1 n ln n 1: How do you test the series Sigma 1/(nlnn) from n is [2,oo) for convergence?

ln(n) 1 : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
Whitaker 

 Неравенство: ln(n) < n при n>1

19. 09.2011, 13:53 

12/01/11
1320
Москва

Здравствуйте!
Скажите пожалуйста, как доказать следующее неравенство:
При верно .

С уважением, Whitaker.


   

                  

nnosipov 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:00 

Заслуженный участник

20/12/10
8862

Вообще-то, неравенство грубовато. Но если хочется именно его доказать, и только для натуральных , то можно воспользоваться тем, что .


   

                  

Whitaker 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:07 

12/01/11

1320
Москва

Согласен с Вами nnosipov

! Неравенство действительно грубовато. Просто она с легкостью проходит для расходимости такого ряда .
P.S.

Докажем, что: . А это равносильно тому, что: . Так как , то . Дальше пока непонятно, но подумаю.


   

                  

Klad33 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:10 

Заблокирован

11/09/11

650

Наглядней всего графически: видно что при


   

                  

Sonic86 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:15 

Заслуженный участник

08/04/08
8526

Whitaker в сообщении #484173 писал(а):

При верно .

Можно просто потенцировать по основанию логарифма и разложить экспоненту в ряд.


   

                  

Klad33 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:24 

Заблокирован

11/09/11

650


   

                  

gris 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:37 

Заслуженный участник

13/08/08
14035

А для анализа указанного ряда проще (или нет?) проанализировать его общий член.


   

                  

Whitaker 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 14:41 

12/01/11
1320

Москва

Sonic86 в сообщении #484182 писал(а):

Whitaker в сообщении #484173 писал(а):

При верно .

Можно просто потенцировать по основанию логарифма и разложить экспоненту в ряд.

Да да понятно Sonic86

! Спасибо Вам!


   

                  

Legioner93 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 15:51 

Заслуженный участник

28/07/09
1175

Довольно изящно неравенство можно доказать с помощью т. Лагранжа (формула конечных приращений). Экспонента достаточно гладкая, поэтому записываем
.
В случае полагаем , . , т.к. . Случай рассматривается аналогично.


   

                  

PAV 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 16:29 

Супермодератор

29/07/05
8248
Москва

Вообще-то проще всего рассмотреть функцию и посмотреть на ее производную.


   

                  

bot 

 Re: Неравенство.

19.09.2011, 17:07 

Заслуженный участник

21/12/05
5797
Новосибирск

Продолжая nnosipov

а по индукции однострочно доказываем .


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


\infty $$ и на самом деле интеграл расходится.

Это часть семейства примеров, которые стоит запомнить. Обратите внимание, что $$ d/dx \log(\log(\log x)) = d/dx \log(\log x) \cdot \frac{1}{\log (\log x)} = \frac{1}{x \ журнал х \ журнал (\ журнал х)} $$ и $\log (\log (\log x)) \to \infty$ при $x \to \infty$, следовательно, $\sum \frac{1}{n \log n \log (\log n)}$ расходится также. 2x}$ сходится, и на самом деле (опять же по индукции), если вы возведете в квадрат любой из повторяющихся журналов в $\sum \frac{1} {n \log n \log(\log n) \ldots \log (\ldots (\log n) \ldots )}$ сумма будет сходиться. 9\infty \frac{1}{n\log(n)}$ расходится. С этой целью мы сейчас приступим.


Воспользуемся известными неравенствами для логарифмирования (СМ. ЭТОТ ОТВЕТ)

$$\frac{x-1}{x} \le \log(x)\le x-1 \tag1$$


Используя правое неравенство в $(1)$, мы видим, что

$$\log\left(\frac{n+1}{n}\right)\le \frac1n \tag 2$$

и

$$\log\left(\frac{\log(n+1)}{\log(n)}\right)\le \frac{\log(n+1)}{\log( п)}-1 \tag3$$

9N \left(\log(\log(n+1)) -\log(\log(n)) \right)\\\\ &=\log(\log(N+1))-\log(\log(3)) \end{align}$$


Поскольку $\lim_{N\to \infty}\log(\log(N+1))=\infty$, интересующий ряд расходится при сравнении.

Готово!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ: Правое неравенство в $(1)$ и суммирование телескопического ряда.

$\endgroup$

2

9xI(t)dt=C+O\left(\frac{1}{x\log x}\right)$ (первый интеграл не связан с $x$ и ограничен $1/2\log 2$, так что это константа).

Следовательно, имеем $$\sum_{1< n\leqslant x}\frac{1}{n\log n}=\log\log x+B+O\left(\frac{1}{x\log x}\right) $$

Это говорит нам о том, что при $x\to\infty$ сумма также стремится к бесконечности.


Я понимаю, что эта асимптотическая формула не нужна для доказательства расхождения, но она может предоставить вам другой способ доказательства сходимости или расхождения. 9{\infty} \zeta_{2}(x) dx$ также расходится.

Отсюда следует, что $\sum_{n≥2} \frac{1}{n(\log n)}$ расходится.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *