исчисление — Выражение «формально» $f(x)=\frac {1}{\sqrt {1-2x}}$ в виде степенного ряда
Как я могу доказать результат в общем случае биномиального ряда или как я могу формально доказать в заданной мне функции, что она представлена рядом Тейлора?
Есть несколько хороших и простых способов.
\alpha = \exp\bigl(\alpha \log (1+z)\bigr)$ голоморфна на открытом единичном круге $\mathbb{D} = \{z\in \mathbb{C} : \lvert z\rvert < 1\}$, поэтому его ряд Тейлора относительно $0$ сходится локально равномерно к $f_\alpha$ на $\mathbb{D}$. 9м\Биггр)\\
&= \альфа g_\альфа(х).
\end{align}
Итак, две функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению
$$(1+x)\cdot y’ = \alpha y\tag{$\ast$}$$
с начальным условием $ у(0) = 1$. В силу единственности решений $(\ast)$ (1) имеем $f_\alpha \equiv g_\alpha$ на $\{ x : \lvert x\rvert < 1\}$.
(1) Отображение $F\colon (x,y) \mapsto \alpha\frac{y}{1+x}$ локально удовлетворяет условию Липшица в $y$ на $(\mathbb{R} \setminus \{-1\})\times \mathbb{R}$, поэтому теорема Пикара-Линделефа утверждает существование и единственность решений $(\ast)$ для любого заданного начального условия $y(x_0) = y_0 $ в некоторой окрестности $x_0 \neq -1$.
Не так красиво и кратко, но и не так уж плохо показывает, что ряд сходится к $f_\alpha$, показывая, что остаток стремится к $0$, где мы используем интегральную форму остаточного члена.