можно ли умножать на 0 и что при этом получается
Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.
Оглавление
- По две стороны спора
- Суть действия
- Целесообразность попыток
- Полезное видео
- Подведем итоги
По две стороны спора
Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.
В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.
Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое
В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.
Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия.
Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.
Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.
Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.
Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.
Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа
В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты.
Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.
В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.
Суть действия
Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.
Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.
При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.
Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула
Рассмотрим на примере.
Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.
Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.
Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.
Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых.
Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.
Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.
В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.
Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.
Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности
Целесообразность попыток
Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.
По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет.
Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.
Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.
В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.
Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.
Полезное видео
Подведем итоги
Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.
Сложение двоичных чисел онлайн
Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для сложения двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
Число №1
Число №2
Числа представлены в 102 системе счисления.Операция с числами СложениеВычитание Для дробных чисел использовать 2345678 знака после запятой.
Действие производить в: Прямом кодеОбратном кодеДополнительном кодеПодробнее.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*102 = 1.3354*exp102
Число 1.3354*exp102 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp10=2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.
13354*exp103
Пример №2. Представить двоичное число 101.102 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной — по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1. Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
| Сложение
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 |
Вычитание
0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1 |
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У).
Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 — 10.
Решение.
Представим числа 112 и -102 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000011 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда.
Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 27*0 + 26*0 + 25*0 + 24*0 + 23*0 + 22*0 + 21*0 + 20*1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 1112 и -0102 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10).
Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда.
Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 27*0 + 26*0 + 25*0 + 24*0 + 23*0 + 22*1 + 21*0 + 20*1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой.
Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b-1≤|M|<b0=1
Нормализованное число — это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2100=0,101*210
111,1001*210=0,111001*2101
0,01101*2-11=0,1101*2-100
11,1011*2-101=0,11011*2-11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4.
A=0,1011*210, B=0,0001*211
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*211, B=0,0001*211
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MAдоп.мод.=00,01011
MBдоп.мод.=00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*211
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*210
Пример №3. Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
Смысл умножения дробей. Как превратить дробь в процент — Полный курс арифметики
| 1 2 | × 8 означает половину 8, что равно 4. |
| 1 4 | × 20 означает одна четвертая часть 20, что равно 5. |
| 3 4 | × 20 означает три четверти от 20, что равно 15. |
| . 15 × 20 означает | Пятнадцать сотых от 20, что равно 3. |
| (Одна сотая от 20 равна . 2.) |
Ибо, согласно смыслу умножения, мы должны многократно складывать множимое столько раз, сколько единиц в множителе. В множителе ½ есть половина 1. Следовательно, мы должны добавить множимое 8 один раз в два раза. Мы должны взять половину 8.
Кроме того, хотя «½ × 8» выглядит как умножение, умножать нечего. «½ × 8» — это символическое сокращение от «Половина 8». И чтобы вычислить его, мы должны разделить. (Урок 15.) Теперь мы можем начать понимать, почему у нас есть правила отмены.
Это еще одно применение дробей помимо чисел, необходимых для измерения: умножение на дробь означает часть множимого.
Таким образом, символическое утверждение «4 = ½ × 8» выражает отношение 4 к 8: «4 — это половина 8».
Наиболее общее определение умножения см. в разделе 3.
Пример 1. Вычислить × 21 «Две трети от 21». (Мы можем прочитать « × 21» как «Две трети от 21», а не «Две трети, умноженные на 21».)
Одна треть от 21 равна 7 — «3 входит в 21 семь (7) раз.» 2 × 7 = 14,
(Урок 15, Вопрос 6.)
Если бы задача состояла только в том, чтобы оценить две трети от 21, учащемуся не пришлось бы прибегать к письму × 21.
Просто скажите: « Одна треть от 21 равна 7. Таким образом, две трети составляют 14″. (Урок 15.) Цель этого урока — объяснить, что значит умножить на дробь.
Проблема. × 32. Что это значит?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!
«Пять восьмых из 32».
Подсчитайте.
«Одна восьмая от 32 равна 4. Итак, пять восьмых пять раз 4: 20».
Сравните урок 15, пример 5.
Пример 2. Вычислить × 5. «Три четверти от 5».
Решение . Хотя 5 не делится точно на 4, мы все же можем взять его четвертую часть — разделив на 4:
.«4 превращается в 5 один (1) раз, и 1 остается.»
Один четвертый из 5 равен 1; следовательно, три четвертых равны 3 × 1 = 3.
(Урок 26.)
В качестве альтернативы мы можем сначала умножить:
× 5 = = 3,
«4 входит в число 15 три (3 ) раза (12) с оставшимися 3.»
Видим:
Мы можем сначала взять часть или сначала умножить .
См. ниже. Сравните урок 11.
Пример 3. Вы собираетесь совершить путешествие в четыре мили и прошли две трети пути. Как далеко вы зашли?
Решение .
Надо взять две трети от 4.
» Одна треть от 4 равна 1.»
= 1.
«Следовательно, две трети равны 2 × 1 = 2.»
Вы прошли 2 мили.
Пример 4. Сколько пятая часть от 3?
Решение . Хотя мы могли бы написать × 3 = , мы знаем, что для нахождения пятой части числа нужно разделить на 5. А 3 ÷ 5 равно . Урок 11, пример 17.
Следовательно, мы могли бы сразу узнать:
Пятая часть 3 равна .
Пример 5. Сколько стоит четверть 9 галлонов?
Ответить . = 2 галлона.
«4 входит в число 9 два раза, и 1 остается.»
Пример 6. Задача калькулятора. Тим и его деловой партнер вложили 71 000 долларов в недвижимость. Тим вложил 51 000 долларов, а его партнер — 20 000 долларов.
Им пришлось продать недвижимость с убытком за 48 000 долларов. Если каждый получит ту же долю, что и вложил, сколько получит каждый?
Решение .
Во-первых, какую часть из 71 000 долларов вложил Тим? 51 000 составляет какую часть от 71 000? Это из этого. (Урок 20. Обратите внимание, что мы можем опустить последние 0.)
Нам нужно найти ту самую дробь от 48000:
× 48000.
Нажмите
См.:
Доля Тима составит 34 479 долларов. (Урок 12.) Поэтому доля его партнера в компенсации разницы составит
48 000 долларов – 34 479 долларов США = 13 521 долларов США.
Пример 7 Сколько денег составляет 64 квартала?
Ответ . 64 четверти будут равны 64 × 0,25 доллара США. Но по свойству порядка умножения
64 × . 25 = . 25 × 64.
Теперь . 25 — десятичная дробь для ¼. Следовательно, мы можем оценить 64 четверти, взяв за одну четверть из 64. И мы можем сделать это, взяв половину половины. (Урок 16.)
Половина от 64 равна 32. Половина от 32 равна 16. Следовательно, 64 четверти равны 16 долларам.
Пример 8. Игровой автомат в казино оплачивал 93 четверти. Сколько это денег?
Ответ . Чтобы найти четверть 93, разделите 93 на 4. Мы можем легко сделать это в уме, разложив 93 на числа, кратные 4. Например:
93 = 80 + 12 + 1.
Разделив каждое слагаемое на 4, мы получим
.20 + 3 + ¼ = 23¼.
Таким образом,93 четверти стоят 23,25 доллара.
Пример 9. В рецепте требуется 3 стакана муки и 4 стакана молока. Пропорционально, сколько молока вы должны использовать, если
а) используете 1½ стакана муки? б) вы используете 2 стакана муки?
c) вы используете 2½ стакана муки?
Ответы.
а) 1½ стакана муки составляют половину 3 стаканов. Поэтому вы должны использовать половину как
а) много молока. Вы должны использовать 2 чашки.
б) 2 стакана муки составляют две трети от 3 стаканов. Это соотношение 2 чашек к 3.
б) Следовательно, вы должны использовать две трети молока.
× 4 = = 2 стакана молока.
c) Какое отношение имеет 2½ стакана муки к исходным 3 стаканам?
При выражении 2½ неправильной дробью, затем при перекрестном умножении:
соответствует 3 как 5 – 6.
2½ чашки пять шестых 3 чашки.
Следовательно, вы должны использовать пять шестых 4 чашек молока.
× 4 = = 3 = 3 стакана молока.
Изучение таблицы умножения на 2: советы и рекомендации
Таблица умножения на 2 является основой для изучения всех таблиц умножения. Следуйте практическим и очень конкретным советам педагога Джона Болда, которые помогут вам помочь вашему ребенку с таблицей умножения на 2, и найдите ссылки на рабочие листы и игры, чтобы сделать практику увлекательной.
или Зарегистрируйтесь, чтобы добавить к своим сохраненным ресурсам
Таблица умножения на 2 является наиболее важной, и она, скорее всего, вызовет проблемы, если дети научились считать кратно, так как трудно заменить два-четыре-шесть-восемь с таблицей, в которой чередуются одиночные числа и двойки (1 x 2 = 2, 2 x 2 = 4 и т.
д.).
Получите бесплатные таблицы Times Resources
- Печатные и интерактивные рабочие листы
- Практическая книга
- Games Pack
- . скажем, таблица умножения на 2? Когда вы тренируетесь с ребенком, очень важно, чтобы повторялось в том, как вы произносите последовательность чисел вслух . Выберите либо «Одна двойка — это два, две двойки — это четыре, три двойки — это шесть, четыре двойки — это восемь» и т. д., либо «Две единицы — это два, две двойки — это четыре, две тройки — это шесть, две четверки — это восемь». отправная точка. Если ваш ребенок изучает таблицу умножения в школе, используйте одну и ту же форму, чтобы они не перепутали их.
Шаг второй: делайте это медленно
Для начала возьмите таблицу до 5×2 и попрактикуйтесь, пока это не станет беглым и точным.
Дети часто ошибаются в игре 3×2. Если это произойдет, вернитесь к 2×2 и смоделируйте шаг, снова используя ту форму, которую использует школа.
Не торопитесь — связи клеток мозга формируются в первую очередь медленно, и изучение этой таблицы создает шаблон для изучения других. Перепутать столбцы (ошибочно сказать «две тройки — шесть, три тройки…») — это больше для обучения координации, чем для изучения математики. При условии, что ваш ребенок с каждым разом становится немного лучше, не проблема, если ему требуется немного больше времени, чтобы учиться, чем другим детям, которых вы знаете.Если, тем не менее, этот этап им действительно покажется трудным, используйте стопку фишек по 2 пенса в качестве математических подсказок и попросите их одновременно считать и произносить таблицу . Как только они смогут сказать стол с монетами, заберите их и попробуйте без. Пусть ваш ребенок запишет то, что он или она только что узнал. Как только они доберутся до 5×2 без каких-либо заминок, заполните таблицу. Спросите ребенка, является ли 2 нечетным или четным числом. Если они знают, то укажите, что каждое число в таблице четных чисел четно.
Если нет, то объясните разницу между нечетными и четными числами, а затем сделайте то же самое.Шаг третий: выделить элементы из таблицы
Следующий шаг — назвать отдельные элементы из таблицы : 7×2, 11×2 и т. д. Если они сразу все сделают правильно, похвалите. Если нет, вернитесь к элементу в таблице за один или два до ошибки и попросите их произнести таблицу, пока они не дойдут до ошибки. Подскажите если надо. Например:
Родитель. Семь двоек?
Ребенок. Шестнадцать.
Родитель. Что такое шесть двоек?
Детский. Двенадцать
Родитель. Итак, семь двоек…
Если необходимо, вернитесь назад от одной до пяти двоек. Всегда возвращайтесь к известному расчету и стройте исходя из него.
Шаг четвертый: помогите ребенку изобразить числа в столбцах
Я часто записываю двойки в три столбца, например:
Затем я отмечаю, что когда мы достигли 5×2, ряд конечных цифр повторяется . Это помогает лучше понять числа и подготавливает детей к большим таблицам с четными числами.Советы и рекомендации по таблице умножения на 2
- Для школ я рекомендую сосредоточить внимание ассистентов и волонтеров на правильном составлении двойки и предоставлении практики, соответствующей индивидуальным потребностям. Если двойки неверны, ничего другого не будет, и дети попытаются вспомнить более высокие таблицы, угадывая. Мы не гадаем – мы продумываем, прорабатываем и понимаем.
- Постарайтесь, чтобы ваш ребенок предвосхищал ваши вопросы или задавал вам вопросы.
- Задавайте вопросы о столе в самое неподходящее время , так что даже задать вопрос становится шуткой. Например, я иногда притворяюсь, что это часть совершенно нормального разговора о чем-то другом, когда, конечно, это не так. Невозмутимый подход может быть довольно забавным!
Таблицы на 2 умножения, тренировочные листы и игры
Подборку таблиц на 2 умножения, рабочие листы см. ниже.
Прочтите руководство Джона Болда по изучению таблицы умножения, чтобы получить более общие советы по таблице умножения, а затем просмотрите все таблицы с таблицей умножения и игры для печати.
больше похоже на этот
раза таблицы обучения. таблица умножения на 3: советы и рекомендации
сетка скорости таблицы умножения
Что такое числовые факты?
Изучение таблицы умножения на 4: советы и рекомендации
Изучение таблицы умножения на 5, 10, 11 и 12: советы и рекомендации
Калькулятор дробей
Этот калькулятор дробей выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами . Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.Правила выражений с дробями:
Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1.45 .Математические символы
Символ Название символа Символ Значение Пример + plus sign addition 1/2 + 1/3 — minus sign subtraction 1 1/2 — 2/3 * asterisk Умножение 2/3 * 3/4 × Тин.1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• сокращение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.- Десятичная дробь
Запишите дробь 3/22 в виде десятичной дроби. - Дробь и десятичная дробь
Пишите в виде дроби и десятичной дроби. Один и два плюс три и пять сотых - Ферма 6
На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме. - Квартал
Четверть числа 72: - Замуж
Замуж было полторы дюжины яиц в холодильнике. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась? - Энди набрал
Энди неправильно ответил на пять из 15 вопросов в тесте по математике. На какую часть вопроса Энди ответил правильно? - Компания
Компания имеет 860 сотрудников, из которых 500 женщин. Напишите дробь, обозначающую сотрудниц компании. - Значение Z
Для x = -9, каково значение Z, где Z равно числитель дроби х минус 17 над знаменателем 6,5 конец дроби Дайте ответ до 2 знаков после запятой. - У Макса 2
У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета? - Мэтью
У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце? - Использование денег
Из 550 000,00, отданных школе, было использовано 325 000,00.
Не торопитесь — связи клеток мозга формируются в первую очередь медленно, и изучение этой таблицы создает шаблон для изучения других. Перепутать столбцы (ошибочно сказать «две тройки — шесть, три тройки…») — это больше для обучения координации, чем для изучения математики. При условии, что ваш ребенок с каждым разом становится немного лучше, не проблема, если ему требуется немного больше времени, чтобы учиться, чем другим детям, которых вы знаете.
Если нет, то объясните разницу между нечетными и четными числами, а затем сделайте то же самое.
Невозмутимый подход может быть довольно забавным!
Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
е. 1.45 .
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.