2 sin 2x 1 решение: Решите уравнение 2sin^2x-1=0 (2 синус от в квадрате х минус 1 равно 0)

Решение одного тригонометрического уравнения несколькими способами. 10 класс

1. Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Громыкская средняя общеобразовательная школа» Алгебра и начала анализа 10

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Громыкская средняя общеобразовательная школа»
Алгебра и начала анализа
Решение одного
тригонометрического
уравнения несколькими
способами
10 класс
Человеку, изучающему алгебру
часто
полезнее решить одну и ту же задачу тремя
различными способами, чем решать три –
четыре различные задачи. Решая одну задачу
различными способами , можно путем
сравнивания выяснить, какой из них короче
и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
/английский математик и педагог XX века/
2

3. Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

1.Приведение уравнения к однородному.
2.Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4.Преобразование разности (или суммы)
тригонометрических функций в произведение.
5.Приведение к квадратному уравнению.
6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7.Универсальная подстановка.
8.Графическое решение.
3

4. Задача. Решите уравнение различными способами:

sin x – cos x = 1.
4

5. Способ первый. Приведение уравнения к однородному.

sin x – cos x = 1
sin x = 2 sin x/2 cos x/2,
cos x = cos 2 x/2 — sin 2 x/2,
1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.
Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого
уравнения на
,
т.к., если
что противоречит тождеству
.
Получим:
5

6. Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1

Далее так, как в первом способе.
6

7. Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1

В левой части вынесем 2 — корень квадратный из суммы квадратов
коэффициентов при sin х и cos х.
2
2
= sin /4 = cos /4
sin cos — cos sin = sin ( — )
7

8. Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1?

Способ четвертый. Преобразование разности
(или суммы) тригонометрических функций в
произведение.
sin x – cos x = 1
cos x = sin ( / 2 – x )
Запишем уравнение в виде:
1
Применим формулу разности двух синусов.
Далее так, как в третьем способе.
9

9. Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1

Способ пятый. Приведение к квадратному
уравнению относительно одной функции.
sin x — cos x = 1
Возведем в квадрат:
или
10

10. Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x — cos x = 1

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения
возводились в квадрат, что могло привести к появлению
посторонних решений, поэтому необходима проверка.
.
Сделаем проверку
Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений
Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не
являются посторонними. Проверять не будем.
Проверим:
Левая часть:
а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.
11

11. Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений,

Способ шестой.Возведение обеих частей
уравнения в квадрат.
sin x – cos x = 1
sin2x — 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1
1 – 2sin x cos x = 1,
2sin x cos x = 0,
sin x = 0
или cos x =0
x = n, n Z
x= /2 + n, n Z
Ответ: x = n, n Z, x= /2 + n, n Z.
12

12. Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1

Способ седьмой. Универсальная подстановка
(выражение sin x и cos x через tg x/2).
sin x – cos x =1
Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка)
по формулам:
Sin x –cosx = 1
Умножим обе части уравнения на
13

13.

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1Внимание! Могли потерять корни.Необходима
проверка!
Область допустимых значений первоначального уравнения — всё
множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали
значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x = + n,
где n Z .
Следует проверить , не является ли
x = + n, где n Z решением данного уравнения.
Левая часть sin(π — 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и
правая часть равна единице. Значит, x = + n ,где n Z
является решением данного уравнения.
Ответ:
:
x= n, n Z, x= /2 + n, n Z.
14

14. Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка!

Способ восьмой. Графический способ решения.
sin x – cos x = 1
sin x = cos x + 1
На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой
и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются
решением данного уравнения,
у = sin х — график синусоида.
у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.
15

15. Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1

Проверь себя !
Решите самостоятельно, применяя разные
способы решения одного и того же
тригонометрического уравнения:
1. sin2x + cosx = 0 ;
2. 3 sin x – cos x = 0
3. sin6x + sin3x = 0;
4. sin2x +cos2x = 1;
5. 3sin x + cos x = 1.
16

16. Проверь себя !

sin2x + cosx = 0
sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0,
cosx( 2sinx + 1 ) = 0,
cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0,
х = /2 + n; n Z; sinx = -1/2
x = ( -1)k+1 /6 + k, k Z.
Ответ: x = /2 + n, ; x = (-1)k+1 /6 + k , где
n Z , k Z .
Способ: разложение левой части уравнения на
множители ( 2-й способ ).
17

17. sin2x + cosx = 0

cosx = sin ( /2 – x ), тогда :
sin2x + sin ( /2 – x ) = 0,
2sin ( x/2 + /4)cos (3x/2 — /4 ) = 0.
sin (x/2 + /4) = 0
x/2 + /4 = n
x =- /2 + 2 n
или
cos (3x/2 — /4 ) = 0,
3x/2 — /4 = /2 + n
x = / 2+ 2 n/3 , n Z
Ответ : x = — /2 + 2 n , x = / 2 + 2 n/3 , n Z .
Способ : преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение ( 4 –й способ ) .
18

18. sin2x + cosx = 0

Сравним результаты двух способов
решения уравнения sin2x + cosx = 0
2 –й способ:
4-способ:
1) x = /2 + n; n Z,
n =0, x = /2 ( т. A ),
n = 1, x = 3 /2 (т. В ),
n =-1, x = — /2 ( т. В ),
n = 2, x = /2 +2 (т.А)
1) x = — /2 + n, n Z ,
n =0, x= — /2, (т .В ),
n =1, x =- /2 + 2 , (т .В ),
n=-1, x= — /2 –2 , (т. В ),
n=2, x = — / 2+ 4 ,(т .В ).
2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z,
k=0, x = — /6 ( т.C ),
k =1, x = /6 + (т.D ),
k =-1, x = /6 — (т .D),
k =2,x = — /6+2 (т.C)
2) x = / 2 + 2 n/3 , n Z .
n =0, x= /2 ( т.А ),
n=1, x = 7 /6 ( т. D ),
n= -1, x = — /6 (т. А),
n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…
19

19. Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0

Графическая иллюстрация этих
решений на тригонометрическом круге
у
у
А
х
0
D
С
В
Вывод : при обоих способах решений данного
уравнения результаты одни и те же.
20

20. Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге

3 sin x – cos x = 0
cos x 0 в силу основного тригонометрического
тождества sin2x + cos2x = 1.
Разделим обе части уравнения на cos x.
3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 ,
x = /6 + n , n Z.
Ответ: x = /6 + n, n Z.
Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).
21

21. 3 sin x – cos x = 0

3 sin x – cos x = 0
3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2.
3/2sin x – ½cos x = 0,
sin x cos /6 – cos x sin /6 = 0,
sin (x — /6) = 0,
x — /6 = n , n Z,
x = /6 + n , n Z.
Ответ : x = /6 + n, n Z.
Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).
22

22. 3 sin x – cos x = 0

3 sin x – cos x = 0
3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат.
3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе
части уравнения на cos2x 0.
3 tg2x – 2 3 tg x + 1 = 0
D = 0, tg x = 3/ 3;
x = /6 + n, n Z.
Ответ 😡 = /6 + n, n Z.
Способ :возведение обеих частей уравнения в
квадрат ( 6-й способ).
23

23. 3 sin x – cos x = 0

3 sin x – cos x = 0
3 sin x – cos x = 0,
2 tg x/2
1 — tg 2 x/2
sin x = 1 + tg 2 x/2 , cos x= 1 + tg 2 x/2 ,
3 2 tg x/2
1 — tg 2 x/2
=
1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 = 0,
3 2 tg x/2 — 1 + tg 2 x/2
=0, 1 + tg 2 x/2 0,
1 + tg 2 x/2
tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 — 1 = 0, tg x/2 = m,
m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = — 3 — 2, m2 = — 3 + 2,
1) tg x = — 3 — 2,
2(- 3 — 2 )
— 2( 3 + 2 )
— 2( 3 + 2 )
sin x= 1 +( — 3 — 2)2 = 8-4 3
4( 2+ 3 )
=
sin x = — 1/2,
2)
tg x = — 3 + 2,
2(- 3 + 2 )
sin x = 1 +( — 3 + 2)2
=
-1
2,
x = ( -1 ) k +1 /6 + k, k Z;
— 2( 3 — 2 )
8-4 3
=
— 2( 3 — 2 )
1
=
4( 2- 3 )
2,
=
sin x = 1/2,
x = ( -1 ) k /6 + k, k Z.
Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k /6 + k, k Z.
Ответ: x = ( -1 ) k /6 + k, k Z.
Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).
24

24. 3 sin x – cos x = 0

sin 6x + sin 3x = 0
sin 6x + sin 3x = 0,
2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0,
sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0,
sin 3x =0 ,
2 cos 3x + 1 = 0,
3x = n, n Z,
cos 3x = -½,
x = n/3, n Z ,
x = 2 /9 + 2 n /3,
n Z.
Ответ: x = n/3, n Z; x = 2 /9 + 2 n /3, n
Z.
Способ:разложение левой части уравнения на
множители ( 2 способ ).
25

25. sin 6x + sin 3x = 0

sin 6x + sin 3x = 0,
2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 ,
sin 9x/2=0 ,
cos 3x /2 = 0,
9x/2 = n, n Z,
3x /2 = /2 + n, n Z,
x = 2 n/9, n Z;
x = /3 + 2 n/3, n Z .
Ответ: x = 2 n/9, n Z;
x = /3 + 2 n/3, n Z.
Способ: преобразование тригонометрических
функций в произведение ( 4-й способ ).
26

26. sin 6x + sin 3x = 0

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0,
полученные разными способами.
Вывод: результаты
решения данного
уравнения разными
способами совпадают
27

27.

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами.sin 2x + cos 2x = 1
sin 2x + cos 2x = 1
2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x,
2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0,
2 sin x ( cos x – sin x ) = 0,
sin x = 0,
cos x – sin x = 0,
x = n, n Z,
tg x = 1,
x = /4 + n, n Z.
Ответ: n, n Z, x = /4 + n, n Z.
Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й
способ ).
28

28. sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1,
sin2x – (1 – cos 2x ) = 1,
2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0,
Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ).
Способ: разложение левой части уравнения на
множители ( 2 – й способ ).
29

29. sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1,
sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1,
2sin /4 cos ( 2x — /4 ) = 1,
sin /4 = 1/ 2 ,
2 cos ( 2x — /4 )= 1
arksin (1 / 2 ) = /4 .
cos ( 2x — /4 )= 1 / 2 ,
2x — /4 = arkcos (1 / 2 ) + 2 n, n Z,
2x= /4 arkcos( 1 / 2 ) + 2 n, n Z,
x= /8 /8 + n, n Z.
Ответ: x= /8 /8 + n, n Z.
Способ: преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение ( 4 –й способ ).
30

30. sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2,
1/ 2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 ,
cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2,
sin (2x + /4 ) = 1/ 2,
2x + /4 = (- 1)k /4 + k, k Z,
2x = — /4 + (- 1) k /4 + k, k Z,
x = — /8 +(- 1)k /8 + k/2, k Z.
Ответ: x = — /8 +(- 1)k /8 + k/2, k Z.
Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).
31

31. sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1,
Cos 2x = ( 1 — sin 2 2x )
sin 2x ( 1 — sin 2 2x ) = 1,
( 1 — sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в
квадрат, тогда 1 — sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x ,
2 sin 2 2x — 2 sin 2x = 0,
2 sin 2x (sin 2x — 1 ) = 0,
sin 2x = 0,
sin 2x — 1 = 0,
2x = n,
sin 2x = 1,
x = n/2, n Z ;
2x = /2 + 2 n, n Z,
x = /4 + n, n Z.
Ответ: x = n/2, n Z ; x = /4 + n, n Z.
Способ: приведение к квадратному уравнению
относительно sin 2x ( 5 –й способ ).
32

32. sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1,
sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1,
2sin 2x cos 2x + 1 = 1,
2sin 2x cos 2x = 0,
sin 2x = 0,
cos 2x = 0 ,
2x = n, n Z ;
2x = / 2 + 2 n , n Z,
x = n/2, n Z ;
x = / 4 + n , n Z.
Ответ: / 2 + 2 n , n Z; x = / 4 + n , n Z.
Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
( 6 – й способ ).
33

33. sin 2x + cos 2x = 1

sin2 x +cos 2x = 0,
2 tg x
1 — tg 2 x
sin 2x =
cos2 x =
1 + tg 2 x ,
1 + tg 2 x ,
2 tg x
1 — tg 2 x = 0
+
1 + tg 2 x
1 + tg 2 x
2 tg x +1 — tg 2 x –1 — tg 2 x — 0, 1 + tg 2 x/2 0,
2tg 2 x — 2 tg x = 0,
2tg x ( tg x – 1 ) = 0,
tg x =0,
tg x – 1 = 0,
sin 2x = 0,
sin 2x = 1,
x = n/2, n Z ,
2x = /2 + 2 n, n Z,
x = /4 + n, n Z.
Ответ: x = n/2, n Z ; x = /4 + n, n Z.
Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).
34

34. sin 2x + cos 2x = 1

3 sin x + cos x = 1
3 sin x + cos x = 1,
3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2,
cos /6 sin x + sin /6 cos x = 1/2 ,
Sin ( x + /6 ) = 1 / 2 ,
x+ /6 = (- 1 ) k /6 + k, k Z,
x = — /6 +(- 1 ) k /6 + k, k Z,
Ответ 😡 = — /6 +(- 1 ) k /6 + k, k Z.
Способ: введение вспомогательного угла
( 3-й способ).
35

35.  3 sin x + cos x = 1

3 sin x + cos x = 1
3 sin x + cos x = 1,
2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2,
2 3 sin x/2 cos x/2 — 2sin 2x/2 =0,
2 sin x/2 ( 3 cos x/2 — sin x/2 ) =0,
sin x/2 = 0,
3 cos x/2 — sin x/2 = 0, sin x/2 = 3 cos x/2 ,
x/2= n, n Z,
tg x/2 = 3 ,
x = 2 n, n Z ,
x/2 = /3 + n, n Z,
x = 2 /3 + 2 n, n Z.
Ответ: x = 2 n, n Z , x = 2 n, n Z .
Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).
36

36.  3 sin x + cos x = 1

3 sin x + cos x = 1
3 sin x + cos x = 1,
2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x,
2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2,
2 3 sin x/2cos x/2 — 2 cos 2 x/2 = 0,
2 cos x/2 ( 3 sin x/2 — cos x/2) = 0,
1 – cos x = 2 cos 2 x/2
Далее решать так как в первом способе.
Способ: разложение левой части уравнения на
множители ( 2 –й способ).
37

37.  3 sin x + cos x = 1

3 sin x + cos x = 1
3 sin x + cos x = 1,
3 sin2 x +2 3 sin x cos x +cos 2 x = 1,
2sin2 x +2 3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1,
2sin2 x +2 3 sin x cos x = 0,
2sinx ( sin x + 3 cos x) = 0,
sinx = 0,
sin x + 3 cos x = 0,
x = n , n Z,
tg x = — 3 ,
x = — /3 + n, n Z .
Ответ : x = n , n Z, x = — /3 + n, n Z .
Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
( 6 – й способ ).
38

38.  3 sin x + cos x = 1

3 sin x + cos x = 1
3 sin x +cos x = 0,
2 3 tg x/2
1 — tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 ,
sin x =
cos x =
1 + tg 2 x/2
,
2 3 tg x/2
1 — tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2
2 3 tg x/2 + 1 — tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2 0,
2 tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 = 1,
2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0,
tg x/2 = 0 ,
, tg x/2 = — 3 ,
+
=1,
x/2 =
n , n Z, x/2 = — /3 + n , n Z,
x = 2 n , n Z,
x = — 2 /3 + 2 n , n Z.
Ответ: x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z.
Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).
39

39.  3 sin x + cos x = 1

Подведем итоги
1
2
3
4
5
6
7
8
1 sin2x + cosx = 0
2 sin6x + sin3x = 0
3 sin6x + sin3x = 0
4 sin2x +cos2x = 1
5 3sin x + cos x = 1
1.Приведение уравнения к однородному.
2.Разложение левой части уравнения на множители.
3.Введение вспомогательного угла.
4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в
произведение.
5.Приведение к квадратному уравнению.
6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7.Универсальная подстановка.
8.Графическое решение.
40

40. Подведем итоги

Оцени себя сам
Реши уравнения :
6. 3 sin x + cos x = 2,
7. 3 sin x – cos x = 2,
8. sin x + cos x = 2,
9. cos 2x – cos 4x = 0,
10. sin x — 3 cos x = 0.
Ключ к ответам:
Ответы:
1. x = /4 + n, n Z;
2. x = /3 + n, n Z;
3. x = /6 +(- 1)k /4 + k, Z;
4. x = /3 + 2 n, n Z;
5.x = n /3, n Z; x = n, n Z.
Номер уравнения
6
7
8
Номер ответа
4
3
1
9
10
5
2
41

41. Оцени себя сам

Предлагаем уравнения для
тренировки и самоконтроля
Желаем успеха!
42

Решите уравнение sin2x=-1/2 — Учеба и наука

решите уравнение sin2x=1/2

sin2x=-1/2

Лучший ответ по мнению автора

13. 10.17 Лучший ответ по мнению автора Ответ понравился автору вопроса

Александр Читать ответы

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

2(x) = 1 \rightarrow$ Я использовал правило половины угла,

$\frac{1}{2}\cdot(1+\cos(2x)) — \frac{1}{2}(1- \cos(2x)) = 1$

$\frac{1}{2}\cdot((1 + (\cos(2x) — 1 + \cos(2x)) = 1$

$(2\ cdot \cos(2x)) = 2$

$\cos(2x) = 1$

$x = 0$ , $\pi$, $2\pi$ и т.