Что такое полином в математике: ПОЛИНОМ | это… Что такое ПОЛИНОМ?

Полином | это… Что такое Полином?

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Делимость 4 Полиномиальные функции 5 Свойства 6 Вариации и обобщения 7 См. также 8 Ссылки

Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i₁,i₂,…,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется

мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x₁,x₂,…,x_n].

Связанные определения

• Многочлен вида называется одночленом или мономом
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом.
  • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
  • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число | I | = i₁ + i₂ + . .. + i_n.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
• Множество мультииндексов I для которых коэффициенты c_I ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется

приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x⁴ + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию

.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен

См. также

• Бином
• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Однородный многочлен
• Ортогональные многочлены
• Многогранник Ньютона
• Многочлен Лагранжа
• Многочлен Тейлора
• Многочлен Гильберта
• Многочлен Эрхарта
• Многочлен Чебышёва
• Многочлен Эрмита
• Симметрический многочлен
• Базис Гребнера
• Сплайн
• Характеристический многочлен
• Теорема Гаусса — Лукаса
• Упорядочивание одночленов

Ссылки

Полиномы | Математика, которая мне нравится

1. Теорема о делении с остатком

Теорема (о делении с остатком). Для данных полиномов существуют и единственны полиномы и такие, что

   

где .

Пример 1. Известно, что остаток от деления полинома на равен , от деления на равен . Найдите остаток от деления на .

Решение. Пусть

   

Тогда , . Отсюда , .

Пример 2. Определить, будет ли полином делиться на .

Решение. Пусть . Тогда, как и в предыдущей задаче, . Теперь продифференцируем равенство по :

   

и . Отсюда следует делимость. — корень кратности .

2. Теорема Виета

Теорема Виета. Пусть корни многочлена

   

равны . Тогда

   

Пример 3. Известно, что уравнение

   

имеет вещественных корня, сумма которых равна . Найти .

Решение. По теореме Виета . Осталось проверить, при каком уравнение имеет вещественных корня. .

3. Суммы Ньютона

Пусть , . Обозначим его корни. И полином .

Определение. Выражение

   

называется —ой суммой Ньютона полинома .

Найдем выражение через коэффициенты . Для этого рассмотрим дробь

   

Разложим теперь каждую дробь по степеням :

   

и подставим в первое равенство:

   

Домножим обе части этого равенства на , получим

тождество

   

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в этом тождестве, получаем равенства:

   

Разрешая их последовательно, получаем рекурсивные формулы Ньютона для :

   

Пример 4. Доказать, что

   

где — суммы Ньютона полинома .

Решение. Запишем выражения для

   

Рассмотрим эти равенства как систему линейных уравнений относительно и выразим по формулам Крамера:

   

Далее, учитывая, что знаменатель равен единице, переставляем столбцы в числителе и приходим к нужному нам равенству.

Пример 5. Вычислить сумму

   

где — корни полинома .

Ответ. .

Решение.

   

так как полином не имеет кратных корней: его дискриминант . Отсюда ответ.

4. Теорема Лагранжа

Рассмотрим полином

   

Теорема. Пусть числа все различны. Для полинома справедливы следующие равенства Эйлера — Лагранжа:

   

Доказательство. Построим интерполяционный полином по следующей таблице:

   

С одной стороны, ответ известен заранее: . С другой стороны, формула интерполяционного полинома Лагранжа дает его же в виде суммы:

   

В этом тождестве степени полиномов слева и справа должны быть одинаковыми.

Если , то старший коэффициент правого полинома должен обратиться в нуль. Если же , то должны совпасть старшие коэффициенты обоих полиномов.

5. Результант и дискриминант

Для полиномов

   

() составим квадратную матрицу порядка :

элементы выше и , и ниже и все равны нулю.

Определение. Выражение

   

называется результантом полиномов и (в форме Сильвестра).

Теорема. Для полиномов и

   

Теорема. Для того чтобы и имели общий корень, необходимо и достаточно выполнение условия .

Для того чтобы полином имел кратный корень необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своей производной . Для этого необходимо и достаточно, чтобы .

Соответствующий определитель

   

будет делиться на (общий множитель элементов первого столбца).

Определение. Выражение называется дискриминантом полинома и обозначается :

   

Упражнение. Докажите, что

   

Здесь — корни .

Теорема. Полином имеет кратный корень тогда и только тогда, когда .

Пример 6. Охарактеризовать число вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами по знаку дискриминанта для полинома третьей степени, для полинома четвертой степени и в общем случае.

Решение. В общем случае, если дискриминант положителен, то число пар комплексно-сопряженных корней четное, если дискриминант отрицателен, — то нечетное.

Для полинома третьей степени, если , то все корни вещественны, если , то два корня комплексно-сопряженные.

Для полинома четвертой степени при или все корни вещественные, или все корни комплексные. При имеется два вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.

Задачи

1. Найдите многочлен четвертой степени со старшим коэффициентом единицей, у которого число является корнем кратности , а остаток от деления на равен .

2. Многочлен с целыми коэффициентами представлен в виде

   

где — различные целые числа, а — некоторый многочлен. Может ли многочлен иметь целые корни?

3. и — различные вещественные числа. Найдите остаток от деления полинома на .

4. — полином с целыми коэффициентами. Для некоторого натурального ни одно из чисел не делится на . Докажите, что полином не имеет целых корней.

5. Корни полинома — . Найдите кубическое уравнение, корнями которого являются .

6. Доказать, что если четыре различных точки кривой

   

лежат на одной прямой, то среднее арифметическое их абсцисс есть константа. Найдите эту константу.

7. Пусть . Пусть уравнение имеет различные вещественные корни. Докажите, что эти корни являются также корнями уравнения . Найдите квадратное уравнение для двух других корней этого уравнения. Решите

   

8. Найдите полином с вещественными коэффициентами, , такой, что суммы квадратов коэффициентов и одинаковы для всех .

9. Вещественный полином такой, что для любого полинома . Найти все такие полиномы .

10. Пусть — корни степени из . Найти .

11. Пусть — многочлен -й степени, а — его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения и каждым из корней уравнения .

Вычислите сумму величин, обратных полученным разностям.

12. Доказать, что если для некоторого натурального

   

то полином

   

имеет корень между и .

13. Доказать, что многочлены и не имеют общих комплексных корней.

14. Пусть — суммы Ньютона полинома

   

Найти полином такой, что его суммы Ньютона равны .

Подробнее о полиномах (и не только) см. на сайте: http://pmpu.ru/vf4/

Что такое многочлены? Определение и примеры

Многочлены — это алгебраические выражения, содержащие неопределенные и постоянные числа. Вы можете думать о многочленах как о диалекте математики. Они используются для выражения чисел почти во всех областях математики и считаются очень важными в некоторых разделах математики, таких как исчисление. Например, 2x + 9 и x ² + 3x + 11 являются полиномами. Вы могли заметить, что ни один из этих примеров не содержит знака «=». Взгляните на эту статью, чтобы лучше понять полиномы.

1.	Что такое многочлен?
2.	Стандартная форма многочлена
3.	Члены многочлена
4.	Степень многочлена
5.	Типы многочленов
6.	Свойства многочленов
7.	Операции над многочленами
8.	Факторизация многочленов
9.	Решение многочленов
10.	Часто задаваемые вопросы о многочленах

Что такое многочлен?

Многочлен — это тип выражения. Выражение — это математическая инструкция без знака равенства (=). Давайте разберемся в значении и примерах многочленов, как объяснено ниже.

Полином Определение

Полином — это тип алгебраического выражения, в котором показатели степени всех переменных должны быть целыми числами. Показатели переменных в любом многочлене должны быть неотрицательными целыми числами. Многочлен состоит из констант и переменных, но мы не можем выполнять операции деления на переменную в многочленах.

Примеры полиномов

Давайте разберемся в этом на примере: 3x ² + 5. В данном полиноме есть определенные термины, которые нам необходимо понять. Здесь x известен как переменная. 3, которое умножается на х ² имеет специальное имя. Обозначим его термином «коэффициент». 5 называется константой. Степень переменной x равна 2.

Ниже приведены несколько выражений, которые не являются примерами полинома.

Не многочлен	Причина
2x -2	Здесь показатель степени переменной ‘x’ равен -2.
1/(у + 2)	Это не пример полинома, так как операция деления в полиноме не может быть выполнена переменной.
√(2x)	Показатель степени не может быть дробью (здесь 1/2) для многочлена.

На следующем рисунке показаны все члены многочлена.

Стандартная форма многочленов

Стандартная форма полинома относится к записи полинома в убывающей степени переменной.

Пример: Выразите многочлен 5 + 2x + x ² в стандартной форме.

Чтобы представить приведенный выше многочлен в стандартной форме, мы сначала проверим степень многочлена.

• В данном многочлене степень равна 2. Запишите член, содержащий степень многочлена.
• Теперь мы проверим, есть ли член с показателем степени переменной меньше 2, т. е. 1, и запишем его дальше.
• Наконец, запишите член с показателем степени переменной как 0, который является постоянным членом.

Следовательно, 5 + 2x + x ² в стандартной форме можно записать как x ² + 2x + 5.

Всегда помните, что в стандартной форме многочлена члены записываются в порядке убывания мощность переменной, здесь x.

Члены многочлена

Члены многочленов определяются как части выражения, разделенные операторами «+» или «-«. Например, полиномиальное выражение 2x ³

— 4x ² + 7x — 4 состоит из четырех членов.

Подобные термины и различные термины

Подобные термины в многочленах — это те термины, которые имеют одну и ту же переменную и одинаковую мощность. Термины, которые имеют разные переменные и/или разные степени, известны как непохожие термины. Следовательно, если многочлен имеет две переменные, то все одинаковые степени любой ОДНОЙ переменной будут известны как одинаковые члены. Давайте разберемся в этих двух с помощью примеров, приведенных ниже.

Например , 2x и 3x похожи на термины. Принимая во внимание, что 3 года ⁴ и 2x ³ — разные термины.

Степень многочлена

Наибольший или наибольший показатель степени переменной в многочлене называется степенью многочлена. Степень используется для определения максимального количества решений полиномиального уравнения (используя правило знаков Декарта).

Пример 1: Многочлен 3x ⁴ + 7 имеет степень, равную четырем.

Степень многочлена с более чем одной переменной равна сумме показателей степени входящих в него переменных.

Пример 2: Найдите степень многочлена 3xy.

В приведенном выше полиноме степень каждой переменной x и y равна 1. Чтобы вычислить степень полинома с более чем одной переменной, сложите степени всех переменных в члене. Таким образом, мы получим степень данного многочлена (3xy) как 2.

Аналогично, мы можем найти степень многочлена 2x ² y ⁴ + 7x ² y путем нахождения степени каждого члена. Наивысшая степень будет степенью многочлена. Для данного примера степень многочлена равна 6.

Типы многочленов

Многочлены можно классифицировать по их степени и мощности. Основываясь на количестве членов, есть в основном три типа многочленов, которые перечислены ниже:

• Мономы
• Биномы
• Трехчлены

Одночлен — это тип многочлена с одним членом. Например, x, -5xy и 6y ² . Бином — это тип полинома, который имеет два члена. Например, x + 5, y ² + 5 и 3x ³ — 7. В то время как Trinomial — это тип полинома, который имеет три члена. Например, 3x ³ + 8x — 5, x + y + z и 3x + y — 5. Однако в зависимости от степени полинома полиномы можно разделить на 4 основных типа:

• Нулевой многочлен
• Постоянный многочлен
• Линейный многочлен
• Квадратичный многочлен
• Кубический многочлен

Постоянный многочлен определяется как многочлен, степень которого равна нулю. Любой постоянный многочлен с коэффициентами, равными нулю, определяется как нулевой многочлен . Например, 3, 5 или 8. Многочлены со степенью 1 называются линейными многочленами . Например, x + y — 4. Многочлены со степенью 2 называются квадратичными многочленами . Например, 2p ² — 7. Многочлены со степенью 3 называются кубическими многочленами . Например, 6м ³ — мн + н ² — 4.

Свойства многочленов

Полиномиальное выражение содержит члены, связанные операторами сложения или вычитания. Существуют различные свойства и теоремы о многочленах, основанные на типе многочлена и выполняемой операции. Некоторые из них приведены ниже,

Теорема 1: Если A и B — два заданных полинома, то

• deg⁡(A ± B) ≤ max(deg⁡ A, deg ⁡B), с равенством, если deg⁡ A ≠ deg ⁡B
• град⁡(А⋅В) = град⁡ А + град⁡ В

Теорема 2: Для заданных многочленов A и B ≠ 0 существуют уникальные многочлены Q (частное) и R (вычет) такие, что

A = BQ + R и deg R < deg B

Теорема 3 ( Теорема Безу): Многочлен P(x) делится на бином x − a тогда и только тогда, когда P(a) = 0. Это также известно как факторная теорема.

Теорема 4: Если многочлен P делится на многочлен Q, то каждый нуль Q является также нулем P.

Теорема 5: Многочлен P(x) степени n > 0 имеет единственный представление вида P(x) = k(x — x ₁ )(x — x ₂ )…(x — x _n ), где k ≠ 0 и x ₁ ,…, x _n — комплексные числа, не обязательно различные.

Следовательно, P(x) имеет не более чем deg ⁡P = n различных нулей.

Теорема 6: Многочлен n-й степени имеет ровно n комплексных/вещественных корней вместе с их кратностями.

Теорема 7: Если многочлен P делится на два взаимно простых многочлена Q и R, то он делится на Q⋅R.

Теорема 8: Если ß является комплексным нулем вещественного многочлена P(x), то таковым является \(\overline{ß}\) (комплексно-сопряженное ß).

Теорема 9: Вещественный многочлен P(x) имеет единственную факторизацию (с точностью до порядка) вида

P(x) = (x — r ₁ ). ..(x — r _k )(x ² — p ₁ x + q ₁ )…(x ² — p _l x + q _l ),

где r _i и p _j , q _j — действительные числа с p _i ^{2 .}

Теорема 10 (Теорема об остатках): Остаток при делении многочлена f(x) на (x — a) равен f(a).

Операции над многочленами

Основные алгебраические операции можно выполнять над полиномами разных типов. Эти четыре основные операции над многочленами могут быть представлены как

• Сложение многочленов
• Вычитание многочленов
• Умножение многочленов
• Деление многочленов

Сложение многочленов

Сложение многочленов — одна из основных операций, которые мы используем для увеличения или уменьшения значения многочленов. Независимо от того, хотите ли вы сложить числа или полиномы, основные правила остаются прежними. Единственное отличие состоит в том, что при добавлении вы выравниваете соответствующие значения мест и выполняете операцию. Однако, когда речь идет о сложении многочленов, нужно соединить одинаковые члены в пары, а затем сложить их. В противном случае все правила сложения чисел переходят в многочлены. Посмотрите на приведенное здесь изображение, чтобы понять, как сложить любые два многочлена.

Вычитание многочленов

Как обсуждалось выше, правила вычитания многочленов очень похожи на вычитание двух чисел. Чтобы вычесть многочлен из другого, мы просто добавляем добавку, обратную многочлену, который вычитается, к другому многочлену. Еще один простой способ вычитания многочленов — просто изменить знаки всех членов вычитаемого многочлена, а затем добавить полученные члены к другому многочлену, как показано ниже. Нам просто нужно выровнять заданные полиномы на основе одинаковых членов.

Умножение многочленов

Операция умножения многочленов следует общим свойствам, таким как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и т. д. Применяя эти свойства, используя правила экспонент, мы можем решать задачу умножения многочленов. Чтобы умножить на многочлены, мы просто умножаем каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена, а затем складываем все результаты. Вот пример умножения многочленов.

Например, (2x + 3y)(4x — 5y) = 2x(4x — 5y) + 3y(4x — 5y) = 8x ² — 10xy + 12xy — 15y ²

⇒ 3x 4

+ 2xy — 15y

²

Деление многочленов

Деление многочленов — это арифметическая операция, при которой мы делим данный многочлен на другой многочлен, который обычно имеет меньшую степень по сравнению со степенью делимого. Есть два метода деления многочленов.

• Длинное деление многочленов
• Синтетическое подразделение

Чтобы узнать больше о каждом типе разделения, нажмите на соответствующую ссылку.

Факторизация многочленов

Факторизация полиномов — это процесс, посредством которого мы разлагаем полиномиальное выражение в форму произведения его неприводимых множителей, так что коэффициенты множителей находятся в той же области, что и основной многочлен. Существуют различные методы, которым можно следовать для факторизации многочленов, заданных как

• Метод общих множителей
• Метод группировки
• Факторинг по условиям разделения
• Факторинг с использованием алгебраических тождеств

В зависимости от сложности данного полиномиального выражения мы можем следовать любому из приведенных выше методов.

Полиномиальные уравнения

Полиномиальное уравнение представляет собой уравнение, состоящее из переменных, показателей и коэффициентов, операций и знака равенства. Общая форма полиномиального уравнения такова: P(x) = a _n x ⁿ + . . + рх + с. Некоторые примеры полиномиальных уравнений: x ² + 3x + 2 = 0, x ³ + x + 1 = 0, x + 7 = 0 и т. д.

Полиномиальные функции

Общие выражения, содержащие переменные различной степени , коэффициенты, положительные показатели и константы известны как полиномиальные функции. Другими словами, полиномиальная функция — это функция, определение которой является многочленом. Вот несколько примеров полиномиальных функций,

• f(x) = x ² + 4
• г(х) = -2х ³ + х — 7
• h(x) = 5x ⁴ + x ³ + 2x ²

Решение многочленов

Решение многочлена означает нахождение корней или нулей многочленов. Мы можем применять различные методы для решения многочлена в зависимости от типа многочлена, будь то линейный многочлен, квадратичный многочлен и так далее. Давайте сначала разберемся, что подразумевается под нулем многочлена.

Нули многочленов

Корни или нули многочлена — это действительные значения переменной, при которых значение многочлена стало бы равным нулю. Итак, если мы скажем, что любые два действительных числа, ‘α’ и ‘ß’, являются нулями многочлена p(x), тогда p(α) = 0 и p(ß) = 0. Например, для многочлена p( x) = x ² — 2x + 1, заметим, что p(1) = (1) ² — 2(1) + 1 = 0. Следовательно, 1 является нулем или корнем данного многочлена. Это также означает, что (x — 1) является множителем p(x).

Теперь, чтобы найти ноль или корень любого многочлена, то есть решить любой многочлен, мы можем применить различные методы,

• Факторизация
• Графический метод
• Метод проб и ошибок

Важные примечания по полиномам:

• Члены полинома могут быть разделены только знаком «+» или «-».
• Чтобы любое выражение стало полиномом, степень переменной должна быть целым числом.
• Сложение и вычитание полинома возможно только между одинаковыми членами.
• Все числа во Вселенной называются постоянными полиномами.

☛ Статьи по теме:

• Полиномы от одной переменной
• Линейные уравнения
• Калькулятор полиномиального решения

 

Решенные примеры полиномов

1. Пример 1: Мистер Старк хочет посадить несколько кустов роз по краям своего сада треугольной формы. Если стороны сада заданы полиномами (4x — 2) фута, (5x + 3) фута и (x + 9) фута, каков периметр сада?

   Решение:

   Периметр сада = (4x — 2) + (5x + 3) + (x + 9) = 4x + 5x + x — 2 + 3 + 9 = 10x + 10

   Ответ: ∴ Периметр равен (10x + 10) футам.

2. Пример 2: Доход мистера Смита составляет $ (2x ² — 4y ² + 3xy — 5), а его расходы составляют $ (-2y ² + 5x ² + 9). Используйте концепцию вычитания многочленов, чтобы найти его сбережения.

   Решение:

   Все мы знаем, что Сбережения = Доходы — Расходы. Теперь, применяя то же самое здесь, мы получим:

   Сбережения = 2x ² — 4y ² + 3xy — 5 — (9 — 2y ² + 5x ² ) = 2x ² — 4y ² + 3xy — 5 + 2y ² — 5x ² — 9 = -3x ² — 2y ² + 3xy — 14

   Ответ: Отсюда, его сбережения быть $(-3x ² — 2y ² + 3xy — 14).

3. Пример 3: Сложите следующие многочлены: (2x ² + 16x — 7) + (x ³ + x ² — 9x + 1).

   Решение:

   Чтобы сложить многочлены, мы должны составить подобные термы.

   (2x ² + 16x — 7) + (x ³ + x ² — 9x + 1) = x ³ + (2 + 1)x ² + (16 — 9)x — 7 + 1 = x ³ + 3x ² + 7x — 6

   Ответ: x ³ + 3x ² + 7x — 6

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по полиномам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о многочленах

Что означает многочлен?

Многочлен — это алгебраическое выражение, члены которого разделены операторами «+» и «-», в котором показатели степени переменных всегда являются неотрицательными целыми числами. Например, x ² + x + 5, y ² + 1 и 3x ³ — 7x + 2 — это какие-то многочлены.

Что такое коэффициенты многочлена?

Коэффициенты полинома кратны переменной или переменной с показателями степени. Возьмем полином 3х ³ — 2х + 7, коэффициент при х ³ равен 3, а коэффициент при х равен -2.

Что такое мономы, биномы и трехчлены?

Одночлен — это тип многочлена с одним членом. Например, x, -5xy и 6y ² . В то время как биномиал будет иметь два термина. Например, х + 5, у ² + 5 и 3x ³ — 7. В то время как трехчлен — это тип многочлена, который имеет три члена. Например, 3x ³ + 8x — 5, x + y + z и 3x + y — 5.

Является ли 8 полиномом?

8 — многочлен. Поскольку степень этого многочлена равна нулю, это пример постоянного многочлена.

Что такое константа в многочлене?

Число, не кратное ни одной из переменных полинома, называется константой. Например, в многочлене 4x ⁴ + 3x ² — 5, -5 — константа. Многочлен может содержать константу, а может и не содержать ее.

Что такое полиномиальное уравнение?

Полиномиальное уравнение — это когда два разных многочлена объединяются вместе с помощью знака равенства. В этом случае выражение становится полиномиальным уравнением.

Почему полиномы важны?

Многочлены образуют большую группу алгебраических выражений. Любое выражение, в котором в качестве степеней переменных используются только целые числа, называется полиномом. Поскольку они охватывают такой огромный кусок всех алгебраических выражений, они, как правило, имеют широкий спектр приложений.

Что такое правило знаков многочленов Декарта?

Правило знаков Декарта используется для определения количества положительных/отрицательных действительных нулей многочлена f(x). Количество положительных действительных нулей f(x) в стандартной форме — это количество изменений знака в нем, а количество отрицательных действительных нулей f(x) — это количество изменений знака в f(-x).

Как умножать и делить многочлены?

При умножении многочленов следует помнить о трех законах: распределительном законе, ассоциативном законе и коммутативном законе. Для деления наиболее распространенным методом, используемым для деления одного многочлена на другой, является метод деления в длину.

Где найти калькулятор полиномов?

Мы можем найти полиномиальный калькулятор, нажав здесь. Мы можем использовать это, чтобы складывать/вычитать/умножать/разделять многочлены.

Является ли ноль полиномом?

Число 0 — это специальный многочлен, называемый нулевым многочленом. Это постоянный многочлен.

Brilliant Math & Science Wiki

Энди Хейс, Мехул Арора, Хобарт Пао, и

способствовал

Содержимое

• Идентификация полиномов
• Компоненты многочленов
• Степени многочленов
• Арифметика многочленов
• Факторные полиномы
• Полиномиальные функции
• Теоремы об остатках и факторах
• Тождества Ньютона

Многочлен — это особый тип математического выражения.

92+2a-1} & \hphantom{\ldots} & \color{#3D99F6}{-7} \\ \\ \end{массив}3×2−2x+5yx​+2ycos(x2−1)​………​21​x2−32​x+43​6x−2+2x−32a3b2−3b2+2a−1​……… ​2x+x1/2x+3−7​

Некоторые из приведенных выше выражений являются полиномами (выделены синим цветом), а некоторые нет (красным цветом). Многочлены можно определить, отметив, какие выражения содержат только операций сложения, вычитания, умножения и неотрицательных целых показателей степени. Неполиномиальными выражениями будут выражения, содержащие другие операции.

Объясните, почему неполиномиальные выражения не являются полиномами.

---

Мы можем обобщить причины, как показано в следующей таблице:

Non-Polynomial ExpressionReason это не многочлен2x+x1/2Полиномы не могут содержать переменные показатели степени.Они также не могут содержать нецелые показатели степени.xy+2yВ общем случае многочлены могут содержать дроби. 2+2x−3Многочлены не могут иметь отрицательные показатели степени переменных. 2-1) & \text{Полиномы не могут содержать неполиномиальные функции}\\ &\text{включая тригонометрические функции, такие как косинус.} \\ \hline \end{array}Неполиномиальное выражение2x+x1/2yx​+2y6x−2+2x−3cos(x2−1)​Почему это не полином.Многочлены не могут содержать переменные показатели степени. Они также не могут содержать нецелые показатели степени.В общем , многочлены могут содержать дроби. Однако они не могут содержать переменные в знаменателе. Многочлены не могут иметь отрицательные показатели степени переменных. Многочлены не могут содержать неполиномиальные функции, включая тригонометрические функции, такие как косинус.​​

Полиномы — это хорошо изученные математические объекты, поэтому математикам удобно иметь возможность выражать математические процессы в виде полиномов. Неполиномиальные выражения, как правило, представляют больше проблем при решении математических задач. В математическом анализе есть понятие, называемое приближением ряда Тейлора, целью которого является аппроксимация неполиномиального выражения в виде полиномиального выражения. Это сделано из-за многих удобных свойств многочленов.

Словарь многочленов поначалу может показаться немного пугающим. Однако эти «сложно звучащие» слова часто используются для обозначения простых идей.

«Стандартные блоки» полиномов называются мономами.

Одночлен — это полиномиальное выражение, которое содержит переменные и коэффициент и не содержит сложения или вычитания.

Мономы часто называют терминами , если они являются частью большего многочлена. 92\text{,}-\frac{2}{3}x\text{ и }\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}Выражение многочленаx+33×2−2x+5−72a3b2−3b2+2a−121×2−32x+43​​Termsx и 33×2, -2x, 5-72a3b2, -3b2, 2a и — 121 x 2, -32 x и 43 90 005

Обратите внимание, что каждый член может быть положительным или отрицательным, и этот знак зависит от того, был ли член добавлен в многочлен или вычтен из многочлена. Каждое слагаемое также имеет коэффициент.

Коэффициент термина является постоянным коэффициентом этого термина. 92 и 2 \\ \hline -\frac{2}{3}x & -\frac{2}{3} \\ \hline -7 и -7\\ \hline \end{array}Termx3x2−2x2a3b2−32​x−7​Coefficient13−22−32​−7​​

Обратите внимание, что значение коэффициента «по умолчанию» равно 111. Если термин не содержит переменных, то коэффициент является самим термином.

Многочлены часто классифицируют по степени .

Степень монома представляет собой сумму показателей каждой переменной в мономе.

9{\color{#D61F06}{1}}−32​x1 равно 1\color{#D61F06}11. Степень 34\frac{3}{4}43​ равна 0\color{#D61F06}00. Степень полинома является наибольшей из этих степеней, которая равна 2\color{#3D99F6}22. □_\квадрат□​

Многочлены классифицируются таким образом, потому что они демонстрируют различное математическое поведение и свойства в зависимости от степени. Степень полинома также влияет на стратегию решения задач для решения уравнений, содержащих этот полином.

9\text{th}4 степень или выше. Полиномы более высоких степеней имеют различные приложения.

Термины «постоянная», «линейная», «квадратичная» и «кубическая» широко распространены в математике; они используются не только в полиномах. Однако значение каждого из этих слов всегда связано со степенью некоторого полинома.

Многочлены представляют числа, поэтому любые математические операции могут выполняться над многочленами точно так же, как они выполняются над числами. Когда полиномы складываются, вычитаются или умножаются, результатом является другой полином. При делении многочленов результатом является рациональное выражение. 92-3x+8)(2×2-3x+8) и (x-3)(x-3)(x-3). Используйте полиномиальное деление, чтобы записать частное этих полиномов в виде суммы полинома и рационального выражения.

---

Полное деление выглядит следующим образом:

Таким образом, полученное частное равно 2x+3+17x−3,2x+3+\frac{17}{x-3},2x+3+x−317​. □_\квадрат□​

Основная статья: Факторные полиномы

Разложение многочленов на множители — это процесс перезаписи многочлена как эквивалентного произведения многочленов. {n-1}+\cdots+a_1x+a_0. p(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​. 92y+2xy-6x+9q(x,y)=3x2y+2xy−6x+9 — полиномиальная функция.

Основная статья: Теорема об остатках
,

,

,

Теорема об остатках

Когда многочлен p(x)p(x)p(x) делится на (x−a)(x-a)(x−a), остаток равен p(a)p(a)p(a).

Пусть p(x)p(x)p(x) — полиномиальная функция. Когда p(x)p(x)p(x) делится на (x−a)(x−a)(x−a), результатом будет сумма полиномиальной функции и рационального выражения: p(x)x-a=q(x)+rx-a,\dfrac{p(x)}{x-a}=q(x)+\dfrac{r}{x-a},x-ap(x)​ =q(x)+x−ar​, где q(x)q(x)q(x) представляет результирующий частный многочлен, а rrr представляет результирующий остаток. Умножение обеих частей этого уравнения на (x−a)(xa)(x−a) дает p(x)=(x−a)q(x)+r.p(x)=(x-a)q(x)+r.p(x)=(x−a)q(x)+r. Подставив x=ax=ax=a, мы получим p(a)=(a−a)q(x)+r.p(a)=(a-a)q(x)+r.p(a)=(a−a) д(х)+г. 9{2}+4x-1p(x)=x3-3×2+4x-1 такое, что p(a)=p(b)=p(c)=0p(a)=p(b)=p(c)= 0p(a)=p(b)=p(c)=0 и a≠b≠ca \ne b \ne ca​=b​=c.

No related posts.