81 в степени 1 4: Mathway | Популярные задачи

Установите соответствие между выражениями и их значениями:

В двух выражениях избавьтесь от корней четвёртой степени, а затем воспользуйтесь формулами квадрата суммы и квадрат разности, в третьем примере избавьтесь от корня четвёртой степени и выполните действия сложения и вычитания.

Закупки: Оргтехника и периферия в Республике Башкортостан

Позиция	Кол-во	Ед. изм.	Цена	Сумма	Доля
1. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	409,2	м2	44,04 ₽	18 021,17 ₽	0,06%
2. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. 50-летия октября, 13/1)	54859,2	м2	51,38 ₽	2 818 665,70 ₽	8,89%
3. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.дюртюли, ул.ленина, 1/4)	3543,1	м2	26,81 ₽	94 990,51 ₽	0,30%
4. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.кушнаренково, ул.садовая, 19)	380,6	м2	26,81 ₽	10 203,89 ₽	0,03%
5. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.верхнеяркеево, ул.пушкина, 17/1)	281,6	м2	26,81 ₽	7 549,70 ₽	0,02%
6. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.чекмагуш, ул.мира, 25)	293,7	м2	26,81 ₽	7 874,10 ₽	0,02%
7. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа,ул. российская 72/2)	51560,3	м2	51,38 ₽	2 649 168,21 ₽	8,36%
8. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (дуванский район, с месягутово, пер. октябрьский, д. 7/1)	4194,3	м2	26,81 ₽	112 449,18 ₽	0,35%
9. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (салаватский район, с. малояз, ул. советская, д. 61)	379,5	м2	26,81 ₽	10 174,40 ₽	0,03%
10. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (кигинский район, с. верхние киги, ул. салавата, 1)	182,6	м2	26,80 ₽	4 893,68 ₽	0,02%
11. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (мечетлинский район, с. большеустикинское, ул. трактовая, д. 11а)	330	м2	26,81 ₽	8 847,30 ₽	0,03%
12. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (белокатайский район, с. новобелокатай, ул. советская, д. 126)	267,3	м2	26,80 ₽	7 163,64 ₽	0,02%
13. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.стерлитамак, пр.октября, 34)	55236,5	м2	40,21 ₽	2 221 059,67 ₽	7,01%
14. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.стерлитамак, ул худайбердина, д. 100б)	1674,2	м2	34,46 ₽	57 692,93 ₽	0,18%
15. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (аургазинский район, с.толбазы, ул.химиков, 3)	231	м2	26,80 ₽	6 190,80 ₽	0,02%
16. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (стерлибашевский район, с.стерлибашево, ул.карла маркса, 97)	482,9	м2	26,81 ₽	12 946,55 ₽	0,04%
17. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (гафурийский район, с.красноусольский, ул.октябрьская, 2а)	173,8	м2	26,81 ₽	4 659,58 ₽	0,01%
18. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.белорецк ул. кирова, 48 пом.1)	30550,3	м2	31,28 ₽	955 613,38 ₽	3,01%
19. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. учалы, ул.к.маркса, 1)	665,5	м2	26,81 ₽	17 842,06 ₽	0,06%
20. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (зато г.межгорье, ул.победы, 60)	239,8	м2	26,81 ₽	6 429,04 ₽	0,02%
21. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.старосубхангулово, бурзянский р-он, ул.салавата, 30)	178,2	м2	26,80 ₽	4 775,76 ₽	0,02%
22. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.ишимбай, стахановская, 65)	53455,6	м2	31,28 ₽	1 672 091,17 ₽	5,27%
23. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.ишимбай, стахановская, 65)	2620,2	м2	26,81 ₽	70 247,56 ₽	0,22%
24. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.салават, ленина, 11)	17010,4	м2	31,28 ₽	532 085,31 ₽	1,68%
25. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.мелеуз, смоленская, 108)	1772,1	м2	31,28 ₽	55 431,29 ₽	0,17%
26. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.мелеуз, смоленская, 108)	346,5	м2	26,81 ₽	9 289,67 ₽	0,03%
27. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.кумертау, к.маркса, 4а)	3274,7	м2	31,28 ₽	102 432,62 ₽	0,32%
28. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.кумертау, к.маркса, 4а)	536,8	м2	26,81 ₽	14 391,61 ₽	0,05%
29. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.фёдоровка, ленина, 44)	356,4	м2	26,81 ₽	9 555,08 ₽	0,03%
30. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.мраково, з.биишевой, 78а)	347,6	м2	26,81 ₽	9 319,16 ₽	0,03%
31. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.исянгулово, пер. блюхера, 7)	524,7	м2	26,81 ₽	14 067,21 ₽	0,04%
32. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.туймазы, ул. мусы джалиля, 13)	22695,2	м2	31,28 ₽	709 905,86 ₽	2,24%
33. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. туймазы, ул. мусы джалиля, 13а, 13/1, 13/2, 13/3, 13/4, 13/5)	2038,3	м2	26,81 ₽	54 646,82 ₽	0,17%
34. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. октябрьский, ул. садовое кольцо, 26)	2700,5	м2	40,21 ₽	108 587,11 ₽	0,34%
35. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. белебей, ул. коммунистическая, 35)	1515,8	м2	31,28 ₽	47 414,22 ₽	0,15%
36. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (ермекеевский район, с. ермекеево, ул. ленина, 20)	226,6	м2	26,80 ₽	6 072,88 ₽	0,02%
37. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (бижбулякский район, с.бижбуляк, ул.победы, 13)	234,3	м2	26,81 ₽	6 281,58 ₽	0,02%
38. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (миякинский район, с. киргиз-мияки, ул. губайдуллина, 116а)	207,9	м2	26,81 ₽	5 573,80 ₽	0,02%
39. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (шаранский район, с. шаран, ул. свердлова, 1)	167,2	м2	26,82 ₽	4 484,30 ₽	0,01%
40. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (бакалинский район, с. бакалы, ул. ленина, 117)	430,1	м2	26,81 ₽	11 530,98 ₽	0,04%
41. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.нефтекамск, ул.строителей, 19)	29360,1	м2	40,21 ₽	1 180 569,62 ₽	3,72%
42. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.нефтекамск, ул.строителей, 19)	2271,5	м2	26,81 ₽	60 898,92 ₽	0,19%
43. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.янаул, ул.азина, 19)	187	м2	26,80 ₽	5 011,60 ₽	0,02%
44. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.агидель, ул.карла маркса, 63)	224,4	м2	26,81 ₽	6 016,16 ₽	0,02%
45. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.верхние татышлы, ул.ленина, 59)	163,9	м2	26,81 ₽	4 394,16 ₽	0,01%
46. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.старобалтачево, ул.советская, 28)	323,4	м2	31,28 ₽	10 115,95 ₽	0,03%
47. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.бураево, ул.горького, 53)	174,9	м2	31,28 ₽	5 470,87 ₽	0,02%
48. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.калтасы, ул.карла маркса, 63)	358,6	м2	31,28 ₽	11 217,01 ₽	0,04%
49. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. левитана,14/4)	825	м2	51,38 ₽	42 388,50 ₽	0,13%
50. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул.аксакова, 62)	7690,1	м2	51,38 ₽	395 117,34 ₽	1,25%
51. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (архангельский район, с. архангельское, ул. советская, 35)	170,5	м2	26,80 ₽	4 569,40 ₽	0,01%
52. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (благоварский район, с. языково, ул. ленина, 10)	310,2	м2	26,81 ₽	8 316,46 ₽	0,03%
53. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан ( буздякский район, с. буздяк, ул. красноармейская, 27)	424,6	м2	26,81 ₽	11 383,53 ₽	0,04%
54. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (кармаскалинский район, с. кармаскалы, ул. худайбердина, 10)	366,3	м2	26,81 ₽	9 820,50 ₽	0,03%
55. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (чишминский район, р. п. чишмы, ул. чернышевского, 1)	984,5	м2	26,81 ₽	26 394,45 ₽	0,08%
56. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (республика башкортостан, г. уфа, ул. ульяновых, 18)	37481,4	м2	51,38 ₽	1 925 794,33 ₽	6,07%
57. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.давлеканово, ул. победы, 5)	1228,7	м2	26,81 ₽	32 941,45 ₽	0,10%
58. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (альшеевский район, с.раевский ул.селькора,7)	339,9	м2	26,80 ₽	9 109,32 ₽	0,03%
59. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (нуримановский район, с. красная горка ул.советская,60)	598,4	м2	26,81 ₽	16 043,10 ₽	0,05%
60. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (иглинский район, с.иглино ул.ленина,97)	577,5	м2	26,81 ₽	15 482,78 ₽	0,05%
61. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2)	20550,2	м2	51,38 ₽	1 055 869,28 ₽	3,33%
62. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2)	26035,9	м2	51,38 ₽	1 337 724,54 ₽	4,22%
63. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2)	26769,6	м2	51,38 ₽	1 375 422,05 ₽	4,34%
64. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.бирск ул.мира д.66)	2 310	м2	26,81 ₽	61 931,10 ₽	0,20%
65. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.бирск ул.мира д.66)	772,2	м2	26,81 ₽	20 702,68 ₽	0,07%
66. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.благовещенск ул. чехова д.6)	522,5	м2	26,81 ₽	14 008,23 ₽	0,04%
67. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (караидельский р/н с.караидель ул.калинина д.2)	392,7	м2	26,81 ₽	10 528,29 ₽	0,03%
68. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (аскинский р/н с.аскино ул.пионерская д.4)	374	м2	26,81 ₽	10 026,94 ₽	0,03%
69. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (мишкинский р/н с. мишкино ул.мира д.6)	471,9	м2	26,81 ₽	12 651,64 ₽	0,04%
70. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. сибай, ул.маяковского, 31/1)	18008,1	м2	31,28 ₽	563 293,37 ₽	1,78%
71. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (абзелиловский район, с. аскарово, ул. ленина, д.31)	356,4	м2	26,81 ₽	9 555,08 ₽	0,03%
72. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (хайбуллинский район, с. акъяр, пр. с.юлаева, д. 20/1)	269,5	м2	26,81 ₽	7 225,30 ₽	0,02%
73. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (зилаирский район, с.зилаир, ул. голубцова д. 108)	262,9	м2	26,81 ₽	7 048,35 ₽	0,02%
74. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (баймакский район, г. баймак, ул. с.юлаева, д. 9)	805,2	м2	26,81 ₽	21 587,41 ₽	0,07%
75. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. красина ,52)	39992,7	м2	46,91 ₽	1 876 057,56 ₽	5,92%
76. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. красина ,52)	9082,7	м2	46,91 ₽	426 069,46 ₽	1,34%
77. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, ул. коммунистическая, 59)	39953,1	м2	51,38 ₽	2 052 790,28 ₽	6,48%
78. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	54011,1	м2	58,72 ₽	3 171 531,79 ₽	10,00%
79. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	24260,5	м2	51,38 ₽	1 246 504,49 ₽	3,93%
80. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	9033,2	м2	44,04 ₽	397 822,13 ₽	1,25%
81. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	36 402	м2	44,04 ₽	1 603 144,08 ₽	5,06%
82. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55)	3640,2	м2	43,87 ₽	159 698,80 ₽	0,50%

Таблица кубов

Куб числа — есть данное число, возведенное в третью степень. «Кубом» оно называется, потому что такая операция используется для нахождения объема куба (по аналогии с квадратом числа). То есть, чтобы найти объем куба, необходимо возвести в третью степень длину ребра куба. Точно также, чтобы найти куб числа нужно возвести его в третью степень. В таблице приведены значения кубов натуральных чисел от 1 до 100.

Другие заметки по алгебре и геометрии

Частота аномалий органов мочевой системы и функциональное состояние почек в зависимости от степени выраженности дисплазии соединительной ткани у детей | Крыганова

1. Айламазян Э.К., Баранов В.С. Пренатальная диагностика наследственных и врожденных болезней. М: МЕДпресс-информ, 2006; 416. (Ailamazyan E.K., Baranov V.S. Prenatal diagnosis of congenital and hereditary diseases. Moscow: MEDpress-inform, 2006; 416.)

2. Горемыкин И. В., Краснова Е.И., Дерюгина Л.А. Оценка активности хронического обструктивного пиелонефрита у детей с врожденным мегауретером с использованием биомаркеров воспаления, ангиогенеза и фиброгенеза. Бюллетень медицинских интернет-конференций 2014; 1: 4: 54–57. (Goremykin I.V., Krasnova E.I., Deriugina L.A. Evaluation of activity of chronic obstructive pyelonephritis in children with congenital megaureter using biomarkers of inflammation, angiogenesis and fibrogenesis. Byulleten medicinskih internet konferencij 2014; 1: 4: 54–57.)

3. Vivante A., Kohl S., Hwang D.Y. et al. Single-gene causes of congenital anomalies of the kidney and urinary tract (CAKUT) in humans. Pediatr Nephrol 2014; 29: 4: 695–704.

4. Daw-Yang H., Dworschak G.C., Kohl S. et al. Mutations in 12 known dominant disease-causing genes clarify many congenital anomalies of the kidney and urinary tract. Kidney Int 2014; 85: 6: 1429–1433.

5. Toka HR1., Toka О., Hariri А. Congenital anomalies of kidney and urinary tract. Semin Nephrol 2010; 30: 4: 374–386.

6. Молчанова Е. А, Валов А. Л, Каабак М. М. Первые результаты формирования Российского регистра хронической почечной недостаточности у детей. Нефрология и диализ 2003; 5: 1. (Molchanovа E.A., Valov А.L., Kaabak M. M. The firstresults ofthe formation ofthe Russian Register of chronic renal failure in children. Nefrologiya i dializ 2003; 5: 1.)

7. Дерюгина Л.А., Чураков А.А., Краснова Е.И. «Фатальные» пороки почек и мочевыделительной системы плода. Пренатальная диагностика – трудные решения. Современные проблемы науки и образования 2012; 2: URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=5927. (Deriugina L.A., Churakov A.A., Krasnova E.I. «Fatal» defects of the kidneys and urinary system of the fetus. Prenatal diagnosis – difficult decisions. Sovremennye problem nauki i obrazovaniya 2012; 2. URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=5927.)

8. Rodriguez M.M. Congenital Anomalies of the Kidney and the Urinary Tract (CAKUT). Fetal Pediatr Pathol 2014; 33: 293–320.

9. Чумаков П.И. Хирургическое лечение пузырно-мочеточникового рефлюкса при полном удвоении и утроении мочеточников. Детская хирургия 2004; 6: 19–22. (Chumakov P.I. Surgical treatment of vesicoureteral reflux in full doubling and tripling ureters. Detskaya hirurgiya 2004; 6: 19–22.)

10. Иодковский К.М., Ковальчук В.И., Гринь А.И. Варианты удвоения почек и мочеточников у девочек и некоторые особенности клинических проявлений и лечения. Журнал ГрГМУ 2006; 2: 48–50. (Iodkovsky K.M., Kovalchuk V.I., Grin’ A.I. Possible doubling of kidney and ureter in girls and some of the clinical manifestations and treatment. ZHurnal GrGMU 2006;2: 48–50.)

11. Никитина Н.А., Старец Е.А., Калашникова Е.А. и др. Врожденные аномалии количества почек: частота, этиопатогенез, пренатальная диагностика, клиника, физическое развитие, диагностика, лечение, профилактика (часть 1). Здоровье ребенка 2013; 6: 49: 107–111. (Nikitina N.A., Starec E.A., Kalashnikova E.A. et al. Congenital anomalies of the number of kidneys: frequency, etiology and pathogenesis, prenatal diagnosis, clinic, physical development, diagnosis, treatment, prevention (Part 1). Zdorov’e rebenka 2013; 6: 49: 107–111.)

12. Никитина Н.А., Старец Е.А., Калашникова Е.А. и др. Врожденные аномалии количества почек: частота, этиопатогенез, пренатальная диагностика, клиника, физическое развитие, диагностика, лечение, профилактика (часть 2). Здоровье ребенка 2013; 7: 50: 85–88. (Nikitina N.A., Starec E.A., Kalashnikova E.A. et al. Congenital anomalies of the number of kidneys: frequency, etiology and pathogenesis, prenatal diagnosis, clinic, physical development, diagnosis, treatment, prevention (Part 2). Zdorov’e rebenka 2013; 7: 50: 85–88.)

13. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А. Варианты диспластических синдромов при врожденной патологии органов мочевой системы у детей. VIII Рос. конгресс «Современные технологии в педиатрии и детской хирургии». М., 2009; 381–382. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A. Options dysplastic syndromes with congenital abnormalities of the urinary system in children. VIII Ros. Congress «Modern technologies in pediatrics and pediatric surgery.» Moscow, 2009; 381–382.)

14. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А. Оценка фенотипических признаков и тяжести дисплазии соединительной ткани у детей с пузырно-мочеточниковым рефлюксом и рефлюкс-нефропатией. XVII Рос. Нац. Конгресс «Человек и лекарство». М, 2010; 431. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A. Evaluation of phenotypic traits and severity of connective tissue dysplasia in children with vesicoureteral reflux and reflux nephropathy. XVII Ros. Nat. Congress «Person and medicine». Moscow, 2010; 431.)

15. Портнягина Э.В., Юрчук В.А., Титова С.В. Морфофункциональные изменения почек при врожденном гидронефрозе у детей. Сибирское медицинское обозрение 2011; 5: 71. http://cyberleninka.ru/article/n/morfofunktsionalnye-izmeneniya-pochek-pri-vrozhdennom-gidronefrozeu-detey/(Portnyagina E. V., Yurchuk V.A., Titova S.V. Morphological

16. and functional changes of kidneys in congenital hydronephrosis in children. Sibirskoe medicinskoe obozrenie 2011; 5: 71. http://cyberleninka.ru/article/n/morfofunktsionalnye-izmeneniya-pochek-pri-vrozhdennom-gidronefroze-u-detey.)

17. Зеленцова В.Л., Шилко В.И., Вараксин А.Н. и др. Врожденные пороки развития органов мочевой системы, анализ факторов риска дизэмбриогенеза. Экология человека 2010; 1: 38–41. (Zelentsova V.L., Shilko V.I.,, Varaksin A.N. et al. Congenital malformations of the urinary system, the analysis of disembryogenesis risk factors. Ehkologiya cheloveka 2010; 1: 38–41.)

18. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А., Шабалова Н.Н. Степень тяжести дисплазии соединительной ткани у детей: связь с характером перинатальной патологии и течением вторичного хронического пиелонефрита. Педиатрия 2011; 3: 90: 13–17. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A., Shabalova N.N. The severity of connective tissue dysplasia in children: the relationship with the nature of perinatal pathology, and the passage of secondary chronic pyelonephritis. Pediatriya 2011; 3: 90: 13–17.)

19. Мамбетова А.М. Особенности механизмов прогрессирования заболеваний почек врожденного и приобретенного характера на фоне дисплазии соединительной ткани у детей. Автореферат дисс. … д.м.н. Санкт-Петербург, 2012; 40. (Mambetova A.M. Features of the mechanism of progression of kidney disease congenital and acquired character on the background of connective tissue dysplasia in children. Avtorefer. diss. … d.m.n. St. Petersburg, 2012; 40.)

20. Зоркин С.Н., Хворостов И.Н., Борисова С.А. Возможности ренопротективной терапии у больных с обструктивными уропатиями. Педиатрия 2007; 86: 6: 24–28. (Zorkin S.N., Khvorostov I.N., Borisova S.A. Features renoprotective therapy in patients with obstructive uropathy. Pediatriya 2007; 86: 6: 24–28.)

21. Аббакумова Л.Н. Клинические формы дисплазии соединительной ткани у детей. Учебное пособие. 2006; 15. (Abbakumova L.N. Clinical forms of connective tissue dysplasia in children. Tutorial. 2006; 15.)

Дробные экспоненты

Также называется «Радикалы» или «Рациональные экспоненты»

Показатели целого числа

Во-первых, давайте посмотрим на экспоненты целых чисел:

Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении .

В этом примере: 8 ² = 8 × 8 = 64

Прописью: 8 ² можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или просто «8 в квадрате»

Другой пример: 5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

Дробные экспоненты

Но что, если показатель степени — дробь?

Почему?

Давайте посмотрим, почему на примере.

Во-первых, законы экспонент говорят нам, как обращаться с показателями при умножении:

Пример: x

Что показывает, что x ² x ² = x ^{(2 + 2)} = x ⁴

Итак, давайте попробуем это с дробными показателями:

Пример: Что такое 9

9 ^½ × 9 ^½ = 9 ^{(½ + ½)} = 9 ⁽¹⁾ = 9

Итак, 9 ^½ раз само по себе дает 9.

Как мы называем число, которое при умножении само на себя дает другое число? Квадратный корень!

См .:

√9 × √9 = 9

А:

9 ^½ × 9 ^½ = 9

Итак, 9 ^½ совпадает с √9

Попробуйте другую дробь

Давайте попробуем это еще раз, но с показателем в одну четверть (1/4):

Пример:

16 ^¼ × 16 ^¼ × 16 ^¼ × 16 ^¼ = 16 ^{(¼ + ¼ + ¼ + ¼)} = 16 ⁽¹⁾ = 16

Итак, 16 ^¼ , использованное 4 раза при умножении, дает 16,

и поэтому 16 ^¼ — это корень 4-й степени из 16

Общее правило

Он работал с ½ , он работал с ¼ , на самом деле он работает в целом:

x ^{1/ n} = n- -й корень x

Итак, мы можем придумать это:

Пример: Что такое 27

Ответ: 27 ^1/3 = 27 = 3

А как насчет более сложных дробей?

А как насчет дробной степени, такой как 4 ^3/2 ?

Это действительно говорит о том, что нужно сделать куб (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

Позвольте мне объяснить.

Фракция (например, m / n ) может быть разбита на две части:

• целая часть ( м ), и
• дробь ( 1 / n ) часть

Итак, поскольку m / n = m × (1 / n) , мы можем сделать это:

Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для м / п = (1 / п) × м :

И получаем это:

Некоторые примеры:

Пример: Что такое 4

4 ^3/2 = 4 ^{3 × (1/2)} = √ (4 ³ ) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

или

4 ^3/2 = 4 ^{(1/2) × 3} = (√4) ³ = (2) ³ = 8

В любом случае результат будет одинаковым.

Пример: Что такое 27

27 ^4/3 = 27 ^{4 × (1/3)} = (27 ⁴ ) = (531441) = 81

или

27 ^4/3 = 27 ^{(1/3) × 4} = (27) ⁴ = (3) ⁴ = 81

Второй способ был конечно проще!

Теперь … поиграйте с графиком!

Посмотрите, как плавно меняется кривая, когда вы играете с дробями в этой анимации, это показывает вам, что идея дробных показателей прекрасно сочетается друг с другом:

Чего попробовать:

• Начните с m = 1 и n = 1, затем медленно увеличивайте n, чтобы увидеть 1/2, 1/3 и 1/4
• Затем попробуйте m = 2 и проведите n вверх и вниз, чтобы увидеть дроби вроде 2/3 и т. Д.
• Теперь попробуйте сделать экспоненту -1
• Наконец, попробуйте увеличить m, затем уменьшить n, затем , уменьшив м, затем , увеличив n: кривая должна идти вокруг и вокруг

Квадратное число — элементарная математика

Неформально: когда вы умножаете целое число («целое» число, положительное, отрицательное или ноль) на само себя, полученное произведение называется квадратным числом, или точным квадратом, или просто «квадратом». «Итак, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 и так далее — это квадратные числа.

Более формально: квадратное число — это число в форме n × n или n ² , где n — любое целое число.

Математический фон

Объекты, расположенные в квадратном массиве

Название «квадратное число» происходит от того факта, что это конкретное количество объектов может быть расположено так, чтобы заполнить идеальный квадрат.

Дети могут поэкспериментировать с монетами (или квадратными плитками), чтобы увидеть, какие из них можно расположить в виде идеально квадратного массива.

Банка по четыре пенни:

Банка девяти пенни:

И шестнадцать пенсов тоже можно:

Но семь пенсов или двенадцать пенсов не могут быть устроены таким образом. Числа (объектов), которые может быть организованы в квадратный массив, называются «квадратными числами».

Квадратные массивы должны быть заполнены, если мы хотим считать число квадратным. Здесь 12 пенни расположены в квадрате, но не в полном квадратном массиве, поэтому 12 не является квадратным числом.

Число 12 не является квадратным числом.

Детям может понравиться изучать, какое количество монеток можно расположить на таком открытом квадрате. Их не называют «квадратными числами», но они построены по интересной схеме.

Квадраты из квадратной плитки тоже интересно делать. Число квадратных плиток, которые помещаются в квадратный массив, является «квадратным числом».

Вот две платы, 3 × 3 и 5 × 5 . Сколько красных плиток в каждой? Чернить? Желтый?
Есть какие-нибудь из этих квадратных чисел?
Что делать, если таким же образом выложить доску 4 × 4 или 6 × 6 ?
Можете ли вы предсказать количество плиток на доске 7 × 7 или 10 × 10 ?

Квадратные числа в таблице умножения

Квадратные числа появляются по диагонали стандартной таблицы умножения.

Соединения с треугольными числами

Если вы посчитаете зеленые треугольники в каждом из этих рисунков, вы увидите последовательность чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21,…, последовательность, называемую (достаточно подходящим образом) треугольными числами.

Если вы посчитаете белые треугольники, которые находятся в «пробелах» между зелеными, последовательность чисел начинается с 0 (потому что у первого рисунка нет пробелов), а затем продолжается: 1, 3, 6, 10, 15,… , снова треугольные числа!

Замечательно, что если вы посчитаете все крошечные треугольники в каждом рисунке — как зеленые, так и белые, — цифры будут квадратными числами!

Связь между квадратными и треугольными числами с другой стороны

Постройте лестнично-ступенчатую систему стержней Кюизенера, скажем, W, R, G.Затем постройте следующую ступеньку: W, R, G, P.

Каждый из них «треугольный» (если не учитывать ступенчатый край). Соедините два последовательных треугольника вместе, и они получат квадрат:. Этот квадрат такого же размера, как 16 белых стержней, расположенных в квадрате. Число 16 — это квадратное число, «4 в квадрате», квадрат длины самого длинного стержня (измеренного белыми стержнями).

Вот еще один пример:. Когда они сложены вместе, они образуют квадрат, площадь которого равна 64, опять же, квадрат длины (в белых стержнях) самого длинного стержня.(Коричневый стержень имеет длину 8 белых стержней, а 64 равно 8 умноженным на 8, или «8 в квадрате».)

Ступени из квадратов с номерами

Ступеньки, которые поднимаются, а затем снова опускаются, как эта, также содержат квадратное количество плиток. Когда плитки отмечены шахматной доской, как здесь, добавочное предложение, описывающее количество красных плиток (10), количество черных плиток (6) и общее количество плиток (16), снова показывает связь между треугольные числа и квадратные числа: 10 + 6 = 16.

Приглашение учеников 2-го (или даже 1-го) класса построить модели ступенек и написать числовые предложения, описывающие эти модели, — хороший способ дать им возможность попрактиковаться в описательных числовых предложениях, а также подружиться с квадратными числами.

Вот два примера. Цвет используется здесь, чтобы помочь вам увидеть, что описывается. Детям нравится цвет, но он им не нужен, и они часто могут увидеть творческие способы описания рисунков ступенек, которые они построили с помощью одноцветных плиток.Или они могут раскрасить миллиметровку на миллиметровой бумаге, чтобы записать свой образец ступенек и показать, как они преобразовали его в числовое предложение.

Ромбовидную форму, сделанную из монет, также можно описать числовым предложением 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.

От одного квадратного числа к другому: два изображения со стержнями Cuisenaire

(1) Начните с W. Добавьте две последовательные штанги, W + R; затем еще два, R + G; тогда G + P; тогда….

(2) Начните с W. Для каждого нового квадрата добавьте два стержня, которые соответствуют сторонам предыдущего квадрата, и новую букву W, чтобы заполнить угол.

квадратов и квадратного корня — разница и примеры

Что такое квадрат числа?

Например, квадрат 4 записывается как 4 ² , что дает 16 в качестве ответа.В данном случае 16 — это квадрат числа 4.

Ниже приведен список квадратов первых двенадцати чисел:

1 x 1 = 1 7 x 7 = 49
2 x 2 = 4 8 x 8 = 64
3 x 3 = 9 9 x 9 = 81
4 x 4 = 16 10 x 10 = 100
5 x 5 = 25 11 x 11 = 121
6 x 6 = 36 12 x 12 = 144

Возведение отрицательных чисел в квадрат

Квадрат отрицательного числа является положительным числом.Например, -3 x -3 станет 9, однако — 3 x 3 = -9, это потому, что -3 — это число, отличное от 3.

Что такое квадратный корень числа?

Квадратный корень — это операция, обратная возведению числа в квадрат. Другими словами, квадратный корень — это операция, которая отменяет показатель степени 2. Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y ² = x.

Например, 5 и — 5 являются квадратными корнями из 25, потому что:

5 x 5 = 25 и -5 x -5 = 25.

Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x ^1/2 . Например, квадратный корень из 16 представлен как √16 = 4. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √16 = 4, число 16 — подкоренное выражение.

Свойства

• Полное квадратное число имеет точный квадратный корень.
• Четное совершенное число имеет четный квадратный корень.
• Нечетное совершенное число имеет нечетный квадратный корень.
• Квадратный корень отрицательного числа не определен.
• Квадратные корни имеют только числа, оканчивающиеся четным числом нулей.

Нахождение квадратного корня чисел

• Повторное вычитание :
  Этот метод включает в себя успешное и многократное вычитание нечетных чисел, таких как 1, 3, 5 и 7, из числа до достижения нуля. Квадрат числа равен числу или частоте вычитания числа.Предположим, нам нужно вычислить квадрат совершенного числа, такого как 16, количество выполненных вычитаний равно 4, поэтому квадратный корень из 16 равен 4.
• Факторизация на простые множители :
  В этом методе точное квадратное число равно факторизованный последовательными делениями. Простые множители группируются в пары, и вычисляется произведение каждого числа. Следовательно, произведение представляет собой квадратный корень из числа. Чтобы найти квадрат совершенного числа, такого как: 144, выполняется как:

1. 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
2. Соедините простые множители.
3. Выбор одного числа из каждой пары.
4. 2 × 2 × 3 = 12.
5. Таким образом, √144 = 12.

• Метод деления:
  Метод деления — подходящий метод вычисления квадрата большого числа.
  
  Следующие шаги включают:

1. Полоса помещается на каждую пару цифр, начиная с правой стороны.
2. Разделите число на левом конце на число, квадрат которого меньше или эквивалентен числам под левым концом.
3. Возьмите это число в качестве делителя и частного. Аналогичным образом возьмите крайнее левое число в качестве делимого.
4. Разделите, чтобы получить результат.
5. Потяните вниз следующее число с полосой справа от остатка.
6. Умножьте делитель на 2.
7. Справа от этого нового делителя найдите подходящий делимый. Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим ноль в качестве остатка. Следовательно, квадрат числа равен частному.

Практические вопросы

1.Запишите значение

(a) √81

(b) √1

(c) √121

(d) √0

2. Найдите квадратные числа из следующего списка чисел: 2 6 11 14 16 18 24 25.

3. Запишите значение (a) 3² (b) 6 в квадрате c) 8² (d) 9 в квадрате (e) 12²

4. Я думаю о двух числах. Оба числа представляют собой квадратные числа больше 1. Если сумма этих чисел равна 100. Какие два числа?

5. Перечислите все квадратные числа от 0 до 100.

Ответы на практические вопросы

1. (a) √81 = 9, (b) √1 = 1 (c) √121 = 11 (d) √0 = 0

2 . Квадратные числа: 16 и 25

3. (a) 3² = 9 (b) 6 в квадрате = 36 c) 8 = 64² (d) 9 в квадрате = 81 (e) 12² = 144

4. 36 и 64 — квадратные числа

5. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и 81

Геометрические последовательности и серии | Безграничная алгебра

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение. {n-1} [/ латекс].

Ключевые термины

• геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

Определение геометрических последовательностей

Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ latex ].{n-1} [/ latex]

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

[латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

Поведение геометрических последовательностей

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Общее отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

• Положительно, все термины будут того же знака, что и исходные
• Отрицательный, члены будут чередоваться между положительным и отрицательным
• Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
• [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной последовательностью
• Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
• [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
• Меньше, чем [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знака)

Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

[латекс] {b} ^ {2} = ac [/ latex]

Суммирование первых n членов геометрической последовательности

Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены. {n}} {1-r}} [/ латекс].

Ключевые термины

• геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
• геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением.

Геометрические серии — это примеры бесконечных серий с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории очередей и финансах.

Члены геометрического ряда образуют геометрическую прогрессию, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. {n}}}} [/ latex]

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

• [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее отношение [латекс] 10 [/ латекс]
• [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
• [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
• [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
• [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

Значение [latex] r [/ latex] предоставляет информацию о характере серии:

• Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме. Рассмотрим последовательность, в которой [латекс] r [/ latex] равен половине [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которого равна единице.
• Если [latex] r [/ latex] больше, чем [latex] 1 [/ latex] или меньше, чем [latex] -1 [/ latex], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
• Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
• Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

Бесконечная геометрическая серия

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить момент схождения геометрического ряда

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Сумма геометрического ряда конечна, пока члены приближаются к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
• Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].

Ключевые термины

• сходиться : приблизиться к конечной сумме.
• геометрическая серия : Бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.

Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

[латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

Что следует в примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

[латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex].Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ latex]

Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый термин. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

[латекс] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex]

Пример

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

Применения геометрической серии

Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
• Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией.
• Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой союз бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
• Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.

Ключевые термины

• геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
• фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии математического анализа и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.

Повторяющаяся десятичная дробь

Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

[латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

Формула работает для любого повторяющегося термина. Еще несколько примеров:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.123412341234 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1234} {10000}} {1- \ frac {1 } {10000}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {1234} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {1234} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1234} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,0

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.143814381438 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1438} {10000}} {1- \ frac {1} {10000}} \\ & = \ frac { \ left (\ frac {1438} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left (\ frac {1438} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1438} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,9999 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {9} {9} \\ & = 1 \ end {align}} [/ латекс]

То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторяющейся частью длины [латекс] n [/ latex] равна частному повторяющейся части (как целое число) и [латекс] 10 ^ n — 1 [/ latex].

Квадратура Параболы Архимеда

Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда: Разрез Архимеда параболического сегмента на бесконечное количество треугольников.

гласит, что общая площадь под параболой равна [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

[латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

Это геометрическая серия с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

Фрактальная геометрия

Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, и поэтому они имеют ровно [латекс ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее. {3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . За исключением начального члена [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

Таким образом, снежинка Коха имеет [латекс] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

Парадоксы Зенона

Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, изобретенных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам.