Задача 3x+1! | Mathematical Gemstones
Сегодня у меня потрясающие новости: первая в истории совместная статья Monks, Monks, Monks, and Monks была принята к публикации в Discrete Mathematics.
Эти четыре монаха — два моих брата, мой отец и я. Прошлым летом мы вместе работали над печально известной гипотезой $3x+1$ (также известной как гипотеза Коллатца), открытой проблемой, которую так легко сформулировать, что ребенок может понять вопрос, и тем не менее она ставит математиков в тупик уже более 70 лет. .
Задача $3x+1$ требует следующего: Предположим, мы начинаем с положительного целого числа, и если оно нечетное, то умножаем его на $3$ и добавляем $1$, а если оно четное, делим его на $2$. Затем повторяйте этот процесс столько, сколько сможете. Достигнете ли вы в конце концов целого числа $1$, независимо от того, с чего начали?
Например, начиная с $5$, это нечетно, поэтому мы применяем $3x+1$. Получаем четное число $16$, поэтому делим на $2$.
Мы получаем 8$, затем 4$, затем 2$, а затем 1$. Так что да, в этом случае мы в конечном итоге получаем 1 доллар. 9{58}$, или около 5,8 млрд долларов миллиардов , в конечном итоге достигают 1$ при применении этого процесса. (См. веб-сайты Сильвы и Розендаля, где постоянно выполняются расчеты для проверки гипотезы для все более и более высоких целых чисел.)
Но как насчет общего случая?
Определим функцию Коллатца $T$ для натуральных чисел следующим образом:
$T(x)=\begin{cases}\frac{3x+1}{2} & x\text{ нечетно} \\ \frac {x}{2} & x\text{ четно}\end{cases}$.
Тогда гипотеза утверждает, что последовательность $x, T(x), T(T(x)), T(T(T(x))),\ldots$ имеет член $1$. Обратите внимание, что $T(1)=2$ и $T(2)=1$, поэтому $1$ является циклической точкой $T$.
Мы можем нарисовать график натуральных чисел, в котором мы соединяем $x$ с $T(x)$ стрелкой для всех $x$ и окрашиваем его в красный цвет, если $x$ нечетно, и в черный, если $x$ даже. Часть графа около $1$ выглядит так:
Мы просто хотим показать, что этот граф связан — что нет других компонентов с очень большими целыми числами, которые не соединяются обратно с $1$.
Прошлым летом мы начали с некоторыми предыдущими идеями и частичным прогрессом. В 2006 году один из членов нашей семейной исследовательской группы, мой брат Кен М. Монкс, продемонстрировал, что достаточно доказать гипотезу для некоторой арифметической последовательности в графе Коллатца. (Статья доступна здесь.) Взяв это за отправную точку, мы работали над тем, чтобы понять, как арифметические последовательности распределяются по графу Коллатца. Где они происходят? На каком расстоянии друг от друга находятся их элементы?
К концу лета мы поняли, что перед нами лежит какая-то красивая структура в графе Коллатца. Мы доказали несколько удивительных результатов теории чисел, например, что каждая $T$-орбита должна содержать целое число, конгруэнтное $2$ по модулю $9$.
Мы не уверены, что это приведет к доказательству гипотезы, но мы нашли несколько больших драгоценных камней, которые могут дать нам толчок в правильном направлении. Препринт статьи можно найти здесь:
http://arxiv.
org/abs/1204.3904
Наслаждайтесь и не стесняйтесь оставлять комментарии с любыми идеями по поводу вашей гипотезы!
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус (-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразование из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | 92||
| 35 | Преобразование из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктический(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразование из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | грех((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | коричневый (пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразование из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразование из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразование из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценка | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | коричневый((5pi)/3) | ||
| 75 | Найти точное значение | желто-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-(квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразование из радианов в градусы | (3 шт. |