А в квадрате равно а в квадрате: Арифметический квадратный корень — урок. Алгебра, 8 класс.

Квадрат и его свойства, диагонали квадрата, площадь квадрат, теорема

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
   
   
   
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
   
   
3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
   
4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
   
   
5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
   
   

 

 

 

 

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

Тогда по формуле площади квадрата:

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: 

Периметр квадрата со стороной 3 равен: 

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью .

Решение:

Площадь круга  откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными .

 

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: 5.

 

Возводить в квадрат легко и просто

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шмакова А.Р. 1

---

1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)

Лаптева Т.П. 1

---

1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.

Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение.

Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.

Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.

Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.

Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.

Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.

2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.

4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.

Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.

Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.

Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»^[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.

Основная часть

История возникновения квадрата числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней^[5].

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский ^[2] описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

П рошло много времени и у Рене Декарта^[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,… Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.

Немецкий ученый Лейбниц^[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и

применял знак а^2[5].

Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

У чись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:

Способности;

Алгоритмы;

Тренировка;

Опыт.

Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно^[1].

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 · 5 = 1200 + 25 = 1225.

75² = 5600 + 25 = 5625.

85² = 7225.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.

Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.

52² = (5 · 5 + 2) · 100 + 2 · 2 = 2700 + 4 = 2704.

54² = (25 + 4) · 100 + 16 = 2916.

58² = 3300 + 64 = 3364.

51² = 2601.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.

71²; 71→70→70² = 4900; 71² = 4900 + 71 + 70 = 5041.

41² = 1600 + 41 + 40 = 1881.

81² = 6400 + 161 = 6561.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.

59²; 59 → 60→60² =3600; 59² = 3600 – 60 – 59 = 3600 – 119 = 3481.

29² = 900 – 29 – 30 = 841.

79² = 6400 – 159 = 6241.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.

84²; 84→85→85² = 7225; 84² = 7225 – 84 – 85 = 7225 – 169 = 7056.

34² = 1225 – 34 – 35 = 1225 – 69 = 1156.

74² = 5625 – 149 = 5476.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.

56²; 56→55→55² = 3025; 56² = 3025 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

36² = 1225 + 36 + 35 =1296.

76² = 5625 + 151 = 5776.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.

1) 44² = (15 + 4) · 100 + (50 – 44)² = 1900 + 36 = 1936.

2) 43² = 18 · 100 + 7² = 1800 + 49 = 1849.

3) 48² = 2300 + 4 = 2304.

Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.

б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.

1) 37² = (37 – 25) · 100 + (50 – 37)² = 12 · 100 + 13² = 1200 + 169 = 1369.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

2) 28² = 3 · 100 + 22² = 300 + 484 = 784.

3) 46² = 2100 + 16 = 2116.

4) 39² = 1400 + 121 = 1521.

Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.

в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.

1) 57² = (25 +7) · 100 + (57 – 50)² = 32 · 100 + 7² = 3200 + 49 = 3249.

2) 52² = 2700 + 4 = 2704.

3) 59² = 3481.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

1) 58² = (58 – 25) · 100 + (58 – 50)² = 33 · 100 + 8² = 3300 + 64 = 3364.

2) 71² = 46 · 100 + 21² = 4600 + 441 = 5041.

Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.

Возведение в квадрат числа, близкого к 100.

97² = (97 – 3) · 100 + 3² = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.

94² = (94 – 6) · 100 + 6² = 8800 + 36 = 8836.

98² = 9604.

Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, надо из него вычесть дополнение данного числа до 100, к результату приписать квадрат дополнения.

Если квадрат дополнения является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

а) Метод «пирамидка».

38² = (30 + 8)² = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +

+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3² · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8² = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.

М ожно оформить решение так: 38² = 964 3² = 3 · 3 = 9 и 8² = 8 · 8 = 64 ⇒ 964

24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка

+ 24 3 · 8 · 10 = 240 или 24 десятка, поэтому

1444 можно под числом 964 записать два

раза число 24, сдвинув его на одну

цифру влево, получилась «пирамидка».

27² = 449 + 280 = 729.

84² = 6416 + 640 = 7056.

б) Метод «перекидки».

42² = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2² = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764

78² = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.

в) Метод «округления».

1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:

47² = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3² = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.

26² = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.

Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:

73² = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3² = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.

82² = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.

г) Метод замены квадрата числа произведением.

29² = (29 – 9) · (29 + 9) + 9² = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.

86² = (86 – 6) · (86 + 6) + 6² = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.

54² = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.

д) Метод понижения числа на единицу.

28² = (28 – 1)² + 28 + (28 – 1) = 27² + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.

56² = 55² + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.

Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.

Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.

Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.

Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.

Напомню: 35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5² = 1200 + 25 = 1225.

Возведём по этому способу в квадрат число 36.

Мы знаем, что 36² = 1296.

3 · (3 + 1) · 100 + 6² = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 < 1296 на 60.

Где же взять число 60? Можно догадаться, что 60 = 30 · 2, то есть удвоенное число десятков. Тогда получаем:

36² = 3 · 4 · 100 + 6² + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.

Рассмотрим другие примеры.

56² = 5 · 6 · 100 + 6² + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.

46² = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.

Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:

Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.

Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:

39² = 3 · 4 · 100 + 9² + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.

240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.

А как возвести в квадрат число, если цифра единиц меньше 5. Например, 73².

Число 73 < 75, значит, применяя приём возведения в квадрат для 75, квадрат числа 73 будет меньше.

73² = 5329;

73² = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 5609.

Решим уравнение: 73² = 5609 – х

5329 = 5609 – x

х = 5609 – 5329

х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.

Эврика! Способ найден!

73² = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.

М ожно оформить решение и так: 73² = 5609 7 · 8 = 56; 3 · 3 = 9 ⇒ 5609

— 28 70 · 2 · 2 = 280; это 28

5329 десятков, поэтому второе

число можно подписать

под первым, сдвинув его влево на одну цифру.

Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 1₄, 2₃, 3₂, 4₁, 5, 6₁, 7₂, 8₃, 9₄ от цифры 5.

Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.

68² = 6² · 100 + 8² + 60 · 8 + 60 · 8 = 3664 + 480 + 480 = 3664 + 960 = 4624.

68² = 6 · 7 · 100 + 8² + 60 ·2 · 3 = 4264 + 360 = 4624.

Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.

Заключение.

Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:

к сокращению времени на вычисления;

к защите от массы вычислительных ошибок;

к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.

Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.

Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.

Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово^[5]!

Литература

Умножай с умом. Учебно-методическое пособие для учащихся общеобразовательных учреждений /Лаптева Т.П. – М.: Перо, 2017.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофант_Александрийский

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_(Декарт)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм

https://mirurokov.ru/открытый-урок/возведение-в-степень/история-возникновения-степени-числа.html

14

Просмотров работы: 10667

2$

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$

Вопрос:
Если A — квадратная матрица такая, что $A^2=A$, то $A^n =A$ для всех натуральных чисел $n$ больше единицы. Что такое $A$, если $A \ne 0$ и $A \ne I$.

Я придумал ответ, но не могу сказать, единственный ли это ответ. Предположим, что $a_{kk}$ является значением в $A$. Каждое значение в $A$ равно $0$, кроме $a_{kk}$ и $a_{00}$, они равны $1$. Я не получил этот ответ математически.

Я попробовал несколько подходов, но остановился на матрице идентичности.

• линейная алгебра

$\endgroup$

7

$\begingroup$ 92$, но $A\neq 0,I$. Блоки (квадратные) могут быть любого размера, поэтому мы получаем несколько примеров. Вплоть до сходства, эти тоже единственные. См. «канонические формы» в статье в Википедии.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Такая матрица называется идемпотентной . Вот несколько примеров и свойств.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.