Sbor_z_u_m (1) — Стр 16
Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.
Следующий пример для самостоятельного решения.
Пример 3
Найти производную функции Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения Полное решение и ответ в конце урока.
Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, и трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?
Пример 4
Найти производную функции Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух
функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки.
Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.
В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за
«вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:
Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :
Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.
Готово.
Рассмотренный пример можно решить вторым способом:
Оба способа решения абсолютно равноценны.
Пример 5
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.
Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.
151
Пример 6
Найти производную функции Здесь можно пойти несколькими путями:
или так:
Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило
дифференцирования частного , приняв за весь числитель:
В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой.
Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить?
Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.
Более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти производную функции Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой
случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм
152
Пример 8
Найти производную функции Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:
Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от
дробной степени , а потом ещё и от дроби .
Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:
! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда.
Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.
Само решение можно оформить примерно так: Преобразуем функцию:
Находим производную:
Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».
А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти производную функции
Пример 10 Найти производную функции
Все преобразования и ответы в конце урока.
153
Логарифмическая производная
Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопрос, а нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно? Можно! И даже нужно.
Пример 11
Найти производную функции Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать? Можно последовательно применить
правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения.
Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.
Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, «навесив» их на обе части:
Теперь нужно максимально «развалить» логарифм правой части (формулы перед глазами?). Я распишу этот процесс очень подробно:
Собственно приступаем к дифференцированию.
Заключаем под штрих обе части:
Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вы читаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться.
Как быть с левой частью?
В левой части у нас сложная функция. Предвижу вопрос: «Почему, там же одна буковка «игрек» под логарифмом?».
Дело в том, что эта «одна буковка игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно). Поэтому логарифм – это внешняя функция, а «игрек» – внутренняя
функция.
И мы используем правило дифференцирования сложной функции :
В левой части как по мановению волшебной палочки у нас «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем «игрек» из знаменателя левой части наверх правой части:
154
А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы рассуждали при
дифференцировании? Смотрим на условие: Окончательный ответ:
Пример 12
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока.
С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров №№4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано.
Производная степенно-показательной функции
Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:
Как найти производную от степенно-показательной функции?
Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную.
Навешиваем логарифмы на обе части:
Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:
В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет
дифференцироваться по стандартной формуле . Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:
Дальнейшие действия несложны:
Окончательно:
Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера №11.
В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.
Пример 13 Найти производную функции
155
Используем логарифмическую производную.
В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась
под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :
Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с «мучениями».
Заключительные два примера предназначены для самостоятельного решения.
Пример 14
Найти производную функции
Пример 15
Найти производную функции Образцы решения и оформления совсем близко.
Не такое и сложное это дифференциальное исчисление
Решения и ответы:
Пример 1:
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
,
, , ,
, , ,
, ,
156
Пример 3:
Пример 5:
Примечание: перед дифференцированием можно было раскрыть
скобки и использовать правило один раз.
Пример 7:
Пример 9: Сначала преобразуем функцию. Используем свойства логарифмов:
Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:
157
Пример 10: Сначала преобразуем функцию:
Найдем производную:
Пример 12: Используем логарифмическую производную. Преобразуем функцию:
Находим производную:
Пример 14: Используем логарифмическую производную:
Пример 15: Используем логарифмическую производную:
158
7.
1.4. Производная функции, заданной неявно
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?
Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной или аргументом. Переменная называется зависимой переменной или функцией.
Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию .
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном виде выражена через независимую переменную x.
Рассмотрим другую функцию: .
Здесь переменные x и y расположены «вперемешку».
Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу
пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить
«игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: , – пример неявной функции.
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены.
На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).
Пример 1
159
Найти производную от функции, заданной неявно .
1)На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
2)Используем правила линейности производной:
3)Проводим непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и — совершенно понятно. Но что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
– просто до безобразия, это производная от функции, равная её производной: .
Как дифференцировать .
Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, y – внутренняя
функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :
Произведение дифференцируем по обычному правилу :
Обратите внимание, что – это тоже сложная функция, и любой «игрек с наворотами» –
это сложная функция:
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Если есть скобки, то раскрываем их:
4)В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом.
В правую часть – переносим всё остальное:
5)В левой части выносим производную за скобки:
.
6) По правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например,
функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму.
На самом деле фразы: «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» — более общая.
Например (до преобразований), – это функция, заданная в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под выражением «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения
160
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРАПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Глава 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси.  3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. § 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 2. Существование точных граней. § 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел. § 5. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Некоторые часто употребляемые соотношения. 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел. § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. § 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2. Операции над множествами. 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества. 4. Свойства операций над множествами. Отображение множеств. Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 2.  Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. 4. Сходящиеся последовательности и их свойства. § 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. 3. Критерий Коши сходимости последовательности. § 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) ФУНКЦИИ 2. Предел функции по Гейне и по Коши. 3. Критерий Коши существования предела функции. 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. § 5. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 1. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. 3. Сложная функция и ее непрерывность.  § 2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 2. Понятие обратной функции. § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Логарифмическая функция. 3. Степенная функция. 4. Тригонометрические функции. 5. Обратные тригонометрические функции. 6. Гиперболические функции. § 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА 2. Второй замечательный предел. § 5. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 2. О точках разрыва монотонной функции. § 6. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Глобальные свойства непрерывных функций. 3. Понятие равномерной непрерывности функции. 4. Понятие модуля непрерывности функции. § 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА 2. О покрытиях множества системой открытых множеств. 3. Понятие компактности множества. Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 2. Определение производной. 3. Геометрический смысл производной. § 2. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ 2. Дифференцируемость и непрерывность.  3. Понятие дифференциала функции. § 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 3. Инвариантность формы первого дифференциала. 4. Применение дифференциала для установления приближенных формул. § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ § 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Производная логарифмической функции. 3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. 4. Производная степенной функции. 5. Таблица производных простейших элементарных функций. 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций. 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. § 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. n-ые производные некоторых функций. 3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. 4. Дифференциалы высших порядков. § 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ § 8.  ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИГлава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ § 2. ТЕОРЕМА О НУЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 3. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА) § 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 2. Условия монотонности функции на интервале. 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной. 4. Вывод некоторых неравенств. § 5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА КОШИ) § 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) 2. Раскрытие неопределенности вида oo/oo 3. Раскрытие неопределенностей других видов. § 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА 2. Другая запись формулы Тейлора. 3. Формула Маклорена. § 9. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. 2.  Доказательство иррациональности числа е.3. Вычисление значений тригонометрических функций. 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов. Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ § 1. ОТЫСКАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК 2. Отыскание стационарных точек. 3. Первое достаточное условие экстремума. 4. Второе достаточное условие экстремума. 5. Третье достаточное условие, экстремума. 6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. 7. Общая схема отыскания экстремумов. § 2. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ § 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 2. Первое достаточное условие перегиба. 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба. 4. Второе достаточное условие перегиба. 5. Третье достаточное условие перегиба. § 4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ § 6. ГЛОБАЛЬНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Краевой экстремум. 3. Теорема Дарбу. ДОПОЛНЕНИЕ Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции Глава 8.  ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Неопределенный интеграл. 3. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Таблица основных неопределенных интегралов. § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование по частям. § 3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ в ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. 3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей. 4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. 6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений. § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА ИНТЕГРАЛ РИМАНА: § 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА 2. Основные свойства верхних и нижних сумм. § 3.  ТЕОРЕМЫ О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ2. Классы интегрируемых функций. § 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 2. Оценки интегралов. § 5. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 2. Основная формула интегрального исчисления. 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы. 4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме. § 6. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ 2. Неравенство Гёльдера для сумм. 3. Неравенство Минковского для сумм. 4. Неравенство Гёльдера для интегралов. 5. Неравенство Минковского для интегралов. § 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ РИМАНА 2. Критерий интегрируемости Лебега. ДОПОЛНЕНИЕ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.  4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. § 2. Несобственные интегралы второго рода § 3. Главное значение несобственного интеграла ДОПОЛНЕНИЕ 2. Интеграл Стилтьеса 2. Свойства интеграла Стилтьеса. Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 2. Понятие параметризуемой кривой. 4. Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой. 5. Дифференциал дуги. 6. Примеры. § 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 2. Площадь плоской фигуры. 3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора. 4. Примеры вычисления площадей. § 3. ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Некоторые классы кубируемых тел. 3. Примеры. Глава 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ § 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 2. Метод итераций. 3. Методы хорд и касательных.  m.3. Предел функции m переменных. 4. Бесконечно малые функции m переменных. 5. Повторные пределы. § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2. Непрерывность функции m переменных по одной переменной. 3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных. 3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. 4. Достаточные условия дифференцируемости. 5. Дифференциал функции нескольких переменных. 6. Дифференцирование сложной функции. 7. Инвариантность формы первого дифференциала. 8. Производная по направлению. Градиент. § 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Дифференциалы высших порядков. 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме. 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. § 6. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2.  Достаточные условия локального экстремума функции m переменных.3. Случай функции двух переменных. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции 1. Выпуклые множества и выпуклые функции. 2. Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность минимума у строго выпуклой функции. 3. Поиск минимума сильно выпуклой функции. ДОПОЛНЕНИЕ 2. Метрические, нормированные пространства 2. Открытые и замкнутые множества. 3. Прямое произведение метрических пространств. 4. Всюду плотные и совершенные множества. 5. Сходимость. Непрерывные отображения. 6. Компактность. 7. Базис пространства. Топологические пространства Линейные нормированные пространства, линейные операторы ДОПОЛНЕНИЕ 3. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах 2. Формула Лагранжа конечных приращений. 3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. 4. Дифференцируемость функционалов. 5. Интеграл от абстрактных функций.  6. Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций. 7. Производные второго порядка. 8. Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное. 9. Производные и дифференциалы высших порядков. 10. Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое. Исследование на экстремум функционалов в нормированных пространствах 2. Достаточные условия экстремума. Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции. 3. Особые точки поверхности и плоской кривой. 4. Условия, обеспечивающие существование для функции y=f(x) обратной функции. § 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений. 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства. § 3. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ 2. Функциональные матрицы и их приложения.  § 4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа. 3. Достаточные условия. 4. Пример. ДОПОЛНЕНИЕ Отображения банаховых пространств. Аналог теоремы о неявной функции 2. Случай конечномерных пространств. 3. Особые точки поверхности в пространстве n измерений. Обратное отображение. 4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств. |
А. и др. Математический анализ. Начальный курс/В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова,— 2-е изд., перераб., — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.
Правило произведения — правила дифференцирования, три функции и формулы
Дифференцирование в математике — это способ нахождения производной или скорости изменения некоторых функций. Основную технику дифференцирования можно показать, выполнив алгебраические манипуляции. В нем есть много фундаментальных теорем и формул для дифференцирования функций. В этой конкретной теме мы собираемся обсудить основные теоремы и некоторые важные формулы дифференцирования с подходящими примерами. Изучаем интересную тему!
Этот метод используется для нахождения дифференцирования или производной функции, представленной в виде двух различных функций или продуктов.
Это означает, что учащиеся могут применять правило произведения или правило Лейбница для поиска производной функции. За правилом произведения непосредственно следуют производные и предельное понятие в дифференциации. В приведенном ниже объяснении, предоставленном Веданту, вы сможете понять доказательства, формулы и примеры в описательной форме.
Веданту всегда старается предложить своим ученикам самые лучшие предметы. Во введении правила продукта мы подробно объяснили концепцию, чтобы она сразу попала в голову студентов.
В технически подкованном мире онлайн-коучинг стал лучшим выбором, поскольку у них есть возможность выбрать учебную программу в соответствии со своим расписанием. Vedantu также обеспечивает гибкость выбора учителей в соответствии с их рейтингом, и вы также можете взаимодействовать с учителями. Дело не в том, что мы продолжаем предлагать студентам лекции, но есть и случайные или плановые онлайн-тесты. Это помогает им проверить свой мозг, а также исследовать недостающую область.
Как только учащиеся осознают свои недостатки, мы помогаем им преодолеть эти трудности, и в этом процессе нашей целью остается сохранение их уверенности в себе. К моменту приближения экзамена преподаватели начинают ориентироваться на вопрос прошлогоднего образца и просят студентов не паниковать. Это не значит, что Веданту сосредотачивается только на способных учениках, мы обеспечиваем одинаковое руководство для всех из них. Однако мы сортируем студентов по их индивидуальным возможностям и даем дополнительное время тем, кто так или иначе отстает. Это делается, чтобы помочь им идти в ногу с другими учениками.
Что такое производная?
Производная конкретной функции может быть определена как скорость изменения функции в этой конкретной точке.
Каковы правила дифференциации?
Существуют некоторые основные отличия правил продукта, которые вам необходимо знать!
Веданту покажет это на примерах, применяя в различных ситуациях.
Это будет действовать по общему правилу дифференцирования и по принципу, при котором постоянная производная остается равной нулю. Постоянная производная умножается на функцию, которая равна постоянному умножению на производную функции. Сумма производных остается равной сумме производных. Теперь пришло время вам поэкспериментировать с этими правилами с помощью наставников Веданту. Поверьте, вам понравится этот сеанс, поскольку он даст вам представление о том, насколько успешно это правило применяется на практике.
1. Правило суммы или правило разности
Если функция f(x) является суммой или разностью любых двух функций, то производная суммы любых заданных функций равна сумме их производных и производной разность любых заданных функций равна разности их производных.
Предположим, если у нас есть заданная функция f(x),
f(x)= u(x) ± v(x)
Тогда дифференцирование функции f(x), f'(x) = u'(x) ±v'(x)
2.
Правило произведения
Согласно дифференцированию по правилу произведения, если функция f(x) является произведением любых двух функций, скажем здесь u(x) и v(x), то производная функции f(x) равна
Если функция f(x) = u(x) × v(x), то производная от f(x),
f′(x) =u′(x) × v(x) + u(x) × v′(x)
3. Факторное правило
Факторное правило гласит, что если любая функция f(x) находится в фактор-форме или в виде двух функций u(x)/v(x), то вывод функции по заданной функции f(x) 9{2}}\]
4. Цепное правило
Предположим, что в цепном правиле есть функция y = f (x) = g (u), и если u = h(x), то согласно дифференцированию правила произведения dy dx = dy du × du dx . Это правило играет важную роль в методе подстановки, который поможет нам выполнять дифференцирование различных составных функций.
Мы собираемся подробно обсудить правило продукта
Правило продукта
Правила продукта помогают нам различать две или более функций в данной функции.
Если u и v две заданные функции от x, то формула правила произведения обозначается:
d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx
Всякий раз, когда первая функция умножается на производную второй функции, а вторая функция умножается на производную первой функции, применяется правило произведения . Здесь мы принимаем u как константу в первом члене и v как константу во втором члене.
Формула правила произведения выглядит так для произведения двух функций. Если у нас есть произведение трех функций, то формула может быть записана следующим образом:
Три функции
Перемножив три функции, мы получим следующее:
(fgh)’ = f’gh + fg’h’ + fgh’
Для этого есть закономерность. Внимательно сравните две формулы. Видите, как каждая из них сохраняет всю функцию, но каждое слагаемое для ответа отнимает производную одной из функций?
Когда используется правило продукта?
Видите, как f(x) является произведением двух меньших функций? У нас также может быть конкретная ситуация, когда f(x) является произведением трех или более меньших функций:
Когда вы видите такие функции, вы можете использовать правило продукта.
Несколько формул дифференциации и примеры были перечислены ниже:
Формулы дифференциации
IF F (x) = TAN (x) | F ‘(x) = Sec2x | .
Если f(x) = cos (x) | f'(x) = -sin x |
Если f(x) = sin (x) | f'(x) = cos x |
Если f(x) = ln(x) | f'(x) = 1/x 4 | f'(x) = ex |
Если f(x) = xn, где n — любая дробь или любое целое число. | F ’(x) = NXN-1 |
IF F (x) = K, здесь k-постоянная | F’ (x) = 0 |
0012 Правило произведения логарифмов для записи эквивалентной суммы логарифмов
1) Полностью разложить аргумент на множители, представив каждый из целых чисел как произведение их простых чисел.
2) Записать эквивалентное выражение, складывая логарифмы для каждого из множителей.
Заключение
Итак, каков ваш опыт изучения Веданту по теме правил продуктов? Да, это должно быть замечательно, поскольку вы получили подробную информацию, предложенную учителями Веданту. После определения правила произведения у вас была возможность ознакомиться с правилами дифференцирования, тремя функциями и формулами. Лучшее, что вы, должно быть, почувствовали во время онлайн-сеансов с Веданту, это то, что у вас есть достаточно шансов решить все эти уравнения на практике. Принимая во внимание тот факт, что подготовка к математике невозможна без практических занятий, мы соблюдаем баланс между обоими занятиями, чтобы принести учащимся максимальную пользу через Веданту. 95+120x+3\справа)\]
Эта функция не является простой суммой или разностью многочленов. Это произведение многочленов. Мы могли бы «просто» умножить его, чтобы найти его производную, как и раньше — кто хочет стать волонтером? Никто?
Нам понадобится правило для нахождения производной произведения, чтобы нам не пришлось все умножать.
2 \), что радикально отличается от правильного ответа.
Правила нахождения производных произведений и частных немного сложны, но они избавляют нас от гораздо более сложной алгебры, с которой мы могли бы столкнуться, если бы попытались умножить вещи. Они также позволяют нам иметь дело с произведениями, где множители не являются полиномами. Мы можем использовать эти правила вместе с основными правилами для нахождения производных многих сложных на вид функций.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего HTML5 видео
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Производные правила: правила произведения и частного
В дальнейшем \(f\) и \(g\) являются дифференцируемыми функциями \(x\).
Правило продукта
\(\frac{d}{dx}\left( f\cdot g \right)=f’\cdot g+f\cdot g’\)
Производная первого множителя, умноженная на оставленная секунда плюс производная от второй оставленной первой, умноженная на производную.
92}\]
Ради всего святого, не пытайся это упростить! Помните, что просто
зависит от того, что вы будете делать дальше; в данном случае нас попросили найти производную, и мы это сделали. Я ожидаю, что вы сделаете любые простые упрощения
, такие как перемножение констант вместе или выполнение очевидных сокращений или комбинирование терминов, но в остальном, пожалуйста, ОСТАНОВИТЕСЬ, если нет причин для дальнейшего упрощения.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего HTML5 видео
Пример 5
Предположим, что большой резервуар содержит 8 кг химического вещества, растворенного в 50 литрах воды. Если открыть кран и налить в бак воду со скоростью 5 литров в минуту, с какой скоростью изменится концентрация химиката в баке через 4 минуты?
Сначала нам нужно создать модель концентрации химикатов. Концентрация будет измеряться как кг химического вещества на литр воды, кг/л.
Количество кг химиката остается постоянным на уровне 8 кг, но количество воды в баке увеличивается на 5 л/мин. Общий объем воды в баке через \(t\) минут равен \(50 + 5t\), поэтому концентрация через \(t\) минут равна \[c(t)=\frac{8}{50+ 5t}.\] 92}\приблизительно -0,00816.\]
Обратите внимание, что здесь используются единицы измерения: кг на литр, в минуту или \( \frac{\text{кг/л}}{\text{мин}} \). Другими словами, это говорит нам о том, что через 4 минуты концентрация химического вещества составляет 90 237, уменьшаясь на 90 238 на 0,00816 кг/л каждую минуту.
Возвращаясь к нашему обсуждению вопросов бизнеса и экономики, в дополнение к общим затратам и предельным издержкам мы часто также хотим говорить о средних затратах или среднем доходе.
Напомним из предыдущего раздела, что Средняя стоимость ( AC ) для \(q\) элементов – это общая стоимость, деленная на \(q\), или \(AC(q)=\frac{TC}{q}\). Вы также можете говорить о средних фиксированных затратах, \(\frac{FC}{q}\), или о средних переменных затратах, \(\frac{TVC}{q}\).
Также помните, что Средний доход ( AR ) для \(q\) товаров равен общему доходу, деленному на \(q\), или \(AR(q)=\frac{TR}{q}\ ). Но \(\frac{TR}{q}=\frac{D(q)\cdot q}{q}=D(q)\), поэтому \(AR(q)=D(q)\) (что только цена, так как \(p=D(q)\)).
Мы уже знаем, что можем найти среднюю скорость изменения, найдя наклоны секущих. AC, AR, MC и MR — все скорости изменения, и мы также можем найти их с наклонами.
\(AC(q)\) — наклон диагональной линии от (0, 0) до \((q, TC(q))\).
\(AR(q)\) — наклон линии от (0, 0) до \((q, TR(q))\), который также равен цене в \((q, TR (q))\) по вычислениям в предыдущем абзаце.
Точно так же, как мы нашли предельные общие затраты, мы можем также найти предельные средние издержки. 92\). Найти
- Фиксированные затраты,
- Средняя стоимость при производстве 5 тыс., 10 тыс. или 20 тыс. ящиков,
- Предельные средние затраты при производстве 5 тыс. ящиков.
