Как решать задачи в геометрии: «Как научиться решать задачи по геометрии?» — Яндекс Кью

Уровень второй, когда вы уже обладаете элементарными знаниями и навыками решения простейших задач. Но вот бывает же так, читаешь условие задачи, и… не понятно, что делать, не понятно, как подступиться к решению…. Что делать?

Не бояться задачи, которая вам не понятна!

Во-первых, следует установить – это «плоская» или пространственная задача? Тупо посмотреть, сколько координат у векторов и точек, две или три?  Результаты первого шага уже неплохи, ведь удалось отсечь громадное количество ненужной информации!

Второе. Условие, как правило, озаботит вас некоторой геометрической фигурой,
и вы можете вообще не помнить, что это за фигура. Или не помнить её свойств.  Ангем ангемом, но задачу помогут решить геометрические свойства самих фигур, известные нам из школьной программы. Поэтому в

Третье. ВСЕГДА старайтесь выполнять чертёж (на черновике / чистовике / мысленно / в сердце), даже если этого не требуется по условию. В «плоских» задачах сам Евклид велел взять в руки линейку с карандашом – и не только для того, чтобы понять условие, но и в целях самопроверки. При этом наиболее удобный масштаб

Чертёж или схематический чертёж зачастую сразу позволяет увидеть путь решения задачи. Но, конечно, для этого нужно знать фундамент и рубить в свойствах геометрических фигур (см. предыдущие пункты)

Четвёртое. Разработка алгоритма решения. Многие задачи являются многоходовыми, и поэтому решение и его оформление очень удобно разбивать на пункты. Нередко алгоритм сразу же приходит в голову, после того как вы прочитали условие или выполнили чертёж. В случае возникновения трудностей начинаем с ВОПРОСА задачи. Например, по условию требуется построить прямую. И здесь самый логичный вопрос такой: А что нужно знать, чтобы построить эту прямую? Предположим, точка нам известна, тогда нужно узнать ещё одну точку или направляющий вектор. Задаём следующий вопрос:

Кстати, этот пункт полезен не только в геометрии и не только в математике. И не только в науках,… впрочем, не будем развивать попсовые темы, сейчас геометрия!

Иногда случается «затык» – не решается задача и всё тут. Причины «стопора» могут быть следующими:

– Серьёзный пробел в элементарных знаниях. Иными словами, вы не знаете или (и) не видите какой-то очень простой вещи. Да просто неправильно извлекаете корень или упрощаете трёхэтажную дробь (см. Приложение Школьные Материалы).

– Незнание свойств геометрических фигур. Следует отметить, что некоторые из них имеют специфические и малоизвестные свойства, и поэтому я рекомендую не ограничиваться упомянутым выше

– Задача попалась трудная. Да, так бывает. И тут нет смысла париться часами, обратитесь за консультацией к преподавателю, сокурсникам или задайте вопрос на форуме. Причём, его постановку лучше сделать конкретной – о том участке решения, который вам не понятен. Клич в виде «Как решить задачу?» выглядит не очень-то….  

Этап пятый. Решаем-проверяем, решаем-проверяем, решаем-проверяем-даём ответ. Каждый пункт задачи выгодно проверять СРАЗУ после его выполнения. Это поможет немедленно обнаружить ошибку. Естественно, никто не запрещает быстренько прорешать задачу целиком, но это чревато переписыванием всего решения заново (порой, несколько страниц).

Шестое: решаем, решаем, решаем!

А теперь самый главный, Седьмой секрет:

Получаем удовольствие!

И начнём мы прямо сейчас. Пройдёмся по нити алгоритма, который я только что рассмотрел в своём маленьком научном труде.

Задач будет две, но мало не покажется =)

Задача 94

Даны три вершины  параллелограмма . Найти  вершину .

Шаг первый: очевидно, что речь идёт о «плоской» задаче.

Шаг второй: в задаче речь идёт о параллелограмме. Все помнят такую фигуру? 😉

Шаг третий: Выполним чертёж, на котором отметим три известные вершины, да и вообще всё остальное, искомую точку  в том числе:
Построить – это хорошо, но решение нужно оформить аналитически.

Шаг четвёртый: Разработка алгоритма решения. Первое, что приходит в голову – точку  можно найти как пересечение прямых  и . Их уравнения нам неизвестны, и поэтому придётся заняться этим вопросом.

Шаг5 Прорешиваем самостоятельно и проверяем каждый пункт:

1) Противоположные стороны  и  параллельны. По точкам  найдём направляющий вектор этих прямых: .

2) Составим уравнение прямой  по известной точке  и направляющему вектору .

3) Противоположные стороны  и  параллельны. По точкам  найдём направляющий вектор этих сторон .

4) Составим уравнение  по точке  и направляющему вектору

5) Теперь уравнения прямых  известны, находим точку .

Записываем ответ: … – не забываем об этом важном элементе решения!

Задача довольно-таки простая, но существует ещё более короткий путь!

Второй способ решения: диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам

1) С помощью формул координат середины отрезка найдём точку  – середину диагонали .

2) Рассмотрим диагональ . Из условия известна вершина «бэ», из предыдущего пункта найдена середина . Используя те же формулы, находим вершину .

Знание свойств параллелограмма позволило значительно сократить решение! Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.

Переходим к очень популярной задаче, которая встречается практически в каждом сборнике, в каждой методичке:

2.9. Типовая задача с треугольником

2. 7. Системы линейных неравенств

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

«Классические» схемы для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. «В алгебре все просто, — говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи».

Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач?

Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать.

Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии.

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если 

1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
4. , где R – радиус описанной окружности .

Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD –  в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.

Схема 5.  Лемма о трезубце (трилистнике)

И несколько лайфхаков для сдающих ЕГЭ.

1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем Супер-Справочнике . И полезные факты. Зато знать это надо наизусть.

2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи  дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете?

4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство.

5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).

6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные.

Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления!

Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше.

7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице ««Классические» схемы для решения задач по геометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.01.2023

Использование геометрических понятий и свойств для решения задач

ВведениеРешение задач с использованием периметра и окружностиРешение задач с использованием площади и площади поверхностиРешение задач с использованием пропорциональности Резюме

Часто вам будет предложено решить задачи, связанные с геометрическими отношениями или другими формами. Для реальных задач эти геометрические отношения в основном связаны с измеримыми атрибутами, такими как длина, площадь или объем.

Иногда эти задачи связаны с периметром, окружностью или площадью двумерной фигуры.

Например, какое расстояние вокруг отображаемой дорожки? Или какова площадь участка поля, покрытого травой?

Вы также можете столкнуться с задачами, связанными с объемом или площадью поверхности трехмерной фигуры. Например, какова площадь крыши здания, которое показано?

Другой распространенный тип геометрической задачи включает в себя пропорциональные рассуждения.

Например, художник создал картину, которую нужно пропорционально уменьшить для афиши, рекламирующей открытие художественной галереи. Если размеры картины уменьшить на 40 %, каковы будут размеры изображения на флаере?

В этом материале вы изучите способы применения модели решения задач для определения решений подобных геометрических задач.

Базовая модель решения проблем состоит из следующих четырех шагов:

Вы, наверное, помните, что периметр объекта — это расстояние вокруг края объекта. Если объект содержит круги, вам может понадобиться подумать об окружности круга, которая является периметром круга.

Проблема

Шина легкового автомобиля имеет диаметр 18 дюймов. Какое расстояние проедет автомобиль, если колесо сделает 5 оборотов?

Шаг 1 : Прочтите, поймите и интерпретируйте проблему.

• Какая информация представлена?
• Что за проблема просит меня найти?
• Какая информация может быть дополнительной информацией, которая мне не нужна?

Шаг 2 : Составьте план.

• Нарисуй картинку.
• Использовать формулу: Какую формулу мне нужно использовать?
  (Подсказка: посмотрите свои справочники по математике)

Шаг 3 : Реализуйте свой план.

• Какие формулы мне нужны?
• Какую информацию я могу интерпретировать из диаграммы, таблицы или другой предоставленной информации?
• Решить проблему.

Шаг 4 : Оцените свой ответ.

• Имеет ли смысл мой ответ?
• Ответил ли я на заданный вопрос?
• Верны ли мои единицы измерения?

Практика

Цилиндрическая бочка диаметром 20 дюймов используется для хранения топлива для приготовления барбекю. Шеф-повар перекатывает бочку так, чтобы она совершила 7 оборотов. На сколько метров повар откатил бочку?

Вы также можете столкнуться с реальными геометрическими задачами, которые требуют найти площадь 2-мерных фигур или площадь поверхности 3-мерных фигур. Ключом к решению этих задач является поиск способов разбить область на более мелкие фигуры, площадь которых вы знаете, как найти.

Проблема

Мистер Элдер хочет оклеить стену на кухне обоями. Стена показана на рисунке ниже.

Если обои стоят 1,75 доллара за квадратный фут, сколько мистер Элдер потратит на обои, чтобы полностью покрыть эту стену, без учета налога с продаж?

Чтобы решить эту проблему, давайте воспользуемся 4-этапной моделью решения проблем.

Шаг 1 : Прочтите, поймите и интерпретируйте проблему.

• Какая информация представлена?
• Что за проблема просит меня найти?
• Какая информация может быть дополнительной информацией, которая мне не нужна?

Шаг 2 : Составьте план.

• Нарисуй картинку.

Шаг 3 : Реализуйте свой план.

• Какие формулы мне нужны?
• Какую информацию я могу интерпретировать из диаграммы, таблицы или другой предоставленной информации?
• Решить проблему.

Шаг 4 : Оцените свой ответ.

• Имеет ли смысл мой ответ?
• Ответил ли я на заданный вопрос?
• Верны ли мои единицы измерения?

Практика

Миссис Нгуен хочет внести удобрения на лужайку перед домом. Мешок удобрения, который покрывает 1000 квадратных футов, стоит 18 долларов. Сколько мешков удобрений нужно будет купить г-же Нгуен?

Проблема площади поверхности

После шторма семье Серафина нужно заменить крышу. Их дом имеет форму пятиугольной призмы с размерами, показанными на схеме.

Кровельная компания представила г-ну Серафине смету, основанную на стоимости замены крыши в размере 2,75 доллара США за квадратный фут. Сколько будет стоить семье Серафина замена крыши?

Чтобы решить эту проблему, давайте воспользуемся 4-этапной моделью решения проблем.

Шаг 1 : Прочтите, поймите и интерпретируйте проблему.

• Какая информация представлена?
• Что за проблема просит меня найти?
• Какая информация может быть дополнительной информацией, которая мне не нужна?

Шаг 2 : Составьте план.

• Нарисуй картинку.

Шаг 3 : Реализуйте свой план.

• Какие формулы мне нужны?
• Какую информацию я могу интерпретировать из диаграммы, таблицы или другой предоставленной информации?
• Решить проблему.

Шаг 4 : Оцените свой ответ.

• Имеет ли смысл мой ответ?
• Ответил ли я на заданный вопрос?
• Верны ли мои единицы измерения?

Практика

В соответствии с новой крышей г-жа Серафина решила покрыть обе пятиугольные стороны дома алюминиевым сайдингом. Их дом имеет форму пятиугольной призмы с размерами, показанными на схеме.

Подрядчик дал г-же Серафине смету, основанную на стоимости 3,10 доллара США за квадратный фут для завершения алюминиевого сайдинга. Сколько будет стоить семье Серафина установка алюминиевого сайдинга?

Пропорциональные соотношения — еще одна важная часть решения геометрических задач.

Картина на дереве имеет размеры 60 см на 79,5 см. Чтобы поместиться на листовке, рекламирующей открытие новой арт-выставки, изображение должно быть уменьшено в масштабе 1/25.

Каковы будут окончательные размеры изображения на флаере?

Задача измерения

На летние каникулы Дженнифер и ее семья поехали из своего дома в Инлендтоне в Бичвилл. Их машина может проехать 20 миль на одном галлоне бензина. С помощью линейки измерьте расстояние, которое они проехали с точностью до 1/4 дюйма, а затем рассчитайте количество галлонов бензина, которое их машина израсходует с такой скоростью, чтобы проехать из Инлендтона в Бичвилль.

Шаг 1 : Прочтите, поймите и интерпретируйте проблему.

• Какая информация представлена?
• Что за проблема просит меня найти?
• Какая информация может быть дополнительной информацией, которая мне не нужна?

Шаг 2 : Составьте план.

• Нарисуй картинку.

Шаг 3 : Реализуйте свой план.

• Какие формулы мне нужны?
• Какую информацию я могу интерпретировать из диаграммы, таблицы или другой предоставленной информации?
• Решить проблему.

Шаг 4 : Оцените свой ответ.

• Имеет ли смысл мой ответ?
• Ответил ли я на заданный вопрос?
• Верны ли мои единицы измерения?

Практика №1

Чертеж прямоугольного сарая для инструментов имеет размеры, показанные на схеме ниже.

Тодд использует этот чертеж, чтобы построить сарай для инструментов, и он хочет окружить основание сарая для инструментов ландшафтными бревнами в качестве границы. Сколько футов бревен для ландшафтного дизайна понадобится Тодду?

Практика №2

Показана модель локомотива в масштабе. С помощью линейки измерьте размеры модели с точностью до 1/4 дюйма, а затем рассчитайте фактические размеры локомотива.

Масштаб : 1 дюйм = 5 футов

Решение геометрических задач, например, в искусстве и архитектуре, является важным навыком. Как и в случае с любой математической задачей, вы можете использовать 4-шаговую модель решения проблемы, которая поможет вам продумать важные части проблемы и быть уверенным, что вы не упустите ключевую информацию.

Существует множество различных применений геометрии для решения реальных задач. Некоторые из наиболее распространенных приложений включают следующее:

Периметр или Окружность Приложения

Каков периметр основания чашки, если чашка имеет форму восьмиугольной призмы?

В Западном Техасе фермеры используют круглые разбрызгиватели, вращающиеся вокруг центральной точки, для орошения посевов. С воздуха видны отчетливые круги из получившейся растительности. Если на поле закреплены четыре разбрызгивателя, и каждый разбрызгиватель простирается на 100 футов от точки поворота, какую площадь орошает фермер?

Область применения

JP Morgan Chase Bank Tower в центре Хьюстона, штат Техас, является одним из самых высоких зданий к западу от реки Миссисипи. Он имеет форму пятиугольной призмы. Если 40% каждого лица покрыто стеклянными окнами, какова площадь поверхности, покрытой стеклом?

Пропорциональное рассуждение

Размеры картины Винсента Ван Гога Звездная ночь составляют 29 дюймов на 361436\frac{1}{4} дюймов. Если отпечаток уменьшит эти размеры на коэффициент масштабирования 30%, каковы будут размеры отпечатка?

• Печать
• Поделиться

Бесплатные задачи и вопросы по геометрии с решениями