Объединение в математике: Пересечение и объединение множеств — урок. Алгебра, 9 класс.

Урок 32. Пересечение и объединение множеств

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Английский язык
  • Математика

• 3 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 5 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 6 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 7 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 8 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 9 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 10 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 11 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия

8 КЛАСС

Урок 32.

Пересечение и объединение множеств

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. 

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. 

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. Как его можно назвать?

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Пересечением множеств называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа, которую нужно умножить на 100%

Учитывай ОДЗ

обозначь неизвестное за х и составь уравнение

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Вопрос:

Пропуски:

Глава 8.

Великое Объединение в математике. Великая Теорема Ферма

Глава 8. Великое Объединение в математике

Был малый не промах, а стал, как чума.

Виною всему — теорема Ферма:

Не может никак он ее доказать,

Уайлса пример не дает ему спать.

Фернандо Гувеа

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим объемом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу, которому когда-либо подвергались математические рукописи за всю историю человечества, и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

Уайлс снова оказался на первой полосе «New York Times», но заголовок «Математик утверждает, что классическая проблема решена» оказался в тени заголовка другой статьи: «Новые данные о возрасте Вселенной ставят перед учеными новую космическую проблему». И хотя журналисты на этот раз проявили по отношению к Великой теореме Ферма несколько меньший энтузиазм, математики по достоинству оценили истинное значение полученного доказательства.

«Для математиков окончательный вариант доказательства эквивалентен по своему значению расщеплению атома или открытию структуры ДНК, — заявил Джон Коутс. — Доказательство Великой теоремы Ферма представляет собой великий триумф человеческого интеллекта, и не следует упускать из виду, что оно единым махом совершило переворот в теории чисел. Для меня очарование и красота работы Эндрю заключается в том, что она стала гигантским шагом вперед в развитии теории алгебраических чисел».

За восемь лет упорнейшего труда Уайлс, по существу, свел воедино все достижения теории чисел XX века, выстроив из них одно сверхмощное доказательство. Преследуя свою главную цель, Уайлс попутно создавал совершенно новые доказательства и использовал их в немыслимых ранее сочетаниях с традиционными методами.

Этим Уайлс открыл новые направления для атак на множество других проблем. По словам Кена Рибета, доказательство Уайлса представляет собой идеальный синтез современной математики и служит источником вдохновения на будущее: «Я думаю, что если бы вы оказались на необитаемом острове и захватили с собой только рукопись с доказательством Уайлса, то у вас было бы предостаточно пищи для размышлений.

Перед вами предстали бы все течения современной мысли в области теории чисел. На одной странице вы встретите краткое упоминание о фундаментальной теореме Делиня, на другой найдете несколько неожиданную ссылку на теорему Хеллегуарка — и все это вводится в игру и используется с тем, чтобы через мгновенье уступить место следующей идее».

Большинство журналистов превозносили на все лады найденное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма, некоторые из них комментировали нераздельно связанное с ним доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Лишь немногие удосужились упомянуть о вкладе Ютаки Таниямы и Горо Шимуры, двух японских математиков, которые еще в 50-е годы XX века посеяли семена, предопределившие успех Уайлса. Хотя Танияма умер более тридцати лет назад, его коллега — Горо Шимура — стал свидетелем доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. Когда его спросили о его впечатлении от доказательства, он мягко улыбнулся и сдержанно, с достоинством ответил: «Я же говорил вам».

Подобно многим своим коллегам, Кен Рибет считал, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры совершило переворот в математике: «Важным психологическим отзвуком доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры явилось то, что теперь математики стали смело браться за решение проблем, которые прежде казались им неприступными. Ныне картина полностью изменилась. Теперь известно, что все эллиптические кривые модулярны, и, когда вы доказываете какую-нибудь теорему для эллиптических кривых, вы тем самым доказываете теорему относительно модулярных форм, и наоборот. У вас появляется иное видение происходящего в математике, и мысль о том, что вам придется работать с модулярными формами пугает вас меньше, поскольку вы, по существу, работаете с эллиптическими кривыми. Когда прежде приходилось писать статью об эллиптических кривых, мы вместо того, чтобы открыто признать, что нам ничего не известно, делали предположение: «Пусть гипотеза Таниямы-Шимуры доказана», — и смотрели, какие следствия проистекают из этого. Теперь нам достоверно известно, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, и мы смело можем утверждать, что из этого следует. Нужно ли говорить, что это гораздо приятнее».

С помощью гипотезы Таниямы-Шимуры Уайлс объединил эллиптический и модулярный миры и, тем самым, проложил математике пути ко многим другим доказательствам: проблемы, стоящие в одной области, могут быть решены по аналогии с проблемами из параллельной области.

Классические нерешенные проблемы теории эллиптических кривых стало возможным подвергнуть пересмотру, используя все имеющиеся средства и методы теории модулярных форм.

Что еще более важно, Уайлс сделал первый шаг к осуществлению грандиозной программы математики Роберта Ленглендса. После успеха, достигнутого Уайлсом, стало возможно с новыми силами пытаться доказать другие гипотезы, объединяющие различные разделы математики. В марте 1996 года Уайлс разделил с Ленглендсом премию Вольфа (не путать с премией Вольфскеля) размером в 100 000 долларов. Комитет по присуждению премии Вольфа признал, что доказательство Уайлса само по себе представляет собой выдающееся достижение, к тому же оно вдохнуло жизнь в амбициозную схему Ленглендса. Уайлс совершил прорыв, который может привести математику в новый золотой век.

После года сумятицы и неопределенности математическое сообщество могло, наконец, успокоиться. На каждом симпозиуме, коллоквиуме, на любой конференции одно заседание посвящалось доказательству Уайлса, а бостонские математики даже устроили соревнование: кто из них сумеет запечатлеть памятное событие, каким, несомненно, стало доказательство Уайлса, в шутливом стихотворении.

Всеобщее внимание привлекли следующие вирши-лимерик:

— Гарсон, книгу жалоб прошу я давно:

Несвежая скатерть, прокисло вино.

— Что книга! Ее я могу Вам подать,

Но узки поля, и нельзя записать,

Как Вы ни старайтесь, на них ничего.

Э.Хоув, Х.Ленстра, Д.Моултон.

Контрольные по математике

Контрольные по математике Ранним утром Костя Рокотов выехал в краевой центр. На выезде из города машину остановил высокий симпатичный мужчина и попросил подвезти до того же города. Вместе с ним до ближайшего населенного пункта попросилась молодая, красивая женщина.

Что значит «хорошо» в математике

Что значит «хорошо» в математике За свою короткую жизнь в математике Танияма внес немало радикальных идей. Наиболее значительная из них настолько опередила свое время, что ему так и не довелось увидеть, какое огромное влияние она оказала на теорию чисел. Он был лидером

Глава 25 ОБЪЕДИНЕНИЕ СИЛ ПОД МОСКВОЙ

Глава 25 ОБЪЕДИНЕНИЕ СИЛ ПОД МОСКВОЙ После многих лет самозванщины имя «доброго Дмитрия» утратило прежнюю магическую силу. В глазах многих русских людей оно давно стало символом раздора, а не единения.Инициаторы провозглашения Лжедмитрия III царем обманулись в своих

ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ

ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ В марте 1664 года в устоявшейся кембриджской жизни случилось важное, хотя и не привлёкшее особого внимания школяров событие: Исаак Барроу в присутствии университетских старейшин в парадных мантиях прочёл в Тринити-колледже первую лекцию в качестве

Е.

 В. Лаврентьева Королевство за «пятерку» по математике

Е. В. Лаврентьева Королевство за «пятерку» по математике В начальной школе я мало беспокоилась о своей внешности. Однако меня серьезно волновали две вещи: не вырастет ли у меня такой же кадык, как у брата, и не появится ли с возрастом на моем носу папина горбинка. Насчет

Глава 9. Литературное объединение начинающих писателей

Глава 9. Литературное объединение начинающих писателей Подняв воротник своего плаща, я вышел из трамвая на Литейном проспекте и направился в сторону Невского. Был тоскливый сентябрьский вечер. Шел дождь и сильный ветер бросал в прохожих жухлыми листьями. Как всегда,

Глава вторая. Объединение Германии

Глава вторая. Объединение Германии Краткий экскурс в историю я сделал для того, чтобы напомнить читателю кое о чем, как я считаю, важном для понимания того, как складывалась судьба немцев и их государства после поражения Германии во Второй мировой войне, развязанной

Глава 11 Раскол и объединение

Глава 11 Раскол и объединение Став лидером страны, Ельцин был намерен сосредоточиться на экономике и к правительственным структурам отнесся с нарочитым пренебрежением. Впоследствии он называл такое поведение неправильным: «Да, наверное, я ошибся, выбрав главным

Глава 16. «Мой самый страшный сон: я сдаю экзамен по математике»

Глава 16. «Мой самый страшный сон: я сдаю экзамен по математике» Многие утверждают, что Хворостовский искренен, когда признается, что перед каждым выступлением сильно волнуется и нервничает.«Да, прямо до дрожи», – как-то признал маэстро.На простой вопрос: почему так

Глава 10 Разделение христианства, объединение мира

Глава 10 Разделение христианства, объединение мира После Майнца книгопечатание завоевало Европу, а затем и весь мир. Оно стало частью нашей жизни, но странно, что никто подробно не анализировал, каким образом это произошло. По словам автора лучшей статьи на эту тему,

ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ «Звездный путь-VI» и «Объединение»

ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ «Звездный путь-VI» и «Объединение» НИМОЙ: Спок, я не могу не заметить, что ты в последнее время изменился.

СПОК: В самом деле? Каким образом? НИМОЙ: Ну, если бы честным, ты стал более эмоциональным. СПОК: Ни в коей мере. Я просто предпочитаю выказывать

О нелюбви к математике

О нелюбви к математике Не было за все школьные годы ни ОДНОЙ задачки, которую бы реально ХОТЕЛОСЬ решить. На математике, будь то арифметика, или алгебра, постоянно было какое-то кошмарное состояние. Как будто тебя помещают в бульон СКУКИ. Даже не бульон, а кисель, потому что

Немного о прикладной математике

Немного о прикладной математике При нашем НИИ был опытный завод. И между заводскими рабочими и интеллигентами из НИИ возникали прочные контакты. Интеллигент обращался к рабочему, если ему надо было, скажем, выточить какую-то деталь для автомашины. Или что-то для дачи. Или,

Объединяющая математика?.

Один подход при изучении истории… | Коул

Один из подходов к изучению истории математики состоит в том, чтобы рассматривать ее как серию объединений. Это означает брать, казалось бы, несвязанные понятия и соединять их новыми способами. Некоторые примеры включают теорию Галуа (поля и группы), теорию множеств (числа и логику) и аналитическую геометрию (алгебру и геометрию). Надеюсь, мне не нужно будет внушать вам важность этих полей. Все эти разработки также привели к улучшению нашего понимания областей, связанных с этими новыми идеями.

Давайте подробнее рассмотрим аналитическую геометрию и посмотрим, как произошло это объединение. В 1600-х годах и Декарт, и Ферма работали над кривыми и тем, как они выглядят физически. Это привело к развитию декартовой плоскости, которая была новаторской в ​​то время.

Математики той эпохи рассматривали геометрию как более фундаментальную форму математики, полностью отдельную от таких уравнений, как многочлены. Этой точки зрения придерживались классические греки, и она не подвергалась сомнению до тех пор, пока не появились эти два математика. Новая интуиция в отношении уравнений была обнаружена в их визуальном представлении, и геометрические формы можно было лучше понять, найдя уравнения, которые их описывали.

Помимо стандартной учебной программы в современных школах, идеи, изложенные в аналитической геометрии, проложили путь к исчислению.

Эти объединения, такие как развитие аналитической геометрии, происходили постепенно по мере того, как медленно формировались связи. Совсем недавно произошел ряд разработок, преднамеренных или нет, которые помогли «объединить» математику гораздо быстрее. Давайте посмотрим на некоторые из этих идей и их результаты.

Первые члены Конгресса Бурбаки

Возможно, вы слышали о Николя Бурбаки или о несуществующем математике. После Первой мировой войны группа французских математиков начала сотрудничать в попытке оживить французскую математическую сцену после того, как она была разрушена во время войны. Приходя из самых разных областей, они работали над созданием большой общей книги по математике под названием «Элементы математики». Здесь слово «mathématique» стоит в единственном числе, подразумевая, что авторы считали, что содержание обобщает всю математику. Книга была написана как полностью независимая, то есть теоретически ее можно было понять без предварительных математических знаний. Эта книга и другие статьи группы опубликованы под именем Николя Бурбаки.

Группа Бурбаки, которая действует и сегодня, оказала очень сильное влияние на современную математику. Современный символ пустого множества и такие фразы, как «сюръективный» и «инъективный», обязаны своим созданием Бурбаки. Хотя книгу нелегко читать, тот факт, что она была написана специалистами во многих областях, помогает сделать общие идеи между различными областями математики более очевидными. К сожалению, это часто делалось за счет контекста или ясности.

В конечном счете группа Бурбаки оказала огромное влияние на математику, помогая создать общий язык для всех разновидностей математиков.

Результаты Бурбаки были случайными и результатом уникальных обстоятельств, были и другие, гораздо более формальные попытки создания универсальных текстов. В начале 1900-х годов многие математики пытались создать единый код для описания всех математических идей. Это довели до крайности Альфред Уайтхед и Бертран Рассел. Эти двое потратили десять лет на написание Principia Mathematica, огромного трехтомного текста, изданного в 1910-х годах.

Целью этой книги было свести к минимуму количество аксиом и полностью изучить пределы математических знаний. Аксиомы, которые говорят вам, какие исходные предположения вы можете сделать о системе, были очень горячей темой в то время.

Начало доказательства того, что 1 + 1 = 2.

Из-за точности, к которой стремились эти двое, используемые ими обозначения и методы невероятно неуклюжи, как видно из приведенного выше примера. На самом деле, 1 + 1 = 2 они не доказывали до второго тома!

Безусловно, наиболее важным результатом Principia Mathematica была критика и, в конечном итоге, разрушение, осуществленное Куртом Гёделем в 1930-х годах. В своей знаменитой теореме о неполноте Гёдель доказывает, что никакая символическая система не может доказать всего.

Я не буду вдаваться в подробности, потому что на эту тему есть миллион статей, но вы можете перейти по этой ссылке, чтобы получить краткий обзор его доказательства и того, как оно подрывает Principia Mathematica.

Итак, Principia Mathematica ошибочны? Нет! Это до сих пор остается замечательным достижением и помогло поднять символическую логику на гораздо более уважаемое место среди математиков. Каждое представленное доказательство верно, и книга служит отличным примером того, насколько мы можем принять формальную систему. Однако Гёдель разрушил основополагающую идею книги: вся математика может быть описана единой логической системой символов.

Два предыдущих примера, которые я привел, имели разную степень успеха. Хотя они и не объединяли математику, оба внесли свой вклад в эту область по-разному. Давайте посмотрим на текущую, продолжающуюся попытку объединить математику, которая принимает форму теории категорий.

Если вам нужна дополнительная информация о теории категорий, прочтите эту статью, которую я написал. Здесь я больше расскажу о влиянии и актуальности самой теории и не буду вдаваться в подробности.

Теория категорий фактически создала язык для объединения различных аспектов математики. Это можно рассматривать как еще одну попытку систематизировать математику, но она отвергает жесткий формализм теории множеств. Это окончательное обобщение математики и создает общий язык для многих различных областей.

Все это звучит очень величественно и законченно, но нынешняя реальность не так хороша. Хотя категории помогли добиться многочисленных успехов в математике, особенно в алгебраической топологии, многие математики выступают против переформулирования своих идей с категориальной точки зрения. Они не видят в этом существенной выгоды, и это только усложнит ситуацию.

Это все еще непрекращающиеся дебаты. Теория категорий действительно зародилась только в 1950-х годах и постепенно набирает обороты! Время покажет, полностью ли математика погрузится в категории, или же теория будет рассматриваться лишь как иногда полезный инструмент.

В этой статье я упомянул только три идеи, связанные с унификацией. Есть еще много! Некоторые другие известные программы включают Программу Гильберта, которая преследовала ту же цель, что и Principia Mathematica, но с совершенно другим результатом, и Программу Ленгленда, которая появилась позже и продолжается до сих пор. Это действительно интересные идеи, которые я бы посоветовал вам посмотреть!

Спасибо за внимание! Оставьте комментарий, если у вас есть какие-либо мысли или вопросы по поводу этой статьи.

Если вам нравится моя работа, рассмотрите возможность регистрации, чтобы стать средним участником, используя эту ссылку! Это стоит всего 5 долларов в месяц, и использование этой ссылки поддерживает меня напрямую. Вы также можете купить мне кофе! Заранее большое спасибо, если сделаете!

Развивающиеся поиски великой объединенной теории математики

В математике существует обширная и постоянно расширяющаяся сеть предположений, теорем и идей, называемая программой Ленглендса. Эта программа связывает, казалось бы, разрозненные подполя. Это настолько мощная сила, что некоторые математики говорят, что она — или какой-то ее аспект — принадлежит к почетному ряду задач, присуждаемых на премию тысячелетия, — к списку самых открытых вопросов по математике. Эдвард Френкель, математик из Калифорнийского университета в Беркли, даже назвал программу Ленглендса «Великой объединенной теорией математики».

Программа названа в честь Роберта Лэнглендса, математика из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Четыре года назад он был удостоен Абелевской премии, одной из самых престижных наград в области математики, за свою программу, которая была описана как «провидец».

Ленглендс вышел на пенсию, но в последние годы проект превратился в «почти самостоятельную математическую область со множеством разрозненных частей», которые объединены «общим источником вдохновения», — говорит Стивен Райан, математик и математический физик из Университет Саскачевана. У него «много аватаров, некоторые из которых все еще открыты, некоторые из них были разрешены прекрасным образом».

Математики все чаще находят связи между исходной программой и ее ответвлением, геометрическим Ленглендсом, и другими областями науки. Исследователи уже обнаружили прочные связи с физикой, а Райан и другие ученые продолжают исследовать новые. У него есть предчувствие, что со временем будут найдены связи между этими программами и другими областями. «Я думаю, что мы только на вершине айсберга», — говорит он. «Я думаю, что одна из самых увлекательных работ, которые появятся в ближайшие несколько десятилетий, — это изучение последствий и проявлений Ленглендса в тех областях науки, где до сих пор взаимодействие с этим видом чистой математики могло быть маргинальным». В целом Лэнглендс остается загадочным, добавляет Райан, и, чтобы знать, куда он движется, он хочет «увидеть появление понимания того, откуда на самом деле берутся эти программы».

Загадочная паутина

Программа Лэнглендса всегда была дразнящим танцем с неожиданным, по словам Джеймса Артура, математика из Университета Торонто. Лэнглендс был советником Артура в Йельском университете, где Артур получил докторскую степень. в 1970 году. (Лэнглендс отказался давать интервью для этой статьи.)

«По сути, я был его первым учеником, и мне очень повезло, что я встретил его в то время, — говорит Артур. «Он не был похож ни на одного математика, которого я когда-либо встречал. На любой вопрос, который у меня возникал, особенно о более широкой стороне математики, он отвечал четко, часто более вдохновляюще, чем я мог себе представить».

За это время Лэнглендс заложил основу для того, что впоследствии стало его одноименной программой. В 1969 году Лэнглендс, как известно, написал от руки 17-страничное письмо французскому математику Андре Вейлю. В этом письме Ленглендс поделился новыми идеями, которые позже стали известны как «гипотезы Ленглендса».

В 1969 году Лэнглендс выступил с лекциями на конференции, в которых он поделился семью гипотезами, которые в конечном итоге превратились в программу Лэнглендса, отмечает Артур. Однажды Артур попросил у своего консультанта копию препринта, основанного на этих лекциях.

«Он охотно дал мне одну, без сомнения зная, что это выше моих сил», — говорит Артур. «Но это также было выше всех остальных на протяжении многих лет. Я мог, однако, сказать, что он основан на действительно необычных идеях, даже если почти все в нем было мне незнакомо».

Догадки, лежащие в основе всего этого

Две гипотезы занимают центральное место в программе Лэнглендса. «Практически все в программе Ленглендса так или иначе происходит от них, — говорит Артур.

Гипотеза взаимности связана с работой Александра Гротендика, известного своими исследованиями в области алгебраической геометрии, включая предсказание «мотивов». «Я думаю, что Гротендик выбрал слово [мотив], потому что видел в нем математический аналог мотивов, которые есть в искусстве, музыке или литературе: скрытые идеи, которые явно не раскрываются в искусстве, но вещи, стоящие за ним, которые каким-то образом управляйте тем, как все это сочетается друг с другом», — говорит Артур.

Гипотеза взаимности предполагает, что эти мотивы исходят из другого типа аналитического математического объекта, открытого Лэнглендсом, называемого автоморфными представлениями, отмечает Артур. «Автоморфное представление» — это просто модное слово для объектов, которые удовлетворяют аналогам уравнения Шрёдингера из квантовой физики, — добавляет он. Уравнение Шредингера предсказывает вероятность нахождения частицы в определенном состоянии.

Вторая важная гипотеза — гипотеза функториальности, также называемая просто функториальностью. Он включает в себя классификацию числовых полей. Представьте, что вы начинаете с уравнения одной переменной с целыми коэффициентами, например, x ² + 2x + 3 = 0, и ищете корни этого уравнения. Гипотеза предсказывает, что соответствующее поле будет «наименьшим полем, которое вы получите, взяв суммы, произведения и рациональные числа, кратные этим корням», — говорит Артур.

Изучение различных математических «миров»

С помощью оригинальной программы Лэнглендс «открыл совершенно новый мир», — говорит Артур.

Ответвление, геометрический Ленглендс, расширило территорию, которую охватывает эта математика. Райан объясняет различные точки зрения, предлагаемые исходными и геометрическими программами. «Обычный Ленглендс — это набор идей, соответствий, дуальностей и наблюдений за миром в какой-то момент», — говорит он. «Ваш мир будет описан некоторой последовательностью релевантных чисел. Вы можете измерить температуру там, где вы находитесь; вы могли бы измерить силу гравитации в этой точке», — добавляет он.

Однако с помощью геометрической программы ваша среда становится более сложной, со своей собственной геометрией. Вы можете свободно передвигаться, собирая данные в каждой точке, которую вы посещаете. «Возможно, вас больше волнуют не отдельные числа, а то, как они меняются, когда вы перемещаетесь в своем мире», — говорит Райан. На данные, которые вы собираете, «будет влиять геометрия», — говорит он. Следовательно, геометрическая программа «по существу заменяет числа функциями».

Теория чисел и теория представлений связаны геометрической программой Ленглендса. «В широком смысле теория представлений — это изучение симметрий в математике, — говорит Крис Эллиотт, математик из Массачусетского университета в Амхерсте.

Используя геометрические инструменты и идеи, геометрическая теория представления расширяет понимание математиками абстрактных понятий, связанных с симметрией, отмечает Эллиот. По его словам, именно в этой области теории представлений «живет» геометрическая программа Ленглендса.

Пересечения с физикой

Геометрическая программа уже связана с физикой, предвещая возможные связи с другими научными областями.

В 2018 году Кадзуки Икеда, научный сотрудник группы Райана, опубликовал Journal of Mathematical Physics , которое, по его словам, связано с электромагнитной двойственностью, которая является «давно известной концепцией в физике» и проявляется, например, в кодах исправления ошибок в квантовых компьютерах. Икеда говорит, что его результаты «были первыми в мире, которые показали, что программа Ленглендса является чрезвычайно важной и мощной концепцией, которую можно применять не только к математике, но и к физике конденсированных сред» — изучению веществ в их твердом состоянии. «и квантовые вычисления».

По словам Райана, связи между физикой конденсированного состояния и геометрической программой в последнее время укрепились. «В прошлом году были подготовлены различные виды исследований», — говорит он, включая его собственную работу, связанную с использованием алгебраической геометрии и теории чисел в контексте квантовой материи.

Другие работы установили связи между геометрической программой и физикой высоких энергий. В 2007 году Антон Капустин, физик-теоретик из Калифорнийского технологического института, и Эдвард Виттен, физик-математик и теоретик из Института перспективных исследований, опубликовали то, что Райан называет «прекрасной исторической статьей», которая «проложила путь к активной жизни». для геометрического Ленглендса в теоретической физике высоких энергий». В статье Капустин и Виттен написали, что они стремились «показать, как эту программу можно понимать как главу в квантовой теории поля».

Эллиот отмечает, что рассмотрение квантовой теории поля с математической точки зрения может помочь собрать новую информацию о структурах, лежащих в ее основе. Например, Ленглендс может помочь физикам разработать теории для миров с другим числом измерений, чем у нас.

Помимо геометрической программы, оригинальная программа Ленглендса также считается фундаментальной для физики, говорит Артур. Но изучение этой связи «может потребовать сначала найти всеобъемлющую теорию, которая связывает исходную и геометрическую программы», — говорит он.

Возможности этих программ могут не ограничиваться математикой и физикой. «Я верю, без сомнения, что [у них] есть интерпретация в рамках науки», — говорит Райан. «Часть истории, связанная с конденсированными веществами, естественным образом приведет к набегам на химию».