Алгоритм решения системы неравенств: Системы неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

№ 5 алгебра 8-Б Решение систем неравенств

Дата 08.04.2020 8-Б алгебра Урок № 5

Тема: Понятие системы неравенств с одной переменной

Цель: закрепить умение решать линейные неравенства с одной переменной и показывать решение на координатной прямой; дать определение системы неравенств с одной переменной и рассмотреть алгоритм её решения.

1. Организационный момент

Все примеры выписываем в тетради, делаем чертежи аккуратно.

1. https://resh.edu.ru/subject/lesson/1987/start/Алгебра 8 класс (Урок№42 — Решение систем неравенств с одной переменной.) РЭШ

смотрим Основная часть.

2 https://www.youtube.com/watch?v=daKs_edQ_-U 6 класс, 31 урок, Системы линейных неравенств с одной переменной. Решить все примеры вместе с автором видео ПРОВЕРЯЕТСЯ

2. Актуализация

Сегодня мы с вами познакомимся с системой неравенств с одной переменной. Само понятие системы для вас не новое, мы уже умеем работать с системами уравнений. Но методы их решения не нужно переносить на системы неравенств. Рассмотрим алгоритм решения системы неравенств.

Повторение. Выполните следующие задания письменно и мне пришлите полное решение и ответ в виде числового промежутка.

Найдите решение неравенств:

а)  ; б)    в)  ; г)  ;

д)  ;

2. Изучение нового материала

Сегодня мы с вами научимся решать системы неравенств с одной переменной. Откройте рабочие тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Далее выполняем письменно конспект урока.

Определение. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств – значит найти все её решения или доказать, что их нет. В ответе может быть: одно число, интервал, луч (открытый или числовой), числовой отрезок, полуинтервал, а может быть пустое множество   (т.е. нет решений системы).

Если некоторое число является решением одного неравенства, но не является решением второго, то это число не является решением всей системы неравенств.

Например, является ли число 3 решением системы неравенств   ?

Чтобы ответить на этот вопрос необходимо вместо «х» подставить число 3 и проверить, выполняются ли оба неравенства. Подставим

Не смотря на то, что первое неравенство системы верное при подстановке числа 3, но второе – не верное. А, значит число 3 не является решением системы уравнений.

Алгоритм решения систем неравенств с одной переменной.

1. Решаем каждое неравенство системы отдельно, но под знаком системы.

2. Находим пересечение числовых промежутков, являющихся решением неравенств системы, с помощью координатной прямой.

3. Записываем полученное решение в виде числового промежутка или неравенства.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пример 1. Решить систему неравенств 

Обратите внимание, что знаки неравенств в системе не обязательно должны быть одинаковые.

1 шаг. Решаем каждое неравенство системы отдельно, но под знаком системы.

2 шаг. Находим пересечение числовых промежутков, являющихся решением неравенств системы, с помощью координатной прямой.

Обратите внимание. Сейчас мы будем выполнять построение решений на координатной прямой сразу для двух неравенств системы. Изобразим решения первого неравенства штриховкой сверху и второго – снизу. При этом не забываем, что при строгом знаке неравенства точка на координатной прямой не закрашенная, а при нестрогом – закрашенная.

 – решением данного неравенства являются все числа, находящиеся справа от числа 2; точка закрашенная.

 – решением данного неравенства являются все числа, находящиеся слева от числа 6; точка не закрашенная.

3 шаг. Записываем полученное решение в виде числового промежутка или неравенства Необходимо найти пересечение двух решений, т.е. их общую часть (там, где штриховка сверху и снизу совпадает). Видим, что наши штриховки совпадают на полуинтервале

от 2 до 6. ЗАПИШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО этот полуинтервал

Ответ:   .

Пример 2. Решить систему неравенств 

1 шаг. Решаем каждое неравенство системы.

2 шаг. На координатной прямой находим пересечение решений каждого неравенства.

Ответ:

Закрепление

Открываем учебник на странице 198 и выполним письменно №876 и №877 (б, г).

№ 876. Решите систему неравенств:

№ 877 (б, г). Решите систему неравенств:

4. Домашнее заданин

1. https://www.yaklass.ru/дистанционный тренинг для школьников.

Эту ссылку копируем и в поисковик Яндекс, вставить. Находим внизу слева ПРЕДМЕТы и входим.

Ищем: алгебра 8, Неравенства. Пункт Числовые промежутки. Теория 1 и 2 Выписать и разобрать решенные примеры.

2.Домашнее задание: № 875, 877 (а, в).

Системы линейных неравенств с одной переменной. Решение системы линейных неравенств с одной переменной

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Конспект

Система неравенств с одной переменной – совокупность нескольких неравенств с одной и той же переменной. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств:

1. Решить каждое неравенство системы.

2. Изобразить графически решения каждого неравенства на координатной прямой.

3. Найти пересечение решений неравенств на координатной прямой.

4. Записать ответ в виде числового промежутка.

Система, не имеющая решений, называется несовместимой.

Системы вида: \(ax + b < 0 \)  и  \(cx + d < 0\) называются системами линейных неравенств с одной переменной. Вместо знака «\(<\)», могут быть знаки «\(>, \le, \ge\)».

Например: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-3\ge0 \\ -3x+11>0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x\ge3 \\ -3x>-11\\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge\frac32 \\ x<\frac{11}3\\ \end{array} \right. \)

Изобразив на одной координатной прямой оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера:

Ответ: \(x\in[\frac32;\frac{11}3)\).

Вопросы

1. Найдите решение двойного неравенства.

   \(-1<\frac{3x-1}4<2\)

2. Решите двойное неравенство.

   \(-2 < 3x + 1 < 7\)

3. Решите систему неравенств.

   \(\begin{cases} \frac{x}6+\frac{x}3<2, \\ 2-\frac13x>0. \ \end{cases}\)

4. Решите систему неравенств.

   \(\begin{cases} 2x+7\ge1,\\ x-3<1.\\ \end{cases}\)

5. Найдите количество целых решений системы неравенств.

   \(\begin{cases}3(x+1)<2x+3,\\ 3(x+4)>0. \end{cases}\)

6. Решите систему неравенств.

   \(\begin{cases} 1,5x ≥- 3, \\ -6x >-12. \end{cases}\)

7. Решите систему неравенств.

   \(\begin{cases}3x-2<1,5x+1, \\ 4-2x>x-2. \end{cases}\)

8. Решите систему неравенств

   \(\begin{cases}3x-2>x+4,\\ x-4\geq6x+3. \end{cases}\)

Сообщить об ошибке

Обязательные

Математическая грамотность

Грамотность чтения

История Казахстана

Предметы по профилю

Биология

Химия

Английский язык

Французский язык

География

Немецкий язык

Основы права

Русская литература

Математика

Физика

Русский язык

Всемирная история

Укажите предмет *

Скопируйте и вставьте вопрос задания *

Опишите подробнее найденную ошибку в задании *

Прикрепите скриншот

Объем файла не должен превышать 1МБ

Казахский

Русский

Обратите внимание! По выбранным Вами предметам

ГРАНТЫ не предоставлены. В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен.

Алгоритм

— Быстрый алгоритм для определения того, имеет ли полиномиальная система неравенств решение

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 291 раз

Я ищу быстрый алгоритм, который решает, имеет ли данная система k полиномиальных неравенств от n переменных решение (решение мне не нужно)

Для k > n.

Я читал о цилиндрической алгебраической декомпозиции, но пока не смог найти ничего лучше этого.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Речь идет о многочленах с действительными коэффициентами над действительными числами.

• алгоритм
• полиномиальная математика
• неравенство

7

Другое решение неизвестно. Вы должны перечислить компоненты в какой-либо САПР, найдя хотя бы одну точку для каждого компонента, а затем проверить эти точки на соответствие неравенствам.

О современных подходах можно прочитать у Basu, Pollack, Roy: «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии»

2

В обычных цепочках пакетов Maple есть команда IsEmpty?

Команда IsEmpty(sys, R) проверяет, пусто ли нулевое множество множества ограничений sys. Ограничениями в sys могут быть любые полиномиальные уравнения, неравенства или неравенства, заданные полиномами R. Нулевое множество sys рассматривается как множество действительных решений полиномиальной системы, определяемой sys. Это предполагает, что R имеет нулевую характеристику.

Я не знаю, какой алгоритм используется, но см.:

Ся, Бикан и Лу Ян. «Алгоритм выделения действительных решений полуалгебраических систем». Журнал символических вычислений 34, вып. 5 (2002): 461-477.

Решение о том, допустима ли система полиномиальных неравенств, является очень сложной математической задачей, и с ней связано множество исследований в области реальной алгебраической геометрии.

Помимо цилиндрического алгебраического разложения существуют теоремы альтернативы и для этих множеств. Наиболее примечательным результатом является Positivstellensatz Стенгла, который грубо говорит, что если это невыполнимо, то вы можете доказать, что это невыполнимо, комбинируя требования положительности из ограничений положительным образом, так что результат равен -1. Это противоречие доказывает невозможность.

Алгоритмически поиск этих сертификатов может быть очень плохим, но вы можете посмотреть на так называемые моментные релаксации вашего набора. Это немного большие наборы, возможность реализации которых можно определить с помощью полуопределенного программирования. Алгоритмы для этого хорошо разработаны.

В целом существует иерархия все более и более крупных задач выпуклой оптимизации, в которых вы в конечном итоге найдете решение вопроса о невозможности. Конечно, на практике все это может быть испорчено числовыми задачами и т. д. Реализацией этого является пакет Matlab yalmip 9.0005

Предполагая, что параметр действителен, вы можете найти корни полинома (при условии, что вы включаете n в полином), и решением будет набор интервалов, где X больше 0.

Вы также можете использовать результаты производных для определения тренда функции.

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

алгоритмы — Проверка непротиворечивости системы линейных уравнений и неравенств

Задать вопрос

спросил 10 лет, 10 месяцев назад

Изменено 10 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

У меня много систем уравнений и неравенств следующего вида:

$$ a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z+a_{1,4 }w = 2$$ $$ \ldots $$ $$ 0 < х < 2 $$ $$ 0 < у < 2 $$ $$ 0 < г < 2 $$ $$ 0 < ш < 2 $$

Всегда есть как минимум два уравнения, и я, вероятно, не буду рассматривать случаи с более чем двадцатью уравнениями.

4a_{i,j}\geq3$ для всех $i$. Решения — действительные числа.

Мне не нужно решать эти системы, но мне нужно знать, существуют ли решения. Если для каждой системы невозможно сказать, является ли она последовательной или нет, любой метод, который идентифицирует как можно больше несовместимых систем, высоко ценится.

У меня несколько сотен миллионов этих систем, поэтому я специально ищу такие вещи, которые можно легко превратить в программу. (Я знаю основные приемы, как сделать это вручную, и ищу несколько полезных приемов, которые можно выполнить с помощью компьютера. У меня есть некоторый опыт программирования, но не совсем в программировании подобных задач.)

• линейная алгебра
• алгоритмы

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Имеется критерий разрешимости системы строгих неравенств $Mt\lt b$ Карвера (см. \top b\leq 0.\qquad \qquad (*)\end{equation}

Посмотрим, как получить $Mt\lt b$. Для этого пусть $\zeta=\frac{1}{2}(x,y,z,w)$ и запишите ваши линейные уравнения в виде $A\zeta=e$, где $e$ обозначает все-1 вектор. Если эта система не имеет решения, то сделано. Если у него есть только одно решение, вы можете проверить его напрямую с вашими неравенствами. Если есть несколько решений, программа линейной алгебры сможет переписать вашу систему в виде $(I\ B)\zeta’=d$, где $I$ — единичная матрица размера 1, 2 или 3, $ B$ — матрица соответствующего размера, а $\zeta’$ — перестановка исходных переменных $\zeta$. Другими словами, он дает вам выражения $\zeta’_k=d_k-\sum_{j\neq k} B_{kj}\zeta’_j$ для $1\leq k\leq m$ и $m$ равно 1, 2 или 3, в зависимости от $A$.

Это сводит вашу исходную систему к системе строгих неравенств относительно оставшихся невыраженных $\zeta’$. (т.е. в $4-m$ переменных).

Наконец, примените критерий Карвера, решив задачу линейного программирования: $\max\sum_{i} v_i$ при $(*)$.