Алгебраический круг – Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами.

Числовая окружность. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема:  Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель – определить тригонометрические функции:  синус, косинус, тангенс, котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка  Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности.

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки – положительное направление, по часовой стрелке – отрицательное.

Типовые задачи – нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу  соответствует точка А с координатой

Каждая точка  В с координатой характеризуется только одним числом – расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги  равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

=1.

Дана окружность, длина окружности  Если  то  – длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще  – тоже попадем в т. В, отнимем  – тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности – точка   В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида

interneturok.ru

Введение. Длина дуги окружности. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Окружностью (см. Рис. 1) называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки (центра).

Рис. 1. Окружность

Длина любой кривой (в том числе и дуги) приближённо описывается ломаной, вершины которой находятся на этой кривой. Если неограниченно измельчить звенья ломаной, то получим длину кривой (см. Рис. 2).

Рис. 2. Длина дуги окружности описывается ломаной

Пусть дана окружность. Если изменить все радиусы данной окружности в  раз, получим новую окружность, все размеры которой также изменятся в  раз. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру будет числом постоянным:

Такое отношение назвали числом пи (). Это число примерно равно 3,14.

Выразим из этого выражения длину окружности (l):

 , где R – радиус окружности.

 – длина окружности

Исходя из этой формулы, при :

 – длина единичной окружности

Необходимо ввести такую единицу измерения угла, чтобы полный угол был равен . Такой единицей измерения угла является радиан.

Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. Рис. 3).

;

Рис. 3. Угол в один радиан

Формула длины окружности

interneturok.ru

Числовая окружность в координатной плоскости — урок. Алгебра, 10 класс.

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).

 

 

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

 

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

Точка Mπ4 — середина \(I\) четверти.

Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).

Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡MOP=45°.

 

Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).

 

Так как координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1,

то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

x2+y2=1x=y

 

Подставив \(x\) вместо \(y\) в первое уравнение системы, получим следующее решение:

 

x2+x2=1;2×2=1;x2=12;x=12=22;y=x=22.

 

При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.

Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π4, будут   Mπ4=M22;22.

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

 

\(0\)

π4

π2

3π4

π

5π4

3π2

7π4

Абсцисса \(x\)

\(1\)

22

\(0\)

−22

\(-1\)

−22

\(0\)

22

\(1\)

Ордината \(y\)

\(0\)

22

\(1\)

22

\(0\)

−22

\(-1\)

−22

\(0\)

 

Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π6.

 

Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡MOP=30°.

 

Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна

 MP=12;y=12

 

Абсциссу \(x\) точки \(M\) найдём, решив уравнение:

 

x2+y2=1;

x2=1−122=1−14=34;x=32.

 

При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.

Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π6, будут  Mπ6=M32;12.

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

 

π6

π3

2π3

5π6

7π6

4π3

5π3

11π6

Абсцисса \(x\)

32

12

−12

−32

−32

−12

12

32

Ордината \(y\)

12

32

32

12

−12

−32

−32

−12

www.yaklass.ru

Алгебраическая линия на плоскости. Окружность

Алгебраическая линия на плоскости. Окружность

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Курсовая работа на тему:

«Алгебраическая линия на плоскости. Окружность»

Выполнила

студентка 1 курса

физико-математического

факультета, направления

«Педагогическое образование (МИ)»

Волкова Ирина Васильевна

Научный руководитель: ассистент кафедры

высшей математики

Петросян Гарик Гагикович

Воронеж 2014

Содержание

Введение

1.Алгебраическая линия на плоскости

1.1 Определение алгебраической линии на плоскости

1.2 Теорема про независимость порядка линии от выбора аффиной системы координат

1.3 Общее уравнение прямой

2.Классификация алгебраической линии

2.1 Алгебраическая линия первого и второго порядка

.2 Окружность

3.Задачи

Заключение

Список литературы

Введение

Аналитическая геометрия — это раздел математики, в котором изучаются свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат.

Сущность данного метода заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или их системы, так что геометрические свойства фигур выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом.

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания — механике, физике.

Метод координат в геометрии состоит в том, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы. Это существенно упрощает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы или решать задачи, пользуясь определенным алгоритмом, в то время, как синтетический метод в геометрии в большинстве случаев требует искусственных приемов. Но для того чтобы пользоваться методом координат, необходимо уметь с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем задавать геометрические фигуры.

При изучении геометрии на плоскости методом координат в качестве фигур чаще всего рассматриваются линии. Примерами линий являются прямая, окружность, парабола, синусоида и др.

В данной курсовой работе рассмотрены алгебраическая линия на плоскости и окружность, как составляющие метода координат. Алгебраическая линия по сути это есть прямая, а прямые в геометрии встречаются часто. Благодаря линии можно определить геометрическое место точки.

Цель работы связана с ознакомлением теории об алгебраической линии и окружности, применение теории на практике.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка литературы. Во введение кратко описается значение выбранной темы. В основной части рассмотрены теория и задачи в применение алгебраической линии на плоскости и окружности в методе координат. В заключении представлен вывод по всей курсовой работе.

. Алгебраическая линия на плоскости

.1 Определение алгебраической линии на плоскости

Алгебраической линией на плоскости называется линия, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид

F(x, y) = 0, (1),

где F(x, y) — многочлен от переменных x, y, т.е. сумма членов вида

(а — действительное число, s, t — целые неотрицательные числа).

Степенью члена , где а ? 0, называется число s+t. Степенью многочлена F(x, y) называется наивысшая степень его членов. Степень многочлена F(x, y) называется порядком линии, определяемой уравнением (1). Примером алгебраической линии первого порядка является прямая, заданная уравнением x= a, а примером линии второго порядка — окружность, заданная уравнением .

.2 Теорема про независимость порядка линии от выбора аффиной системы координат

Формулировка теоремы:

Понятие алгебраической линии, а также порядок линии не зависят от выбора аффинной системы координат.

Возьмем на плоскости аффинную систему координат . Пусть в этой системе координат линия у определяется уравнением (1), где F( х, у) — многочлен степени n. Зададим другую аффинную систему координат Координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе . выражаются через ее координаты x’, у’ в системе :

,(2)

.

Чтобы получить уравнение линии ? в системе , надо в уравнении (1) заменить х, у их выражениями по формулам (2). Получим уравнение

.(3)

Многочлен F(x, y) есть сумма членов вида . После замены x, y их выражениями (2) вместо члена получим выражение:

. (4)

Таким образом, G (x’, у’) есть сумма выражений вида (4), и потому G (x’, у’) — многочлен от переменных x’, у’. Итак, понятие алгебраической линии не зависит от выбора аффинной системы координат.

Докажем теперь, что G(x’, у’) — многочлен степени n. Пусть m- степень этого многочлена. Если в выражении (4) раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим сумму членов вида , где в каждом таком члене . Отсюда следует, что m ? n. Будем теперь считать, что — старая система координат, а — новая. Тогда по доказанному n ? m. Итак, m ? n, n ? m, m=n.

Замечание: разбиение множества линий плоскости наалгебраические и неалгебраические основано на использовании аффинной системы координат. Для такого разбиения множества линий система полярных координат непригодна. Например на рисунке 1 прямая l в полярной системе координат имеет уравнение , где а=ОА. Это уравнение не является алгебраическим. Уравнение той же прямой l в системе является алгебраическим: .[1]

Рисунок 1

.3 Общее уравнение прямой

Уравнение любой прямой в аффинной системе координат является уравнением первой степени, т. е. может быть записано в виде

Ах + Ву + С = 0, (5)

где числа А и В одновременно не равны нулю.

Таким образом, прямая является алгебраической линией первого порядка.

Докажем обратное утверждение.

Теорема 1: линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0 (5), есть прямая. Вектор (- В, А) является направляющим вектором этой прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

Пусть ? — линия, заданная уравнением (5), а M0(x0,y0) — некоторая ее точка, т.е. точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5):

Аx0 + Вy0 + С = 0.(6)

Такая точка всегда существует, так как А и В одновременно не равны нулю. Определив из равенства (6) С и подставив в уравнение (5), получим уравнение линии ? в виде Ах + Ву — Аx0 — Вy0 = 0, или A(x-x0)-((-B)y-y0)=0. Это уравнение имеет в точности вид a2(x-x0)-a1(y-y0)=0 и, следовательно, определяет прямую, проходящую через точку M0(x0,y0) с направляющим вектором (- В, А). Таким образом, любое уравнение первой степени (5) в аффинной системе координат определяет прямую линию. Другими словами, любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая линия. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой, а x и y называются текущими координатами точки прямой.[1]

. Классификация алгебраической линии

.1 Алгебраическая линия первого и второго порядка

Для получения линии первого порядка надо приравнять нулю многочлен первой степени. Он может содержать только члены первой степени и свободный член. Поэтому уравнение линии первого порядка в общем виде таково:

Ах+Ву+С=0,(7)

причем коэффициенты А, В не могут оба равняться нулю.

Здесь могут быть два случая:

) Если В?0, то, производя деление на В и обозначая

,(8)

Получим

=kx+b.(9)

Рисунок 2 — Изображение уравнения прямой линии

Это уравнение прямой линии, изображенной на рисунке 2.

) Если же В=0, то, деля на А и обозначая , получаем уравнение х = а, т.е. прямую, параллельную оси у. Отметим, что для таких прямых угловой коэффициент , что также вытекает из выражения (8), а уравнение записать в форме (9) невозможно. Итак, линии первого порядка — это прямые линии.

Рассмотрим несколько простых задач на прямые линии.

. Через заданную точку (x1, y1) провести прямую с данным угловым коэффициентом k. Конечно, в аналитической геометрии «провести прямую» означает «написать уравнение прямой». Искомое уравнение имеет вид (9), но b в нем неизвестно. Однако, раз прямая проходит через данную точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой: y1=kx1+b. Производя вычитание, исключаем b и получаем искомое уравнение

.(10)

алгебраический линия окружность координата

Если в этом уравнении менять k, то мы получим пучок всевозможных прямых, проходящих через точку (x1, y1). Можно предположить и , т.е. получить вертикальную прямую, однако, для этого надо предварительно обе части разделить на k, тогда после подстановки получится просто , т.е. . Аналогичные предосторожности принимаются и в других задачах, когда параметры принимают бесконечные значения.

. Провести прямую через две данные точки (x1, y1) и (x2, y2). Уравнение искомой прямой имеет вид (10), но k неизвестно. Однако из условия прохождения через вторую точку получаем: , откуда, производя деление, исключаем k:

(11)

Отметим,что в этом уравнение,как и в уравнении (10), x и y — переменные координаты текущей (любой) точки искомой прямой.

Уравнение линии второго порядка имеет вид:

2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ,(12)

где коэффициенты А, В, С не могут равняться нулю (2B, а не просто В, пишут только для упрощения получающихся формул).

Здесь возможны три случая: эллиптический (), гиперболический () и параболический ().[2]

.2 Окружность

Докажем, что окружность является алгебраической линией второго порядка. Для этого возьмем на плоскости прямоугольную систему координат и в этой системе координат составим уравнение окружности ? радиуса r c центром в точке C(a, b).

Точка М (x, y) плоскости принадлежит окружности ? тогда и только тогда, когда СМ=r или CM2=r2. Это равенство в координатах запишется так:

.(13)

Это и есть уравнение окружности ?.

Действительно, если точка M0(x0, y0) лежит на окружности, то , т.е. , поэтому координаты точки M0 удовлетворяют уравнению (13), а если точка M1(x1, y1) не лежит на окружности, то , т.е. и, значит, координаты точки M1 не удовлетворяют уравнению (13). Итак, доказано, что уравнение (13) есть уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(a, b).

В частности, если центр окружности совпадает с началом О координат, то a=b=0, поэтому уравнение (13) принимает вид:

. (14)

Уравнение (13) можно записать в виде

,(15)

где A=-2a, B=-2b, C=a2+b2-r2.

Таким образом, уравнение любой окружности в прямоугольной системе координат имеет вид (15), т.е. окружность является алгебраической линией второго порядка.

Рассмотрим теперь обратную задачу, т.е. выясним, что собой представляет алгебраическая линия второго порядка, заданная уравнением (15). Перепишем это уравнение так:

,

Или

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (13), видим, что если , то линия, заданная уравнением (15), является окружностью с центром и радиусом .

Окружность является примером алгебраической линии второго порядка. Кроме окружности существуют и другие алгебраические линии второго порядка.

Отметим, что существует бесконечное множество неалгебраических линий. Так, линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнениями , , , () и др., являются примерами неалгебраических линий. Действительно, если предположить, что какая-либо из этих линий алгебраическая, то по теореме 1 эта линия в любой аффинной системе координат, в том числе в системе , определяется уравнением вида (1), где F(x, y) — многочлен. Но это невозможно, так как можно доказать, что ни одна из функций sin x, tg x, lg x, ax не может быть представлена в виде многочлена.[1]

. Задачи

Пример №1. (координаты центра и радиус окружности)

Найти координаты центра окружности 2?x2+ 2?y2- 8?x + 5?y — 4 = 0.

Решение:

Для того, что бы множитель при x2 и y2 были равны единице, делим обе части равенства на 2 и перегруппировываем члены выражения

Достроим выражения в фигурных и квадратных скобках до полных квадратов, прибавив к фигурным скобкам 4, а квадратным (одновременно прибавляя те же величины и справа):


Или

Ответ:

Исходное уравнение определяет окружность с центром в точке (2; — ) и радиусом .

Пример №2

Даны точки А(0;-2), В(-2;1),С(0;0) и D(2;-9). Укажите из них те, которые лежат на прямой 2х-3у+7=0.

Решение

Уравнению прямой удовлетворяю координаты только точки В, т.к.

(-2)-3(1)+7=0, -4-3+7=0,0=0.

Пример №3.

Даны точки А(0;0),В(-2;1),С(3;3),D(2;-1) и окружность Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.

Решение

Подставив координаты данных точек в левую часть уравнения данной окружности, найдем квадраты расстояний от данных точек до центра Q(1;-3) окружности:

Точка А:

Точка В:

Точка С:

Точка D:

Следовательно, точки А и D расположены внутри окружности, точка В — на окружности, а точка С — вне окружности.

Заключение

В заключение курсовой работы хотелось бы отменить, что с помощью метода координат можно было бы изложить весь школьный курс геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры. Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач.

Без алгебраической линии на плоскости и окружности метод координат является не полным.

В данной курсовой работе большое внимание уделено тому, что задается уравнение прямой и окружности. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами.

Список литературы

1.Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия в 2-х частях — М.: «Просвещение» 1986.-335 с.

.Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.- М.: Высш.шк., 2005.-496 с.

.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. -М.:Наука, 1968.-178 с.


diplomba.ru

Math.ru

Яков Петрович Понарин

М.: МЦНМО, 2004. 160 с.
ISBN 5?94057-152-2; Тираж 2000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (-) pdf (0.99) ps (-) html (-) tex (-)

В книге в научно-популярной форме излагаются основы метода комплексных чисел в геометрии. Отдельные главы посвящены многоугольникам, прямой и окружности, линейным и круговым преобразованиям. Метод комплексных чисел иллюстрируется на решениях более 60 задач элементарного характера. Для самостоятельного решения предлагается более 200 задач, снабжённых ответами или указаниями. Книга адресуется всем любителям геометрии, желающим самостоятельно овладеть методом комплексных чисел. Её можно использовать для проведения кружков и факультативных занятий в старших классах средней школы.

Содержание

Предисловие

Глава 1. Основы метода комплексных чисел

? 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними

  1.1. Плоскость комплексных чисел.

  1.2. Операция перехода к сопряжённому числу.

  1.3. Векторная интерпретация комплексных чисел, их сложения и вычитания.

  1.4. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.

  1.5. Деление отрезка в данном отношении.

  Задачи.

? 2. Формулы длины отрезка и скалярного произведения векторов

  2.1. Расстояние между двумя точками.

  2.2. Скалярное произведение векторов.

  2.3. Примеры решения задач.

  Задачи.

? 3. Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.

  3.1. Коллинеарность векторов.

  3.2. Коллинеарность трёх точек.

  3.3. Перпендикулярность отрезков (векторов).

  Задачи.

? 4. Комплексные координаты некоторых точек.

  4.1. Точка пересечения секущих к окружности.

  4.2. Точка пересечения касательных к окружности.

  4.3. Ортогональная проекция точки на прямую.

  4.4. Центроид и ортоцентр треугольника.

  Задачи.

? 5. Решение задач методом комплексных чисел.

  Задачи.

? 6. Классические теоремы элементарной геометрии.

  6.1. Теорема Ньютона.

  6.2. Теорема Гаусса.

  6.3. Теорема Симcона.

  6.4. Теорема Паскаля.

  6.5. Теорема Монжа.

  6.6. Теорема Дезарга.

  Задачи.

? 7. Углы и площади.

  7.1. Угол между векторами.

  7.2. Площадь треугольника и четырёхугольника.

  7.3. Соотношение Бретшнайдера.

  7.4. Теорема Птолемея.

  7.5. Решение задач.

  Задачи.

Задачи к главе 1.

Глава 2. Многоугольники

? 8. Подобные и равные треугольники

  8.1. Подобные треугольники.

  8.2. Равные треугольники.

  Задачи.

? 9. Правильный треугольник.

  9.1. Критерий правильного треугольника.

  9.2. Теорема Помпею.

  Задачи.

? 10. Правильные многоугольники.

  10.1. Координаты вершин правильного n-угольника.

  10.2. Вычисление длин сторон и диагоналей правильного n-угольника.

  Задачи.

Задачи к главе 2.

Глава 3. Прямая и окружность.

? 11. Геометрический смысл уравнения az+bz+c=0.

  11.1. Сопряжённые комплексные координаты. Уравнение прямой.

  11.2. Приведённое уравнение прямой.

? 12. Две прямые. Расстояние от точки до прямой.

  12.1. Угол между прямыми.

  12.2. Критерии перпендикулярности и параллельности двух прямых.

  12.3. Расстояние от точки до прямой.

  Задачи.

? 13. Двойное отношение четырёх точек плоскости.

  13.1. Определение и свойства двойного отношения.

  13.2. Геометрический смысл аргумента и модуля двойного отношения четырёх точек.

  13.3. Критерий принадлежности четырёх точек окружности или прямой.

  Задачи.

? 14. Геометрический смысл уравнения zz+az+bz+c=0.

  14.1. Общее уравнение окружности в сопряжённых комплексных координатах.

  14.2. Уравнение окружности по трём её точкам.

  14.3. Ортогональные окружности.

  Задачи.

? 15. Гармонический четырёхугольник.

  15.1. Гармоническая четвёрка точек.

  15.2. Гармонический четырёхугольник.

  Задачи.

? 16. Поляры и полюсы относительно окружности.

  16.1. Полярно сопряжённые точки.

  16.2. Поляра точки относительно окружности.

  16.3. Построение поляры. Полюс прямой.

  16.4. Другое определение полярной сопряжённости точек.

  16.5. Построение поляры данной точки одной линейкой.

  Задачи.

? 17. Пучки окружностей.

  17.1. Степень точки относительно окружности.

  17.2. Радикальная ось двух окружностей.

  17.3. Радикальный центр трёх окружностей.

  17.4. Пучки окружностей.

  17.5. Ортогональные пучки окружностей.

  Задачи.

Глава 4. Преобразования плоскости

? 18. Подобия и движения.

  18.1. Первоначальные сведения о преобразованиях подобия.

  18.2. Формулы подобий.

  18.3. Угол подобия.

  18.4. Частные случаи подобий первого рода.

  18.5. Частные случаи подобий второго рода.

  Задачи.

? 19. Представление подобий композициями гомотетий и движений. Оси подобий второго рода.

  19.1. Теоремы о классификации подобий.

  19.2. Оси подобия второго рода.

? 20. Композиции подобий.

  20.1. Композиции подобий первого рода.

  20.2. Композиции подобий первого и второго рода.

  Задачи.

? 21. Аффинные преобразования евклидовой плоскости.

  21.1. Формула и свойства аффинных преобразований.

  21.2. Задание аффинного преобразования.

  21.3. Неподвижные точки.

? 22. Инвариантные пучки параллельных прямых и двойные прямые аффинного преобразования.

  22.1. Характеристическое уравнение и собственные числа аффинного преобразования.

  22.2. Характеристическая окружность аффинного преобразования (117).

  22.3. Инвариантные пучки прямых и двойные прямые.

? 23. Частные случаи аффинных преобразований.

  23.1. Сжатия и сдвиги.

  23.2. Косая симметрия.

  23.3. Эллиптический поворот.

  23.4. Параболический поворот.

  Задачи.

? 24. Инверсия

  24.1. Определение и формула инверсии.

  24.2. Образы прямых и окружностей при инверсии.

  24.3. Свойство конформности инверсии.

  Задачи.

? 25. Круговые преобразования первого рода.

  25.1. Конформная плоскость.

  25.2. Круговые преобразования первого рода.

  25.3. Неподвижные точки.

? 26. Круговые преобразования второго рода.

  26.1. Формула и свойства круговых преобразований второго рода.

  26.2. Неподвижные точки.

  26.3. Задание кругового преобразования.

  Задачи.

Задачи смешанного содержания.

Ответы, указания, решения.

Предметный указатель.

Литература.


Загрузить (Mb)
djvu (-) pdf (0.99) ps (-) html (-) tex (-)


math.ru

Числовая окружность. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Единичная окружность, квадранты

Сложность: среднее

1
2. Числовая окружность

Сложность: лёгкое

5
3. Определение чисел, соответствующих точке

Сложность: лёгкое

1
4. Соответствие точек числовой окружности числам

Сложность: лёгкое

1
5. Определение координат точек

Сложность: лёгкое

1
6. Длина дуги на числовой окружности, разделённой точками

Сложность: среднее

3
7. Длина дуги на числовой окружности

Сложность: среднее

1
8. Симметрия точек на числовой окружности

Сложность: среднее

2
9. Принадлежность точек числовой окружности

Сложность: среднее

1
10. Расположение точек на числовой окружности

Сложность: сложное

3
11. Сравнение абсциссы и ординаты точки

Сложность: сложное

3
12. Соответствие между числами и точками числовой окружности

Сложность: сложное

4

www.yaklass.ru

Числовая окружность. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Числовая окружность

Для  любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.

Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).

Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Например, берем число  откладываем на координатной оси, получаем точку  Возьмем число  откладываем на оси, получаем точку  (рис. 2).

И наоборот, если мы взяли любую точку  на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).

К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.

Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна  (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное  Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда  Возведем обе части в квадрат,   Очевидно, что правая часть равенства делится на 2,

interneturok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *