1 й замечательный предел – Первый замечательный предел, примеры решения

40. Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемыйпервым замечательным пределом.

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x<. На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х,. Очевидно, имеем. На основании соответствующих формул геометрии получаем. Разделим неравенство на>0, Получим 1<

Так как , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов

.

А если x<0 => , где –x>0 =>

41. Второй замечательный предел.

Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равныйe. . 1.Пусть. Каждое значениеx заключено между двумя положительными целыми числами: , гдеn=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому. Если, то. Поэтому:,

. По признаку существования пределов:. 2. Пусть. Сделаем подстановку –x=t, тогда =.иназываются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основаниемe. Функция

называется экспоненциональной, употребляется также обозначение.

42. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует , равный значению функции f(x) в этой точке:=f(x0).

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке :

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

Замечание. Условие можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел

Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций :

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x),

f(x) · g(x),

, (g(x0) ≠ 0).

43. Классификация точек разрыва.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x

), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Если значения на концах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва — устранимый.

точка устранимого разрыва – когда пределы слева и справа существуют и равны между собой , но не совпадают со значением функции в точке х0 или функция не определена в точке х0.

studfiles.net

Первый замечательный предел — ПриМат

Первым замечательным пределом называется равенство

,

где величина выражена в радианах.

 

 

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер

Найти предел выражения 

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что 

Этот факт доказывается при помощи замены переменной 

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения 

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения 

Используем тригонометрическую формулу 

[свернуть]

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Тест на использование первого замечательно предела

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

максимум из 18 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98). 

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Замечательные пределы — Википедия

Эта статья или раздел нуждается в переработке.

Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

  • Первый замечательный предел:
    limx→0sin⁡xx=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
  • Второй замечательный предел:
    limx→∞(1+1x)x=e.{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}

Содержание

  • 1 Первый замечательный предел
  • 2 Второй замечательный предел
  • 3 Применение
  • 4 Литература
  • 5 Ссылки

Первый замечательный предел[ | ]

limx→0sin⁡xx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы limx→+0sin⁡xx{\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}} и limx→−0sin⁡xx{\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}} и докажем, что они равны 1.

Пусть x∈(0;π2){\displaystyle x\in \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}. Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью OX{\displaystyle OX}. Пусть K{\displaystyle K} — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка L{\displaystyle L} — с касательной к этой окружности в точке A=(1;0){\displaystyle A=\left(1;0\right)}. Точка H{\displaystyle H} — проекция точ

encyclopaedia.bid

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

– тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.

На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.



Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, а нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:


Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Готово. Окончательный ответ:

Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:



Используем первый замечательный предел

Пример 2

Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).

В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:


Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Пример 5

Найти предел

Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

 

stydopedia.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *