9 класс решить уравнение: Решение уравнений 9 класс онлайн калькулятор

Представлены примеры для 9 класса с подробным пошаговым подходом к решению простых уравнений и уравнений со скобками и дробями. Также обсуждается проверка решений уравнения. Также включены дополнительные вопросы и их решения с подробными объяснениями.

Что такое уравнение и его решение?

Сначала мы рассмотрим концепцию уравнений и решение уравнения.
Уравнение — это выражение, выражающее равенство двух математических выражений. Уравнение имеет знак равенства, правостороннее выражение и левостороннее выражение.

Пример 1
Это примеры уравнений с неизвестным \( x \)
\( \quad 2 x = — 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = — (2x+4) \)

В каждом уравнении есть знак равенства, разделяющий левую и правую части уравнения.

Решением уравнения с неизвестным \(x\) является набор всех значений \(x\), которые делают уравнение верным утверждением.

Пример 2
Какое из следующих значений \( x \): \( — 4, 2\) является(ются) решением(ями) уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \)?

Решение примера 2
Замените \( x \) его числовым значением в левой и правой частях уравнения

а) Проверить \( \color{red}{x = — 4} \)

а) Проверить \( \color{red}{x = 2} \)
Оцените левую часть: \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Числовые значения левой и правой сторон равны, поэтому \( x = 2 \) равно решение уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).

Важные свойства для решения уравнений

Чтобы решить уравнение, нам нужны математические шаги, которые помогут получить все члены с неизвестными с одной стороны и постоянными с другой стороны.
Некоторые из наиболее важных свойств, используемых для решения уравнений, перечислены ниже.
1) Если мы прибавим или вычтем одну и ту же величину к обеим частям уравнения, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.
1) Если мы умножим или разделим обе части уравнения на одну и ту же величину, НЕ равную нулю, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.

Решение простых уравнений

Пример 3
Решите уравнение \( 2x + 1 = — 5 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 3
Основная идея состоит в том, чтобы все члены с неизвестным \( x \) с одной стороны и все постоянные члены с другой стороны уравнения

Оставим члены \( 2x \) слева, а постоянные члены — справа. Это можно сделать, вычитая \( 1 \) из обеих частей уравнения
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = — 5 \color{red}{- 1} \)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка 2x = — 6 \)

Чтобы получить \( x \) из \( 2x \), мы разделим обе части приведенного выше уравнения на 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = -3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = — 5 \)
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad — 5 \)
Левая и правая части равны \( — 5 \) для \( x = — 3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Пример 4
Решите уравнение \( x — 2 — 3x = — 7 — x \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 4
Сгруппируйте одинаковые члены в двух частях уравнения. \( x \) и \( — 3x \) подобны терминам в левой части и могут быть сгруппированы, чтобы дать
\( \четверка \четверка — 2х — 2 = — 7 — х \)

Добавьте \( 2 \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части.
\( \quad \quad — 2x — 2 \color{red}{+ 2} = — 7 — x \color{red}{+ 2} \)

Упростить
\( \четверка \четверка — 2x = — x — 5 \)

Добавьте \( x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены с \( x \) из правой части.
\( \quad \quad — 2x \color{red}{+x } = — x — 5 \color{red}{+x }\)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка — х = — 5 \)

Если мы знаем \( — x \) и нам нужно \( x \), мы умножаем обе части уравнения на \( — 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = 5 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad x — 2 — 3x = 5 — 2 -3(5) = — 12 \)
Правая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad — 7 — x = — 7 — (5) = — 12 \)
Левая и правая части равны \( — 12 \) для \( x = 5 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений со скобками

Пример 5
Решите уравнение \( — 2 (x — 2) + 3 = 3 (-x + 4) — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 5
Данное уравнение
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x — 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) — 3 \)
Используйте распределительный закон: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), который является одним из основных правил алгебры, чтобы убрать скобки. Распределите \(\color{red}{-2} \) и \(\color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red }3 (4) — 3 \)
Упростить
\( \quad \quad — 2 х + 4 + 3 = — 3 х + 12 — 3 \)

Сгруппируйте одинаковые члены в обеих частях уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 = — 3 x + 9 \)

Вычтите \( 7 \) из обеих частей уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 — 7 = — 3 x + 9 — 7 \)

Групповые термины
\( \квадратный \четверный — 2x = — 3x + 2 \)

Добавьте \( 3x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены в \( x \) из левой правой части уравнения.
\( \quad \quad — 2x + 3 x = — 3x + 2 + 3x \)

Сгруппируйте похожие термины и упростите
\( \квадрат \квадрат х = 2 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оцените левую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad — 2 (x — 2) + 3 = — 2 ((2) — 2) + 3 = 3 \)
Оцените правую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) — 3 = 3 (-(2) + 4) — 3 = 3 \)
Левая и правая стороны равны 3 для \( x = 2 \), поэтому \( x = 2 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений с дробями

Принятый здесь метод решения уравнений с дробями заключается в том, что мы сначала избавляемся от дробей (чтобы не иметь дело с дробями) путем умножения, а затем решаем уравнение.

Пример 6
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{2} = — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 6
Чтобы исключить знаменатель \( 2 \) в \( \dfrac{x}{2} \), мы умножаем две части уравнения на знаменатель \( 2 \)

\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)

Упростить
\( \quad x = — 6 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = — 3 \)
Левая и правая стороны равны \( — 3 \) для \( x = — 6 \), поэтому \( x = — 6 \) является решением данного уравнения.

Пример 7
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 7
Теперь у нас есть две дроби со знаменателями \( 2 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Чтобы избавиться от дробей, нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(2\) и \(3\).
Найдите НОК \( 2 \) и \( 3 \), который равен \( 6 \).
Умножьте обе части уравнения на НОК, который равен \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1 {3}\справа) \)

Распределить коэффициент \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) — 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3) } \верно) \)

Переставить как
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x — \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \ верно) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 2x — 3 = 2 \)

ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы избавиться от дробей, необходим один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, поскольку НОК кратен каждому знаменателю.

Решите приведенное выше уравнение, добавив \( 3 \) к обеим частям, и упростите, чтобы получить
\( \четверка\четверка 2 х = 5 \)

Разделить обе части на \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3 } x — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{ 3} \)

Левая и правая стороны равны \( \dfrac{1}{3} \) для \( x = \dfrac{5}{2} \), поэтому \( x = \dfrac{5}{2} } \) является решением данного уравнения.

Пример 8
Решите уравнение \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = — \dfrac{x}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 8
Теперь у нас есть дроби со знаменателями \( 5 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(5\) и \(3\).
Найдите LCM \( 5 \) и \( 3 \), которое равно \( 15 \).
ПРИМЕЧАНИЕ. Один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, необходим, чтобы избавиться от дробей, потому что НОК кратен каждому знаменателю.

Умножить обе части уравнения на НОК \( 15 \)
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left(\ — \dfrac{ х}{3} \справа) \)

Коэффициент распределения \( 15 \)
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( — \dfrac{x}{3} \right) \)

Переставить как
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 3 (2x+1) + 30 = — 5x \)

Распределить множитель \(3 \) в левой части и сгруппировать подобные термины
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = — 5x \)
\( \quad\quad 6x + 33 = — 5 x \)

Вычтите \( 33 \) с обеих сторон и прибавьте \( 5x \) к обеим сторонам. (ПРИМЕЧАНИЕ: мы выполнили две операции за один шаг.)

\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = — 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \)

Групповые термины
\( \quad\quad 11 x = — 33 \)

Разделите обе части на \( 11 \)
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \)
Упростить
\( \четверка\четверка х = — 3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (данном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2( -3)+1}{5}+2=1\)

Правая часть уравнения для \( x = -3 \) : \( \quad — \dfrac{x}{3} = — \dfrac{-3}{3} = 1 \) Левая и правая части равны \( 1 \) для \( x = -3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Вопросы

1. Решите следующие уравнения и проверьте найденное решение.
   
   
   1. ) \( 2x + 2 = 6 \)
   2. ) \( 5у — 2 = 7у — 8 \)
   3. ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x — 3 \)
   4. ) \( 0,2 д + 4 = — 0,1 д — 2 \)
   5. ) \(-2(2х-6) = -(х-4) \)
   6. ) \( -(х+2)+4 = 2(х+3) + х \)
   7. ) \( \dfrac{x}{5} = — 6 \)
   8. ) \( — \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
   9. ) \( — \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} — x \)
   10. ) \( — \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
   11. ) \( — \dfrac{1}{2} — x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)

Включены ответы на вышеуказанные вопросы.

Дополнительные справочные материалы и ссылки

Решить уравнения, системы уравнений и неравенства
Найти наименьшее общее кратное
Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (10 классы, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами

Вопросы по алгебре с ответами для 9 класса

Представлены вопросы по алгебре отношений 9 класса с ответами. Включены вопросы по решению линейных и квадратных уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями, нахождению наклонов прямых. Решения и подробные объяснения также включены.

Вопросы Упростите следующие алгебраические выражения. — 6х + 5 + 12х -6 2(х — 9) + 6(-х + 2) + 4х 3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (-х — 1) 1,2(х — 9) — 2,3(х + 4) (х 2 у)(ху 2 ) (-x 2 y 2 )(xy 2 ) Упростите выражения. (а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 ) (21 х 5 ) / (3 х 4 ) (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ] (4x — 12) / 4 (-5x — 10) / (x + 2) (х 2 — 4х — 12) / (х 2 2х 24) Решите для x следующие линейные уравнения. 2x = 6 6х — 8 = 4х + 4 4(х — 2) = 2(х + 3) + 7 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3 — х/5 = 2 (х — 4) / (- 6) = 3 (-3x + 1) / (x — 2) = -3 х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5 Найдите любые действительные решения для следующих квадратных уравнений. 2 х 2 — 8 = 0 х 2 = -5 2x 2 + 5x — 7 = 0 (х — 2) (х + 3) = 0 (х + 7) (х — 1) = 9 х(х — 6) = -9 Найдите любые действительные решения для следующих уравнений. х 3 — 1728 = 0 х 3 = — 64 квадрат(х) = -1 кв.(х) = 5 кв. (х/100) = 4 кв.(200/х) = 2 Вычислите для заданных значений a и b . а 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2 |2а — 3б| , для а = -3 и б = 5 3a 3 — 4b 4 , для a = -1 и b = -2 Решите следующие неравенства. х + 3 < 0 х + 1 > -х + 5 2(х — 2) < -(х + 7) При каком значении константы k квадратное уравнение x 2 +2x = — 2k имеют два различных реальных решения? При каком значении константы b линейное уравнение 2x + by = 2 имеет наклон, равный 2? Чему равен y точки пересечения линии -4x + 6y = -12 ? Каков x перехват линии -3x + y = 3 ? Какова точка пересечения прямых x — y = 3 и -5x — 2y = -22 ? При каком значении константы k проходит ли прямая -4x + ky = 2 через точку (2,-3) ? Каков наклон линии с уравнением y — 4 = 10 ? Каков наклон линии с уравнением 2x = -8 ? Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением x = — 3 ? Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением 3y — 6 = 3 ? Каков наклон прямой, параллельной оси x? Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x? Решения и подробные пояснения к вышеуказанным вопросам. Ответы на вышеуказанные вопросы 6x — 1 — 6 9х 2 + 8 х — 8 3 -1,1х — 20 х 3 у 3 — х 3 у 4 а 2 7x (1/2)x 2 у х — 3 -5 (х + 2)/(х + 4) х = 3 х = 6 х = 21/2 х = -39 х = -10 х = -14 нет решения х = 1 набор растворов {-2,2} нет реальных решений Набор решений {1,-7/2} Набор решений {2,-3} Набор решений {2,-8} Набор растворов {3} х = 12 х = -4 нет решений х = 25 х = 1600 х = 50 Вычислите для заданных значений a и b . 8 21 -67 х < -3 х > 2 х < -1 к < 1/2 б = -1 (0 , -2) (-1, 0) (4 , 1) к = -10/3 наклон = 0 Наклон не определен x — перехват: (-3,0) , нет y — перехват. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт