Квадрат, его свойства и признаки.
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
а) Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
б) Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
в) Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат
является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми
же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
1. У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
3. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
4. У квадрата диагонали равны.
5. У квадрата стороны являются высотами.
6. Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и
высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку
равнобедренного треугольника), т.
ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит,
, следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак).
Если в ромбе диагонали
равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: – ромб
— диагонали
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых
ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме
диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб
является квадратом, ч.т.д.ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по
определению является параллелограммом, является прямоугольником
(по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом
четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник
, у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Итак, признаки квадрата:
1. Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
3. Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
4. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
6. Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны
и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является
квадратом.
7. Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
1. Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
2.
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.
3.
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.
4. В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
5. В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
6. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
7. На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
8. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
9. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
10. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
11.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите,
что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
12. Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
13. Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
14. Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
15. Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
16. Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
17.
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .
18. Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
19.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке .
Докажите, что .
20. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
21. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
22. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
23. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
24. Точка расположена во внутренней
области квадрата так, что расстояния от неё до
сторон и пропорциональны
соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см.
Найдите периметр этого
квадрата.
25. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
26. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
27. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
28.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и .
Найдите произведение длин
диагоналей этого квадрата.
29. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
30.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.
31.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.
33.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний.
Найдите угол .
34. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
35. Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .
36.
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.
Калькулятор теоремы Пифагора | День Пи
a² + b² = c²
Периметр
Вернуться на страницу калькуляторов
В этой статье мы узнаем все о прямоугольных треугольниках.
Я уверен, вы понимаете, что я имею в виду под «правильным углом», верно? Да! Угол 90 o называется прямым углом, а треугольник с внутренним углом 90 o называется прямоугольным треугольником. У него много особых свойств, и мы рассмотрим их здесь.
Прежде чем мы погрузимся во все формулы и теорию, давайте представим сценарий из реальной жизни, чтобы лучше понять важность изучения прямоугольного треугольника. Представьте, что вы хотите помыть окно в спальне на 1-м -м этаже и у вас есть 13-метровая лестница. Чтобы добраться до окна, вы ставите лестницу так, чтобы основание лестницы находилось на расстоянии 5 метров от стены. Можете ли вы определить высоту окна от земли?
Можно, если знаешь теорему Пифагора. Три стороны прямоугольного треугольника имеют уникальное математическое соотношение, которое было впервые доказано греческим математиком Пифагором, и это то, что мы собираемся изучить здесь. Три стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия, как показано на диаграмме ниже:
Две стороны, образующие прямой угол (90 градусов) друг к другу, называются «перпендикуляр» (или «высота») и «основание».
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Теорема Пифагора (или иногда называемая теоремой Пифагора) утверждает, что:
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов перпендикуляра и основания
Математически это означает:
Это довольно полезное уравнение, и если мы знаем две стороны прямоугольного треугольника, мы можем легко вычислить длину третьей стороны.
Если известны основание и перпендикуляр, то гипотенуза равна:
Если известны гипотенуза и основание, то перпендикуляр равен:
Наконец, если гипотенуза и перпендикуляр равны известно, что основание равно:
Теперь вернемся к нашему примеру:
Обратите внимание, что лестница у стены образует прямоугольный треугольник, поскольку стена стоит прямо (то есть ровно под углом 90 градусов к земле). Теперь ясно, что c = 13 м и b = 5 м, а «а» — это неизвестное, которое мы хотим вычислить (высота окна).
Зная теорему Пифагора, сделать это теперь довольно просто:
Итак, высота окна 12 метров! Точно так же, используя приведенные выше формулы, можно вычислить любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие стороны.
Возможно, вам интересно, как определить, какая сторона является перпендикуляром, а какая — основанием. В конце концов, есть две стороны, которые пересекаются, образуя прямой угол, и треугольник может иметь любую ориентацию.
Честно говоря, в случае с теоремой Пифагора это не имеет значения. Вам просто нужно быть осторожным с маркировкой «гипотенуза», которая всегда противоположна прямому углу. Стороны «a» и «b» не имеют значения, просто обозначьте одну сторону прямого угла как «a», а другую — как «b».
Но маркировка сторон важна, когда мы используем тригонометрические функции по отношению к сторонам прямоугольного треугольника. Что такое простые тригонометрические функции? Это знаменитые: синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan).
Интересная особенность прямоугольного треугольника заключается в том, что если мы знаем один угол, кроме прямого угла (90 градусов), и длину одной стороны, мы можем вычислить длину двух других сторон. Давайте посмотрим, как:
Когда вы знаете один угол, кроме прямого, θ 9 гипотенуза
Важно, чтобы вы запомнили эти правила и правильно обозначили стороны, потому что формулы, которые мы собираемся обсудить далее, действительны только в том случае, если стороны помечены согласно правилам.
Соотношение между сторонами и углами следующее:
Слишком сложно запомнить? Не волнуйтесь, есть короткий путь, чтобы запомнить эти соотношения. Просто запомните это предложение:
Обратите внимание на заглавные синие буквы в формулах и предложениях, и вы поймете, о чем я говорю!
Давайте сделаем пример.
Ниже приведен прямоугольный треугольник:
Найдите длины двух других сторон.
Первый шаг — пометить стороны в соответствии с правилами.
Сторона, лежащая против прямого угла, является гипотенузой, сторона, лежащая против другого заданного угла, является перпендикуляром, а оставшаяся сторона является основанием.
Теперь вы можете легко вычислить длину перпендикуляра и основания, используя приведенные выше формулы. Сначала вычислим перпендикуляр.
Затем мы вычисляем основание:
Мы можем проверить наш ответ, проверив, удовлетворяют ли рассчитанные нами длины теореме Пифагора:
Теорема проверена! Это означает, что все наши расчеты верны. Небольшая погрешность связана с округлением в расчетах. Если посчитать прямо на калькуляторе, не округляя ответ, то сумма квадратов основания и перпендикуляра будет ровно 225.
Заключительные мысли!
Итак, мы узнали все об особых свойствах прямоугольного треугольника. Эти формулы очень важны и имеют большое применение в реальной жизни и различных инженерных задачах. Как только вы изучите все важные понятия, вы можете пропустить лихорадочные расчеты и просто использовать наши Калькулятор Пифагора сделает вашу жизнь проще! Изучайте наш веб-сайт дальше, чтобы изучать другие темы, связанные с математикой, простым и интересным способом!
Математика, красноречиво: а плюс б, в квадрате
Давай, попробуй так: спроси школьного учителя математики о единственной ошибке учащегося во всех классах, которая вызывает наибольшее возмущение. Бьюсь об заклад, что наиболее частый ответ, который вы получаете, — это какая-то версия того, как учащиеся неправильно возводят в квадрат сумму двух чисел (например, ( a + b ) 2 ), чтобы получить сумму квадратов отдельных чисел (как в a 2 + b 2 ). Однако на самом деле эти выражения не равны; это не то, как возведение в квадрат работает. Действительно, по моему опыту, студенты, которые могут усвоить интуицию о том, почему они не равны, с гораздо большей вероятностью преуспеют в будущем. Этот урок попытается разобраться в этом неравенстве:
Прежде чем объяснять, почему это неправда, я думаю, важно понять, почему так много людей так думают это правда. Есть несколько причин, по которым учащийся может думать, что это правда, и у каждой из этих причин есть своя логика.
(1) Я знаю, что это верно для умножения:
, так почему же это не так, если вместо них стоит символ сложения?
Это классический случай, когда учащийся уделяет больше внимания обозначениям, чем тому, что на самом деле означают символы . Возведение в квадрат означает умножение выражения на само себя: ( ab ) 2 означает ( ab )( ab ). Но самое главное, это целая куча умножений. А мы все знаем, что перемножаемые элементы можно перегруппировывать и переставлять по своему желанию (формально мы говорим, что умножение ассоциативно и коммутативно). И когда вы перегруппируете и перегруппируете, вы увидите, что два a и два b умножены вместе; таким образом, а 2 б 2 . Но посмотрите на что ( а + b ) 2 означает: ( a + b )( a + b ). Где возможность так просто переставить? Это не там. Смесь плюс и умножить на усложняет работу с этим выражением, чем если бы это было все умножение.
(2) Я знаю, что это законно делать то, что называется «распространением»:
, так почему я не могу распространять экспоненту так же, как я могу распространять этот забавный символ? (Что это вообще такое?)
Эта штука — заглавная греческая буква «пси», и я использовал ее, чтобы продемонстрировать, как что-либо может быть распределено, даже если это выглядит сложно (эта идея нам понадобится через минуту). Но многие студенты не знают, что слово «распределить» на самом деле является прозвищем для гораздо более длинного описания процесса, показанного выше: это «распределительное свойство умножения над сложением». Распространение листовок на парковке означает, что каждый человек на парковке получает листовку, а распределение умножения на сложение означает, что каждый элемент сложения ( a и b ) умножаются. Это просто факт о нашей системе счисления, что вы можете добавить два числа, прежде чем умножать сумму на третье число (левая часть приведенного выше уравнения), или вы можете сначала умножить каждое из двух чисел на третье число по отдельности. (правая сторона), затем добавьте продукты, и вы получите тот же результат. На самом деле уравнение в (1) выше является демонстрацией другого дистрибутивного свойства: «дистрибутивного свойства показателей степени при умножении». И это верно, потому что умножение ассоциативно и коммутативно.
Но «распределительное свойство показателей степени над сложением» просто неверно. Различные дистрибутивные свойства — это разные математические процессы (тонкость, которую вы можете упустить, если не знаете их полных названий), и не все они должны быть действительными. На самом деле, большинство из них таковыми не являются; любой, который является действительным , особенный и важный.
(3) Но… кажется, что они должны быть равны!
Ну… может быть, только сначала. Это распространенное заблуждение, что математические процессы, которые выглядят прямо на странице или кажутся правильными в вашей голове, должны быть правдой. Математики подходят к этому в совершенно противоположном направлении — в некотором смысле ничто не должно быть истинным, пока вы не докажете, что это правда. И равенство в данном случае просто… не верно! Очень жаль! Повезло! Ну что ж, научимся с этим справляться!
Как только вы внимательно посмотрите на эту ситуацию, используя примеры и различные математические интерпретации, вы обнаружите, что вы, вероятно, даже не верите, что две стороны могут быть равны. У вас уже есть знания, чтобы убедить себя в этом. Давайте посмотрим на некоторые из этих примеров.
Если вы находитесь в кондитерской, набираете конфеты в пакет и покупаете полтора фунта конфет по цене 1,50 доллара за фунт, сколько с вас возьмут? Вы можете не знать ответ сразу, но держу пари, вы знаете, что 1,25 доллара — смехотворный ответ. Вы покупаете больше фунта конфет, поэтому цена будет всего имеют больше, чем 1,50 доллара. Тем не менее, если вы думаете, что квадрат суммы — это сумма отдельных квадратов, вам придется поверить, что 1,25 доллара — это правильно:
Полтора фунта умножить на полтора доллара за фунт. не равняется одной с четвертью долларов. Обратите внимание на ключевое расположение знака «не равно». Убедитесь, что вы понимаете причину каждого шага этой математической строки.
Держу пари, ты, вероятно, можешь возвести в квадрат число 20 в уме. 2 умножить на 20 будет 40, поэтому 20 умножить на 20 будет 400. Возможно, вы не так быстро возведете 21 в квадрат. Фактический ответ не важен, но есть ли у вас интуиция, что это не 401? Что ж, эта интуиция исходит из глубокой интуиции, что квадрат суммы не является суммой отдельных квадратов:
Опять же, какая-то часть вашего мозга уже знает, что (20 + 1) 2 не одно и то же. как 20 2 + 1 2 .
Чему тогда соответствует ( a + b ) 2 ? Или, другими словами, существует ли выражение без круглых скобок, которое всегда имеет одно и то же значение? Формальная алгебра ниже. Он использует распределительное свойство умножения вместо сложения, которое мы видели выше. Популярный термин для процесса, который вы, возможно, знаете, — FOILing:
Опять же, убедитесь, что вы понимаете каждый шаг этого процесса.
Теперь, A 2 + 2 AB + B 2 не совсем очевидный способ перезаписывания ( A + B ) 2 , но у него есть преимущество. быть правильным! Однако, если вы попытаетесь интерпретировать это по-другому (например, геометрически), это может иметь гораздо больше смысла. Естественный способ понять концепцию возведения в квадрат — посмотреть на площадь квадрата, которая рассчитывается путем возведения в квадрат. Итак, ниже изображен квадрат, каждая сторона которого равна а + б длинн. Чтобы было понятнее, эти стороны разбиты на отдельные части a и b .
Спрашивать о ( a + b ) 2 то же самое, что спрашивать о площади всего квадрата. Но весь квадрат разбит на меньшие квадраты и прямоугольники, и мы знаем достаточно информации, чтобы рассчитать каждую из этих меньших частей по отдельности. Площади двух меньших квадратов рассчитаны ниже.
Обратите внимание, что площади двух меньших квадратов вместе взятые далеки от общей площади большого квадрата. В терминах алгебры мы должны были бы сказать, что ( a + b ) 2 просто должно быть больше, чем a 2 + b 2 . Конечно, это означает, что они не могут быть равны, что мы и пытались понять! Однако на самом деле эта картина говорит нам даже больше. Это говорит нам, насколько больше. Каждый из синих прямоугольников имеет длину a и ширина b , поэтому каждый из них имеет площадь a умножить на b .