Несобственный интеграл онлайн: Неопределенный интеграл

Несобственные интегралы — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Рассмотрим интегралы, у которых один или оба
предела интегрирования бесконечны, или когда
функция
не
ограничена
на
отрезке
интегрирования.
Такие интегралы называются несобственными.
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема
на произвольном отрезке [a,t].
Т.е. для t>a определена функция
t
Ф(t ) f ( x)dx
a

Несобственным интегралом
f ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
[a, )
называется предел функции Ф(t) при
t
lim
t
t
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся к данному пределу.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
Геометрический смысл несобственного интеграла
основан на геометрической интерпретации
определенного интеграла на отрезке [a,t].
Это площадь бесконечной области, ограниченной
сверху неотрицательной функцией f(x), снизу –
осью х, слева – прямой х=а.
y f (x)
y
x a
x
Вычислить интеграл
1
1 x 2 dx
1
t
1
1
dx lim 2 dx
2
t
x
x
1
1t
1
lim
lim 1 1
t
t
x
t
1
Аналогично можно определить несобственный
интеграл на промежутке ( , b]
b
lim
t
t
b
f ( x)dx
f ( x)dx
Рассмотрим
несобственный
интервале ( , )
интеграл
на
Пусть для некоторого числа a несобственные
интегралы
a
f ( x)dx
и
f ( x)dx
a
— сходятся. Тогда положим
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
и интеграл
f ( x)dx
тоже сходится.
Если хотя бы один из интегралов в левой части
расходится, то будет расходится и интеграл
f ( x)dx
Вычислить интеграл
e dx
x
Исследуем на сходимость интегралы
0
e
x
dx
и
0
x
dx
0
e dx lim e dx lim e
0
e
x
x
t
t
t
t
0
e 1 — сходится.
t
x
e
dx lim
x
t
e
dx
lim
e
1
0
0
t
t
e dx
x
— расходится.
— расходится.
В рассмотренных примерах сначала с помощью
первообразной
вычислялся
интеграл
по
конечному промежутку, а затем осуществлялся
переход к пределу.
Если
для
функции
y=f(x)
первообразная F(x) на всем
интегрирования
существует
промежутке
[a, )
то по формуле Ньютона-Лейбница
t
f ( x)dx F (t ) F (a) F ( x)
a
t
a
Отсюда следует, что несобственный интеграл
существует только в том случае, если существует
конечный предел
lim F (t ) F ( )
t
И тогда можно записать:
f ( x)dx F ( x)
a
a
F ( ) F (a)
Аналогично:
b
f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx F ( x)
b
F (b) F ( )
F ( ) F ( )
Вычислить интеграл
1
2 x 2 1 dx
1
1 x 1
2 x 2 1 dx 2 ln x 1
2
1 1
0 ln ln 3
2 3
Пусть
функция
y=f(x)
непрерывна,
но
неограничена на полуинтервале [a,b). Для
определенности положим, что она ограничена и
интегрируема на любом отрезке
[ a, b ]
0 b a
но неограничена в любой окрестности точки b
или на промежутке [b , b]
Несобственным интегралом
b
f ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
называется предел
b
lim
0
где
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
[ a, b)
Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
Точка b называется особой точкой.
Аналогично
можно
ввести
понятие
несобственного интеграла от функции y=f(x)
непрерывной
но
неограниченой
на
полуинтервале (a,b]:
b
lim
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
Вычислить интеграл
1
0
1
dx
x
Особая точка х=0.
1
1 1
2
1
dx 2 x
x
1
1
dx lim 2(1 ) 2
0
x
0
2(1 )
ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Если функция y=f(x) неограничена при х=С, где
C ( a, b)
то интеграл
b
f ( x)dx
a
тоже называется несобственным:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Если a и b – особые точки, т.е. функция y=f(x)
неограничена и интегрируема на интервале
( a, b)
то несобственный интеграл определяется как
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Где С – произвольная точка на (a,b).
Вычислить интеграл
1
1
1
1 x
2
dx
Особые точки: х=-1, х=1.
1
1
0
1
1 x2
dx lim
0
1
1
1 x2
1
dx lim
0
1
1 x2
0
1
0
lim arcsin x 1 lim arcsin x 0
0
0
lim arcsin( 1 ) lim arcsin( 1 )
0
0
arcsin( 1) arcsin( 1)
2
2
dx
Пусть функция y=f(x) интегрируема на всем
промежутке [a,b], причем b – особая точка. Если
существует первообразная F(x), имеющая предел
в особой точке х=b или непрерывная на отрезке
[a,b], то для вычисления несобственного
интеграла имеет место формула НьютонаЛейбница:
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
b
Вычислить интеграл
1
x
1
2
3
dx
Особая точка
функции
х=0,
однако
3x
первообразная
1
3
непрерывна в этой точке, поэтому данный
интеграл существует:
1
x
1
2
3
dx 3x
1 1
3
1
3(1 ( 1)) 6

English     Русский Правила

Несобственные интегралы

Репетиторы ❯ Высшая математика ❯ Несобственные интегралы

Автор: Андрей Зварыч

●

12. 06.2015

●

Раздел: Высшая математика

Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах. 

Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.

С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:

1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих

бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b]  (b> a– произвольные действительные числа).

Определение 1.1. Предел  интеграла при b→+∞  называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом: 

 

Если предел (1.1) есть конечное число, то несобственный интеграл   называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный  интеграл называют

расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Вычислим определенный интеграл

Имеем

Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен

Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является

признак сравнения.

Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Тогда:

Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл 

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл  определяется равенством:

где с – произвольное действительное число.  

2. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0  она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [

a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].

Определение 1.2. Предел определенного интеграла  при ɛ→0  называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]  и обозначается символом

Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:

Если пределы (1.4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.

В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.

Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

а) функция  
 
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая. Предельное значение

 

существует; таким образом,

ограничена и непрерывна, но

 расходится.

Пример 1.3.  Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение

Решение.

если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;

 

если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:

так и при 0 < α < 1:

Пример 1.4. Найти несобственный интеграл

Решение. Функция  непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем

Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.

Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

то есть, несобственный интеграл  расходится

то есть, несобственный интеграл I₂ сходится и равен .

Пример 1. 5. Исследовать на сходимость интегралы:

Решение.

Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь. 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Высшая математика

Высшая математика для студентов экономических и гуманитарных специальностей

Высшая математика

Высшая математика для студентов технических специальностей

Информатика и ИКТ

Курс ЕГЭ по информатике

Немецкий язык

Курсы немецкого языка для начинающих

Итальянский язык

Курсы итальянского языка для начинающих

Английский язык

Разговорный английский

Обществознание

Курсы по обществознанию подготовка к ГИА

Несобственный интеграл онлайн

Определенный интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) предела интегрирования равны или же . В этом случае интеграл называется неправильный интеграл первого рода , например: .

В любой точке интервала интегрирования подинтегральная функция имеет разрыв. В этом случае интеграл называется неправильный интеграл второго рода , например: в точку .

Рассмотрим в качестве примера неправильный интеграл первого рода . График субинтегральной функции на интервале интегрирования изображен ниже:

Геометрически этот несобственный интеграл равен площади под функцией график на интервале . Рассматриваемый интеграл сходится, так как указанная площадь равна — конечное число. Однако несобственный интеграл также может расходиться, например:

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода:

Прежде всего, заменим бесконечный предел некоторым параметром, например и получить определенный интеграл. Полученный интеграл вычисляется обычным способом: находим неопределенный интеграл а затем использовать формулу Ньютона-Лейбница. На заключительном этапе рассчитываем ограничение за и если этот предел существует и конечен, то исходный несобственный интеграл сходится, иначе — расходится.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода состоит в разбиении отрезка интегрирования на отрезки, в каждом из которых функция подинтеграла непрерывна (разрывы допускаются только на концах отрезков). Далее, полученный определенные интегралы вычисляются путем применения соответствующих пределов при использовании формулы Ньютона-Лейбница. И если все эти пределы существуют и конечны, то, как и прежде, интеграл сходится, иначе — расходится. Рассмотрим пример:

Наш онлайн-калькулятор, основанный на альфа-системе wolfram, способен находить широкий спектр различных несобственных интегралов.

Калькулятор несобственных интегралов

Переменная интеграции xyztupqnms

Верхняя граница 01π-π∞-∞ручной ввод

Нижняя граница 01π-π∞-∞ручной ввод

∞∞ex2dx

Установить калькулятор на свой сайт

См.

также: Калькулятор ряда Фурье
Калькулятор обратного преобразования Лапласа

Оставьте свой комментарий:

---

Калькулятор несобственных интегралов

Калькулятор несобственных интегралов

Калькулятор несобственных интегралов используется для измерения определенных интегралов с заданными пределами. Этот сходящийся или расходящийся интегральный калькулятор может измерить сходимость или расхождение функции.

Наш калькулятор интегральной сходимости находит площадь под кривой от нижнего предела до верхнего предела.

Как работает этот неправильный интегральный калькулятор?

Выполните следующие действия, чтобы измерить сходимость или расхождение функции.

• Введите неправильную функцию.
• Используйте значок клавиатуры для ввода математических клавиш.
• Запишите верхний предел и нижний предел. Напишите « inf » для бесконечности и « пи ”для π.

  No related posts.