Линейные уравнения с параметрами (7 класс)
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Линейные уравнения с параметрами (7класс)
2. Линейное уравнение
Уравнение вида ах = в, где а и в – числа, хпеременная, называется линейным.ах = в
а=0
в=0
в≠0
0∙х=0
0∙х=в
х – любое
число
уравнение
не имеет
корней
а≠0
в=0
в≠0
х=0
уравнение
уравнение
имеет один имеет один
корень
корень
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение
Примеры:
23 x = 10 – n
1)
2)
3)
4) 23 x = 10 — n
23 и 10 – числа,
х – неизвестное
число,
n – выполняет роль
известного числа.
n – называют параметром,
уравнение – уравнение с параметром.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение с параметром
I
II
Уравнение ах = 2а+8 с параметром а.
Напишите уравнение, которое получится
при
1) а =10, 2) а = -3, 3) а = 0.
Дано уравнение ах = 5х+4.
Найти множество корней уравнения в
случае, если
1) а =5, 2) а ≠ 5.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение с параметром
III
При каких значениях параметра а
уравнение ах +7 = 1+2а
a) имеет единственный корень;
b) имеет бесконечное множество корней;
c) не имеет корней?
Проверь себя:
Если а≠0, то ах =2а – 6
— единственный корень.
Если а=0, то 0∙х +7=1+0
0∙х = -6
— корней нет.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение с параметром
IV
Решите уравнение (b-3)x=10(2b+x) с
параметром b.
Решение:
Случаи:
(b-3) x = 20b +10x
(b-13) x =20b
b-13≠0
если b-13≠0,
то b≠13 и
если b-13=0, то
b=13 и 0∙x=260
уравнение корней
не имеет
единственный
корень
Ответ: 1) если b=13, то корней нет,
2) если b≠13, то уравнение имеет единственный корень
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
нет решения
.
Линейное уравнение с параметром
Вывод:
Решить уравнение с параметром b –
это значит установить соответствие, с
помощью которого для каждого
значения параметра b указывается
множество корней данного уравнения.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение с параметром
Решите уравнение с параметром а
2) (1+а) х=2а+1+а2
3) ах – 3 = х +3а
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Линейное уравнение с параметром
Д/З Решить уравнения
1) aх = 7a-3
2) 5b (b-1) x = 2
3) 2ax – a =16
4) n(x-1) = n+1
5)
*
a (a-1) x = a2+a – 2
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
English Русский Правила
Публикация. 7 класс алгебра «Линейное уравнение с одной переменной». Румянцева Юлия Изосимовна
7 класс алгебра «Линейное уравнение с одной переменной»
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: 7 класс алгебра «Линейное уравнение с одной переменной»
Автор: Румянцева Юлия Изосимовна
Тема: Линейное уравнение с одной переменной.
Цель урока:
Знать определение линейного уравнения с одной переменной.
2. Знать условия о количестве корней линейного уравнения с одной переменной.
3. Уметь решать линейные уравнения с одной переменной.
План урока:
1.Оргмомент (1 мин.)
2. Решение сложных задач. (10 мин.)
3. Устные упражнения: (6мин)
4. Объяснение новой темы.(12мин.)
5.Самостоятельная работа.(12мин.)
6. Домашняя работа.(2мин.)
7. Итог урока.(2 мин.)
Ход урока.
Оргмомент.
Приветствие. На экране слайд №1.
Решение сложных задач.
№1. Ваня и Витя стреляли по мишеням, причём Витя сделал на 15% выстрелов больше, чем Ваня, но и процент попаданий у Вани оказался на 6 больше. В итоге, выяснилось, что они поразили одинаковое количество мишеней. Сколько процентов выстрелов каждого из них попало в цель?
№2. Даны три различные, отличные от нуля цифры. Из них составляются всевозможные трёхзначные числа. Докажите, что их сумма делится на 37?
Решение задачи №1:
Ваня : х выстрелов (у+6)% попаданий
Витя : 1,15х выстрелов у% попаданий
1) х выстрелов — 100%
? выстрелов попаданий — (у+6)%
2) 1,15х выстрелов — 100%
? выстрелов попаданий — у%
Зная, что они поразили одинаковое количество мишеней, составим и решим уравнение:
= (Обе части уравнения умножим на 100 и разделим на x, x≠0)
У+6 = 1,15у
0, 15у = 6
У = 40
40% попаданий у Вити.
46% попаданий у Вани.
Ответ: 40%, 4
Решение задачи №2:
++ bac=200a+20a+2a+200b+20b+2b+200c+20c+2c=222(a+b+c)=637(a+b+c) делится на 37.
ч.т.д.
3.Устные упражнения.
На экране слайд №2
На экране слайд №3.
4. Объяснение новой темы
Учитель: В Московском музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина хранится древнеегипетский папирус созданный около 2000г. до нашей эры. Он получил название Московский папирус. На этом папирусе есть задача которая сводится к уравнению
Такие уравнения решали за 2000 лет до нашей эры в Вавилоне, в Индии, в Китае.
Такие уравнения имеют общий вид:
ax=b
Такого вида уравнения называются линейными уравнениями с одной переменной.
Учитель: Попробуйте сформулировать определение линейного уравнения.
Ученик: Определение: Уравнение вида ax=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называются линейным уравнением с одной переменной.
Учитель: В уравнении ax=b число а называют коэффициентом, b свободным членом.
Теперь выясним, сколько корней может иметь уравнение ax=b.
Для этого приведите примеры линейных уравнений с одной переменной, чтобы количество корней было разное.
Ученики: 2x=5
x=2,5
Уравнение имеет один корень.
0x=-6
Уравнение не имеет решения.
0x=0
x-любое
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
На экране слайд №
Учитель: В уравнениях, когда кроме переменной есть ещё буква, то уравнение называется уравнением с параметром. Рассмотрим решение линейных уравнений с параметром(на доске приготовлены уравнения).
а) ах=3
Если а =0, то 0х=3
х — любое.
Если а≠ 0, то ах=3
х=
Ответ: Если а =0, то
5. Самостоятельная работа
1 вариант
1.Решить уравнение:
2,6(3х-6)=5,2(х-3)+2,6х
2.При каком значении у значения выражений 11,6у-14,5 и 14,5(у+6) совпадают?
3. При каком значении параметра р уравнение
(3р-5)х=2р+6 имеет корень х=3?
4.Решите уравнение для всех значений параметра а
2ах=3+а
2 вариант
1.
Решить уравнение:
3,4(3х-1)=6,8(х+3)+3,4х
2.При каком значении а значения выражений 4(а-3) и 2а+6 совпадают?
3.При каком значении параметра а уравнение (3а+1)х=2а+8 имеет корень х=5?
4.Решите уравнение для всех значений параметра а
(2-а)х=а
1 вариант
1.Решить уравнение:
2,6(3х-6)=5,2(х-3)+2,6х
2.При каком значении у значения выражений 11,6у-14,5 и 14,5(у+6) совпадают?
3. При каком значении параметра р уравнение
(3р-5)х=2р+6 имеет корень х=3?
4.Решите уравнение для всех значений параметра а
2ах=3+а
2 вариант
1.Решить уравнение:
3,4(3х-1)=6,8(х+3)+3,4х
2.При каком значении а значения выражений 4(а-3) и 2а+6 совпадают?
3.При каком значении параметра а уравнение (3а+1)х=2а+8 имеет корень х=5?
4.Решите уравнение для всех значений параметра а
(2-а)х=а
6.Домашняя работа
1.Задача И.Ньютона.
Трава на всем лугу растёт одинаково быстро и густо. Известно, 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней.
Сколько должно быть коров, чтобы вся трава на лугу была съедена.
2. Докажите, что при любых целых m, n делиться на 8 выражение:
(m+2n-1)(m+2n+9)-(m-2n+1)(m-2n-9)
№ №537(б,д),540(б,д)
7. Итог урока
Математика 7 класс Математика | GreatSchools.org
Ваш ребенок все знает? Многие семиклассники, кажется, думают, что да. Но когда дело доходит до математики, это может начать казаться правдой. Семиклассники углубляются в работу с отрицательными числами. Это одна из самых важных и сложных задач года. Но это того стоит, говорит Райан Редд, преподающий математику в средней школе Roland-Grise в Уилмингтоне, Северная Каролина. «Учащиеся будут использовать свои знания о положительных и отрицательных числах на протяжении всего обучения математике».
Вот 9 основных навыков, которые ваш ребенок должен освоить в 7-м классе по математике:
- Работа с отрицательными числами.
- Понимание пропорциональных отношений и их использование для определения ставок и удельных ставок; используйте таблицы и графики, чтобы проверить, пропорциональны ли различные величины.
- Используйте четыре операции (+, -, x, ÷) над десятичными дробями, дробями и процентами в различных типах задач.
- Решите алгебраические уравнения и неравенства хотя бы с одной переменной (неизвестное число).
- Плавно преобразовывайте десятичные дроби в дроби (и наоборот) и размещайте их в числовой строке.
- Используйте масштабные чертежи и формулы для решения реальных задач, связанных с площадью, объемом и площадью поверхности двух- и трехмерных фигур.
- Знать формулы площади и длины окружности.
- Понимать случайную выборку и использовать данные, чтобы делать общие выводы о двух популяциях.
- Разработка и оценка вероятностных моделей.
Отрицательные числа
Дети учатся понимать, что число и его противоположность, например 7 и -7, являются «аддитивными обратными», что означает, что при сложении их сумма равна 0.
В уравнениях учащиеся узнайте, что такое выражение, как p + q, представляет число на числовой прямой, и это число может занимать как положительное, так и отрицательное положение.
Точно так же дети должны понимать, что вычитание числа — это то же самое, что сложение обратного сложения (отрицательное число).
Например: а – b = а + -b.
Когда дело доходит до умножения, учащиеся изучают числовые закономерности, возникающие при использовании отрицательных чисел. А именно, когда вы умножаете одно положительное число и одно отрицательное число, произведение будет отрицательным. Но при умножении двух отрицательных чисел произведение положительное.
Например: 2 x -2 = -4 и -2 x -2 = 4.
Смотрите: вот что семиклассники должны понимать при работе с отрицательными числами в уравнениях и использовании числовой прямой.
Соблюдайте пропорции
Семиклассники учатся использовать соотношения, включающие сложные дроби, для решения задач на пропорции и соотношения.
Например: если Джексон съедает 1,2 пирога за ⅕ часа, какова его скорость поедания пирогов? Ответ шесть пирогов в час.
Большой новый навык в этом году — научиться определять, пропорциональны ли две величины, используя таблицы, уравнения и графически на координатной плоскости.
Пример уравнения: если две футболки стоят в общей сложности 9 долларов СШАи восемь футболок стоят 36 долларов США, уравнение, представляющее стоимость и количество товаров для обоих сценариев, может быть записано как t=pn или общее количество = цена x количество. Когда вы подставляете эти значения, ставка для одной футболки одинакова, показывая, что это соотношение пропорционально.
2 x T = 9, поэтому одна рубашка стоит 4,50 доллара.
8 x T = 36, поэтому одна футболка стоит 4,50 доллара.
Если на графике изображена прямая линия, проходящая через центр или точку «0,0» координатной плоскости, то величины пропорциональны.
Алгебра: уравнения и неравенства
Что такое алгебра? Это может помочь:
Алгебра : Решение алгебраических уравнений (например, 35 = –2,5 – 3,5x) и неравенств (например, 10 – x > 11 – x) по крайней мере с одной переменной (неизвестное число).
Вы также услышите термин выражение , которое похоже на уравнение, но без знака равенства и ответа. Это числовая фраза, представляющая количество, например 3x -2. Что сделало бы это уравнением? 3x –2 = 13,
В седьмом классе учащиеся работают только с выражениями, уравнениями и неравенствами с одной переменной.
Семиклассники узнают, что переписывание выражения в другой форме может упростить задачу.
Например: 0,05a+a можно записать как 1,05a, что означает «увеличение на 5%» или «умножение на 1,05».
В этом году решение многошаговых задач немного усложнилось, потому что в задачах используются отрицательные числа, дроби, десятичные дроби, проценты и коэффициенты, а для решения может потребоваться графическое отображение точек данных. Решения также могут быть неравенствами, а не иметь один отчетливый ответ.
Например: Стив — продавец обуви, которому платят 500 долларов в неделю плюс 4,50 доллара за каждую пару обуви, которую он продает.
Он хочет заработать столько, сколько ему нужно, чтобы заплатить 1700 долларов за аренду на этой неделе, и у него уже есть 60% сбережений. Сколько пар обуви Стив должен продать на этой неделе?
Объем, площадь поверхности и окружность
Семиклассники работают со все более сложными формами. Они используют и рисуют масштабные рисунки различных форм, чтобы найти площадь и объем, понять атрибуты, такие как углы, и увидеть, как разбивать фигуры на части, чтобы лучше их измерять. Ваш ребенок может «развернуть» трехмерную фигуру, такую как пирамида, в двумерную фигуру странной формы, которую затем ваш ребенок должен будет измерить и описать по ее атрибутам. С помощью этих упражнений ваш семиклассник освоится с линейками, транспортирами и может даже использовать технические инструменты, такие как программное обеспечение для рисования в масштабе.
Геометрия также выглядит как звезда. Вашему ребенку необходимо запомнить формулы нахождения площади и длины окружности (A = πr 2 и C = 2πr соответственно).
Также ожидается, что она будет универсальной с дополнительными, дополнительными, вертикальными и смежными углами при поиске неизвестного угла в треугольнике, прямой призме или другом многоугольнике. Это будет необходимо при решении реальных задач, связанных с треугольниками, четырехугольниками, многоугольниками, кубами и прямыми призмами.
Какова вероятность?
Ваш учитель математики в седьмом классе бесконечно подбрасывал монеты и записывал результаты? Если это так, то это одна из областей математики в седьмом классе, которая может показаться знакомой. Ожидается, что в этом году ваш ребенок изучит основы вероятности, в том числе поймет идею случайной выборки и использует эти данные для создания «репрезентативной выборки».
Например: Чтобы предсказать, кто победит на предстоящих школьных выборах, дети могут собрать случайно выбранные данные опроса и, основываясь на размере выборки и результатах опроса, предсказать, кто победит.
Также ожидается, что они будут сравнивать данные, чтобы делать выводы о двух популяциях.
Например: Учащиеся могут измерить рост всех детей из футбольной команды и всех детей из теннисной команды и нанести эти точки данных на график, чтобы увидеть сходства и различия между двумя командами.
Наконец, в седьмом классе по математике дети научатся разрабатывать, использовать и оценивать вероятностные модели. Благодаря этому навыку ваш ребенок может предсказывать всевозможные важные события в своей жизни. Выиграет ли их любимая баскетбольная команда плей-офф? Она может рассчитать вероятность самостоятельно. Станет ли его любимый певец платиновым? Он может придумать вероятность, основываясь на текущих цифрах продаж.
Послушайте, что говорит отмеченный наградами учитель математики в средней школе, это главное, что должны знать семиклассники, перейдя в восьмой класс.
Связанный: 10 советов по развитию математических навыков в 7-м классе
Обучение семиклассников свойствам чисел
Опубликовано
Вы бы предпочли послушать урок? |
Свойства действительных чисел — это один из первых уроков, которые учащиеся изучают в начальной алгебре в 7-м классе.
Используя свойства чисел, семиклассники готовы легко упрощать выражения и решать линейные уравнения.
Чтобы помочь учащимся освоить свойства действительных чисел, учителя математики могут воспользоваться рядом советов. Читайте дальше, чтобы узнать больше о таких советах, которые гарантированно будут поддерживать интерес ваших учеников на протяжении всего урока!
Что такое свойства чисел (7 класс)?
Для начала объясните детям, как мы определяем свойства действительных чисел. Свойства действительных чисел — это просто «законы» чисел, применимые к определенным математическим операциям. Укажите, что существует четыре основных свойства:
- Коммутативный
- Ассоциативный
- Личность
- Распределительный
Обязательно подчеркните, что эти свойства применяются не ко всем операциям, а только при сложении или умножении чисел. Другими словами, свойства действительных чисел не работают для деления или вычитания.
Вы можете проиллюстрировать это позже на примерах по мере изучения каждого свойства.
Как преподавать свойства чисел (7-й класс)
После краткого введения вы можете представить обзор каждого свойства по отдельности, а также примеры его использования. Вы также можете использовать видео для проведения этого урока в своем классе, например, это забавное видео, в котором «Матемаг» показывает свойства действительных чисел с помощью магических математических трюков.
Свойство перестановочности
Сложение
Свойство перестановочности гласит, что мы можем изменить порядок складываемых чисел, но это не повлияет на ответ. То есть мы можем поменять местами числа, но сумма останется прежней. Мы можем представить это следующим образом:
a + b = b + a
Приведите несколько примеров, например:
3 + 2 = 2 + 3 = 5
4 + 5 = 5 + 4 = 9 с помощью мрамора. Принесите в класс несколько шариков и
разделите их между двумя группами учащихся: у первой группы должно быть четыре шарика, а у второй — пять шариков.
Пусть дети визуализируют свойство коммутативности, меняя местами группы и подсчитывая сумму шариков, которая остается неизменной, даже когда группы меняются местами.
Умножение
Свойство коммутативности справедливо и для умножения, утверждая, что мы можем поменять местами умножаемые числа без изменения произведения. То есть независимо от порядка умножения чисел произведение остается одним и тем же.
Мы можем представить это следующим образом:
a x b = b x a
Приведите несколько примеров, например:
4 x 2 = 2 x 4 = 8
3 x 5 = 5 x 3 = 15
Вычитание и деление
Наконец, напомните детям, что свойство коммутативности не работает, когда мы делим или вычитаем числа. Продемонстрируйте это на нескольких примерах, например:
20 ÷ 4 = 5
Но:
4 ÷ 20 = 0,2
5 – 1 = 4
Но:
1 – 90 4 Ассоциативный Свойство
Дополнение
Объясните, что ассоциативное свойство относится к группировке чисел, то есть к тому, какое из них мы вычисляем первым.
В нем говорится, что при добавлении трех или более чисел мы можем изменить способ группировки этих чисел, но это не повлияет на сумму. Мы можем представить это так:
(a + b) + c = a + (b + c)
Приведите пример, например:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10
Умножение
Добавим, что свойство ассоциативности применимо и к умножению. В нем говорится, что когда мы умножаем три или более чисел, мы можем изменить группировку умножаемых чисел, но это не повлияет на произведение. Мы можем представить это так:
(a × b) × c = a × (b × c)
Приведите пример, например:
(2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) = 30
Вычитание и деление
Как и в случае с коммутативным свойством, ассоциативное свойство не работает для вычитания или деления. Продемонстрируйте это на примере, например:
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1
Но:
8 ÷ (4 ÷ 2) = 4
Свойство идентичности
Дополнение
Объясните, что свойство идентичности утверждает что для любого числа а сумма 0 и числа а есть само число.
То есть, при добавлении любого действительного числа к нулю сумма будет равна самому числу. Мы можем представить это свойство для сложения следующим образом:
a + 0 = a
0 + a = a
Приведите несколько примеров, демонстрирующих, как это работает, например:
– 4 + 0 = – 4
А также:
0 + (-4 ) = – 4
3 + 0 = 3
А также:
0 + 3 = 3
Умножение
Добавим, что свойство идентичности также работает для умножения. То есть свойство идентичности утверждает, что для любого числа а произведение 1 и числа а является самим числом. Мы можем представить это следующим образом:
a x 1 = a
Приведите несколько примеров, например:
7 x 1 = 7
– 23 x 1 = – 23 заданное выражение. Это свойство гласит, что если мы сложим два или более числа и умножим эту сумму на внешнее число, результат будет таким же, если мы умножим каждое число в скобках на внешнее число, а затем сложим произведения.
Мы можем представить это следующим образом:
a x (b + c) = a x b + a x c
Приведите пример, например:
3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5 = 27
Упражнения для отработки свойств чисел (7-й класс)
Групповая работа
Используйте это простое задание в конце урока, чтобы закрепить знания учащихся о свойствах действительных чисел.
Чтобы подготовиться к этому упражнению, просто распечатайте этот рабочий лист. Убедитесь, что вы сделали достаточное количество копий для каждого учащегося.
Рабочий лист содержит упражнения с уравнениями, в которых детей просят оценить выражение, а затем определить тип свойства, используемого в каждом уравнении. Написание и оценка выражений — это то, чем дети уже должны овладеть, но вы можете освежить их навыки, обратившись к этой статье.
Разделите детей на группы по 3-4 человека. Раздайте рабочие листы и дайте инструкции. Все члены данной группы работают вместе, чтобы решить упражнения. В конце каждая группа представляет свои ответы перед классом.
Если осталось время, вы также можете использовать этот лист заданий, в котором основное внимание уделяется решению математических задач с применением распределительного свойства чисел. Поскольку эти упражнения являются более сложными, вы можете оставить их на конец, чтобы бросить вызов учащимся. Родители, занимающиеся домашним обучением своих детей, могут легко превратить это занятие в индивидуальное занятие.