4 3 в обыкновенную дробь в: Mathway | Популярные задачи

Механика

Оптика

Электричество и магнетизм

Конденсаторы

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.

• Дробь и десятичная дробь
  Пишите в виде дроби и десятичной дроби. Один и два плюс три и пять сотых
• Вычислить выражение
  Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
• Ферма 6
  На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
• Женитьба
  У Жени было 1 1/2 дюжины яиц в холодильнике. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
• А класс IV.А
  В классе 15 девочек и 30 мальчиков. Какая часть класса представляет мальчиков?
• Корзина с фруктами
  Если в корзине 7 яблок и 5 апельсинов, то какая доля апельсинов в корзине с фруктами?
• Зденек
  Зденек набрал 15 литров воды из 100-литровой полной бочки. Напишите долю того, какую часть воды Зденека он собрал.
• Четверть
  Четверть числа 72:
• В столовой
  В классной комнате Джейкоба 18 учеников. Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой?
• Кто-то
  Кто-то съел 1/10 торта, осталось только 9/10. Если вы съедите 2/3 оставшегося торта, сколько всего торта вы съедите?
• Одна суббота
  Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?

more math problems »

• decimals
• fractions
• triangle ΔABC
• percentage %
• permille ‰
• prime factors
• complex numbers
• LCM
• GCD
• LCD
• combinatorics
• equations
• статистика
• … все математические калькуляторы

Смешанные дроби — определение, преобразование, примеры.

Смешанная дробь – это дробь, в которой есть целая и дробная части. Например, \(3\dfrac{1}{7}\) — это смешанная дробь. Его также называют смешанным числом.

1.	Что такое смешанные фракции?
2.	Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь
3.	Преобразование смешанной дроби в неправильную дробь
4.	Операции со смешанными дробями
5.	Смешанные эквивалентные фракции
6.	Часто задаваемые вопросы о смешанных фракциях

Что такое смешанные фракции?

Смешанная дробь определяется как дробь, образованная путем объединения целого числа и дроби. Например, если 8 — целое число, а \(\dfrac{1}{2}\) — дробь, то 8\(\dfrac{1}{2}\) — смешанная дробь.

Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь

Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю и которую нельзя упростить дальше. Например, 13/5 — неправильная дробь. Давайте узнаем, как преобразовать эту неправильную дробь в смешанную дробь.

• Шаг 1: Разделите числитель на знаменатель.
• Шаг 2: Найдите остаток.
• Шаг 3: Расположите числа следующим образом: частное, за которым следует дробь остатка/делителя.

Преобразование смешанной дроби в неправильную дробь

Смешанная дробь также может быть преобразована в неправильную дробь. Для этого выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере смешанной дроби 2\(\dfrac{4}{5}\). Здесь 2 — целое число, 4 — числитель, 5 — знаменатель.

• Шаг 1: Умножьте знаменатель смешанной дроби на целую часть числа.
• Шаг 2: Добавьте числитель к произведению, полученному на шаге 1.
• Шаг 3: Запишите неправильную дробь с суммой, полученной на шаге 2, в форме числитель/знаменатель.

Операции со смешанными дробями

Подобно тому, как мы складываем, вычитаем, умножаем и делим числа, точно так же мы можем применять арифметические операции и к смешанным дробям.

Сложение смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные дроби, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанные дроби в неправильные дроби.
• Шаг 2: Проверьте, совпадают ли знаменатели.
• Шаг 3: Если да, сложите числители дробей и запишите результат.
• Шаг 4: Если знаменатели не совпадают, найдите НОК знаменателей, чтобы сделать их одинаковыми.
• Шаг 5: Теперь сложите числители, чтобы получить результат сложения.

Пример: добавим \(1\dfrac{1}{2}\) и \(2\dfrac{1}{2}\).
Преобразовав дроби в неправильные, получим 3/2 и 5/2. Сложив 3/2 и 5/2, мы получим 8/2. Дальнейшее упрощение 8/2 дает 4.

Вычитание смешанных дробей

Чтобы вычесть смешанные дроби, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанные дроби в неправильные дроби.
• Шаг 2: Проверьте, совпадают ли знаменатели.
• Шаг 3: Если да, вычтите числители дробей и запишите результат.
• Шаг 4: Если знаменатели не совпадают, найдите НОК знаменателей, чтобы сделать их одинаковыми.
• Шаг 5: Теперь вычтите числители, чтобы получить результат вычитания.

Пример. Вычтем \(2\frac{1}{3}\) из \(3\frac{2}{3}\).
Преобразовав дроби в неправильные, получим 11/3 и 7/3. Вычитая 11/3 и 7/3, мы получаем 4/3. Преобразовав 4/3 в смешанную дробь, мы получим \(1\frac{1}{3}\).

Умножение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанные дроби, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанные дроби в неправильные дроби.
• Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель и запишите результат.
• Шаг 3: Результат можно упростить до наименьшей формы, оставить как неправильную или преобразовать в форму смешанной дроби.

Пример. Перемножим \(2\frac{2}{5}\) и \(3\frac{1}{5}\).
Преобразовав дроби в неправильные, получим 12/5 и 16/5. Перемножив 12/5 и 16/5, мы получим 192/25. Преобразовав 192/25 в смешанную дробь, мы получим \(7\frac{17}{25}\).

Разделение смешанных фракций

Чтобы разделить смешанные дроби, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанные дроби в неправильные дроби.
• Шаг 2: Умножьте первую дробь на мультипликативную обратную вторую дробь.
• Шаг 3: Результат можно упростить до наименьшей формы или оставить в виде неправильной или смешанной дроби.

Пример. Разделим \(1\frac{1}{5}\) на \(3\frac{4}{5}\).
Преобразовав дроби в неправильные дроби, получим 6/5 и 19./5. Разделив 6/5 на 19/5, мы получим (6/5) × (5/19), что равно 6/19.

Смешанные эквивалентные фракции

Две дроби называются эквивалентными, если они обе равны при сведении к простейшим формам. Например, 1/3 и 2/6 — эквивалентные дроби. Точно так же дроби 7/2 и 14/4 при преобразовании в смешанные дроби эквивалентны. Когда 7/2 преобразуется в смешанную дробь, мы получаем \(3\frac{1}{2}\), а когда мы конвертируем 14/4, мы получаем \(3\frac{2}{4}\). Здесь \(3\frac{1}{2}\) и \(3\frac{2}{4}\) называются смешанными эквивалентными дробями, поскольку в дроби \(3\frac{2}{4}\) , дробную часть 2/4 можно упростить до 1/2.

Похожие темы

Проверьте эти интересные статьи, связанные с концепцией смешанных дробей.

• Дроби
• Неправильные дроби
• Калькулятор вычитания смешанных дробей
• Смешанное число в неправильную дробь
• Неправильная дробь в смешанном числе

Часто задаваемые вопросы о смешанных фракциях

Что такое смешанная фракция?

Целое число вместе с дробной частью составляет смешанную дробь. Их также называют «смешанными числами». Например, если 2 — целое число, а 1/5 — дробь, то 2\(\dfrac{1}{5}\) — смешанная дробь.

Что такое неправильная дробь?

Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю. Например 13/5.

Как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь?

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, мы делим числитель на знаменатель и выражаем его в виде ‘Частное \(\dfrac{Остаток}{Знаменатель}\).

Как преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь?

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, мы умножаем знаменатель на целое число, затем прибавляем произведение к числителю и записываем сумму как числитель со знаменателем. Например, преобразуя \(3\frac{2}{3}\) в неправильную дробь, мы получаем 11/3.

Как складывать смешанные дроби?

Чтобы сложить смешанные дроби с одинаковыми знаменателями, мы сначала преобразуем их в неправильные дроби, а затем запишем сумму числителей над общим знаменателем. Если знаменатели не равны, то находим НОК знаменателей и делаем их общими. Затем складываем числители так, чтобы знаменатель остался тем же. Например, \(2\frac{1}{2}\) и \(3\frac{1}{2}\). Во-первых, преобразуем дроби в неправильные дроби, которые у нас получились, 5/2 и 7/2. Сложив 5/2 и 7/2, мы получим 12/2. Тогда при дальнейшем упрощении 12/2 получаем 6. Следовательно, \(2\frac{1}{2}\) + \(3\frac{1}{2}\) = 6,

Как вычитать смешанные дроби?

Чтобы вычесть смешанные дроби с одинаковыми знаменателями, мы сначала преобразуем их в неправильные дроби, а затем вычтем числители. Если знаменатели не равны, то находим НОК знаменателей и делаем их общими. Затем вычитаем числители так, чтобы знаменатель остался тем же. Например, чтобы вычесть \(3\frac{1}{3}\) из \(4\frac{2}{3}\), преобразуйте дроби в неправильные дроби, которые мы получим, 10/3 из 14/3. Если из 14/3 вычесть 10/3, получится 4/3. Затем, переводя 4/3 в смешанную дробь, мы получаем \(1\frac{1}{3}\).

Правильные и неправильные дроби и смешанные числа (видео)

TranscriptFAQsPractice

Привет! Добро пожаловать в этот обзор дробей и смешанных чисел!

Прежде чем углубиться, давайте рассмотрим основные части дроби . Помните, дробь просто представляет собой часть целого. У него есть числитель и знаменатель, которые говорят нам, что такое «часть» и что такое «целое». Давайте посмотрим на дробь \(\frac{3}{4}\) в качестве примера. Мы видим, что 3 — это наш числитель, а 4 — наш знаменатель. Таким образом, дробь \(\frac{3}{4}\) на самом деле означает 3 части из 4 частей. Также может быть полезно визуализировать \(\frac{3}{4}\) как просто

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

Очень важно помнить, что знаменатель числа 4 не представляют значение 4. Знаменатель 4 представляет значение 1, которое делится на 4 равные части или четверти. Этот тип дроби представляет собой значение, меньшее, чем одно целое. \(\frac{3}{4}\) не совсем 1. Если бы у нас было \(\frac{4}{4}\), это было бы эквивалентно единице, но у нас есть только 3 части из 4.

Мы постоянно видим и используем дроби, которые меньше единицы, в нашей повседневной жизни, будь то для таких вещей, как рецепты или учет времени. Рецепты часто требуют количества, такого как «1/2 чайной ложки соли», и мы часто отслеживаем время с точки зрения четверти часа, например, «четверть третьего» для 3:15. Хотя мы очень часто наблюдаем этот тип дроби в нашей повседневной жизни, это не единственный тип дроби.

Рассмотрим следующий сценарий. Вы заказываете пиццу для большого праздника. На этом торжестве будет много голодных гостей, поэтому вы заказываете 3 пиццы. Каждая пицца разрезана на 6 кусочков. Это означает, что каждая пицца состоит из 6 равных частей, и в качестве дроби 6 будет считаться нашим «целым» или нашим знаменателем.

Если ваш первый гость съест 2 ломтика, мы представим это как дробь \(\frac{2}{6}\). Две части, всего 6 частей.

Но что, если первый гость был очень голоден и съел 7 ломтиков? Опять же, каждая пицца была разрезана на 6 равных кусочков, поэтому 6 остается нашим «целым» или знаменателем. Но на этот раз наша «часть» равна 7: \(\frac{7}{6}\). В этом сценарии наш числитель больше нашего знаменателя.

Дроби, числитель которых больше знаменателя, называются неправильными дробями . По сути, неправильные дроби равны значению, которое больше единицы. Одна целая пицца будет представлена ​​\(\frac{6}{6}\) или «шесть шестых». \(\frac{7}{6}\) представляет «семь шестых», то есть больше, чем одна пицца. Это можно представить как \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} }+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=7\). Его также можно записать в другой форме, называемой 9.1237 смешанный номер . Неправильная дробь и смешанное число будут представлять одну и ту же сумму, но просто будут записаны в другой форме.

Например, неправильную дробь \(\frac{7}{6}\) также можно записать как смешанное число \(1\frac{1}{6}\). Смешанные числа и неправильные дроби показывают одну и ту же сумму, но в смешанном числе «части» собираются и объединяются в как можно больше групп из 1 целого. Например, \(\frac{4}{4}\) будет сгруппировано вместе как 1. \(\frac{7}{7}\) также будет сгруппировано как 1. Любое значение, где числитель эквивалентен знаменатель будет выражен просто как 1,

В нашем примере с пиццей гость взял 7 ломтиков из группы пицц, которые были нарезаны на шестые части. Мы сказали, что это можно выразить как неправильную дробь \(\frac{7}{6}\) или визуализировать как \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{ 1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\). В качестве смешанного числа мы бы сгруппировали 6 таких «шестых», чтобы сформировать \(1\frac{6}{6}\), или 1 целое. Сгруппировав \(\frac{6}{6}\) вместе, мы можем увидеть, что \(\frac{1}{6}\) остался сам по себе. Мы запишем наше смешанное число как \(1\frac{1}{6}\).

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Давайте попробуем еще несколько примеров. Запишем следующие неправильные дроби в виде смешанных чисел: \(\frac{4}{3}\) и \(\frac{3}{2}\).

\(\frac{4}{3}\) можно представить как \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{ 1}{3}\). Мы знаем, что \(\frac{3}{3}\) равно 1, поэтому давайте сгруппируем 3 из этих «третей» вместе. Теперь у нас осталось \(1\frac{1}{3}\) в качестве нашего смешанного числа.

\(\frac{3}{2}\) можно представить как \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\). Тогда мы знаем, что \(\frac{2}{2}\) составляет одно целое. И у нас осталось \(\frac{1}{2}\). Итак, \(\frac{3}{2}\) как смешанное число равно \(1\frac{1}{2}\).

Попробуем еще один пример: \(\frac{7}{4}\)

\(\frac{7}{4}\) равно \(\frac{1}{4}+\ frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{ 4}\). Теперь мы знаем, что \(\frac{4}{4}\) сгруппировано как одно целое. Таким образом, эти \(\frac{4}{4}\) подтянуты, чтобы равняться 1. И у нас осталось \(\frac{3}{4}\). \(\frac{7}{4}\), записанное как смешанное число, равно \(1\frac{3}{4}\).

Этот процесс будет выполняться в обратном порядке, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Например, если мы начали со смешанного числа \(1\frac{3}{4}\) и хотели преобразовать его в эквивалентную неправильную дробь, мы бы посмотрели в целое число , в данном случае это 1. Это целое число действительно представляет наш знаменатель, который находится в дроби. В данном случае это 4, поэтому 1 равно \(\frac{4}{4}\). Когда мы объединяем эти четыре четверти с \(\frac{3}{4}\), мы получаем всего семь четвертей, или \(\frac{7}{4}\).

Вот и все! Я надеюсь, что это видео было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Часто задаваемые вопросы

Q

Какие примеры правильной дроби?

A

Правильная дробь — это дробь, не имеющая целой части и числитель которой меньше знаменателя. Некоторые примеры правильных дробей: \(\frac{1}{4}\),\(\frac{7}{9}\),\(\frac{12}{13}\),\(\frac{ 23}{25}\) и \(\frac{17}{76}\).

Q

Что такое правильная и неправильная дробь?

A

Правильная дробь — это дробь, не имеющая целой части и числитель которой меньше знаменателя. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, и она представляет собой число больше единицы.

Примеры правильных дробей: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{2}{5}\), \(\frac{ 13}{14}\), \(\frac{7}{11}\)

Примеры неправильных дробей: \(\frac{16}{11}\), \(\frac{12}{7}\ ), \(\frac{6}{4}\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{8}{3}\)

Q

Пример неправильной дроби?

A

\(\frac{17}{11}\) является примером неправильной дроби, поскольку ее числитель больше знаменателя, что означает, что она представляет собой значение больше единицы.

Q

Что такое пример смешанного числа?

A

Смешанное число — это число, состоящее из целой части числа и правильной дробной части. \(4\frac{1}{3}\) является примером смешанного числа, поскольку оно состоит из целой части \((4)\) и правильной дробной части \((\frac{1}{3} )\).

Q

Как превратить неправильную дробь в смешанное число?

A

Чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, подсчитайте, сколько раз знаменатель может вписаться в числитель, а затем сколько числителя осталось. Затем количество раз, когда знаменатель вписывается в числитель, становится целой частью смешанного числа, а оставшееся число является числителем дробной части исходного знаменателя.

пр. Преобразуйте \(\frac{17}{4}\) в смешанное число.
1) Сколько раз 4 может вписаться в 17? 4, потому что \(4×4=16\) – это становится целой частью числа
2) Сколько осталось в числителе? 1, потому что \(17-16=1\) – это становится числителем дробной части
3) \(\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}\)

Q

Как смешанное число превратить в неправильную дробь?

A

Чтобы превратить смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть числа на знаменатель и прибавьте числитель. Это становится новым числителем над исходным знаменателем.

пр. Преобразуйте \(3\frac{5}{7}\) в неправильную дробь.

\(3\frac{5}{7}=\frac{3\times7+5}{7}=\frac{21+5}{7}=\frac{26}{7}\)

Практические вопросы

Вопрос №1:

 
Какой список дробей содержит числа, все больше, чем одно целое?

\(\frac{5}{3},\frac{7}{5},\text{ и }\frac{2}{2}\)

\(\frac{3}{5}, \frac{7}{5},\text{ и }\frac{3}{2}\)

\(\frac{5}{3},\frac{7}{5},\text{ и }\frac{3}{2}\)

\(\frac{5}{5},\frac{7}{7},\text{ и }\frac{3}{3}\)

Показать ответ

Ответ:

правильный ответ: C: \(\frac{5}{3},\frac{7}{5},\text{ и }\frac{3}{2}\).

Если у дроби числитель больше знаменателя, общее значение больше одного целого. Такие дроби, как \(\frac{3}{3}, \frac{5}{5}, \text{ и }\frac{7}{7}\), равны одному целому. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, представляют значения, которые меньше одного целого. \(\frac{5}{3}, \frac{7}{5}, \text{ и }\frac{3}{2}\) — неправильные дроби, представляющие суммарные значения, превышающие одно целое.

Скрыть Ответ

Вопрос № 2:

 
Представьте смешанное число \(2\frac{1}{3}\) в виде неправильной дроби .

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{5}{3}\)

\(\frac{7}{3}\)

\(\frac{4 }{3}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: C: \(\frac{7}{3}\).

\(2\frac{1}{3}\) эквивалентно \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{ 1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\). Это представляет семь групп \(\frac{1}{3}\) или неправильную дробь, \(\frac{7}{3}\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
\(\frac{5}{3}\) эквивалентно какому смешанному числу?

\(1\frac{2}{3}\)

\(1\frac{3}{4}\)

\(2\frac{1}{3}\)

\(2 \frac{2}{3}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: A: \(1\frac{2}{3}\).

\(\frac{5}{3}\) можно рассматривать как \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac {1}{3}+\frac{1}{3}\). Мы можем объединить три группы \(\frac{1}{3}\), чтобы создать \(\frac{3}{3}\) или одно целое. Осталось еще две трети, поэтому наше смешанное число равно \(1\frac{2}{3}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Мистер Джонс заказывает дополнительные бутерброды для баскетбольной команды своего сына. Он заказывает восемь подводных блюд и просит, чтобы каждый из них был разрезан на три равные части. Если его сын съест два ломтика из одного кусочка, какая доля от общего количества еды останется?

\(\frac{7}{11}\)

\(\frac{11}{28}\)

\(\frac{11}{15}\)

\(\frac{ 11}{12}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: D: \(\frac{11}{12}\).

Восемь подложек, разрезанных на три части каждая, образуют двадцать четыре бутерброда меньшего размера. Сын мистера Джонса съедает два таких куска, или \(\frac{2}{24}\) от общего количества еды. Это означает, что осталось двадцать две части, или \(\frac{22}{24}\). Если числитель и знаменатель делятся на два, упрощенная дробь становится \(\frac{11}{12}\). \(\frac{11}{12}\) от общего количества еды еще осталось.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Кристина планирует выпивать \(\frac{1}{4}\) литра воды на каждую пройденную милю. Если она пробежит шесть миль, сколько воды она выпьет?

\(1\frac{1}{4}\) кварт воды

\(1\frac{1}{2}\) кварт воды

\(2\frac{1}{2}\ ) кварт воды

\(\frac{1}{2}\) кварт воды

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: B: \(1\frac{1}{2} \) литров воды.

Если Кристина выпивает \(\frac{1}{4}\) литра воды на каждую милю, она, по сути, выпивает \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac {1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\) кварт воды. Сумма этого списка дробей равна \(1\frac{2}{4}\) или, в простейшей форме, \(1\frac{1}{2}\).

Скрыть ответ

Вернуться к видео по основам арифметики

211077972516728606

обыкновенные и десятичные дроби — Студенты | Британика Кидс

Введение

Есть много способов получить сдачу за доллар: два полдоллара, четыре четверти, десять десятицентовиков, 20 пятицентовых монет или 100 пенни. Независимо от того, как производится сдача, доллар разбивается — «раскалывается» — на несколько частей. Эти части называются фракциями, от того же латинского слова ( fractus, означает «сломанный»), от которого происходит разлом.

Все дроби представляют собой части целого. Давно удобно и принято делить вещи на сегменты. Часы делятся на 60 минут каждый. Сутки делятся на 24 часа, а годы на 12 месяцев. Мили делятся на футы, а километры на метры. Каждый из этих сегментов может быть представлен в виде дроби. Один дюйм составляет одну двенадцатую часть или одну двенадцатую фута. Дроби очень полезны, потому что они делают возможными измерения не в целых числах, таких как 1, 2 или 5. Измерения с помощью дробей часто могут быть более точными: точнее сказать «четыре и одна десятая галлона», чем «немного более четырех галлонов».

Типы дробей

В повседневной математике есть два типа дробей: обыкновенные и десятичные. Единственная разница между ними заключается в том, как они написаны. Все дроби записываются с использованием тех же символов, которые используются для записи целых чисел, но символы используются по-другому. Простые дроби записываются как ⁴ / ₁₀ или ⁷ / ₁₀₀ : четыре больше десяти и семь больше ста. Одни и те же числа, представленные в виде десятичных дробей, будут 0,4 и 0,07. Обычно их читали как «четыре точки» и «ноль семь». Они выражают одинаковые суммы.

В обыкновенной дроби число под чертой является знаменателем, а число над чертой — числителем. При чтении обыкновенной дроби первым ставится числитель. Таким образом, ² / ₃ читается как две трети. Любое число, кроме нуля, может быть как знаменателем, так и числителем. В обыкновенной дроби выражается не только количество, но и отношение: отношение одной величины к другой. Например, дробь ¹ / ₂ выражает отношение один к двум: Отношение один к двум состоит в том, что один равен половине двух. Использование коэффициента довольно распространено. Когда пекарь делает пирог, он может использовать две чашки сахара на каждые три чашки муки: соотношение два к трем, и оно может быть выражено дробью, ² / ₃ .

Десятичные дроби называются так потому, что они основаны на десятичной или десятичной системе счисления (см. Системы счисления и числа). Иногда называемые просто «десятичными», все десятичные дроби состоят из одного или нескольких чисел, которым предшествует точка, называемая десятичной запятой: например, 0,4 читается как четыре десятых. Если справа от запятой стоит только одна цифра, дробь всегда читается как «десятые». При наличии двух цифр дробь читается как «сотые», а при наличии трех – как «тысячные». Другими словами, десятичные дроби следуют той же последовательности, что и целые числа, где первая цифра находится в столбце «десятки», вторая — в «сотнях» и так далее (см. Арифметика). Например, десятичная дробь 0,075 читается как «семьдесят пять тысячных», а дробь 0,3852 — как «три тысячи восемьсот пятьдесят две десятитысячных».

В обыкновенных дробях любое число может быть знаменателем. Но в десятичных дробях неписаный знаменатель всегда равен 10 или некоторой степени 10, такой как 100, 1000, 10000 и так далее. Это означает, что преобразовать десятичную дробь в обыкновенную просто, поставив правильный знаменатель под числом справа от десятичной точки. Таким образом, 0,85 становится обыкновенной дробью ⁸⁵ / ₁₀₀ .

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель. Таким образом, ³ / ₄ можно изменить на десятичное число 0,75. Однако не все обыкновенные дроби можно преобразовать в такие точные десятичные дроби: ² / ₃ , поскольку десятичная дробь представляет собой бесконечный ряд шестерок справа от запятой.

Обыкновенные дроби.

Обыкновенные дроби бывают четырех видов: правильные, неправильные, смешанные и сложные. У правильной дроби числитель меньше знаменателя, например ³ / ₄ . Поэтому значение правильной дроби всегда меньше единицы. В неправильных дробях числитель больше или равен знаменателю, как ⁴ / ₄ или ⁶ / ₅ . Таким образом, все неправильные дроби равны или больше единицы.

Смешанная дробь, также называемая смешанным числом, состоит из целого числа и дроби, например 2 ¹ / ₃ . Любую смешанную дробь можно превратить в неправильную, умножив целое число на знаменатель, прибавив результат к числителю и поместив сумму над исходным знаменателем. Таким образом 2 ¹ / ₃ можно заменить на ⁷ / ₃ .

Сложные дроби, используемые в высшей математике, не состоят из натуральных чисел. Например, квадратный корень из двух на квадратный корень из пяти считается сложной дробью:

Точно так же использование смешанных дробей как для числителя, так и для знаменателя создаст сложную дробь:

Десятичные дроби .

Смешанные десятичные числа, известные как смешанные десятичные числа, возникают, если число содержит цифры как слева, так и справа от десятичной точки. Примером может служить число 2,38: оно читается как «две и тридцать восемь сотых». Слово «и» используется только там, где стоит десятичная точка, чтобы отделить целое число от десятичной дроби. Во избежание путаницы при чтении десятичных дробей обычно говорят «точка» вместо «и». Число 2,38 будет читаться как «два целых три десятых восемь».

Неправильных десятичных дробей быть не может, потому что ни один числитель (десятичное число) никогда не может превышать понимаемый знаменатель (десятые, сотые и т. д.). Все, что больше десятичной дроби, будет смешанным или целым числом. Также было бы невозможно выразить сложную дробь в виде десятичной с какой-либо точностью.

Вычисления с десятичными дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить так же, как и целые числа. Эти операции легче выполнять с десятичными дробями, потому что процедуры очень похожи на использование целых чисел. Разница заключается в запоминании правильного размещения десятичной точки. Необходимо также отметить, что при сложении или вычитании каждое из чисел должно иметь одинаковое количество знаков после запятой. Чтобы добавить или вычесть нечетные десятичные дроби, возможно, придется добавить нули к одному из чисел. Например, чтобы прибавить 3,68 к 7,5, необходимо поставить ноль в конце второго десятичного знака, чтобы получилось 7,50. А при сложении или вычитании десятичные запятые всегда должны стоять в прямой колонке. Для выполнения этого сложения цифры должны быть записаны так:

Те же принципы применяются при вычитании десятичных дробей, и операция идентична вычитанию целых чисел, за исключением наличия десятичной точки. Если бы вышеупомянутую задачу нужно было решить как вычитание, она выглядела бы точно так же; только результат будет другим:

Обратите внимание, что ноль должен быть помещен в конце 7,5, чтобы было из чего вычесть 8.

Умножать десятичные дроби не сложнее, чем целые числа, за исключением того, что нужно помнить о правильном расположении десятичной точки. Основное отличие от сложения и вычитания состоит в том, что для заполнения десятичной дроби не нужно добавлять нули. Это связано с тем, что добавление нулей может привести к путанице в расположении десятичной точки.

Существуют определенные правила умножения с десятичными дробями, которые помогают правильно расставить запятую.

Правило 1. Если десятичная дробь умножается на целое число, количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в умножаемом числе.

Задача умножения десятичных шестидесятых (0,6) на четыре (4) выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что десятичная точка ставится перед 4 в произведении, потому что в произведении был только один десятичный знак. число умножается (0,6).

Правило 2. Если целое число умножается на десятичную, количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в множителе. (Обратите внимание, что это противоположно правилу 1, но принцип тот же самый.) Чтобы умножить 32 на 2,5, задача ставится следующим образом:

Еще раз обратите внимание на размещение десятичной дроби. В множителе (2,5) был только один десятичный знак, поэтому в произведении (80,0) появляется только один. Однако в этом случае десятичную дробь можно исключить, поскольку 80 — это целое число. Если бы множитель был равен 2,6, произведение было бы 83,2, смешанное десятичное число, и десятичная точка была бы сохранена.

Правило 3. При умножении десятичной дроби на десятичную дробь количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в множителе плюс количество знаков после запятой в умножаемом числе. Если множитель и число, умноженные вместе, имеют в общей сложности четыре знака после запятой, в произведении будет четыре знака после запятой. (Любые нули в конце можно, конечно, исключить.) Задача умножения 0,56 на 0,44 ставится следующим образом:

Сумма показывает четыре десятичных знака, потому что множитель и число, умноженные вместе, имеют четыре десятичных знака. При умножении смешанных десятичных дробей применяется тот же принцип. Произведение 33,5 × 6,055 равно 202,8425 с четырьмя знаками после запятой.

Процесс деления десятичных дробей такой же, как и целых чисел, но необходимо особенно внимательно относиться к расстановке десятичной точки. При делении следует помнить один главный момент: положение запятой в ответе определяется положением запятой в делимом числе. Как и в умножении, здесь могут помочь определенные правила.

Правило 1. Если десятичная дробь делится на целое число, количество знаков после запятой в ответе равно количеству знаков после запятой в делимом десятичном числе.

Таким образом, если 0,06 разделить на 2, ответ будет 0,03.

Правило 2. При делении целого числа на десятичную дробь необходимо сначала преобразовать десятичную дробь в целое, переместив запятую вправо. Затем десятичная точка в делимом числе должна быть перемещена на такое же количество знаков вправо и при необходимости добавлены нули. Затем десятичная точка в ответе ставится непосредственно над десятичной точкой в ​​делимом числе:

Правило 3. При делении десятичного числа на десятичное число снова преобразуется в целое число, при этом десятичная точка в числе делится, а десятичная точка в ответе перемещается соответственно. Следовательно, ответ, полученный при делении 6,816 на 2,13, равен 3,2 с одним десятичным знаком, полученным по этому правилу.

Вычисления с обыкновенными дробями

Эта процедура несколько сложнее, чем с десятичными дробями. Но его можно упростить, если не забыть сделать так, чтобы все дроби имели одинаковый знаменатель. Это легко сделать, потому что деление или умножение обоих членов дроби на одно и то же число не меняет его значения. Поэтому добавить ² / ₃ и ³ / ₄ , необходимо найти общий знаменатель. В данном случае это 12. Задача принимает вид ⁸ / ₁₂  +  ⁹ / ₁₂ . Результат находится путем сложения числителей (8 + 9), чтобы получить ¹⁷ / ₁₂ . Этот ответ можно изменить на смешанную дробь или десятичную.

Процесс вычитания аналогичен. Найдите общий знаменатель, затем вычтите один числитель из другого:

При работе со смешанными фракциями, такими как 2 ¹ / ₃ +3 ³ / ₄ , измените их на неподготовленные фракции:

Важно: 43 выглядит как дробь, но на самом деле это неправильная дробь.

Существует бесконечное количество эквивалентных дробей до 43.

Чтобы найти эквивалентную дробь до 43, или любой другой дроби, нужно просто умножить (или разделить, если дробь еще не уменьшена) оба числителя а знаменатель данной дроби на любое ненулевое натуральное число. Например:

Умножая исходную дробь на 2, мы получаем:

4 × 2 3 × 2 = 86

Вот полный список эквивалентных дробей до 43.

43, 86, 129, 1612, 2015, 2418, 2821, 3224, 3627, 4030, 4433, 4836, 5239, 5642, 6045, 6448, 6851, 7254, 7657, 8060. ..

Подробнее о том, как найти 4 эквивалентные дроби /3 или любую другую дробь, указанную ниже на этой странице.

Упрощенный список для копирования и вставки:

4/3, 8/6, 12/9, 16/12, 20/15, 24/18, 28/21, 32/24, 36/27, 40/30, 44/33, 48/36, 52/39, 56/42, 60/45, 64/48, 68/51, 72/54, 76/57, 80/60…