Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
10.17
| ||||||||||||
10.17
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Боря купил 4 книги.
Все книги без первой стоят 42 р., без второй — 40 р., без третьей — 38 р., без четвёртой — 36 р. Сколько стоит каждая книга?
Решено
Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где М-середина ребра DD1
Решено
вычислить скалярное произведение векторов m и n, если m=a + 2b — c, n=2a — b. /a/=2. /b/=3. угол между а и b равен 60 градусов. с перпендикулярно а, с перпендикулярно b
Решено
1.Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, угол АВО =36 градусов .Найдите угол АОD.
Решено
Саша в 3 раза моложе папы и в 2 раза старше брата Коли.Сколько лет Саше,если Коля моложе папы на 35 лет? как решить эту задачу арифметическим способом?
Пользуйтесь нашим приложением
— Найдите площадь, заключенную в круги $r=3\cos\theta$ и $r=3\sin\theta$
спросил
Изменено 4 года, 5 месяцев назад
Просмотрено 12 тысяч раз
$\begingroup$
Найдите площадь, заключенную в круги $r=3\cos\theta$ и $r=3\sin\theta$
Я знаю, что график $r=3\sin\theta$ пересекается в точках $\theta=0$ и $\theta=\pi$, почему не используются эти две границы и почему только $\theta $ равно $\pi$? Также граф $r=3\cos\theta$ пересекает полюс в точках $\theta=\frac{3\pi}{2},\frac{1\pi}{2}$.
- исчисление
- интегрирование
- полярные координаты
$\endgroup$
$\begingroup$
92d\тета$$$\endgroup$
5
$\begingroup$
Ответ на вопрос: «Почему они используют только $\pi/2$… ?»
Обратите внимание, что область пересечения расположена в первом квадранте. Это параметризуется $\theta \in \left[0,\;\frac \pi2\right]$.
Рассмотрим теперь «луч радара» с углом $\theta$ в этом интервале. Тогда он сначала определяет $r$-интервал в области пересечения, и мы знаем его пределы. Таким образом, интеграл
$$
\begin{выровнено}
J &=\int_{\theta\in [0,\;\pi/2]}
\int_{r\in[\ 0,\; 3\min(\cos\theta,\; \sin\theta)\ ]}r\; др\; д\тета
\\
знак равно
\ int _ {\ тета \ в [0, \; \ пи / 2]}
\left[\frac {r^2}2\ \right]_{r=0}^{r=3\min(\cos\theta,\;\sin\theta)}\; д\тета
\\
знак равно
2 \ int _ {\ тета \ в [0, \; \ пи / 4]}
\фракция 12\cdot 92\\справа)\ .
$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Без исчисления:
Пусть две точки пересечения окружностей будут A и B, так что A равно (0, 0), а B равно (1,5, 1,5). Легко видеть, что дуга, образованная центром окружности и точками A и B, имеет меру $\pi/2$. Таким образом, площадь этого сектора равна $2,25\pi/4$. Площадь треугольника, образованного A, B и центром круга, составляет $2,25/2$. Таким образом, площадь половины желаемой площади составляет $2,25\pi/4 -2,25/2 $, а желаемая площадь составляет $5\pi/4-2,25$
$\endgroup$
8.2: Обратное преобразование Лапласа
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 30764
- Уильям Ф.
2-1}\right) \nonnumber\] 9{-t}(3\cos 2t+{5\over2}\sin 2t).\end{aligned}\nonumber\]Примечание
Мы часто будем писать обратные преобразования Лапласа для определенных функций, не указывая явно, как они получены. В таких случаях вам следует обратиться к таблице преобразований Лапласа в разделе 8.8.
Обратные преобразования Лапласа рациональных функций
Использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений часто требует нахождения обратного преобразования рациональной функции 92-3s+2}.\]
Решение
(Метод 1)
Разложение знаменателя в уравнении \ref{eq:8.2.1} дает
\[\label{eq:8.2.2} F(s)={3s+2\over( s-1)(s-2)}.\]
Форма для разложения частичной дроби:
\[\label{eq:8.2.3} {3s+2\over(s-1)(s- 2)}={A\over s-1}+{B\over s-2}.\]
Умножение на \((s-1)(s-2)\) дает
\[3s+ 2=(с-2)А+(с-1)В. \nonumber\]
Установка \(s=2\) дает \(B=8\), а установка \(s=1\) дает \(A=-5\).
Поэтому 9{2т}. \nonumber\](Метод 2) На самом деле нам не нужно умножать уравнение \ref{eq:8.2.3} на \((s-1)(s-2)\) для вычисления \(A\) и \(В\). Мы можем получить \(A\), просто игнорируя множитель \(s-1\) в знаменателе уравнения \ref{eq:8.2.2} и устанавливая \(s=1\) в другом месте; таким образом,
\[\label{eq:8.2.4} A=\left.{3s+2\over s-2}\right|_{s=1}={3\cdot1+2\over 1- 2}=-5.\]
Точно так же мы можем получить \(B\), игнорируя множитель \(s-2\) в знаменателе уравнения \ref{eq:8.2.2} и устанавливая \(s =2\) в другом месте; таким образом,
\[\label{eq:8.2.5} B=\left.{3s+2\over s-1}\right|_{s=2}={3\cdot2+2\over2-1}= 8.\]
Чтобы обосновать это, мы наблюдаем, что умножение уравнения \ref{eq:8.2.3} на \(s-1\) дает
\[{3s+2\over s-2}=A+( s-1){B\over s-2}, \nonumber\]
и установка \(s=1\) приводит к уравнению \ref{eq:8.2.4}. Точно так же умножение уравнения \ref{eq:8.2.3} на \(s-2\) дает
\[{3s+2\over s-1}=(s-2){A\over s-2} +B \nonumber\]
и установка \(s=2\) приводит к уравнению \ref{eq:8.
2.5}. (Последние два уравнения записывать не обязательно. Мы написали их только для того, чтобы оправдать упрощенную процедуру, указанную в уравнении \ref{eq:8.2.4} и уравнении \ref{eq:8.2.5}.)Ярлык, используемый во втором решении примера 8.2.4. это метод Хевисайда . Следующая теорема формулирует этот метод формально. Доказательство и расширение этой теоремы см. в Упражнении 8.2.10 .
Теорема 8.2.2
Допустим
\[\label{eq:8.2.6} F(s)={P(s)\over(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)},\]
где \(s_1\), \(s_2,\) …\(,\) \(s_n\) различны, а \(P\) является полиномом степени меньше \(n.\) Тогда 92-5с+11)\над с(с-1)(с-2)(с+1)}.\]
Решение
Разложение уравнения \ref{eq:8.2.7} на неполные дроби имеет вид
\[\label{eq:8.2.8} F(s)={A\over s}+{B \over s-1}+{C\over s-2}+{D\over s+1}.\]
Чтобы найти \(A\), мы игнорируем множитель \(s\) в знаменателе Уравнение \ref{eq:8.2.7} и установить \(s=0\) в другом месте.
Это дает\[A={6+(1)(11)\over(-1)(-2)(1)}={17\over2}.\nonnumber\]
Аналогично, другие коэффициенты дано 92+B(s+1)(s+2)+C(s+1)=8-(s+2)(4s+10).\]
Две части этого уравнения являются полиномами второй степени. По теореме алгебры они будут равны для всех \(s\), если они равны для любых трех различных значений \(s\). Мы можем определить \(A\), \(B\) и \(C\), выбрав удобные значения \(s\).
Левая часть уравнения \ref{eq:8.2.12} предполагает, что мы берем \(s=-2\), чтобы получить \(C=-8\), и \(s=-1\), чтобы получить \(А=2\). Теперь мы можем выбрать любое третье значение \(s\), чтобы определить \(B\). Взятие \(s=0\) дает \(4A+2B+C=-12\). Поскольку \(A=2\) и \(C=-8\), это означает, что \(B=-6\). Поэтому 92+1\справа]+B(s+1)s+Cs=1-s(5+3s). \nonumber\]
Это верно для всех \(s\), если оно верно для трех различных значений \(s\). Выбор \(s=0\), \(-1\) и \(1\) дает систему
\[\begin{array}{rcr} 2A&=&1\phantom{.}\\ A-C& =&3\фантом{.}\\5A+2B+C&=&-7. \end{array}\nonumber\]
Решение этой системы дает
\[A={1\over2},\quad B=-{7\over2},\quad C=-{5\over2}.
\nonumber\]Следовательно, из уравнения \ref{eq:8.2.15},
9{-1}(F)={8\over3}\sin t+\cos t-{4\over3}\sin 2t-\cos 2t. \nonumber\]Использование технологии
Некоторые программные пакеты, выполняющие символьную алгебру, могут очень легко находить разложения на частичные дроби. Мы рекомендуем вам использовать такой пакет, если он вам доступен, но только после того, как вы самостоятельно выполнили достаточное количество разложений неполных дробей, чтобы освоить технику.
Эта страница под названием 8.2: Обратное преобразование Лапласа распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Уильямом Ф. Тренчем.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Уильям Ф.
2-1}\right) \nonnumber\] 9{-t}(3\cos 2t+{5\over2}\sin 2t).\end{aligned}\nonumber\]
Поэтому 9{2т}. \nonumber\]
2.5}. (Последние два уравнения записывать не обязательно. Мы написали их только для того, чтобы оправдать упрощенную процедуру, указанную в уравнении \ref{eq:8.2.4} и уравнении \ref{eq:8.2.5}.)
Это дает
\nonumber\]