А в степени 3 б в степени 3: Формулы сокращённого умножения

2

Урок 2. степень числа — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 2

Степень числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие степени числа.

Свойства степеней.

Тезаурус

Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Произведение шести множителей, каждый из которых равен 8, называют шестой степенью числа 8 и обозначают 8⁶, т.е.

8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 8⁶.

При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.

А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:

степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Запись aⁿ читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.

А вот следующие записи можно произносить по-разному:

a²– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;

a³ – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».

Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:

степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:

a¹ = a;

любое число в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1;

ноль в любой натуральной степени равен нулю:

0ⁿ = 0;

единица в любой степени равна 1:

1ⁿ = 1.

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

Примеры. Возведём в степени:

(−91)⁰ = 1

0¹⁴⁴ = 0

1²³⁶ = 1.

При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Рассмотрим несколько примеров.

Возведём в степень

2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

2,5³ = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625

Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.

Например, (-2)⁵. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5- нечётное число. (-2)⁵ = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.

(-5)⁴. А вот в этом примере ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.

(-5)⁴ = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

Рассмотрим такой пример: 4² ∙ 5² = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5)² = 20² = 400.

Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:

aⁿ∙ bⁿ = (a ∙ b)ⁿ

Приведём еще такой пример: 5² ∙ 5⁵ = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5⁷.

Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т. е.

aⁿ ∙ a^m = a^n+m

Наконец, рассмотрим равенство:

(7²)³ = (7 ∙ 7)³ = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 7⁶.

Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.

(aⁿ)^m = a^n∙m

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	Число	Основание	Показатель степени
1.	255
2.	1113
3.	1356

Для заполнения пропусков вспомним, что такое основание и показатель степени.

	Число	Основание	Показатель степени
1.	255	25	5
2.	1113	11	13
3.	1356	135	6

№2. Тип задания: Чему равно произведение 5⁴ ∙ 5¹¹ ∙ 4² ∙ 4¹³?

Варианты ответов:

(4 ∙ 5)¹⁵

4¹³ ∙ 5¹⁴

(4 ∙ 5)³⁰

4¹⁵ ∙ 5³⁰

Для решения задания, воспользуемся свойствами степеней: aⁿ∙a^m= a^n+m и aⁿ∙bⁿ= (a ∙ b)ⁿ

5⁴ ∙ 5¹¹ ∙ 4² ∙ 4¹³ = 5¹⁵ ∙ 4¹⁵ = (4 ∙ 5)¹⁵.

Верный ответ: (4 ∙ 5)¹⁵.

Ожоги. Особенности и степени тяжести. Первая помощь

Уважаемые родители чудесных мальчиков и девочек, а также их бабушки и дедушки! Окружающий мир не только прекрасен и интересен для вашего ребенка, но и таит опасные для него ситуации. Вы всегда рядом и первыми сможете помочь вашему малышу.

Скоро лето – пора отпусков и детских каникул, а это значит, что дети большее время будут проводить дома и на улице, в сельской местности и в походе у костра. Как дерматолог хочу обратить ваше внимание на часто встречающийся вид травмы – ожоги.

Ожоги – один из распространенных видов травм у детей и взрослых.

Разновидности ожогов

Ожоги бывают:

• термические,
• химические,
• электрические,
• лучевые.

Термические ожоги составляют более 90% от всех видов – это ожоги пламенем, горячим паром, горячей или горящей жидкостью, кипятком, ожоги от соприкосновения с раскаленными предметами, солнечные ожоги.

Особенно опасны ожоги для детей и пожилых людей.

Малыши чаще получают ожоги, опрокидывая на себя кипяток, горячее молоко или суп, прикасаясь к раскаленным предметам (батарея, утюг, электрическая плита, лампочка). Дети постарше, как правило, страдают при неосторожном обращении с огнем дома или на природе.

Cтепени тяжести

В зависимости от глубины поражения кожи различают следующие степени тяжести ожогов.

• Ожог 1 степени — это поражением самого поверхностного слоя кожи. Развивается выраженное покраснение кожи, ее отек, в пораженном месте отмечаются боли, чувство жжения. Эти явления стихают в течении 2-х дней, а через неделю наступает полное выздоровление.
• При ожоге 2 степени верхний слой кожи полностью погибает и отслаивается, при этом образуются пузыри, заполненные прозрачной жидкостью. Первые пузыри появляются уже через несколько минут после ожога, однако еще в течение 1 суток могут образовываться новые пузыри, а уже существующие — увеличиваться в размерах.
  Если течение болезни не осложнится инфицированием раны, то заживление наступает через 10-12 дней.
• При ожогах 3 степени кожа поражается практически на всю глубину. При этом образуются массивные пузыри с толстой оболочкой, заполненные кровянистым содержимым, напряженные и очень болезненные.
• Ожог 4 степени — это полная гибель всех слоев кожи, включая подкожно-жировую клетчатку, а также и нижележащих тканей — мышц, сухожилий, костей.

Каждый повреждающий фактор имеет свои особенности:

Пламя. Площадь ожога относительно большая, по глубине преимущественно 2-я степень. При первичной обработке раны представляет сложность удаление остатков обгоревшей одежды, незамеченные нити ткани могут в последующем служить очагами развития инфекции. Могут поражаться органы зрения, верхние дыхательные пути. Очень опасны ожоги пламенем в закрытых помещениях, так как к повреждению поверхности тела добавляются ожоги дыхательных путей горячим дымом, отравление угарным газом. Горячая жидкость. Площадь ожога небольшая, но относительно глубокая, преимущественно 2—3-й степеней.Пар. Площадь ожога большая, но неглубокая. Очень часто поражаются дыхательные пути.Раскалённые предметы. Площадь ожога всегда ограничена размерами предмета и имеет относительно чёткие границы и значительную глубину.

Как практикующий врач, хочу обратить ваше внимание на то, что, к сожалению, в большинстве случаев ожоги наносят не только физическую травму и косметические дефекты, но и длительную психологическую травму. Поэтому своевременная первая помощь и специализированная врачебная имеют огромное значение.

Что делать при ожоге?

Первое, что надо сделать при оказании помощи пострадавшему — это прекратить воздействие поражающего фактора. Если речь идет про ожог кипятком, то необходимо как можно быстрее снять (срезать) пропитанную горячей жидкостью одежду.

При воздействие пламенем наиболее правильным будет потушить горящую одежду водой, а потом снять. Если достаточного количества воды нет, тушить следует подручными средствами — плотной тканью, песком, землей. При этом не следует закрывать пострадавшего с головой — это может привести к вдыханию продуктов горения с последующим ожогом дыхательных путей и отравлению.

Не следует также сбивать пламя голыми руками, так как при этом спасатель сам может перейти в разряд пострадавших. Если пострадавший находился в закрытом помещении, как можно скорее вынесите его на свежий воздух.

Одежду и обувь с ребенка нужно обязательно снять полностью, так как в большинстве случаев мы не можем достоверно оценить, какие участки тела подверглись воздействию высокой температуры. Нужно помнить, что волосы также могут пострадать и вести себя как тлеющая одежда, концентрируя тепло и обжигать кожу головы, уши и лицо ребенка.

Удалять приставшую к телу одежду не следует, поскольку при этом есть риск дополнительно повредить обожженную поверхность. ОСОБЫЕ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ НАДО СОБЛЮДАТЬ, ЕСЛИ ОДЕЖДА СИНТЕТИЧЕСКАЯ, ТАК КАК ПРИ ГОРЕНИИ ОНА ПЛАВИТСЯ И ПРИЛИПАЕТ К КОЖЕ. Ни в коем случае не пытайтесь счищать прикипевший полимер!

При ожогах следует незамедлительно снять кольца, часы, браслеты, цепочки, бусы, поскольку в дальнейшем будет развиваться отек пораженного участка, и эти предметы могут сдавливать ткани с нарушением кровообращения вплоть до развития омертвления тканей.

Обязательно следует охладить пораженный участок — погружением в холодную воду, снег. Длительность воздействия холода колеблется от 3-5 до 15-20 минут. Слишком долго охлаждать обожженное место не следует, чтобы не вызвать спазм сосудов с последующим нарушением кровообращения в пораженном участке. Эта мера эффективна в течение 2 часов после получения ожога и не только уменьшает боль, но и — глубину поражения. Даже когда действие поражающего фактора прекращено, ожог продолжает развиваться и углубляться за счет того, что поверхностные слои кожи играют роль горячего компресса для нижележащих. Охлаждая поверхность тела, можно прервать этот процесс.

Параллельно охлаждению необходимо адекватное обезболивание. Для этого используют обезболивающие препараты — Парацетамол или Анальгин. На пораженную кожу наложить чистую сухую марлевую повязку и в короткие сроки показать врачу.

В случае глубоких ожогов следует воздерживаться от каких-либо манипуляций. Не надо пытаться самостоятельно очистить рану от приставших обрывков одежды и других загрязнений (данная манипуляция может привести к отслоению больших участков кожи, кровотечению, а впоследствии и к инфицированию ран), не следует самостоятельно вскрывать пузыри. На ожоговую рану следует наложить сухую стерильную повязку (при обширных ожогах завернуть пострадавшего в чистую простыню), после чего обратиться к врачу.

Масляные мази и другие жиросодержащие продукты при ожогах применять категорически нельзя. Такое действие только усугубит тяжесть поражения, а персоналу в больнице придётся удалять масляную плёнку, причиняя дополнительные страдания пострадавшему.

В случае любых ожогов обязательна незамедлительная консультация врача!

Выявление нарушений проводимости при помощи холтеровского мониторирования.

Мониторирование ЭКГ по Холтеру

#нарушение проводимости мониторирование экг # холтер экг # стаья # обзор

Аксельрод А.С., заведующая отделением функциональной диагностики
Клиники кардиологии ММА им. И.М. Сеченова

Нарушения проводимости встречаются в практике кардиолога реже, чем нарушения сердечного ритма. Тем не менее, значительная доля синкопальных состояний неясного генеза представлена именно нарушениями проводимости. Если они носят преходящий характер (что бывает довольно часто), выявить их при регистрации стандартной ЭКГ чрезвычайно трудно. В такой ситуации абсолютно показано последовательное использование 24-часового регистратора в течение 3 суток или однократное использование 72-часового регистратора.

Как известно, пациенты с различными нарушениями проводимости могут не предъявлять никаких жалоб в течение длительного времени. В таких ситуациях появление синкопальных состояний зачастую является первым показанием для проведения холтеровского мониторирования ЭКГ.

Во время суточной регистрации ЭКГ можно выявлять те нарушения проводимости, которые возникают только ночью. Разумеется, суточное мониторирование ЭКГ выявляет также связь нарушений проводимости с приемом лекарств, физической нагрузкой и т.д. Преходящие синоатриальные и атриовентрикулярные блокады, преходящие  частотозависимые     блокады внутрижелудочковой                     проводимости, изменение степени диагностированной ранее блокады, – вот неполный перечень наиболее частых нарушений проводимости, выявить которые можно лишь при длительном мониторировании ЭКГ.

При покупке программного обеспечения стоит обратить внимание на обязательное наличие в нем трех возможностей:

1. изменение  скорости  лентопротяжки:  такая  возможность  позволяет  более четко выставить границы интервала PQ и расстояния РР;

2. изменение общего  вольтажа: эта возможность позволяет увеличить амплитуду зубца Р и, таким образом, более четко его визуализировать в сомнительных случаях;

3. наличие линейки с  цветными растягивающимися  браншами:  при выставлении этих браншей на нужный Вам интервал, на фрагменте автоматически появляется его продолжительность в мсек.

Синоатриальные блокады связаны с замедлением (1 степень) или нарушением (2 и 3 степени) генерации или проведения импульсов синусового узла к миокарду предсердий и, соответственно, атриовентрикулярному узлу. Синоатриальная блокада может быть преходящей или постоянной, возникать при любой частоте сердечных сокращений и сочетаться с другими нарушениями проводимости и сердечного ритма.

Синоатриальную блокаду 1 степени можно заподозрить по фрагментам внезапного                   замедления  ритма  с  последующим его учащением (трудно дифференцировать с синусовой аритмией) во время холтеровского мониторирования.

При 2 степени СА блокады часть импульсов, возникающих в синусовом узле, не доходит до предсердий. При этом на ЭКГ регистрируется пауза (более 2 секунд) без предсердной активности: в отличие от АВ блокады, во время паузы при СА блокаде отсутствуют зубцы Р.

При

блокаде 2 степени I типа (частичная синоаурикулярная блокада с периодами Самойлова-Венкебаха) возникает                  прогрессирующее               укорочение интервалов РР перед длительной паузой – периодика Самойлова-Венкебаха. При этом степень  нарушения проведения            может        характеризоваться   отношением         числа синусовых импульсов, например, 3:2 и т.д. (в числителе выставляется число синусовых

импульсов, включая ожидаемый и не состоявшийся импульс, в знаменателе — число реально проведенных импульсов). Выявленная пауза при этом не кратна расстоянию РР основного ритма.

При синоатриальной блокаде   2 степени II типа (типа Мобитца) такой периодики                     не выявляется.   Этот  вариант  блокады  диагностируется  чаще. Выявленная пауза кратна или равна одному расстоянию РР основного ритма. Часто при таком варианте блокады с проведением 2:1 или при большей степени блокады возникает необходимость  дифференцировать                 фрагменты       мониторирования  с синусовой брадикардией. Нередко во время одной и той же холтеровской регистрации удается зарегистрировать оба типа СА блокады.

Обратите внимание на возможность Вашего программного обеспечения выводить в каждом из распечатанных фрагментов и продолжительность паузы, и значение ЧСС на фоне этой паузы. Такая разметка делает фрагмент очень наглядным и лишний раз подчеркивает его диагностическую значимость (рис.1).

Рис. 1.  Пациентка С., 64 лет, варианты синоатриальной блокады II степени:  А —
СА блокада 2 степени I типа с периодикой Самойлова-Венкебаха; Б – СА блокада
2 степени II типа с проведением 3:2.

А

Б

О III степени синоатриальной блокады (полная синоатриальная блокада или отказ синусового узла, «sinus arrest») говорят при отсутствии предсердных зубцов и наличии замещающих сокращений из дистальных центров автоматизма – АВ соединения или проводящей системы желудочков (рис. 2).

Нередко во время холтеровского мониторирования можно увидеть фрагменты нарушений проводимости, которые возникают на фоне дыхательной аритмии. В такой ситуации квалифицировать выявленные паузы бывает достаточно сложно. Так, например,   у  пациента   Ж.,   45   лет,   в   ночное         время   (с   2:00   до   5:00)   были зарегистрировали эпизоды нарушения СА проводимости без кратности и четкой периодики Самойлова-Венкебаха, 9 пауз более 4 сек, в том числе 2 эпизода остановки синусового узла.

Рис.2. Пациент Ж., 45 лет: А — эпизоды замедления СА проводимости без четкой кратности и периодики Самойлова-Венкебаха, Б – остановка синусового узла с образованием паузы 4.048 сек.

А

Б

Для начинающих докторов хочется отметить три важных момента:

1. нередко  степень  и  тип  блокады  могут  изменяться  в  зависимости  от времени суток;

2. отсутствие кратности интервала РР и продолжительности пауз может быть обусловлено сопутствующей синусовой аритмией, часто – дыхательной;

3. при квалификации паузы как СА блокады Вы должны быть абсолютно уверены, что данный фрагмент не является артефициальным: пауза дублируется             в обоих  отведениях. В                      сомнительных                     случаях мониторирование придется повторить.

Атриовентрикулярные блокады.

К атриовентрикулярным (АВ) блокадам приводит поражение проводящей системы на 2-м и 3-м уровне – проведение синусового импульса к атриовентрикулярному узлу, а  также  патология  самого  атриовентрикулярного  узла.  При  этом  возможна  как задержка   проведения   импульса   из   предсердий   через   АВ узел,   так   и полное прекращение его проведения.

Удлинение интервала PQ более 200 мсек у взрослых и более 170 мсек у детей свидетельствует   о   1   степени   АВ   блокады   (замедлении                                        АВ   проводимости). Случайное выявление этого варианта блокады в ночное время у пациентов, принимающих бета-адреноблокаторы и не предъявляющих никаких жалоб, является одним из наиболее частых благоприятных нарушений проводимости в практической кардиологии и может быть квалифицировано в заключении как «замедление АВ проводимости», если PQ не превышает 300 мсек (рис.3).

Рис. 3. Пациент Р., 57 лет: замедление AВ проводимости выявлялось во время ночного сна (интервал PQ достигал 240 мсек). А – PQ 146 мсек (15:10), Б – PQ 240 мсек (4:33).

А

 Б                                                    

Гораздо большую опасность несет в себе значимое (более 300 мсек) замедление АВ проводимости, которое уже в обязательном порядке должно быть квалифицировано в заключении как «АВ блокада 1 степени» (рис.4). При регистрации на ЭКГ покоя интервала PQ более 300 мсек пациенту показано суточное мониторирование ЭКГ для решения вопроса о необходимости коррекции терапии. Такое выраженное нарушение проводимости нередко прогрессирует в течение суток.

Рис.4. Пациент Г, 64 лет: АВ блокада 1 степени

«Выпадение» желудочкового комплекса (пауза, кратная длительности интервала RR) с регистрацией неизмененного зубца P (в отличие от синоатриальной блокады) является признаком AВ блокады 2 степени. При нарастающем удлинении интервала PQ перед паузой говорят о I типе частичной AВ блокады 2 степени с периодами Самойлова Венкебаха (I тип Мобитца). При отсутствии подобной периодики – диагностируется   II   тип AВ блокады   2   степени   (II   тип   Мобитца). Степень проведения удобно указывать при помощи соотношения 5:2, 3:2 и т.д. (первая цифра указывает количество зубцов Р, вторая — количество желудочковых комплексов QRS). Крайне полезным может оказаться            использование      графиков  (или                 таблиц) распределения пауз по часам. При этом наличие в Вашей программе графиков распределения гораздо удобнее: они нагляднее и позволяют быстро и правильно оценить преобладание пауз по часам (рис. 5).

Рис.5. Пациент Б, 76 лет: АВ блокада 2 степени II типа. А – стереотипный фрагмент блокады с образованием паузы 2.288 сек; Б – график распределения пауз по часам (выражено преобладание в ночное время)

А

Б

Полная   атриовентрикулярная блокада (АВ   блокада   3   степени,   полная поперечная блокада) выявляется как потеря связи между предсердными (зубец Р) и желудочковыми сокращениями                          (комплекс       QRS),      при  этом  предсердный          ритм оказывается чаще желудочкового (рис.6). На таких фрагментах можно увидеть наслоение зубцов Р на желудочковые комплексы QRS, поэтому возможность увеличения общего вольтажа (соответственно, и амплитуды зубца Р) оказывается просто необходимой.

Рис.6. АВ блокада 3 степени у пациентки Ж., 69 лет.

Нередко на фоне АВ блокады 3 степени регистрируются замещающие сокращения или ритмы (рис. 7).

Рис.7. Пациент Г, 64 лет: замещающий идиовентрикулярный ритм на фоне АВ блокады 3 степени.

Весьма часто у пациентов AВ блокада возникает эпизодически или ее степень изменяется в зависимости от времени суток. Возможно также появление редких эпизодов АВ блокады 2 степени в ночное время (как правило, в ранние утренние часы) при нормальном интервале PQ в течение остального времени мониторирования. Кроме того, при динамическом наблюдении пациента с АВ блокадой нередко можно увидеть прогрессирующее ухудшение АВ проводимости в течение нескольких лет (рис. 8).

Рис.8. Прогрессирующее ухудшение АВ проводимости у пациента Л., 45 лет: А – замедление АВ проводимости впервые выявлено в возрасте 45 лет; Б – АВ блокада 2 степени II типа в 46 лет; В и Г – 2 последовательных эпизода АВ блокады 3 степени 3:2 и 5:2 с образованием пауз 2.31 и 5.34 сек соответственно.

А

Б

В

Г

Каждый начинающий врач сталкивается с трудностями дифференциального диагноза между AВ блокадой 2 степени II типа и АВ блокадой 3 степени. Только при детальном сопоставлении фрагментов и использования возможности «обзор ЭКГ» можно сделать вывод о наличии полной поперечной блокады на спорном фрагменте.

Блокады ветвей пучка Гиса

Стандартная 12-канальная ЭКГ покоя позволяет четко диагностировать варианты нарушения проведения по системе Гиса. Во время суточного мониторирования ЭКГ имеется возможность выявить преходящие блокады ветвей пучка Гиса, которые регистрируются в ночное время или, наоборот, во время интенсивной физической активности.  Зачастую  они  являются  случайной  диагностической  находкой.  Тем  не менее, такие нарушения внутрижелудочковой проводимости (например, преходящая полная блокада левой ножки пучка Гиса) могут имитировать пароксизмальные желудочковые нарушения ритма и приводить к гипердиагностике жизненно опасных аритмий (рис.9).

Рис.9.  Пациентка К., 72 лет: преходящая полная блокада левой ножки пучка Гиса.
А – начало блокады, Б – конец блокады.

А

Б

Как правило, дифференцировать аберрацию проведения по системе Гиса от пароксизмальных желудочковых нарушений ритма несложно: для блокады характерен регулярный правильный ритм, ровные правильные циклы, отсутствие компенсаторной паузы (или удлинения RR-интервала) в конце фрагмента ритма из расширенных комплексов и плавное восстановление нормального синусового ритма. Ни одного из перечисленных  признаков нельзя увидеть на рис.10, что позволяет квалифицировать этот фрагмент как желудочковую тахикардию.

Рис. 10.  Пациент К., 79 лет: пароксизм неустойчивой желудочковой тахикардии

В заключении хочется отметить: для четкой диагностики нарушений проводимости нередко однократной холтеровской регистрации бывает недостаточно. При наличии сомнительных изменений, подозрительных на нарушения проводимости (особенно в ночные часы), исследование необходимо повторить с общей продолжительностью мониторирования до 72 часов.

Москва, 16.04.2009

Артроскопия коленного сустава. Поврежение менисков

Анатомия

 

В коленном суставе между бедренной и большеберцовой костью есть мениски – хрящевые прослойки полулунной формы, которые увеличивают стабильность сустава, повышая площадь контакта.

 

И наружный (латеральный), и внутренний (медиальный) мениск условно делятся на три части: заднюю (задний рог), среднюю (тело) и переднюю (передний рог).

 

По форме внутренний (медиальный) мениск коленного сустава обычно напоминает букву «С», а наружный (латеральный) — правильную полуокружность. Оба мениска образованы волокнистым хрящом и прикрепляются спереди и сзади к большеберцовой кости. Медиальный мениск, кроме того, прикреплен по наружному краю к капсуле коленного сустава так называемой венечной связкой. Утолщение капсулы в области средней части тела мениска образовано большеберцовой коллатеральной связкой. Прикрепление медиального мениска и к капсуле, и к большеберцовой кости делает его менее подвижным по сравнению с латеральным мениском. Эта меньшая подвижность внутреннего мениска приводит к тому, что его разрывы бывают чаще, чем разрывы наружного мениска.

Латеральный мениск покрывает большую часть верхней латеральной суставной поверхности большеберцовой кости и в отличие от медиального мениска имеет форму почти правильной полуокружности. Вследствие более округлой формы латерального мениска передняя и задняя точки прикрепления его к большеберцовой кости лежат ближе одна к другой. Чуть кнутри от переднего рога латерального мениска находится место прикрепления передней крестообразной связки. Передняя и задняя мениско-бедренные связки, прикрепляющие задний рог латерального мениска к медиальному мыщелку бедренной кости, проходят спереди и сзади от задней крестообразной связки и называются также связкой Хамфри и связкой Врисберга соответственно.

Латеральные мениски, распространяющиеся на суставную поверхность больше, чем в норме, получили название дисковидных; они встречаются, согласно сообщениям, у 3,5—5% людей. Говоря простыми словами дисковидный латеральный мениск означает, что он шире, чем обычный наружный мениск коленного сустава. Среди дисковидных менисков можно выделить так называемые сплошные дисковидные (целиком покрывающие наружный мыщелок большеберцовой кости), полудисковидные и варианты Врисберга. У последних задний рог фиксирован к кости только связкой Врисберга.

 

 

Сплошной дисковидный наружный мениск коленного сустава

 

По задненаружной поверхности сустава, через щель между капсулой и латеральным мениском, в полость сустава проникает сухожилие подколенной мышцы. Оно прикреплено к мениску тонкими пучками, выполняющими, по-видимому, стабилизирующую функцию. К капсуле сустава латеральный мениск фиксирован гораздо слабее медиального и поэтому легче смещается.

Микроструктура мениска в норме представлена волокнами особого белка – коллагена. Эти волокна ориентированы преимущественно циркулярно, т.е. вдоль мениска. Меньшая часть коллагеновых волокон мениска ориентирована радиально, т.е. от края к центру. Есть еще один вариант волокон – перфорантные. Их меньше всего, они идут «беспорядочно», связывая между собой циркулярные и радиальные волокна.

а – радиальные волокна, б – циркулярные волокна (их больше всего), в – перфорантные, или «беспорядочные» волокна

Радиально волокна ориентированы главным образом у поверхности мениска; перекрещиваясь, они образуют сеть, обеспечивающую, как полагают, устойчивость поверхности мениска к силе сдвига. Циркулярные волокна составляют основную часть сердцевины менисков; такое расположение волокон обеспечивает распределение продольной нагрузки на коленный сустав. В пересчете на сухое вещество мениск состоит примерно на 60—70% из коллагена, на 8—13% — из белков внеклеточного матрикса и на 0,6% — из эластина. Коллаген в основном представлен I типом и в небольшом количестве II, III, V и VI типами.

У новорожденных вся ткань менисков пронизана кровеносными сосудами, но уже к 9-месячному возрасту из внутренней трети менисков сосуды полностью исчезают. У взрослых сосудистая сеть имеется только в самой наружной части мениска (10—30% наружного края) и с взрослением кровоснабжение мениска только ухудшается. Стоит отметить, что с возрастом кровоснабжение мениска ухудшается. С точки зрения кровоснабжения мениск делится на две зоны: красную и белую. 

Поперечный срез мениска коленного сустава (на разрезе он имеет треугольную форму). Кровеносные сосуды заходят в толщу мениска снаружи. У детей они пронизывают весь мениск, но с возрастом кровеносных сосудов становится все меньше и у взрослых кровеносные сосуды есть только в 10-30% наружной части мениска, прилегающей к капсуле сустава. Первая зона – граница между капсулой сустава и мениском (красная-красная зона, или R-R). Вторая зона – граница между красной и белой зонами мениска (красная-белая зона или R-W зона). Третья зона – белая-белая (W-W), т.е. там, где нет кровеносных сосудов.

Сравнительно бедна сосудами и та часть латерального мениска, около которой в коленный сустав проникает сухожилие подколенной мышцы. К клеткам внутренних двух третей мениска питательные вещества поступают за счет диффузии и активного транспорта из синовиальной жидкости.

 

Фотография кровеносных сосудов латерального мениска (в кровоток был введен контрастный препарат). Обратите внимание на отсутствие сосудов в том месте, где проходит сухожилие подколенной мышцы (рыжая стрелка).

Передний и задний рога мениска, как и его периферическая часть, содержат нервные волокна и рецепторы, которые, предположительно, участвуют в проприоцептивной афферентации при движениях в коленном суставе, т.е. сигнализируют нашему мозгу о том, в каком положении находится коленный сустав.

 

Зачем нужны мениски?

В конце XIX века мениски считались «нефункционирующими остатками» мышц. Однако как только открылась важность функции, выполняемой менисками, их стали активно изучать.

Мениски выполняют разные функции: распределяют нагрузку, амортизируют толчки, уменьшают контактное напряжение, выполняют роль стабилизаторов, ограничивают амплитуду движений, участвуют в проприоцептивной афферентации при движениях в коленном суставе, т.е. сигнализируют нашему мозгу о том, в каком положении находится коленный сустав. Главными среди этих функций считаются первые четыре — распределение нагрузки, амортизация толчков, распределение контактного напряжения и стабилизация.

При сгибании и разгибании ноги в колене на 90 градусов на мениски приходится примерно 85% и 50—70% нагрузки соответственно. После удаления всего медиального мениска площадь соприкосновения суставных поверхностей уменьшается на 50—70%, а напряжение на их стыке возрастает на 100%. Полное удаление латерального мениска уменьшает площадь соприкосновения суставных поверхностей на 40—50% и увеличивает контактное напряжение на 200— 300%. Эти изменения, вызванные менискэктомией (т.е. операцией, при которой мениск удаляется полностью), часто ведут к сужению суставной щели, образованию остеофитов (костных шипов, наростов) и превращению мыщелков бедренной кости из округлых в угловатые, что хорошо видно на рентгенограммах. Менискэктомия отражается и на функции суставных хрящей. Мениски на 50% эластичнее хряща и потому играют роль надежных амортизаторов при толчках. В отсутствие мениска вся нагрузка при ударах без амортизации, падает на хрящ. Наконец, медиальный мениск препятствует смещению большеберцовой кости вперед относительно бедренной кости при повреждении передней крестообразной связки. При сохранной передней крестообразной связке утрата медиального мениска мало сказывается на переднезаднем смещении большеберцовой кости при сгибании и разгибании ноги в колене. Но при повреждении передней крестообразной связки утрата медиального мениска более чем на 50% увеличивает смещение большеберцовой кости вперед при сгибании ноги в колене на 90°. Вообще, внутренние две трети менисков важны для увеличения площади соприкосновения суставных поверхностей и амортизации ударов, а наружная треть — для распределения нагрузки и стабилизации сустава.

Как часто бывают разрыв мениска коленного сустава?

Разрывы менисков встречаются с частотой 60—70 случаев на 100 000 населения в год. У мужчин разрывы менисков возникают в 2,5—4 раза чаще, причем в возрасте от 20 до 30 лет преобладают травматические разрывы, а в возрасте от 40 лет — разрывы вследствие хронических дегенеративных изменений в мениске. Бывает, что разрыв мениска происходит и в 80-90 летнем возрасте. В целом чаще повреждается внутренний (медиальный) мениск коленного сустава.

 

Фотографии, сделанные при артроскопии коленного сустава: в полость сустава через разрез длиной 1 сантиметр введена видеокамера (артроскоп), которая позволяет осмотреть сустав изнутри и увидеть все повреждения. Слева – нормальный мениск (нет разволокнения, упругий, ровный край, белый цвет), в центре – травматический разрыв мениска (края мениска ровные, мениск не разволокнен). Справа – дегенеративный разрыв мениска (края мениска разволокнены)

 

В молодом возрасте чаще возникают острые, травматические разрывы менисков. Может произойти изолированный разрыв мениска, однако возможны и сочетанные повреждения внутрисуставных структур, когда повреждается, например, связка и мениск одновременно. Одной из таких сочетанных травм является разрыв передней крестообразной связки, который примерно в каждом третьем случае сопровождается разрывом мениска. При этом приблизительно в четыре раза чаще рвется латеральный мениск, более подвижный, как и вся наружная половина коленного сустава. Медиальный мениск, становящийся ограничителем переднего смещения большеберцовой кости при повреждении передней крестообразной связки, чаще рвется при уже поврежденной ранее передней крестообразной связке. Разрывы менисков сопровождают до 47% переломов мыщелков большеберцовой кости и нередко наблюдаются при переломах диафиза бедренной кости с сопутствующим выпотом в полость сустава.

Симптомы

Травматические разрывы. В молодом возрасте разрывы менисков происходят чаще в результате травмы. Как правило, разрыв происходит при кручении на одной ноге, т.е. при осевой нагрузке в сочетании с ротацией голени. Например, такая травма может произойти при беге, когда одна нога неожиданно встает на неровную поверхность, при приземлении на одну ногу с кручением корпуса, однако разрыв мениска может произойти и при другом механизме травмы.

Обычно сразу после разрыва появляется боль в суставе, колено отекает. Если разрыв мениска затрагивает красную зону, т.е. то место, где в мениске есть кровеносные сосуды, то возникнет гемартроз – скопление крови в суставе. Он проявляется выбуханием, отеком выше надколенника (коленной чашечки).

При разрыве мениска оторвавшаяся и болтающаяся часть мениска начинает мешать движениям в коленном суставе. Небольшие разрывы могут вызвать болезненные щелчки или ощущение затрудненного движения. При больших разрывах возможна блокада сустава вследствие того, что относительно большой размер разорванного и болтающегося фрагмента мениска перемещается к центру сустава и делает некоторые движения невозможными, т.е. сустав «заклинивает». При разрывах заднего рога мениска чаще ограничивается сгибание, при разрывах тела мениска и его переднего рога страдает разгибание в коленном суставе.

Боль при разрыве мениска может быть настолько сильной, что невозможно наступить на ногу, а иногда разрыв мениска проявляет себя только лишь болью при определенных движениях, например, при спуске с лестницы. При этом подъем по лестнице может быть совершенно безболезненным.

Стоит отметить, что блокада коленного сустава может быть вызвана не только разрывом мениска, но и другими причинами, например, разрывом передней крестообразной связк, свободным внутрисуставным телом, в том числе отшнуровавшимся фрагментом хряща при болезни Кёнига, синдромом «плики» коленного сустава, остеохондральными переломами, переломами мыщелков большеберцовой кости и многими другими причинами.

При остром разрыве в сочетании с повреждением передней крестообразной связки припухлость может развиться быстрее и быть более выраженной. Повреждения передней крестообразной связки часто сопровождаются разрывом латерального мениска. Это связано с тем, что при разрыве связки наружная часть большеберцовой кости вывихивается вперед и латеральный мениск ущемляется между бедренной и большеберцовой костями.

Хронические, или дегенеративные, разрывы чаще возникают у людей старше 40 лет; боль и припухлость при этом развиваются исподволь, и не всегда можно обнаружить их резкое усиление. Часто в анамнезе не удается обнаружить указаний на травму либо обнаруживается лишь очень незначительное воздействие, например сгибание ноги, приседание или даже разрыв может появиться просто при вставании с кресла. При этом тоже может возникнуть блокада сустава, однако дегенеративные разрывы чаще дают только боль. Стоит отметить, что при дегенеративном разрыве мениска часто поврежден и соседний хрящ, покрывающий бедренную или чаще большеберцовую кость.

Как и острые разрывы мениска, дегенеративные разрывы могут давать разнообразную выраженность симптомов: иногда от боли совершенно невозможно наступить на ногу или даже чуть-чуть подвигать ею, а иногда боль появляется только при спуске с лестницы, приседании.

Диагноз

Основной признак разрыва мениска – боль в коленном суставе, возникающая или усиливающаяся при определенном движении. Выраженность боли зависит от места, в котором произошел разрыв мениска (тело, задний рог, передний рог мениска),  размера разрыва, времени, прошедшего с момента травмы.

Еще раз отметим, что разрыв мениска может произойти и внезапно, без какой-либо травмы. Например, дегенеративный разрыв может произойти ночью, кода человек спит, и проявиться болью утром, при вставании с постели. Часто дегенеративные разрывы происходят и при вставании с низкого кресла.

На интенсивность боли влияет и индивидуальная чувствительность, и наличие сопутствующих заболеваний и травм коленного сустава (артроз коленного сустава, разрывы передней крестообразной связки, разрывы боковых связок коленного сустава, переломы мыщелков и другие состояния, которые сами по себе могут служить причиной болей в коленном суставе).

Итак, боль при разрыве мениска может быть разной: от слабой, появляющейся только изредка, до сильной, делающей движения в коленном суставе невозможными. Иногда от боли даже невозможно наступить на ногу.

Если боль появляется при спуске с лестницы, то скорее всего имеется разрыв заднего рога мениска. Если есть разрыв тела мениска, то боль усиливается при разгибании в коленном суставе.

Если коленный сустав «заклинило», т.е. возникла так называемая блокада сустава, то скорее всего есть разрыв мениска, а блокада обусловлена тем, что оторванная часть мениска как раз и заблокировала движения в суставе. Впрочем, блокада бывает не только при разрыве мениска. Например, сустав может «заклинить» и при разрывах передней крестообразной связки, ущемлении синовиальных складок (синдром «плики»), обострении артроза коленного сустава.

Диагноз разрыва мениска невозможно поставить самостоятельно – нужно обратиться к травматологу-ортопеду. Желательно, чтобы вы обратились к специалисту, непосредственно занимающемуся лечением пациентов с травмами и заболеваниями коленного сустава.

Сначала врач расспросит вас о том, как появилась боль, о возможных причинах ее появления. Затем приступает к осмотру. Врач тщательно осматривает не только коленный сустав, но и всю ногу. Сначала оцениваются амплитуда и болезненность движений в тазобедренном и коленном суставах, так как часть боль в тазобедренном суставе отдает в коленный сустав. Затем врач осматривает бедро на предмет атрофии мышц. Затем осматривают сам коленный сустав: в первую очередь оценивают есть ли выпот в коленном суставе, который может быть синовитом или гемартрозом.

Как правило, выпот, т.е. скопление жидкости в коленном суставе, проявляется видимым отеком над коленной чашечкой (надколенником). Жидкость в коленном суставе может быть кровью, в таком случае говорят о гемартрозе коленного сустава, что в дословном переводе с латыни означает «кровь в суставе». Гемартроз бывает при свежих разрывах менисков.

Если разрыв произошел давно, то в суставе тоже возможен выпот, но это уже не гемартроз, а синовит, т. е. избыточное скопление синовиальной жидкости, которая смазывает сустав и питает хрящ.

 

Отек правого коленного сустава. Обратите внимание на то, что отек расположен выше надколенника (коленной чашечки), т.е. жидкость скапливается в наднадколенниковой сумке (верхнем завороте коленного сустава). Для сравнения показано левое, нормальное колено

 

Разрыв мениска часто проявляется невозможностью полностью разогнуть или согнуть ногу в коленном суставе.

Как мы уже отмечали, основной признак разрыва мениска – боль в коленном суставе, возникающая или усиливающаяся при определенном движении. Если врач подозревает разрыв мениска, то он старается как раз спровоцировать эту боль в определенном положении и при определенном движении. Как правило, врач нажимает пальцем в проекции суставной щели коленного сустава, т.е. чуть ниже и сбоку (снаружи и кнутри) от надколенника и сгибает и разгибает ногу в колене. Если при этом возникает боль, то скорее всего есть разрыв мениска. Существуют и другие специальные тесты, позволяющие диагностировать разрыв мениска.

Основные тесты, которые выполняет врач для диагностики разрыва менисков коленного сустава.

Врач должен выполнить не только эти тесты, но и другие, позволяющие заподозрить и диагностировать проблемы с крестообразными связками, надколенником и ряд других ситуаций.

В целом, если врач оценивает коленный сустав по совокупности тестов, а не по какому-либо одному из признаков, то разрыв внутреннего мениска можно диагностировать в 95% случаев, а наружного – в 88% случаев. Эти показатели очень высоки, и на самом деле часто грамотный травматолог может достаточно точно поставить диагноз разрыва мениска без каких-либо дополнительных методов обследования (рентгенография, магнитно-резонансная томография, УЗИ). Однако будет очень неприятно, если пациент попадет в те 5-12% случаев, когда разрыв мениска не диагностируется при том, что он есть, или диагностируется ошибочно, поэтому в нашей практике мы достаточно часто стараемся прибегать к дополнительным методам исследования, которые подтверждают или опровергают предположение врача.

Рентгенография. Рентгенографию коленного сустава можно считать обязательной при любой боли в коленном суставе. Иногда возникает желание выполнить сразу магнитно-резонансную томографию (МРТ), которая «больше покажет, чем рентген». Но это неправильно: в некоторых случаях рентген позволяет проще, быстрее и дешевле установить правильный диагноз. Поэтому не стоит самостоятельно назначать себе исследования, которые могут оказаться пустой тратой времени и денег.

Рентгенографию выполняют в следующих проекциях: 1) в прямой проекции в положении стоя, в том числе при сгибании ног в коленях на 45°(по Розенбергу), 2) в боковой проекции и 3) в осевой проекции. Задние поверхности мыщелков бедренных костей при артрозе коленного сустава обычно изнашиваются раньше, и при сгибании ног на 45° в положении стоя можно увидеть соответствующее сужение суставной щели. В любых других положениях эти изменения будут, скорее всего, незаметны, поэтому другие рентгенографические положения не имеют значения для обследования по поводу боли в коленном суставе. Если у больного с жалобами на боль в коленном суставе рентгенологически выявлено значительное сужение суставной щели, весьма вероятно обширное повреждение мениска и хряща, при котором бесполезна артроскопическая резекция мениска (неполная или парциальная менискэктомия), о которой мы поговорим ниже. Чтобы исключить такую причину боли, как хондромаляция надколенника, необходима рентгенография в специальной осевой проекции (для надколенника). Обзорная рентгенография, никак не облегчающая диагностику разрыва мениска, позволяет тем не менее исключить такие сопутствующие нарушения, как рассекающий остеохондрит (болезнь Кёнига), перелом, наклон или подвывих надколенника и суставные мыши (свободные внутрисуставные тела).

МРТ (магнитно-резонансная томография) существенно повысила точность диагностики разрывов менисков. Ее преимущества — возможность получить изображение мениска в нескольких плоскостях и отсутствие ионизирующего излучения. Кроме того, МРТ позволяет оценить состояние других суставных и околосуставных образований, что особенно важно, когда у врача есть серьезные сомнения в диагнозе, а также если имеются сопутствующие повреждения, затрудняющие выполнение диагностических тестов. К недостаткам МРТ относятся дороговизна и возможность неверной трактовки изменений с вытекающими дополнительными исследованиями. Нормальный мениск при всех импульсных последовательностях дает слабый однородный сигнал. У детей сигнал может быть усилен вследствие более обильного кровоснабжения мениска. Усиление сигнала у пожилых людей может быть признаком дегенерации.

По МРТ выделяют четыре степени изменений мениска (классификация по Stoller). Степень 0 — это нормальный мениск. Степень I — это появление в толще мениска очагового сигнала повышенной интенсивности (не достигающего поверхности мениска). Степень II — появление в толще мениска линейного сигнала повышенной интенсивности (не достигающего поверхности мениска). Степень III — сигнал повышенной интенсивности, достигающий поверхности мениска. Истинным разрывом мениска считаются только изменения III степени.

0 степень (норма), мениск без изменений.

I степень — шаровидное повышение интенсивности сигнала, не связанное с поверхностью мениска.

II степень – линейное повышение  интенсивности сигнала, не связанное с поверхностью мениска.

III степень (разрыв) – повышение интенсивности сигнала, соприкасающееся с поверхностью мениска.

Магнитно-резонансная томография. Слева – нормальный неповрежденный мениск (синяя стрелка). Справа – разрыв заднего рога мениска (две синие стрелки)

 

Точность МРТ в диагностике разрыва мениска составляет примерно 90—95%, особенно если дважды подряд (т.е. на двух соседних срезах) фиксируется сигнал повышенной интенсивности, захватывающий поверхность мениска. Для диагностики разрыва можно ориентироваться и на форму мениска. Обычно на снимках в сагиттальной плоскости мениск имеет форму бабочки. Любая другая форма может быть признаком разрыва. Признаком разрыва служит и симптом «двойная задняя крестообразная связка» (или «третья крестообразная связка»), когда в результате смещения мениск оказывается в межмыщелковой ямке бедренной кости и прилежит к задней крестообразной связке.

Разрыв мениска может обнаружиться при МРТ и в отсутствие у больного жалоб, причем частота таких случаев увеличивается с возрастом. Это говорит о том, как важно при обследовании учитывать все клинические и рентгенологические данные. В ходе недавно проведенного исследования разрывы менисков, не дававшие ни жалоб, ни физикальных признаков (т.е. положительных результатов тестов при обследовании руками врача), были обнаружены при МРТ у 5,6% больных в возрасте от 18 до 39 лет. По данным другого исследования, 13% больных моложе 45 лет и 36% больных старше 45 лет имели признаки разрывов менисков при МРТ в отсутствие жалоб и физикальных признаков.

Какие бывают разрывы менисков коленного сустава?

Разрывы менисков можно классифицировать в зависимости от причины и от характера изменений, обнаруженных при обследовании (МРТ) или в ходе операции (артроскопии коленного сустава).

Как мы уже отмечали, разрывы могут быть травматическими (чрезмерная нагрузка на неизмененный мениск) и дегенеративными (нормальная нагрузка на измененный дегенеративными процессами мениск).

По месту, в котором произошел разрыв, выделяют разрывы заднего рога, тела и переднего рога мениска.

Так как мениск кровоснабжается неравномерно, в нем выделяют три зоны: периферическую (красную) — в области соединения мениска с капсулой, промежуточную (красно-белую) и центральную — белую, или бессосудистую, зону. Чем ближе к внутреннему краю мениска располагается разрыв, тем меньше сосудов проходит вблизи него и тем ниже вероятность его заживления.

По форме разрывы делят на продольные, горизонтальные, косые и радиальные (поперечные). Могут быть и комбинированные по форме разрывы. Кроме того, выделяют и особый вариант формы разрыва мениска: «ручка лейки» («ручка корзины»).

 

Классификация разрывов менисков по H. Shahriaree: I – продольный разрыв, II – горизонтальный разрыв, III – косой разрыв, IV – радиальный разрыв

Особый вариант формы разрыва мениска: «ручка лейки» («ручка корзины»)

 

Острые травматические разрывы, возникающие в молодом возрасте, идут вертикально в продольном или косом направлении; комбинированные и дегенеративные разрывы чаще возникают у пожилых людей. Вертикальные продольные разрывы, или разрывы в виде ручки лейки, бывают полные и неполные и обычно начинаются с заднего рога мениска. При длинных разрывах возможна значительная подвижность оторванной части, позволяющая ей смещаться в межмыщелковую ямку бедренной кости и блокировать коленный сустав. Это особенно характерно для разрывов медиального мениска, возможно, вследствие его меньшей подвижности, что увеличивает действующую на мениск силу сдвига. Косые разрывы обычно возникают на границе между средней и задней третью мениска. Чаще это небольшие разрывы, но их свободный край может попадать между суставными поверхностями и вызывать ощущение переката или щелчки. Комбинированные разрывы идут сразу в нескольких плоскостях, часто локализуются в заднем роге или около него и обычно возникают у пожилых людей с дегенеративными изменениями в менисках. Горизонтальные продольные разрывы нередко связаны с кистозным перерождением менисков. Эти разрывы обычно начинаются у внутреннего края мениска и направляются к месту соединения мениска с капсулой. Считается, что они возникают под действием силы сдвига и, когда связаны с кистозным перерождением мениска, образуются во внутреннем медиальном мениске и вызывают локальную припухлость (выбухание) по линии суставной щели.

 

Как лечить разрыв мениска коленного сустава?

Лечение разрывов менисков бывает консервативное (то есть безоперационное) и хирургическое (менискэктомия, т.е. удаление мениска, которая может быть полной или неполной (частичной)).

Особыми вариантами хирургического лечения разрывов менисков являются шов и трансплантация мениска, но эти методики не всегда возможны и порой дают не очень надежные результаты. 

Консервативное (безоперационное) лечение разрывов менисков коленного сустава. Консервативное лечение обычно назначают при небольших разрывах заднего рога мениска или при небольших радиальных разрывах. Эти разрывы могут сопровождаться болью, но не приводят к ущемлению мениска между суставными поверхностями и не вызывают ни щелчков, ни ощущения переката. Такие разрывы обычно возникают в стабильных суставах.

Лечение состоит во временном снижении нагрузок. К сожалению, часто можно встретить ситуацию, когда в нашей стране по поводу разрыва мениска накладывают гипс, полностью исключающий движения в коленном суставе. Если в коленном суставе нет других повреждений (переломов, разрывов связок), а есть только разрыв мениска, то такое лечение в корне неправильно и его можно даже назвать калечащим. Дело в том, что крупные разрывы менисков все равно не срастутся, несмотря на гипс и полное обездвиживание коленного сустава. А мелкие разрывы менисков можно лечить более щадащими способами. Полное обездвиживание коленного сустава тяжелой гипсовой повязкой не только мучительно для человека (ведь невозможно нормально помытся, под гипсом могут возникнуть пролежни), но пагубно действует на сам коленный сустав. Дело в том, что полное обездвиживание может привести к контрактуре сустава, т.е. стойкому ограничению амплиитуды движений за счет того, что недвигающиеся хрящевые поверхности склеиваются, и, к сожалению, движения в колене после такого лечения не всегда удается восстановить. Вдвойне печально, когда лечение гипсовой повязкой применяется в тех случаях, когда разрыв достаточно большой, и после нескольких недель мучений в гипсе все равно приходится делать операцию. Поэтому так важно при травме коленного сустава сразу обратиться к специалисту, который хорошо знаком с лечением разрывов менисков и связок коленного сустава.

Если пациент занимается спортом, то при консервативном лечении нужно исключить ситуации, которые могут дополнительно травмировать сустав. Например, временно прекращают занатия такими видами спорта, где необходимы быстрые рывоки, особенно с поворотами и движения, при которых одна нога остается на месте, — они могут ухудшить состояние. 

Кроме того, нужны упражнения, укрепляюшие четырехглавую мышцу бедра и заднюю группу мышц бедра. Дело в тоом, что сильные миышцы дополнительно стабилизируют коленный сустав, что снижает вероятность таких сдвигов бедренной и большеберцовой костей относительно друг друга, которые травмируют мениск. 

Нередко консервативное лечение эффективнее у пожилых, так как у них причиной описанных симптомов чаще служит артроз, а не разрыв мениска. Небольшие (менее 10 мм) стабильные продольные разрывы, разрывы верхней или нижней поверхности, не проникающие на всю толщину мениска, а также небольшие (менее 3 мм) поперечные разрывы могут зажить самостоятельно либо вообще никак не проявляются.

В тех случаях, когда разрыв мениска сочетается с разрывом передней крестообразной связки, обычно сначала прибегают к консервативному лечению.  

 

Хирургическое лечение разрывов менисков коленного сустава. Показаниями к артроскопической операции служат значительные размеры разрыва, вызывающие механические симптомы (боль, щелчки, блокады, ограничение движений), сохраняющийся выпот в суставе, а также случаи безуспешного консервативного лечения. Еще раз отметим, что сам факт существования возможности консервативного лечения не означает, что все разрывы менисков сначала следует лечить консервативно, а помто уже, если неудасться, то прибегать к «операции, как к крайней мере». Дело в том, что достаточно часто разрывы менисков имеют такой характер, что их надежнее и эффективнее сразу оперировать, а последовательное лечение («сначала консервативное, а потом, если не поможет, то операция») может значительно осложнить восстановление и ухудшить результаты. Поэтому мы еще раз подчеркнем, что при разрыве мениска, да и вообще при любой травме коленного сустава, важно обратиться к специалисту.

При разрывах менисков трение и блокада, называемые механическими или двигательными симптомами (поскольку они возникают при движении и исчезают или значительно ослабевают в покое), могут быть помехой как в посведневной жизни, так и при занятиях спортом. Если симптомы возникают в повседневной жизни, то врачу без особого труда удасться обнаружить признаки разрыва на осмотре. Как правило обнаруживается выпот в полости сустава (синовит) и болезненность в проекции суставной щели. Возможны также ограничение движений в суставе и боль при провокационных пробах. Наконец, на основании анамнеза, физикального и рентгенологического исследований необходимо исключить другие причины боли в коленном суставе. Если имеются эти симптомы, то это значит, что разрыв мениска значим и нужно рассмотреть вопрос операции. 

Важно знать, что при разрывах мениска не нужно долго оттягивать операцию и терпеть боль.   Как мы уже отмечали, болтающийся лоскут мениска разрушает соседний хрящ, покрывающий бедренную и большеберцовую кости. Хрящ из гладкого и упругого становится размягченным, рыхлым, а в запущенных случаях болтающийся лоскут разорванного мениска стирает хрящ полностью до кости. Такое повреждение хряща называют хондромаляцией, которая имеет четыре степени: при первой степени хрящ размягчен, при второй — хрящ начинает разволокняться, при третьей — имеется «вмятина» на хряще, а при четвертой степени хрящ полностью отсутствует. 

 

Фотография, сделанная в ходе артроскопии коленного сустава. Этот пациент терпел боль почти год, после чего накоенец обратился за помощью к травматологам. За это время болтающийся лоскут разорванного мениска полностью стер хрящ до кости (хондромаляция четвертой степени)

 

Удаление мениска, или менискэктомия (артротомическая через большой разрез длинной 5-7 сантиметров), вначале считалась безобидным вмешательством и полное удаление мениска выполнялось очень часто. Однако отдаленные результаты оказались неутешительными. Выздоровление либо заметное улучшение отмечалось у 75% мужчин и менее чем у 50% женщин. Жалобы исчезли менее чем у 50% мужчин и менее чем у 10% женщин. У молодых людей результаты операции были хуже, чем у пожилых. Кроме того, у 75% прооперированных развивался артрит (против 6% в контрольной группе того же возраста). Часто артроз появлялся спустя 15 лет или более после операции. Дегенеративные изменения быстрее развивались после латеральной менискэктомии. Когда, наконец, стала ясна роль менисков, изменилась оперативная техника и были созданы новые инструменты, позволяющие восстанавливать целость менисков или удалять только их часть. С конца 1980-х годов артротомическое полное удаление мениска признано неэффективной и вредной операцией, которой на смену пришла возможность артроскопической операции, позволяющей сохранить неповрежденную часть мениска. К сожалению, в нашей стране ввиду организационных причин артроскпия далеко не везде доступна, поэтому до сих пор встречаются хирурги, предлагающие своим пациентам полностью удалить разорванный мениск.  

 

В наше время мениск не удаляют полностью, поскольку выяснилась его важная роль в коленном суставе, а выполняют частичную (парциальную) менискэктомию. Это означает, что удаляют не весь мениск, а только отрорвавшуюся часть, которая и так перестала выполнять свою функцию. В чем принцип частичной менискэктомии, т.е. частичного удаления мениска? Понять ответ на этот вопрос вам поможет видеоролик и иллюстрация, которые мы приведем ниже. 

Принцип частичной менискэктомии (т.е. неполного удаления мениска) состоит не только в том, чтобы удалить отроравашуюся и болтающуюся часть мениска, но и в том, чтобы сделать внутренний край мениска вновь ровным.

 

Принцип частичного удаления мениска. Показаны различные варианты разрывов мениска. Удаляют часть мениска с его внутренней стороны таким образом, чтобы не только убрать болтающийся лоскут разорванного мениска, но и восстановить ровный внутренний край мениска.  

В современном мире операцию частичного удаления разорванного мениска выполняют артроскопически, т. е. через два маленьких прокола. В один из проколов вводят артроскоп, который транслирует изображение к видеокамере. По сути артроскоп представляет собой оптическую систему. По артроскопу внутрь сустава вводится физиологический раствор (вода), который раздувает сустав и позволяет его осмотреть изнутри. Через второй прокол в полость коленного сустава вводятся различные специальные инструменты, которыми удаляют поврежденные части менисков, «реставрируют» хрящ и выполняют прочие манипуляции.

 

Артроскопия коленного сустава. А — Пациент лежит на операционном столе, нога в специальном держателе. Сзади — сама артроскопическая стойка, которая состоит из источника ксенонового света (по световоду ксеноном освещают сустав), видеообработчика (к которому присоединяют видеокамеру), помпы (нагнетает в сустав воду), монитора, вайпера (устройство для абляции хряща, синовиальной оболочки сустава), шейвера (устройство, которое «бреет»). Б — в коленный сустав через два прокола по одному сантиметру введены артроскоп (слева) и рабочий инструмент (кусачки, справа).  В — Внешний вид артроскопических кусачек, зажимов. 

 

Артроскопия коленного сустава

Если в ходе артроскопии будет обнаружено повреждения хряща (хондромаляция), то врач может порекомендовать вам после операции ввести в коленный сустав специальные препараты (Интраджект, Ферматрон, Гиалуром и др). Подробнее о том, какие препараты можно вводить в коленный сустав, а какие нельзя, вы можете узнать на нашем сайте в отдельной статье.

Помимо менискэктомии существуют методики восстановления мениска. К ним относятся шов мениска и трансплантация мениска. Решить, когда целесообразнее удалить часть мениска, а когда лучше восстановить мениск, трудно. Надо учитывать множество факторов, влияющих на исход операции. В целом считается, что если мениск поврежден настолько обширно, что в ходе артроскопической операции придется удалять почти весь мениск, то необходимо решить вопрос о возможности восстановления мениска.

Шов мениска может быть выполнен в тех случаях, когда с момента разрыва прошло немного времени. Необходимым условием для успешного срастания мениска после его сшивания является достаточное кровоснабжение мениска, т.е. разрыd должен располагаться в красной зоне или, как минимум, на границе красной и белой зон. В противном случае, если выполнить сшивание мениска, который разовался в белой зоне, шов рано или поздно станет вновь несостоятельным, произойдет «повторный разрыв» и опять потребуется операция. Шов мениска может быть выполнен артроскопически. 

Принцип артроскопического шва мениска «изнутри-наружу». Существуют еще методики «снаружи-внутрь» и стпелирования мениска

 

 

Фотография, сделанная при артроскопии. Этап шва мениска

 

Трансплантация мениска. Сейчас имеется возможность и трансплантации (пересадки) мениска. Трансплантация мениска возможна и может быть целесообразной  в том случае, когда мениск коленного сустава значительно поврежден и полностью перестает выполнять свои функции. К противопоказаниям относятся выраженные дегенеративные изменения суставного хряща, нестабильность коленного сустава и искривление ноги.

Для трансплантации используют и замороженные (донорские или трупные), и облученные мениски. По имеющимся сообщениям, наилучших результатов следует ожидать от использования донорских (свежезамороженных) менисков. Существуют и искусственные эндопротезы менисков.

Однако операции по трансплантации и эндопротезированию мениска сопряжены с целом рядом организационных, этических, практических и научных трудностей и убедительной доказательной базы этот метод не имеет. Более того, среди ученых, хирургов до сих пор нет единого мнения целесообразности

В целом стоит отметить, что трансплантация и эндопротезирование мениска выполняются крайне редко. 

 

Вопросы, которые стоит обсудить с врачом

1. Есть ли у меня разрыв мениска?

2. Какой у меня разрыв мениска? Дегенеративный или травматический?

3. Каковы размеры разрыва мениска и где расположен разрыв? 

4. Есть ли еще какие-нибудь повреждения, помимо разрыва мениска (цела ли передняя крестообразная связка, боковые связки, нет ли переломов и т.д.)?

5. Имеется ли повреждение хряща, покрывающего бедренную и большеберцовую кости?

6. Значимый ли у меня разрыв мениска? Нужно ли выполнять МРТ?

7. Можно ли лечить мой разрыв мениска  без операции или стоит выполнить артроскпию? 

8. Какова вероятность повреждения хряща и развития артроза, если я повременю с операцией?

9. Какова вероятность повреждения хряща и развития артроза, если я пойду на артроскопическую операцию?

10. Если артроскопия дает большие шансы на успех, чем безоперационный метод, и я соглашаюсь на операцию, то долго будет длится восстановление?

 

 

При написании статьи использовались материалы:

Aglietti Р et al: Arthroscopic meniscectomy for discoid lateral meniscus in children and adolescents: 10-year follow-up. Am J Knee Surg 1999; 12:83.

Allen CR et al: Importance of the medial meniscus in the anterior cruciate ligament-deficient knee. J OrthopRes 2000; 18:109.

Allen CR et al: Importance of the medial meniscus in the anterior cruciate ligament-deficient knee. J Orthop Res 2000;18:109.

Anderson К et al: Chondral injury following meniscal repair with a biodegradable implant. Arthroscopy 2000;16:749.

Anderson-Molina H et al: Arthroscopic partial and total meniscectomy: long-term follow-up study with matched controls. Arthroscopy 2002; 18:183.

Barber FA, Herbert MA: Load to failure testing of new meniscal repair devices. Arthroscopy 2004;20( 1 ):45.

Borden P et al: Biomechanical comparison of the FasT-Fix meniscal repair suture system with vertical mattress and meniscal arrows. Am J Sports Med 2003:31(3):374.

Chatain F et al: A comparative study of medial versus lateral arthroscopic partial meniscectomy on stable knees: 10 year minimum follow-up. Arthroscopy 2003;19(8):842.

Chatain F et al: The natural history of the knee following arthroscopic medial meniscectomy. Knee Surg, Sports Trauma, Arthrosc 2001 ;9( 1): 15.

Elkousy Н, Higgins LD: Zone-specific inside-out meniscal repair: technical limitations of repair of posterior horns of medial and lateral menisci. Am J Orthop 2005;34:29.

Eren ОТ: The accuracy of joint line tenderness by physical examination in the diagnosis of meniscal tears. Arthroscopy 2003;19(8):850.

Fu FH et al (editors): Knee Surgery. Williams & Wilkins, 1998.

Fukushima К et al: Meniscus allograft transplantation using posterior peripheral suture technique: a preliminary follow-up study. J Orthop Sci 2004;9(3):235.

Garrick JG (editor): Orthopaedic Knowledge Update: Sports Medicine 3. American Academy of Orthopaedic Surgeons, 2004.

Greis PE et al: Meniscal injury: I. Basic science and evaluation. J Am Acad Orthop Surg 2002; 10:168.

Greis PEet al: Meniscal injury: II. Management. J Am Acad Orthop Surg 2002; 10:177.

Klimkiewicz J, Shaffer B: Meniscal surgery 2002 update. Arthroscopy 2002;18(suppl 2): 14.

Kocabey Y et al: The value of clinical examination versus MRI in the diagnosis of meniscal tears and anterior cruciate ligament rupture. Arthroscopy 2004;20:696.

Medvecky MJ, Noyes FR: Surgical approaches to the posteromedial and posterolateral aspects of the knee. J Am Acad Orthop Surg 2005; 13:121.

Miller MD et al: All-inside meniscal repair devices. Am J Sports Med 2004;32(4):858.

Miller MD et al: Pitfall associated with FasT-Fix meniscal repair. Arthroscopy 2002; 18(8):939.

Muellner Т et al: Open meniscal repair. Am J Sports Med 1999;27:16.

Noyes FR, Barber-Westin SD: Arthroscopic repair of meniscal tears extending into the avascular zone in patients younger than twenty years of age. Am J Sports Med 2002;30(4):589.

Noyes FR, Barber-Westin SD: Arthroscopic repair of meniscus tears extending into the avascular zone with or without anterior cruciate ligament reconstruction in patients 40 years of age and older. Arthroscopy 2000; 16:822.

Petsche T et al: Arthroscopic meniscus repair with bio-absorbable arrows. Arthroscopy 2002; 18:246.

Rath E et al: Meniscal allograft transplantation: two to eight-year results. Am J Sports Med 2001 ;29:410.

Rijk PC: Meniscal allograft transplantation—part I: background, results, graft selection and preservation, and surgical considerations. Arthroscopy 2004; 20(7):728.

Rodeo SA: Arthroscopic meniscal repair with use of the outside-in technique. J Bone Joint Surg A 2000; 82:127.

Sgaglione NA et al: Current concepts in meniscus surgery: resection to replacement. Arthroscopy 2003; 19(10; suppl 1):161.

Shaffer В et al: Preoperative sizing of meniscal allografts in meniscus transplantation. Am J Sport Med 2000;28:524.

Spindler KP et al: Prospective comparison of arthroscopic medial meniscal repair technique: inside-out versus entirely arthroscopic arrows. Am J Sports Med 2003;31:929.

Yiannakopoulos CK et al: A simplified arthroscopic outside-in meniscus repair technique. Arthroscopy 2004;20:183.

Zantop T et al: Initial fixation strength of flexible all-inside meniscus suture anchors in comparison to conventional suture technique and rigid anchors: biomechanical evaluation of new meniscus refixation systems. Am J Sports Med 2004;32(4):863.

 

Разложение на множители многочлена третьей степени

Многочлен 3 степени a(x) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, a₃ ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Так как если комплексное число является корнем многочлена, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем, следовательно, у кубического многочлена всегда существует по крайней мере один действительный корень.

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Таким образом, кубический многочлен всегда можно разложить на один линейный множитель и один квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители:

Таким образом, зная один корень многочлена x₀, легко получить квадратичное выражение (a₃x² + bx + c) делением исходного многочлена на одночлен x-x₀. Приравнивая к нулю полученное выражение и решая квадратное уравнение, найдем остальные корни. А зная все корни многочлена, можно сразу написать его разложение на множители.

Пример 1. Разложить на множители многочлен x³ — 3x² — 4x + 6.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни многочлена нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем многочлена является число 1. Значит, исходный многочлен надо разделить на x — 1.

Воспользуемся схемой Горнера.

Таким образом, x³ — 3x² — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6). Чтобы найти оставшиеся 2 корня многочлена, решаем квадратное уравнение x² — 2x — 6 = 0.

Но обычно в разложении на множители нас не интересуют иррациональные корни (то есть, такое разложение квадратичного многочлена на множители

Ответ: x³ — 3x² — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6).

Пример 2. Разложить на множители многочлен -2x³ + 3x² — 4x — 9.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±3, ±9. Делители старшего коэффициента: ±1, ±2.
Значит, корни исходного многочлена будем искать среди чисел: ±1, ±3, ±9,

±

1/2

, ±

3/2

, ±

9/2

.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x + 1.

Таким образом, -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9). Решая квадратное уравнение -2x² + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант

Ответ: -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9).

Пример 3. Разложить на множители многочлен 2x³ — x² — 8x + 4.

Решение.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x — 2.

Таким образом, 2x³ — x² — 8x + 4 = (x — 2)(2x² + 3x — 2).
Решая квадратное уравнение 2x² + 3x — 2 = 0, получаем,

Следовательно, 2x² + 3x — 2 = 2(x — 

)(x + 2).

Ответ: 2x³ — x² — 8x + 4 = 2(x — 2)(x — 

)(x + 2) = (2x — 1)(x — 2)(x + 2).

Разложение на множители многочлена третьей степени методом неопределенных коэффициентов

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он достаточно трудоемкий, но иногда бывает очень полезным, причем для разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x³ + 2x² — 5x — 6.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему уравнений

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x² — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x + 1)(x² + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6=(x + 3)(x² — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Ответ: x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x + 1)(x + 3).

3

Формула a ³ — b ³  называется формулой разности кубов (двух чисел). Формула a куб минус b куб используется для нахождения разницы между двумя кубами без фактического вычисления кубов. Кроме того, он используется для факторизации биномов кубов. В этом разделе мы обсудим различные аспекты формулы a ³ — b ³ вместе с решенными примерами и поймем задействованную идентичность. 3?

Формулу a ³ — b ³ можно проверить, умножив (a — b) (a ² + ab + b ² ) и посмотреть, получится ли 0 0 3 b ^{4 9000} . Формула a ³ — b ³ или формула разности кубов поясняется ниже: a ²  + ab + b ² )

Вы можете запомнить эти знаки, используя следующий прием.

Давайте изучим формулу a ³ — b ³ на нескольких решенных примерах.

Доказательство

³ -b ³ Формула

Проверим формулу куба a минус b куба. Чтобы доказать, что a ³ — b ³ = (a — b) (a ²  + ab + b ² ), нам нужно доказать здесь LHS = RHS. Давайте начнем со следующих шагов.
LHS = а ³ — б ³
При решении правой стороны мы получаем,
= (a — b) (a ²  + ab + b ² )
Умножив a и b по отдельности на (a ²  + ab + b ² ), мы получим
. = a (a ²  + ab + b ² ) — b(a ²  + ab + b ² )
= а ³ + а ² б + аб ² — а ² б — аб ²  — б ³
= а ³ + а ² б — а ² б + аб ² — аб ^{2  93 формула.}

Решение:  

Найти: 108 ³  — 8 ³ .

Предположим, что a = 108 и b = 8.

Подставим их в формулу a ³  — b ³ .

A ³ -B ³ = (A -B) (A ² + AB + B ² )

108 ³ -8 ³ = (108-8) (108 ²  + (108)(8) + 8 ² )

= (100) (11664+864+64) 93 формула.

Решение:

Разложить на множители: 27x ³  — 125.

Мы будем использовать формулу a ³ — b ³ , чтобы разложить это на множители.

Запишем данное выражение в виде

27x ³  — 125 = (3x) ³  — 5 ³

. б ³ .

а ³ — б ³ = (а — Ь) (а ²  + аб + Ь ² )

(3x) ³ -5 ³  =(3x-5)((3x) ² +(3x)(5)+5 ² )

93x-5 = (3x-5)((3x) ² +(3x)(5)+5 ) (9x ² +15x+25)

Ответ: 27x ³  — 125 = (3x — 5) (9x ²  + 15x + 25).

Пример 3: Упростите 19 ³ — 20 ³ , используя формулу куб минус b куб.

Решение: Найти 19 ³ — 20 ³

Предположим, что a = 19и б = 20
Используя формулу а ³ — b ³ = (a — b) (a ²  + ab + b ² )
Мы заменим их в a ³ — b ³  формула
. а ³ — б ³ = (а — б) (а ²  + аб + б ² )
19 ³ -20 ³  = (19-20)(19 ²  + (19)(20)+20 ² )
= (-1)(361+380+400)
= (-1)(1141)
= -1141
93 Формула

Что такое расширение формулы

³  — b ³ ?

a ³ — b ³  формула читается как куб минус b куб. Его расширение выражается как а ³ — b ³  = (a — b) (a ²  + ab + b ² ).

Что такое a

³ — b ³ Формула в алгебре?

Формула a ³ — b ³ также известна как одно из важных алгебраических тождеств. Читается как куб минус b куб. это ³ — b ³ формула выражается как

Как упростить числа с помощью формулы a

³ — b ³ ?

Давайте разберемся в использовании формулы a ³ — b ³ на следующем примере.
Пример: Найдите значение 10 ³  — 2 ³ , используя формулу a ³  — b ³ .
Чтобы найти: 10 ³  — 2 ³
Предположим, что a = 10 и b = 2,
Мы заменим их в формуле a ³  — b ³ .
а ³ — б ³ = (а — б) (а ²  + аб + б ² )
10 ³ -2 ³  = (10-2)(10 ²  + (10)(2)+2 ² )
= (8) (100+20+4)
= (8)(124)
=992
Ответ:  10 93 как власть или нет.

Запишите формулу a ³  — b ³

a ³ — b ³ = (a — b) (a ²  + ab + b ² )

подставьте значения a и b в формулу a ³ — b ³ и упростите.

Объяснение урока: Сила матрицы

В этом объяснении мы узнаем, как использовать умножение матриц для определить квадрат и куб квадратной матрицы.

Существует множество матричных операций, очень похожих на известные операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц принципиально более сложный, чем его обычный аналог, он все же в некоторой степени отражает некоторые алгебраические свойства оригинала.

Одна операция, которая является центральной как в традиционной алгебре, так и в алгебре с использованием матрицы — это возведение в степень, которое обычно называют взятием степень числа или матрицы. В обычная алгебра, можно взять почти любое число 𝑥 и возводим в степень 𝑦, что дает 𝑥. За исключением возведения нуля в отрицательную степень, это не имеет значения. является ли 𝑥 или 𝑦 нулем, отличным от нуля, целым числом, нецелое, рациональное, иррациональное или сложное, так как вывод всегда может быть вычислено. То же самое неверно при работе с матрицами, где матрица 𝐴 не всегда можно возводить в степень. Для того, чтобы лучше всего обрисовать эти потенциальные осложнения, давайте сначала определим простейшую форму возведение матрицы в степень: возведение матрицы в квадрат.

Определение: Квадрат матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, 𝐴 определяется как 𝐴=𝐴×𝐴.

Другими словами, точно так же, как для возведения чисел в степень (т.е. 𝑎=𝑎×𝑎), квадрат получается умножением Матрица сама по себе.

Как можно заметить, основное требование для возведения матрицы в степень: определено, что 𝐴 должен быть квадратным. Это потому, что на двоих общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица умножение 𝐴𝐵 корректно определено только при одинаковом количестве столбцов в 𝐴, так как в 𝐵 есть строки. Если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то 𝐴𝐵 корректно определен и имеет порядок 𝑚×𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу 𝐴 и попытались завершить умножение матриц 𝐴=𝐴×𝐴, то мы были бы пытаясь умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на другая матрица порядка 𝑚×𝑛. Это может быть только хорошо определяется, если 𝑚=𝑛, а это означает, что 𝐴 должно быть матрица порядка 𝑛×𝑛 (другими словами, квадратная). поэтому порядок 𝐴 идентичен исходной матрице 𝐴.

Существуют и другие ограничения на взятие степеней матриц, которые не существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила матрицу вычислить намного сложнее. Кроме того, обычные законы возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как они делают это для чисел, которые мы рассмотрим позже в этом объяснении.

А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает на простом, нетривиальном кейс. Определим матрицу 𝐴=1−325.

Чтобы вычислить матрицу 𝐴, мы умножаем матрицу 𝐴 само собой. Другими словами, мы имеем 𝐴=𝐴×𝐴=1−3251−325.

Как и ожидалось, это умножение корректно определено, так как у нас есть Матрица 2×2, умноженная на матрицу 2×2 матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, что мы и можем сделать для каждой записи (𝑖,𝑗) путем умножения элементов в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца 𝑗 правой матрицы и суммируя их. Мы демонстрируем это процесс ниже:

Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что 𝐴=−5−181219.

Теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить этот метод возведения в квадрат Матрица для решения проблемы.

Пример 1. Нахождение квадрата матрицы

Для 𝐴=4−54−5, напишите 𝐴 как кратное 𝐴.

Ответ

Перед попыткой записать 𝐴 как кратное 𝐴, нам нужно вычислить саму 𝐴. Заполнение необходимой матрицы умножение дает 𝐴=𝐴×𝐴=4−54−54−54−5=−45−45.

Выходная матрица 𝐴 совпадает с исходной матрицей 𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы следовательно, найдите, что 𝐴 может быть записано в терминах самого себя с помощью выражение 𝐴=−𝐴.

Увидев простой пример взятия степени матрицы, отметим, что мы часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько матрицы, а также другие матричные операции. К счастью, у нас не должно быть проблемы, связанные с такими вопросами, пока мы применяем те же принципы мы только что узнали.

Пример 2. Вычисление матричных выражений с участием степеней

Рассмотрим матрицы 𝑋=−3−35−6,𝑌=136−6. Что такое 𝑋−𝑌?

Ответ

Мы должны начать с вычисления как 𝑋, так и 𝑌 обычным способом. Мы вычисляем, что 136−6=19−15−3054.

Теперь, когда у нас есть и 𝑋, и 𝑌, просто вычислить это 𝑋−𝑌=−627−4521−19−15−3054=−2542−15−33.

Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третью мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень матрицы, как мы это сделали выше.

Давайте посмотрим, как работает третья степень матрицы. По определению, третья степень квадратной матрицы 𝐴 определяется выражением 𝐴=𝐴×𝐴×𝐴.

Обратите внимание, что, используя ассоциативное свойство матричного умножения, наряду с определение 𝐴, мы можем написать правую часть это как 𝐴×𝐴×𝐴=(𝐴×𝐴)×𝐴=𝐴×𝐴.

В качестве альтернативы, мы можем использовать ассоциативность двух последних членов, чтобы записать это как 𝐴×𝐴×𝐴=𝐴×(𝐴×𝐴)=𝐴×𝐴.

Итак, мы показали, что 𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴. В других словами, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти 𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или слева) от 𝐴.

Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куба, мы можем себе представить мы можем применить те же принципы к любой степени 𝐴. С Следуя определению, это возможно.

Определение: степень матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, а 𝑘 — натуральное число, 𝑘-я степень 𝐴 дана по 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴.

В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше, можно вычислить 𝐴 (для любого положительного целого числа 𝑘) сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный 𝐴 справа или слева. Так, например, 𝐴=𝐴×𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.

Теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень числа матрица.

Пример 3: вычисление высших степеней матриц

Учитывая матрицу 𝐴=40−37, вычислить 𝐴−3𝐴.

Ответ

Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для рассчитать 𝐴. Мы находим, что 𝐴=40−37,𝐴=160−3349, что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как умножение матриц между 𝐴 и 𝐴: 𝐴=𝐴×𝐴=40−37160−3349=640−279343.

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения: 𝐴−3𝐴=640−279343−3160−3349=640−279343−480−99147=160−180196.

До сих пор мы видели только расчеты с участием матрицы 2 × 2, но расширение до более высоких порядков квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти мощность матрицы 3×3.

Пример 4. Возведение в квадрат матрицы 3 × 3

Рассмотрим 𝐴=112101210.

Найти 𝐴.

Ответ

Матрица 𝐴 имеет порядок 3×3, значит, 𝐴 также будет иметь этот порядок. Таким образом, мы ожидаем найти матрицу вида где элементы * должны быть вычислены. Мы заполним матрицу умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.

Сначала вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы: 112101210112101210=6∗∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×1+2×2=6. Теперь вычисляем запись в первая строка и второй столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=63∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×0+2×1=3. Далее мы сосредоточимся на записи в первая строка и третий столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=633∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×2+1×1+2×0=3. Теперь переходим ко второму ряду самая правая матрица, сбрасываемая в первый столбец: 112101210112101210=6333∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+0×1+1×2=3. Затем мы берем запись во втором строка и второй столбец: 112101210112101210=63332∗∗∗∗,

Расчет 1×1+0×0+1×1=2. Последняя запись во второй строке затем вычислено: 112101210112101210=633322∗∗∗.

Расчет 1×2+0×1+1×0=2. Запись в третьем ряду и первом столбец вычисляется: 112101210112101210=6333223∗∗.

Расчет 2×1+1×1+0×2=3. Тогда предпоследняя запись завершенный: 112101210112101210=63332232∗.

Расчет 2×1+1×0+0×1=2. Затем обрабатывается окончательная запись: 112101210112101210=633322325.

Расчет 2×2+1×1+0×0=5. Теперь, когда все записи самого правого матрица найдена, ответ можно записать в виде 𝐴=633322325.

Учитывая, что получение степени матрицы включает повторяющуюся матрицу умножение, мы могли бы разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы умножение в некоторой степени повлияло бы на правила возведения матрицы в степень Аналогичным образом. Несмотря на то, что это до некоторой степени очевидно, опасно обращаться к правилам обычной алгебры при ответе на вопросы, связанные с матрицы в предположении, что они сохранятся. В следующих Например, мы будем рассматривать каждое утверждение отдельно и представим соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняющие, почему данные утверждения выполняются или не выполняются в результате.

Пример 5: Проверка свойств степеней матриц

Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛×𝑛 матрицы 𝐴 и 𝐵?

1. 𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵
2. (𝐴 — 𝐵) = 𝐴 -2𝐴𝐵+𝐵
3. (𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
4. (𝐴+𝐵) = 𝐴+2𝐴𝐵+ 𝐵
5. (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐵

Ответ

1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. 𝐴(𝐵𝐶)=(𝐴𝐵)𝐶. Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты например (𝐴𝐵)(𝐶𝐷)=𝐴(𝐵𝐶)𝐷=𝐴𝐵𝐶𝐷 и так далее. В данном уравнения, левая часть равна 𝐴𝐵, что по определению можно записать как 𝐴𝐵=𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность свойство матричного умножения, мы можем написать, что 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵)𝐵 и, следовательно, подтвердить, что данное утверждение верно.
2. Обычная алгебра коммутативна относительно умножения. Для двух действительных чисел 𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏=𝑏𝑎. Этот результат позволяет нам принять такое выражение, как (𝑎−𝑏)=𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑎+𝑏 и использовать коммутативное свойство собрать два средних члена правой части: (𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎𝑏+𝑏. Однако, умножение матриц, как правило, не является коммутативным, а это означает, что 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или одновременно диагональные матрицы). Следовательно, расширение (𝐴−𝐵)=𝐴−𝐴𝐵−𝐵𝐴+𝐵 не может упростить в предположении, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Следовательно, данный утверждение ложно.
3. Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵), мы можем начать с запись (𝐴𝐵)=(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)=𝐴(𝐵𝐴)𝐵, где мы использовали свойство ассоциативности для организации окончательное выражение. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, член в квадратных скобках (𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что было бы допустили упрощение 𝐴𝐵. Учитывая, что это не случае утверждение ложно.
4. У нас есть это (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵. Поскольку в общем случае 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, мы не можем получить упрощение, указанное в вопросе.
5. Начнем с завершения разложения (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴+𝐵𝐴−𝐴𝐵−𝐵. Мы знаем, что, вообще говоря, 𝐵𝐴≠𝐴𝐵, а это значит, что мы не можем записать правую часть в виде 𝐴−𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.

Следовательно, правильный ответ — вариант А.

Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для матриц, все еще существуют некоторые правила, определяющие степени матриц, которые мы можем положиться. В частности, законы показателей степени для чисел могут быть распространяется на матрицы следующим образом.

Свойство: сложение и умножение степеней матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

В последнем примере мы рассмотрим возведение матрицы в гораздо большую степень и посмотрите, как вышеупомянутые свойства могут быть использованы в сочетании с идентификацией образец того, как матрица ведет себя при возведении в степень.

Пример 6. Нахождение степени матрицы высшего порядка путем исследования шаблона его Полномочий

Заполните пропуск: Если 𝐴=403−4, тогда 𝐴=.

Ответить

Как 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴 (пятьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить его напрямую. Вместо этого давайте исследуем эффект от того, что 𝐴 имеет малые степени 𝐴 и см. можем ли мы определить закономерность.

Если мы умножим 𝐴 само на себя, другими словами, если мы найдем 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=403−4403−4=4004.

Отметим, что, поскольку это диагональная матрица, она может быть полезной для матрица, в которой будет находиться. Продолжая далее, если мы вычислим 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=4004403−4=404⋅3−4.

Интересно, что матрица уже не диагональная. Чтобы продолжить расследование узор, посчитаем 𝐴=𝐴×𝐴. Это 𝐴=404⋅3−4403−4=4004.

В этот момент можно распознать закономерность. Для четных сил 𝐴 мы предполагаем, что матрица является диагональной и ненулевые записи равны 4, где 𝑛 — мощность матрицы. Для нечетных степеней это не так, так как в левом нижнем углу и в правом нижнем углу есть ненулевой элемент запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно найти только 𝐴 где 50 — четная степень, нам нужно только рассмотреть первый случай.

Теперь покажем, как можно найти 𝐴, используя четное число. мощность матрицы, 𝐴. Напомним, что 𝐴=4004.

Заметим, что скаляр 4 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде: 𝐴=41001.

Это единичная матрица 2×2 𝐼 раз постоянная. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет имущество 𝐼𝑋=𝑋𝐼=𝑋, где 𝑋 — любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋=𝐼, имеем 𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.

Мы можем распространить это на любую степень 𝐼, то есть 𝐼=𝐼. 

Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также вспомнить свойство (𝐴)=𝐴, что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом: 𝐴=𝐴.

Поскольку мы имеем 𝐴=4𝐼, это означает

Так как 4=2 4=2=2.

Есть много связанных тем, которые подкрепляют обоснованность изучения возведения матриц в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы само по себе приведет к обычно приводят к результатам, которые последовательно сложнее вычислить, учитывая большие числа участие, как мы видели в нескольких из приведенных выше примеров. Поэтому выгодно иметь возможность максимально уменьшить сложность этих вычислений. При определенных обстоятельств можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает сложность вычисления его целых степеней.

Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом объяснитель.

Ключевые точки

• Для квадратной матрицы 𝐴 и положительного целого числа 𝑘 мы определяем мощность матрицы повторяющейся матрицей умножение; Например, 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где есть 𝑘 копий матрицы 𝐴 с правой стороны.
• Важно признать, что сила матрицы только хорошо определяется, если матрица является квадратной матрицей. Кроме того, если 𝐴 имеет порядок 𝑛×𝑛, то это будет случай для 𝐴, 𝐴 и так далее.
• Матрица высших степеней может быть вычислена относительно меньшие степени матрицы. Другими словами, 𝐴=𝐴×𝐴, 𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.
• Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

Сколько будет 3 в 4 степени?

Математика касается не только чисел, но и различных вычислений с использованием чисел и переменных. Это то, что в основном известно как алгебра. Алгебра определяется как представление вычислений с использованием математических выражений, состоящих из чисел, операторов и переменных. Цифры могут быть от 0 до 9, операторы — это математические операторы, такие как +, -, ×, ÷, показатели степени и т. д., переменные, такие как x, y, z и т. д.

Экспоненты и степени

используемые для упрощения сложных вычислений, включающих многократное самоумножение, самоумножение — это в основном числа, умноженные сами на себя. Например, 7 × 7 × 7 × 7 × 7 можно просто записать как 7 ⁵ . Здесь 7 — базовое значение, 5 — показатель степени, а значение равно 16807. 11 × 11 × 11 можно записать как 11 ³ , здесь 11 — базовое значение, а 3 — показатель степени или степень числа 11. Значение 11 ³ равно 1331.

Показатель степени определяется как степень, заданная числу, количество раз умножается на себя. Если выражение записано как cx ^y , где c — константа, c — коэффициент, x — основание, а y — показатель степени. Если число, например p, умножить n раз, то n будет показателем степени p. Это будет записано как

p × p × p × p … n раз = p ⁿ

Основные правила экспоненты

Существуют определенные основные правила, определенные для экспонент, чтобы решать экспоненциальные выражения наряду с другими математическими операциями, например, если есть произведение двух экспонент, он может быть упрощено для облегчения вычислений и известно как правило произведения, давайте рассмотрим некоторые из основных правил показателей,

• Правило произведения ⇢ a ⁿ + a ^m = a ^{n + m}
• Правило коэффициента ⇢ ^N / A ^M = A ^{N — M}
• Правило мощности ⇢ (A ^N ) ^M = A ^{N × M} или ^M √a ^N = A ^N/M
• Отрицательное правило показания ⇢ A ^-M = 1/A ^M
• нулевое правило ⇢ A ⁰ = 1
• ОДНО

Сколько будет 3 в 4-й

^-й -й степени?

Решение :

Любое число, имеющее степень 4, может быть записано как квартика этого числа. Квартика числа — это число, умноженное само на себя четыре раза, квартика числа представлена ​​​​как показатель степени 4 этого числа. Если нужно записать квартику x, это будет x ⁴ . Например, квартика числа 5 представлена ​​как 5 ⁴ и равна 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Другим примером может быть квартика числа 12, представленная как 12 ⁴ , равная 12 × 12. × 12 × 12 = 20736,

Вернемся к постановке задачи и поймем, как она будет решаться, постановка задачи просила упростить 3 до 4 степени . Это означает, что вопрос требует решить квартику числа 3, которая представлена ​​как 3 ⁴ ,

3 ⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

= 9 × 3 × 3

= 81

Следовательно , 81 — это 4 ^-я -я степень числа 3.

Пример задачи

Вопрос 1: Решите выражение 6 ³ – 2 ³ .

Решение:

Чтобы решить выражение, сначала решите 3 ^{-й степени} чисел, а затем вычтите второй член из первого члена. Однако ту же задачу можно решить проще, просто применив формулу:

x ³ – y ³ = (x – y)(x ² + y ² + xy)

6 ³ – 2 ³ = (6 – 2)(6 ² + 2 ² + 6 × 2)

= 4 × (36 + 4 + 12)

= 4 × 52

= 208

Вопрос 2: Решите выражение 7 ² — 5 ² .

Решение:

Чтобы решить выражение, сначала решите числа во второй степени, а затем вычтите второй член из первого. Однако ту же проблему можно решить проще, просто применив формулу, формула

x ² – у ² = (х + у)(х – у)

7 ² – 5 ² = (7 + 5)(7 – 5)

= 12 × 2

1 = 24

Вопрос 3: Решите выражение 3 ³ + 3 ³ .

Решение:

Чтобы решить выражение, сначала решите 3 ^{-й степени} чисел, а затем вычтите второй член из первого члена. Однако ту же проблему можно решить проще, просто применив формулу, формула

x ³ + y ³ = (x + y)(x ² + y ² – xy)

3 ³ + 3 0 0 (3

3 3) 2

+ 3 ² – 3 × 3)

= 6 × (9 + 9 – 9)

= 6 × 9

= 54

Другой метод решения заключается в простом вычислении куба каждого слагаемого. а затем добавьте оба члена,

3 ³ + 3 ³ = 27 + 27

= 54

Правила логарифмирования — ChiliMath

Поиск

В этом уроке вы познакомитесь с общими правилами логарифмирования, также известными как «правила журнала». Эти семь (7) логарифмических правил полезны при расширении логарифмов, сокращении логарифмов и решении логарифмических уравнений. Кроме того, поскольку обратная функция логарифма является экспоненциальной функцией, я бы также рекомендовал вам пройтись и освоить правила экспоненты. Поверьте, они всегда идут рука об руку.

Если вас когда-нибудь интересовало, почему правила логарифмирования работают, посмотрите мой урок о доказательствах или обоснованиях свойств логарифмов.

Но если вы считаете, что хорошо разобрались с концепцией, вы можете просто проверить свои знания, выполнив приведенные ниже практические задания.

Практические задачи по правилам логарифмирования

---

---

Описание правил логарифмирования

Правило 1: Правило произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Правило 2: Правило частного

Логарифм отношения двух величин равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя.

Правило 3: Степенное правило

Логарифм экспоненциального числа равен произведению показателя степени на логарифм основания.

Правило 4: Правило нуля

Логарифм 1 по любому основанию всегда равен нулю. Пока b положительно, но b \ne 1.

Правило 5: Правило тождества

Логарифм аргумента (в скобках), где аргумент равен основанию, равен 1.

Правило 6: Обратное свойство логарифма

Логарифм экспоненциального числа, основание которого совпадает с основанием логарифма, равен показателю степени.

Правило 7: Обратное свойство экспоненты

Возведение логарифма числа в основание равно числу.

Правило 8: Изменение базовой формулы

---

Примеры применения правил журнала

Пример 1: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.

{\log _2}8 + {\log _2}4

Выразите 8 и 4 в виде экспоненциальных чисел с основанием 2. Затем примените Power Rule, а затем Identity Rule. После этого вы добавляете полученные значения, чтобы получить окончательный ответ.

Итак, ответ \color{blue}5.

---

Пример 2: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.

{\log _3}162 — {\log _3}2

Мы не можем выразить 162 в виде экспоненциального числа с основанием 3. Похоже, мы застряли, поскольку нет правил, которые можно было бы применить в прямом способ.

Однако правила логарифмирования можно использовать и в обратном порядке! Обратите внимание, что при использовании обратного правила отношения логарифмическое выражение может быть записано как одно логарифмическое число.

Мы сделали это! Применив правила в обратном порядке, мы создали одно выражение журнала, которое легко решить. Окончательный ответ здесь: \color{blue}4.

---

Пример 3: Оцените приведенное ниже выражение.

Кажется, одновременно происходит много вещей. Во-первых, посмотрите, сможете ли вы упростить каждое из логарифмических чисел. Если нет, начните думать о некоторых очевидных применимых логарифмических правилах.

Наблюдая, мы видим, что задействованы два основания: 5 и 4. Мы можем начать с объединения терминов, имеющих одно и то же основание. Упростим их по отдельности.

Для журнала с основанием 5 сначала примените правило мощности, а затем правило частного. Для журнала с основанием 4 немедленно примените правило продукта. Затем получите окончательный ответ, сложив два найденных значения.

Да, окончательный ответ: \color{blue}7.

---

Пример 4: Разверните приведенное ниже логарифмическое выражение. 95}} \right)

Произведение множителей заключено в скобки. Примените правило продукта, чтобы выразить их в виде суммы отдельных выражений журнала. Старайтесь по возможности упрощать числовые выражения до точных значений. Используйте правило 5 (правило идентификации) как можно чаще, потому что оно может помочь упростить процесс.

Должен признать, что окончательный ответ выглядит «незаконченным». Но нам не стоит беспокоиться, пока мы знаем, что правильно следовали правилам.

---

Пример 5 : Разверните логарифмическое выражение.

Подход заключается в том, чтобы сначала применить правило отношения к разности двух логарифмических выражений, поскольку они имеют дробную форму. Затем используйте правило произведения, чтобы разделить произведение факторов на сумму логарифмических выражений.

---

Пример 6 : Разверните логарифмическое выражение.

У этого есть радикальное выражение в знаменателе. Помните, что символ квадратного корня — это то же самое, что и 9.{{1 \более 2}}}. Как и в задаче № 5, примените правило отношения к журналам, а затем используйте правило продукта.

---

Пример 7 : Разверните логарифмическое выражение.

Подобная проблема может вызвать у вас сомнения, действительно ли вы пришли к правильному ответу, потому что окончательный ответ все еще может выглядеть «незавершенным». Однако если вы правильно применяете правила ведения журналов на каждом этапе, вам не о чем беспокоиться.

Вы могли заметить, что нам нужно сначала применить правило отношения, потому что выражение имеет дробную форму. 9

Раскрывающиеся логарифмы

Объяснение правила нулевого показателя и сила нуля

Показатели важны в финансовом мире, в научных обозначениях, а также в областях эпидемиологии и общественного здравоохранения. Так что же это такое и как они работают? 9\ textcolor {синий} {n} = \ underbrace {\ textcolor {оранжевый} {b} \ times \ dots \ times \ textcolor {оранжевый} {b}} _ {\ textcolor {синий} {n} \ textrm {times} }\]

где \(\textcolor{orange}{\text{буква «b» является основанием}}\) мы умножаем снова и снова, а \(\textcolor{синий}{\ text{буква «n» — это степень}}\)  или \(\textcolor{blue}{\text{степень}}\), то есть количество раз, когда мы умножаем основание само на себя.

Для приведенных выше примеров значения степени относительно малы. Но вы можете себе представить, если степени очень велики, становится излишним записывать числа снова и снова, используя знаки умножения. 9{0}} \textcolor{orange}{= 1} \]

Мы знаем, что \(\textcolor{purple}{\text{деление числа само на себя}}\) будет \(\textcolor{orange}{\ текст {равно единице}}\). И мы показали, что \(\textcolor{purple}{\text{деление числа само на себя}}\) также равно \(\textcolor{синий}{\text{десять в нулевой степени}}\). Математика говорит, что вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу.

Таким образом, \(\textcolor{синий}{\text{десять в нулевой степени}}\) равен \(\textcolor{оранжевый}{\text{равно единице}}\). Это упражнение выше обобщает любое базовое число, 90 = 1\)).

Подпишитесь на меня в Твиттере и загляните в мой личный блог, где я делюсь другими идеями и полезными ресурсами по программированию, статистике и машинному обучению.

Спасибо за внимание!

Научитесь программировать бесплатно. Учебная программа freeCodeCamp с открытым исходным кодом помогла более чем 40 000 человек получить работу в качестве разработчиков. Начать

Алгебраические выражения. Порядок операций

Навыки
в н
A L G E B R A

Содержание | Дом

1

Четыре операции и их знаки

Функция скобок

«Условия» и «факторы»

Степени и показатели

Порядок операций

Раздел 2 :

Ценности и оценки

Переменные

Написание алгебраических выражений

АЛГЕБРА — ЭТО ПИСЬМЕННЫЙ НАВЫК. Это означает, что писатель решает проблему четко, эффективно и с наименьшим объемом текста. Как и любой навык — вождение автомобиля, выпечка печенья, игра на гитаре — он требует практики. Письменная практика. Тем не менее, давайте начнем.

Первое, что нужно отметить, это то, что в алгебре мы используем буквы так же, как и числа. Но буквы обозначают цифры. Мы имитируем правила арифметики буквами, потому что имеем в виду, что правило будет верным для любые номера.

Вот, например, алгебраическое правило сложения дробей:

а в

+

б в

=

а + б     в

Буквы a и b означают: числа , находящиеся в числителях. Буква c означает: число в знаменателе. Правило означает:

«Какими бы ни были эти числа, сложите числители
и запишите их сумму над общим знаменателем. »

Алгебра говорит нам, как решить любую задачу, которая выглядит как .

В конце концов, символы для чисел — 1, 2, 3 — не что иное, как письменные знаки. А так письма. Как ученик увидит, алгебра зависит от образует , которые принимают символы. То, что вы видите выше, называется формальным правилом для сложения дробей.

Цифры — это числовые символы, а буквы — буквенные символы.

Вопрос 1.  Каковы четыре арифметических операции, и

какие признаки их работы?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай проблему сам!

1)	Дополнение:   a + b . Знак операции + и называется знаком плюс . Читать a + b как « a плюс b ».

1)	Например, если a представляет 3, а b представляет 4, то a + b представляет 7.

2)	Вычитание:   a − b . Знак операции — и называется знаком минус . Читать a − b как « a минус b ».

1)	Если a представляет, например, 8, а b представляет 2, то a − b представляет 6.

3)   Умножение:   a ·  b . Читать a ·  b как « a  умножить на b ».

Знак умножения в алгебре — точка в центре. Мы не используем крест умножения ×, потому что не хотим спутать его с буквой x .

Итак, если a представляет 2, а b представляет 5, тогда

a ·   b = 2 ·  5 = 10.

«2 умножить на 5 равно 10».

Не путайте точку по центру — 2 · 5 , которая в США означает умножение — с десятичной точкой:  2 . 5.

Однако мы часто опускаем точку умножения и пишем просто ab . Читать « a , b «. Другими словами, когда между двумя буквами или между буквой и числом нет знака операции, это всегда означает умножение. 2 x  означает 2 раза x .

4)

Подразделение:

а б

. Читать

а б

как « a разделить на b «.

В алгебре мы используем горизонтальную черту деления. Если 9Например, 0491 a  представляет 10, а b представляет 2, тогда

а б

=

10  2

=  5.

«10 разделить на 2 будет 5.»

Примечание:  В алгебре мы называем a + b «суммой», даже если мы не называем ответ. Как увидит учащийся, мы называем что-то в алгебре просто по тому, как оно выглядит как . На самом деле вы увидите, что вы делаете алгебру глазами, а дальше следует то, что вы пишете на бумаге.

Точно так же мы называем a − b разностью, ab произведением и частным.

Этот знак = конечно же знак равенства, и мы читаем это —

а = б

— как « a  равно (или равно) b «.

Это означает, что число слева, которое представляет a , равно числу справа, которое представляет b . Если мы напишем

а + б = в ,

и если a представляет 5, а b  представляет 6, то c должно представлять 11.

Вопрос 2. Какова функция скобок () в алгебре?

3 + (4 + 5)       3(4 + 5)

Скобки означают, что мы должны рассматривать то, что они заключают в себе
, как одно число.

3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12.     3(4 + 5) = 3 ·   9 = 27.

Примечание:  Если между 3 и (4 + 5) нет знака операции, это означает умножение.

Задача 1.   Как в алгебре написать

а) 5 умножить на 6? 5 · 6

b)   x умножить на y ? ху

в)   x разделить на y ?

x     г

d) x плюс 5 плюс   x минус 2?

( х + 5) + ( х — 2)

д)   х плюс 5   умножить на   x минус 2?

( х + 5)( х — 2)

Задача 2.   Различите следующее:

а)  8 – (3 + 2)         б)  8 – 3 + 2

а) 8 — (3 + 2) = 8 — 5 = 3.

б) 8 — 3 + 2 = 5 + 2 = 7.

В а) мы рассматриваем 3 + 2 как одно число. В б) мы не делаем. Мы должны сначала вычесть 3, а затем добавить 2. (Но см. порядок операций ниже.)

Существует распространенное заблуждение, что скобки всегда означают умножение. Фактически, в Уроке 3 мы увидим, что мы используем круглые скобки, чтобы отделить знак операции от знака алгебры. 8 + (−2).

Вопрос 3. Условия и факторы.

Когда числа добавляются или вычитаются, они называются терминами.

Когда числа умножаются, они называются множителями.

Вот сумма четырех слагаемых:   а − б + в − г .

В алгебре мы говорим о «сумме» терминов, даже если есть вычитания. Другими словами, все, что выглядит как то, что вы видите выше, мы называем суммой.

Вот произведение четырех факторов:   abcd .

Слово на множитель всегда означает умножение.

И снова мы говорим о «продукте» abcd , хотя мы не называем ответ.

Задача 3. Сколько терминов в следующем выражении? И сколько множителей у каждого члена?

2 а + 4 аб + 5 а ( б + с )

Есть три термина. 2 a — первый термин. Он имеет два множителя:
2 и a .
4 аб — второй член. Он имеет три множителя: 4, a и b .
И 5 a ( b + c ) — все это один термин. Он также имеет три множителя: 5, a и
( b + c ). Круглые скобки означают, что мы должны рассматривать все, что заключено в них, как одно число.

Степени и показатели

Когда все факторы равны — 2 · 2 · 2 · 2 — мы называем произведение степенью этого множителя. Таким образом, a · a называется второй степенью числа a или « a в квадрате». a · a · a — третья степень числа a , или « a в кубе». аааа равно а в четвертой степени и так далее. Мы говорим, что в само по себе является первой степенью в .

Теперь вместо aaaa мы пишем только один раз и поместите маленькую 4:

⁴ (« 4-й»)

Эта маленькая 4 называется показателем степени. Он указывает количество повторений и в качестве коэффициента.

8 ³  («8 в третьей степени» или просто «8 в третьей степени») означает 8 ·  8 ·  8.

Задача 4.   Назовите первые пять степеней числа 2. 2, 4, 8, 16, 32.

Задача 5.   Прочитайте, а затем рассчитайте каждое из следующих действий.

а) 5 ² «5 во второй степени» или «5 в квадрате» = 25,

.

б)   2 ³ «2 в третьей степени» или «2 в кубе» = 8,

.

в)   10 ⁴ «10 до четвертого» = 10 000.

г)   12 ¹ «12 к первому» = 12.

Однако в алгебре принято не писать показатель степени 1.

a = a ¹ =1 a .

Учащийся должен следить за тем, чтобы не перепутать 3 и , что означает 3 умножить на на , с на ³ , что означает на .

3 а	=	и + и + и , Урок 9арифметики
а 3	=	· · .

Вопрос 4.   При наличии нескольких операций

8 + 4(2 + 3) ² − 7,

какой порядок операций?

Прежде чем ответить, отметим, что, поскольку знание естественных наук является причиной, по которой студенты должны изучать алгебру; а поскольку порядки операций появляются только в определенных формах, то на этих страницах мы представляем только те формы, с которыми учащийся может когда-либо столкнуться в реальной алгебраической практике. Знак деления ÷ никогда не используется в научных формулах, только черта деления. Крест умножения × используется только в экспоненциальной записи, поэтому учащийся никогда не увидит следующее:

3 + 6 × (5 + 3) ÷ 3 − 8.

Такая задача была бы чисто академической, т. е. упражнением ради самого себя. Это не имеет практической ценности. Это никуда не ведет.

Порядок операций следующий:

(1)	Оцените скобки, если они есть, и если они требуют оценки.
(2)	Оцените степени, то есть показатели степени.
(3)	Умножать или делить — не важно.
(4)	Добавить или вычесть.

В примерах 1 и 2 ниже мы увидим, в каком смысле мы можем прибавить или вычесть . А в примере 3 мы встретим умножение на или разделить.

Примечание:  «Оценить» означает назвать и написать число.

Пример 1.    8 + 4(2 + 3) ² − 7

Сначала оценим скобки, то есть заменим 2+3 на 5:

= 8 + 4 · 5 ² − 7

Так как теперь есть только одно число, 5, скобки писать не нужно.

Обратите внимание, что мы преобразовали один элемент, круглые скобки, и переписали все остальные.

Затем оцените показатели степени:

= 8 + 4 · 25 − 7

Теперь умножьте:

= 8 + 100 — 7

Наконец, прибавьте или вычтите , это не будет иметь значения. Если мы сначала добавим:

= 108 − 7 = 101.

Хотя если сначала вычесть:

8 + 100 — 7 = 8 + 93 = 101.

Пример 2.   100 − 60 + 3.

Первый:

100 − 60 + 3 означает ли , а не , 100 − 63.

Только при наличии скобок —

100 − (60 + 3)

— можем ли мы рассматривать 60 + 3 как одно число. При отсутствии скобок задача означает вычесть 60 из 100, затем прибавить 3:

100 — 60 + 3 = 40 + 3 = 43.

На самом деле не имеет значения, прибавляем мы сначала или вычитаем сначала,

100 — 60 + 3 = 103 — 60 = 43.

Когда мы подойдем к числам со знаком, мы увидим, что

100 − 60 + 3 = 100 + (−60) + 3.

Порядок, в котором мы их «добавляем», значения не имеет.

Пример 3.

11 ·  35     5

Нет скобок для оценки и показателей степени. Далее по порядку умножаем или делим на . Мы можем сделать и то и другое — мы получим тот же ответ. Но обычно более искусно сначала делить, потому что тогда у нас будут меньшие числа для умножения. Поэтому сначала разделим 35 на 5:

11 ·  35     5	=	11 ·  7
	=	77.

См.: Навыки арифметики, свойство 3 раздела.

Пример 4.   ½(3 + 4)12  = ½ ·  7 ·  12.

порядок множителей не имеет значения: abc = bac = cab и так далее. Поэтому мы можем сначала сделать ½ ·  12.  То есть мы можем сначала разделить 12 на 2:

½ ·  7 ·  12 = 7 ·  6 = 42.

(см. урок 27 арифметики, вопрос 1.)

Пример 5. Полоса разделения.

8 + 20 10 − 3

В любой задаче с делением, прежде чем мы сможем разделить, мы должны оценить верх и низ в соответствии с порядком операций. Другими словами, мы должны интерпретировать верх и низ как заключенные в круглые скобки.

8 + 20 10 − 3

означает

(8 + 20) (10 − 3)

.

Теперь действуем как обычно и сначала оцениваем скобки. Ответ: 4.

Проблема 6.   Оцените каждое из следующих действий в соответствии с порядком операций.

а)	3 + 4 · 5 =		б)	2 + 3 · 4 + 5 =
	3 + 20 = 23			2 + 12 + 5 = 19
в)	4 + 5 (2 + 6) =		г)	(4 + 5) (2 + 6) =
	4 + 5 · 8 = 4 + 40 = 44			9 · 8 = 72

д)	11 · 10    5		е)	½(3 + 4)8 =
	11 · 2 = 22 Сначала мы можем разделить. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт