. Найдите сумму  , где число вводится пользователем с клавиатуры.

4. Найдите произведение цифр трехзначного числа.

5. Найдите количество четных цифр данного натурального числа.

6. Найдите наибольшую цифру данного натурального числа.

7. Найдите все четырехзначные числа, сумма цифр каждого из которых равна 15.

Делителем натурального числа «а» называют натуральное число , на которое «а» делится без остатка.
Кратным натурального числа «а» называют натуральное число , которое делится без остатка на «а» .
Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
Признаки делимости на 10 , на 5 и на 2.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 5.
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой , то это число делится без остатка на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой , то это число нечетно.
Признаки делимости на 3 на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 ;

Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 ;

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число.

Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель : само это число .Поэтому его не относят ни к составным , ни кпростым.

Всякое составное число можно разложить на множители. При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи множителей.

Наибольший общий делитель . Взаимно простые числа.

Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и б , называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) состав разложения одного из этих чисел, вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и б называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а и б.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел , надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители , входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их обший делитель , отличный от единицы , называют сокращение дроби.

Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это НОД ее числителя и знаменателя.

Дробь называется несократимой – если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить НОЗ на знаменатели данных дробей , т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Чтобы сравнить ( сложить , вычесть) дроби с разными знаменателями , надо: 1) привести данные дроби к НОЗ; 2) сравнить ( сложить , вычесть ) полученные дроби.

Чтобы сложить смешанные числа , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть;2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Умножение и деление обыкновенных дробей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число , можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.

Чтобы умножить дробь на дробь ,надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем.

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо это значение разделить на дробь.

Взаимно обратные числа.

Два числа , произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

Деление.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю.

Дробные выражения.

Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением. Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения.

Отношения и пропорции.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

В пропорции а/в=с/д числа а и д называют крайними членами пропорции , числа в и с –средними членами пропорции.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних .

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции , то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.

Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Длина окружности и площадь круга.

Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.

Точку «О» называют центром окружности и круга.

Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.

Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.

Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой П- пи . Формула длины окружности: С=п d или C=2пr. П= 3,1416…..

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.

Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром ,называют радиусом шара.

Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.

Диаметр шара равен двум радиусам.

Поверхность шара называют сферой.

Рациональные числа.

Положительные и отрицательные числа.

Числа со знаком + называют положительными.

Числа со знаком – называют отрицательными.

Прямую с выбранными на ней началом отсчета , единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки.

Два числа , отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Натуральные числа , противоположные числа и нуль называют целыми числами.

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.

Противоположные числа имеют равные модули.

Сравнение чисел.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Нуль больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного числа.

На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Чтобы сложить два отрицательных числа , надо: а)сложить их модули; б) поставить перед полученным числом знак — .

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: а) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; б) поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.

Чтобы из данного вычесть другое ,надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому: а-б=а+(-б)
Любое выражение содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой ,надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак — .

Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их модули.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

При делении чисел с разными знаками , надо: а) разделить модуль делимого на модуль делителя; б) поставить перед полученным числом знак — .

Рациональные числа.

Число , которое можно записать в виде отношения а/н , где а-целое число , а н-натуральное число , называют рациональным числом.

Любое целое число является рациональным.

Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Любое рациональное число можно записать либо в сиде десятичной дроби ( в частности целого числа ) , либо в виде периодической дроби.

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

Решение уравнений.

Если перед скобками стоит знак + , то можно опустить скобки и этот знак + , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках.Если первое слагаемое записано без знака , то его надо записать со знаком + .

Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак — , надо заменить этот знак на + , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки.

Подобные слагаемые.

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ).

Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Решение уравнений.

Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.

Корни уравнения не изменяются , если какое –нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак.

Уравнение , которое можно привести к виду ах=в с помощью переноса слагаемых и приведения подобных , называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Координаты на плоскости.

Две прямые , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными.

Отрезки ( или лучи) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами).

Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей , то они параллельны.

Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.

Отрезки ( или лучи) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( или лучами).

Системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Тока О называется началом координат.

Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.
Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.

gitun.com

Правила по математике 6 класс

infourok.ru

Конспект «Математика 6 класс. Краткий курс»

«Математика 6 класс. Краткий курс» — это сжатое, но полное изложение школьного курса по математике в 6 классе по учебным программам Белоруссии, представленное в виде логических схем и информационных таблиц. Наглядное, четкое и схематичное изложение материала позволяет быстро усвоить или повторить большой объем информации, облегчить понимание трудных тем, сложных понятий и определений, обобщить и систематизировать знания. Содержание данного курса соответствует учебному пособию «Герасимов, В.Д., Пирютко, О.Н. Математика / Матэматыка 6 класс. Адукацыя і выхаванне, 2018». Обращаем Ваше внимание на различие учебных программ России и Белоруссии! Содержание учебного предмета «Математика 6 класс в Белоруссии» указано в конце настоящей статьи (см. внизу).

Глава 1. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

1.1. Числа и величины

1.2. Десятичная дробь

1.3. Сравнение десятичных дробей

1.4. Округление десятичных дробей

1.5. Сложение и вычитание десятичных дробей

1.6. Умножение и деление десятичных дробей на разрядную единицу

1.7. Умножение десятичных дробей

1.8. Деление десятичных дробей

1.9. Преобразование десятичных дробей в обыкновенные

1.10. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Глава 2. ПРОЦЕНТЫ И ПРОПОРЦИИ

2.1. Отношения чисел и величин

2.2. Проценты

2.3. Ключевые задачи на проценты

2.4. Алгоритм определения типа задачи на проценты

2.5. Пропорция и ее свойства

2.6. Вычисление неизвестных членов пропорции

2.7. Прямая пропорциональная зависимость

2.8. Обратная пропорциональная зависимость

2.9. Круговые диаграммы

2.10. Масштаб

Подробнее про масштаб в Конспекте урока по Географии «Масштаб. Определение расстояний»

Глава 3. МНОЖЕСТВО

3.1 Множество и его элементы

3.2. Способы задания множеств

3.3. Подмножество

3.4. Пересечение множеств

3.5. Разность множеств

3.6. Объединение множеств

3.7. Законы операций над множествами

Глава 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

4.1. Рациональные числа

4.2 Координатная прямая

4.3 Модуль числа и его геометрический смысл

4.4. Сравнение рациональных чисел

4.5. Сложение рациональных чисел

4.6. Вычитание рациональных чисел

4.7. Умножение рациональных чисел

4.8. Деление рациональных чисел

Глава 5. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ

5.1. Длина окружности

5.2. Площадь круга

5.3. Биссектриса угла

5.4. Виды треугольников

5.5. Свойство углов равнобедренного треугольника

5.6. Симметрия относительно точки

5.7. Симметрия относительно прямой

Содержание учебного предмета «Математика 6 класс в Белоруссии»

Десятичные дроби

Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Округление десятичных дробей. Конечная и бесконечная десятичные дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу. Преобразования числовых выражений с обыкновенными и десятичными дробями.

Проценты и пропорции

Проценты. Основные задачи на проценты. Пропорция и ее свойства. Прямая пропорциональная зависимость. Обратная пропорциональная зависимость. Зависимости между величинами в процессах: скоростью, временем, результатом процесса; стоимостью, ценой, количеством и т.д. Задачи на применение пропорций (задачи на части, пропорциональное деление) и их решение. *Сложные проценты. Круговые диаграммы. Масштаб. Практико-ориентированные задачи, задачи с межпредметным содержанием и их решение.

Множество

Множество. Элементы множества. Способы задания множеств. Пустое множество. Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение). Задачи на нахождение общих элементов и всех элементов заданных множеств. * Разность, дополнение множеств. * Круги Эйлера. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Рациональные числа

Множество натуральных чисел. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел. Модуль числа. Сравнение рациональных чисел. Координатная прямая. Координаты точек на координатной прямой. Изображение точки на координатной прямой по ее координате. Нахождение координаты точки на координатной прямой. Геометрическая интерпретация модуля числа. Действия над рациональными числами. * Нахождение значений выражений, содержащих знак модуля. Практико-ориентированные задачи, задачи с межпредметным содержанием и их решение.  

Координатная плоскость

Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости. Координаты точки. Построение точки по ее координатам. Определение координат точки на координатной плоскости. Графики зависимостей между величинами. Графики реальных процессов: изменение суточной температуры воздуха, изменение пути в зависимости от скорости и времени движения, иных процессов. График прямой пропорциональности. График обратной пропорциональности. Практико-ориентированные задачи, задачи с межпредметным содержанием и их решение.

 Наглядная геометрия

Наглядные представления тел в пространстве, примеры разверток. Окружность (центр, радиус, хорда, диаметр. Круг. Формулы длины окружности и площади круга. * Круг и его части (сегмент, сектор, кольцо). Виды треугольников (произвольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник).

Симметрия относительно точки. Фигуры, симметричные относительно точки. Центрально-симметричные фигуры. Центр симметрии. Фигуры в реальной жизни, имеющие центр симметрии. Фигуры, симметричные относительно прямой. Ось симметрии. Фигуры в реальной жизни, имеющие ось симметрии. Практико-ориентированные задачи, задачи с межпредметным содержанием и их решение.

* Познавательные и развивающие задачи с геометрическими фигурами.

Конец конспекта «Математика 6 класс. Краткий курс». Выберите следующие действия:

Вернуться к Списку конспектов . Проверить знания по Математике

uchitel.pro