Arctg что это такое: Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы

Содержание

Арктангенс, арккотангенс - свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс ( y = arctg x )
 – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
tg(arctg x) = x     ;
arctg(tg x) = x     .

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс


График функции   y = arctg x.

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс ( y = arcctg x )
 – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
ctg(arcctg x) = x     ;
arcctg(ctg x) = x     .

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс


График функции   y = arcctg x.

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

  y = arctg x y = arcctg x
Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы, минимумы нет нет
Нули, y = 0 x = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2
π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° 180° π
– 60° 150°
– 1 – 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций



Формулы суммы и разности


     при

     при

     при


     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные



См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:
Пусть  . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x    
ctg(arcctg x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арктангенс (arctg или arctan)

 – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов

arctg x (°)
arctg x (рад)
x
-90° -π/2 -∞
-71.565°
-1.2490
-3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3
-√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-26.565° -0.4636 -0.5
0 0
26.565°
0.4636
0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 √3
63.435° 1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2

microexcel.ru

Внеклассный урок - Арктангенс и арккотангенс

Арктангенс и арккотангенс

 

Арктангенс и арккотангенс, так же как и арксинус и арккосинус, являются обратными тригонометрическими функциями.

Арктангенс.

Арктангенс числа а – это такое число из отрезка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а.

Обозначается так: arctg a.

 

Говоря иначе:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)


x = arctg a + πk

где k – любое целое число (k ∈ Z)

 
(2)


arctg (–a) = –arctg a

 

Пример: Вычислить arctg 1.

Решение.

Решая, следуем буквально по таблице над примером.

Итак, в нашем примере а = 1. Значит:

arctg 1 = х.

Следовательно, tg x = 1. При этом x ∈ [–π/2; π/2].

Находим значение x:

Координату 1 имеет tg π/4. Значит:

x = π/4.

При этом π/4 ∈ [–π/2; π/2].

Ответ: arctg 1 = π/4.

 

Арккотангенс.

Арккотангенс числа а – это такое число в интервале (0; π), котангенс которого равен а.

Обозначается так: arcctg a.

 

Говоря иначе:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 < x < π)

 

Формулы.

(1)


x = arcctg a + πk

(k ∈ Z)

 

(2)


arcctg (a) = π – arcctg а

 

Пример: Вычислить arcctg 1.

Решение.

Опять следуем по таблице над нашим примером.

а = 1.

Следовательно:

ctg x = 1.

Осталось найти значение x (либо вычислить самим, либо посмотреть таблицу котангенсов):

x = π/4.

arcctg 1 = π/4.

Все полученные результаты не выходили из рамок интервала (0; π).

Пример решен.

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное - , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что 

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3.

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график - уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

- Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

, значит,

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция - общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Где на окружности находится arctg 1 3. Урок "Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a". Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = - 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 - это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = - 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = - 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = - arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 - вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = - arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, -- tg x = - π/3. Ответом уравнения будет - π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = - 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = - a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π - x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π - arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод - выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= - 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = - 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой у = - 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= - arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = - arctg а, запишем:

arctg(-) = - arctg . Пусть - arctg = х, тогда - tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит - arctg=- tgх= - .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = - 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

  1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х - периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой

у = - а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π - х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π - arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Урок и презентация на темы: "Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π - x1, т.к. AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус - это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x - это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.


Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk


Перепишем:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак "плюс", то π умножается на четное число 2πk, а если знак "минус", то множитель - нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).


Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус - это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Arccos arcsin arctg arcctg - Вэб-шпаргалка для интернет предпринимателей!

Содержание

  • 1 Арксинус, arcsin
  • 2 Арккосинус, arccos
  • 3 Четность
  • 4 Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
  • 5 Таблица арксинусов и арккосинусов
  • 6 Формулы
  • 7 Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.
  • 8 Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.
  • 9 Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
  • 10 Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа
  • 11 Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними
  • 12 arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.
  • 13 Некоторые другие формулы

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° 180° π
– 60° 150°
– 45° 135°
– 30° 120°
90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,,y>0 ;"> и 1">

при и 1">

при или

при 0,,y и 1">

при 0 ;"> и 1">

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов. Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс.

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8. Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы.

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. Что такое арктангенс, арккотангенс. То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да. ) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого. Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё. Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8). Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Те, кто освоил темы "Тригонометрический круг", и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге" — люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но.

Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:

И так до бесконечности. Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и .

Да. Именно так. Арксинус 0,5 — это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности.

С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:

arсsin (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсcos (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсtg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсctg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:

Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от — Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° — пожалуйста!

Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.

А теперь наведите курсор мышки на рисунок, или коснитесь картинки на планшете. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует.

Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):

Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что. )

А зачем все эти арки? — слышу ещё один осторожный вопрос.)

Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:

У какого угла синус равен 0,4?

Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу. )

А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 — это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 — это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся.

Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:

У какого угла синус равен -0,7 ?
У угла arcsin (-0,7).

У какого угла косинус равен 0,03 ?
У угла arccos 0,03.

У какого угла тангенс равен 3 ?
У угла arctg 3.

У какого угла котангенс равен 0,123 ?
У угла arcctg 0,123.

Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любого тригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят — лучше некуда.

Здесь важно понимать, что arcsin (-0,7), arctg 3 и т.п. — это просто какие-то числа, величины углов. И отличаются от привычных градусов или радианов только компактной формой записи. Например, можно записать (точно!) величину угла в виде:

А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет:

23,57817847820183110402. °

Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)

Для успешной работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами чисел нужно знать существующие между ними связи. Эти связи удобно записывать в виде формул.

В этой статье мы разберем основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg, для удобства работы и запоминания разобьем эти формулы по группам, дадим их вывод и доказательство, а также покажем примеры использования.

Навигация по странице.

Первые четыре блока формул представляют собой основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, в указанной статье сайта www.cleverstudents.ru Вы найдете и доказательство этих формул, и примеры их применения. Здесь мы не будем повторяться, а лишь приведем сами формулы, чтобы они все были в одном месте.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.

Эти формулы очевидны и напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Они показывают, чему равен синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.

Эти формулы также очевидны и следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Они определяют, чему равен арксинус синуса, арктангенс тангенса, арккосинус косинуса и арккотангенс котангенса. Заметим, что стоит быть очень внимательными к указанным условиям, так как если угол (число) α выходит за указанные пределы, то эти формулы использовать нельзя, ибо они дадут неверный результат.

Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Формулы этого блока показывают, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс отрицательного числа выражаются через arcsin , arccos , arctg и arcctg противоположного ему положительного числа. Эти формулы позволяют избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел, и перейти к работе с этими аркфункциями от положительных чисел.

Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа

Записанные формулы позволяют выразить арксинус числа через арккосинус этого же числа, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и арккотангенс через тангенс того же числа.

Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними

На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.

Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .

Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

Осталось показать вывод записанных формул.

Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.

Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.

Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:

По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:

Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:

Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .

arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.

Из формул связи тригонометрических и обратных тригонометрических функций, разобранных в предыдущем пункте, можно получить формулы, выражающие одну из аркфункций через другие аркфункции, например, выражающие арксинус одного числа, через арккосинус, арктангенс и арккотангенс другого числа. Перечислим их.

По этим формулам можно заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно:

Вот формулы, выражающие арккосинус через арксинус, арктангенс и арккотангенс:

Формулы арктангенса через арксинус, арккосинус и арккотангенс имеют следующий вид:

Наконец, вот ряд формул с арккотангенсом:

Доказать все записанные формулы можно, отталкиваясь от определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, а также формул из предыдущего пункта.

Для примера, докажем, что . Известно, что при указанных a представляет собой угол (число) от минус пи пополам до пи пополам. Более того, по формуле синуса арктангенса имеем . Следовательно, при −1 является арксинусом числа a по определению, то есть, .

По аналогии можно доказать и остальные формулы, представленные в данном пункте статьи.

В заключение этого пункта покажем пример использования полученных формул. Для примера вычислим с их помощью, чему равен синус арккотангенса минус корня из трех. Обратившись к формуле вида , выражающей арккотангенс через арксинус, при имеем .

В данном примере мы могли вычислить требуемое значение и непосредственно: . Очевидно, что мы получили тот же результат.

Понятно, что для вычисления требуемого значения мы могли поступить и иначе, воспользовавшись формулой, выражающей синус через котангенс вида . Тогда решение выглядело бы так: . А можно было и сразу применить формулу синуса арккотангенса вида : .

Некоторые другие формулы

Основные формулы тригонометрии и формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса позволяют вывести ряд формул с arcsin , arccos , arctg и arcctg , еще не упомянутых в данной статье. Но заметим, что они уже достаточно специфичны, и приходится их использовать далеко не часто. Более того, такие формулы удобнее каждый раз выводить, нежели запоминать.

Для примера возьмем формулу половинного угла . Если добавить условие, что величина угла альфа принадлежит отрезку от нуля до пи, то будет справедливо равенство . При указанном условии угол альфа можно заменить на арккосинус числа a , что нам даст формулу вида , откуда можно получить следующую формулу, выражающую арккосинус через арксинус: .

Используя другие тригонометрические формулы, можно обнаружить ряд других связей между arcsin , arccos , arctg и arcctg .

В заключение этого пункта хочется сказать, что практическую пользу представляют даже не столько сами эти специфические формулы, связывающие arcsin , arccos , arctg и arcctg , сколько умения выполнять преобразования, используемых при выводе этих формул. Продолжением темы служит раздел теории преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Рекомендуем к прочтению

Как пишется arctg в Excel. Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Определение

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция.

Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Если косинус угла у равен х (cos y = x), значит арккосинус x равняется y:

arccos x = cos-1 x = y

Примечание: cos-1x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

График арккосинуса

Функция арккосинуса пишется как y = arccos (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Вычисление значения арктангенса

Арктангенс является тригонометрическим выражением. Он исчисляется в виде угла в радианах, тангенс которого равен числу аргумента арктангенса.

Для вычисления данного значения в Экселе используется оператор ATAN, который входит в группу математических функций. Единственным его аргументом является число или ссылка на ячейку, в которой содержится числовое выражение. Синтаксис принимает следующую форму:

Способ 1: ручной ввод функции

Для опытного пользователя, ввиду простоты синтаксиса данной функции, легче и быстрее всего произвести её ручной ввод.

    Выделяем ячейку, в которой должен находиться результат расчета, и записываем формулу типа:

Вместо аргумента «Число», естественно, подставляем конкретное числовое значение. Так арктангенс четырех будет вычисляться по следующей формуле:

Если числовое значение находится в какой-то определенной ячейке, то аргументом функции может служить её адрес.

  • Для вывода результатов расчета на экран нажимаем на кнопку Enter.
  • Способ 2: вычисление при помощи Мастера функций

    Но для тех пользователей, которые ещё не полностью овладели приемами ручного ввода формул или просто привыкли с ними работать исключительно через графический интерфейс, больше подойдет выполнение расчета с помощью Мастера функций.

      Выделяем ячейку для вывода результата обработки данных. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.

    Происходит открытие Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» следует найти наименование «ATAN». Для запуска окна аргументов выделяем его и жмем на кнопку «OK».

    После выполнения указанных действий откроется окно аргументов оператора. В нем имеется только одно поле – «Число». В него нужно ввести то число, арктангенс которого следует рассчитать. После этого жмем на кнопку «OK».

    Также в качестве аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой находится это число. В этом случае проще не вводить координаты вручную, а установить курсор в область поля и просто выделить на листе тот элемент, в котором расположено нужное значение. После этих действий адрес этой ячейки отобразится в окне аргументов. Затем, как и в предыдущем варианте, жмем на кнопку «OK».

  • После выполнения действий по вышеуказанному алгоритму в предварительно обозначенной ячейке отобразится значение арктангенса в радианах того числа, которое было задано в функции.
  • Как видим, нахождение из числа арктангенса в Экселе не является проблемой. Это можно сделать с помощью специального оператора ATAN с довольно простым синтаксисом. Использовать данную формулу можно как путем ручного ввода, так и через интерфейс Мастера функций.

    Функция ACOS

    ​«Число»​«Вставить функцию»​ функции может служить​​=ATAN(число)​​ как пользоваться данным​

    Описание

    ​ 0 должно быть​Арксинус ЧЕГО вы​надо умножить на​​-0,523598776​​ градусах, умножьте результат​ синтаксис формулы и​ отобразить результаты формул,​ радианах в интервале​

    Синтаксис

    ​ отобразится в окне​​. В него нужно​, размещенную слева от​ её адрес.​Для опытного пользователя, ввиду​ оператором.​

    Замечания

    ​ ПИ/2.​ пытаетесь УМНОЖИТЬ на​ число 180 деленгное​=ASIN(-0,5)*180/ПИ()​ на 180/ПИ( )​

    Обратные функции

    Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

    Следующие формулы справедливы на всей области определения:
    sin(arcsin x) = x
    cos(arccos x) = x .

    Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
    arcsin(sin x) = x при
    arccos(cos x) = x при .

    Четность

    Функция арксинус является нечетной:
    arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

    Функция арккосинус не является четной или нечетной:
    arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

    Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

    Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

    y = arcsin x y = arccos x
    Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
    Область значений
    Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
    Максимумы
    Минимумы
    Нули, y = 0 x = 0 x = 1
    Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

    Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

    Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

    График арккотангенса

    Функция арккотангенса пишется как y = arcctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (0 < y < π, –∞ < x < +∞):

    Таблица арктангенсов

    x (рад)‘ data-order=’x (рад)‘>x (рад) 3‘ data-order=’-√3‘>-√3
    -45° -π/4 -1
    -30° -π/6 3‘ data-order=’1/√3‘>1/√3
    45° π/4 1
    60° π/3

    Смотрите также:

    1. Десятичный логарифм: основание, свойства, формулы, функция, график
    2. Котангенс острого угла (ctg): определение, формула, таблица, график, свойства
    3. Логарифмы: таблица-шпаргалка свойств, формулы, примеры, график
    4. Натуральный логарифм: основание, свойства, формулы, функция, график

    ( Пока оценок нет )

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:

    Тригонометрическая функция arctan () - арктангенс - определение математического слова

    Тригонометрическая функция arctan () - арктангенс - определение математического слова - Math Open Reference

    Функция арктангенса - это функция, обратная касательной.
    Возвращает угол, тангенс которого является заданным числом.

    Попробуй это Перетащите любой вершине треугольника и посмотрите, как вычисляется угол C с помощью функции arctan ().

    Для каждой тригонометрической функции существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. (На некоторых калькуляторах кнопка arctan может быть помечена как атан, а иногда и загар -1 .) Таким образом, тангенс, обратный тангенту, - это арктангенс и т. Д. Когда мы видим арктангенс х, мы понимаем его как «угол, тангенс которого равен х».

    загар 30 = 0,577 Означает: тангенс 30 градусов равен 0,577
    арктан 0,577 = 30 Означает: угол, тангенс которого равен 0,577, равен 30 градусам.
    Используйте arctan, если вы знаете тангенс угла и хотите узнать фактический угол.
    См. Также Обратные функции - тригонометрия

    Пример - использование arctan для нахождения угла

    На рисунке выше нажмите «Сброс». Нам известны длины сторон, но нам нужно найти величину угла C.
    Мы знаем, что поэтому нам нужно знать угол, тангенс которого равен 0,577, или формально: С помощью калькулятора находим arctan 0,577 равным 30 °.

    Большие и отрицательные углы

    Напомним, что мы можем применить триггерные функции на любой угол, включая большие и отрицательные углы.Но когда мы Рассмотрим обратную функцию, мы столкнемся с проблемой, потому что существует бесконечное количество углов, имеющих одинаковую касательную. Например, 45 ° и 360 + 45 ° будут иметь одинаковую касательную. Подробнее об этом см. Обратные тригонометрические функции.

    Чтобы решить эту проблему, диапазон обратных триггерных функций ограничены таким образом, чтобы обратные функции были взаимно однозначными, то есть для каждого входного значения был только один результат.

    Диапазон и владение arctan

    Напомним, что область определения функции - это набор допустимых входных данных для нее.Диапазон - это набор возможных выходов.

    Для y = arctan x:

    Диапазон
    Домен Все вещественные числа

    Условно диапазон arctan ограничен от -90 ° до + 90 ° * .

    Итак, если вы используете калькулятор для вычисления, скажем, arctan 0,55, из бесконечного числа возможностей он вернет 28,81 °, тот, который находится в диапазоне функции.

    * На самом деле, -90 ° и + 90 ° сами по себе не входят в диапазон.Это потому, что функция tan имеет значение бесконечность при этих значениях. Но значения чуть ниже них находятся в диапазоне, например +89.9999999. Но для простоты объяснения мы говорим, что диапазон составляет ± 90 °.

    Что попробовать

    1. На рисунке выше нажмите «Сброс» и «Скрыть детали».
    2. Отрегулируйте треугольник до нового размера
    3. Используя функцию arctan, вычислите значение угла C из длин сторон
    4. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить ответ.

    Другие темы по тригонометрии

    Уголки

    Тригонометрические функции

    Решение задач тригонометрии

    Исчисление

    (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
    Все права защищены.

    Arctan: определение, функция и формула - видео и стенограмма урока

    Когда использовать Arctan

    Тригонометрические функции можно использовать для определения значений, относящихся к прямоугольному треугольнику.На практике эти функции можно использовать для определения высоты объектов или расстояний, которые трудно измерить. Эти измерения определяются с использованием меры одного угла (не прямого) и отношения двух сторон треугольника. Тригонометрические функции определяются по сторонам треугольника, которые используются в соотношении этих формул:

    • синус = противоположный / гипотенуза
    • косинус = смежный / гипотенуза
    • касательная = противоположная / смежная

    Обратные к этим функциям можно использовать для определения углов, когда известны стороны треугольника.Вы можете использовать arctan для определения меры угла, когда известны противоположная сторона и сторона, прилегающая к углу. Arctan имеет практическое применение в архитектуре, строительстве, ландшафтном дизайне, физике и инженерии, а также в других научных и математических областях.

    Лучший метод для определения арктана - научный калькулятор . Кнопка arctan должна находиться над касательной на калькуляторе. Таблица данных также может использоваться для определения арктангенса; однако это может быть утомительным и громоздким методом, но он эффективен, если научный калькулятор недоступен.

    Далее мы рассмотрим несколько примеров, в которых арктангенс используется для определения меры угла.

    Первый пример

    В этом первом примере давайте найдем угловую меру θ:

    Помните, что арктангенс - это тригонометрическая функция, которую вы можете использовать для определения меры угла, если вы знаете сторону, противоположную и сторону, прилегающую к измеряемому углу, которое вы пытаетесь найти.

    Уравнение будет выглядеть так:

    arctanθ = напротив / рядом

    arctanθ = 15/23

    arctanθ = 0.65

    θ = 33 °

    Второй пример

    В этом втором примере мы найдем меру угла θ:

    arctanθ = напротив / рядом

    arctanθ = 3/2

    arctanθ = 1,5

    θ = 56 °

    Пример 3

    В нашем последнем примере мы будем использовать пандус для инвалидных колясок, который поднимается на 6 футов по вертикали. на расстоянии 25 футов. Каков угол наклона пандуса?

    arctanθ = напротив / рядом

    arctanθ = 6/25

    arctanθ = 0.24

    θ = 13 °

    Резюме урока

    arctan - это обратная тригонометрическая функция функции касательной , которая представляет собой отношение стороны, противоположной углу, к стороне, прилегающей к углу. Функция arctan используется для определения углов прямоугольного треугольника, когда известны катеты треугольника. Он имеет практическое применение в архитектуре, инженерии и физике, а также в других науках. Арктангенс рассчитывается с помощью научного калькулятора или таблицы данных.

    Что такое арктангенс?

    Что такое арктангенс?
    Что такое арктангенс?

    Первоначальный отказ от ответственности: это никоим образом не развернутое объяснение тригонометрии или ее функций. Это просто полезная услуга всем, кто заходит на arctangent.net предположительно ищет помощи с этой конкретной функцией.

    арктангенс (atan или tan -1 на некоторых калькуляторах) используется для вычислить углы прямоугольного треугольника. Работает напротив касательной функция.В то время как касательная найдет соотношение двух сторон прямоугольного треугольника когда задан угол, арктангенс может найти угол, заданный соотношением.

    Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a и b. Типичный способ использования тангенциальной функции - вычислить отношение две стороны прямоугольного треугольника без гипотенузы, такие как a и b, от угла (θ) между b и гипотенузой. Можно было бы обычно это обозначается как tan (θ) = b / a.

    арктангенс, как можно понять из названия, работает в противоположном направлении; вы можете использовать отношение b / a, чтобы найти угол θ, такой, что θ = атан (b / a).С загаром и атаном в вашем распоряжении, вы можете использовать базовую алгебру, чтобы найти недостающее значение, когда у вас есть любые два из a, b или θ.

    Эти два уравнения чрезвычайно полезны при вычислении полярных координат по значениям x и y. Все, что вам нужно понять, это то, что a ≡ x и b ≡ y. К сожалению, из-за ограничений функции арктангенса это будет работать только когда x положительный. Если он отрицательный, следует вычесть 180 градусов (или π). от получившегося угла.Если x равен нулю, то угол будет ± 90 градусов. (или ± π / 2).

    Псевдопрограммно это можно описать так:

    если (x> 0), то
      θ = атан (у / х)
    иначе, если (x <0), то
      θ = атан (y / x) - π
    иначе, если (x == 0), то
      если (y> 0), то
        θ = π
      иначе, если (y <0), то
        θ = -π
      иначе, если (y == 0), то
        θ не определено
     

    Это может быть досадно сложно попасть в середину другого кода, но, к счастью, большинство языков программирования предоставляют функцию для этого, например atan2 () в ANSI c, в то время как у большинства научных калькуляторов есть кнопка (помеченная как R -> P) для преобразовать из прямоугольных в полярные координаты для вас и указать радиус (гипотенузу) и тета.

    Спасибо, Адам, за исправление

    Вернуться на главную страницу arctangent.net

    Arctan

    Арктангенс, записанный как arctan или tan -1 (не путать с) - это функция арктангенса. Касательная имеет обратную функцию только в ограниченной области

    Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза.Поскольку касательная является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.

    Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике обратной функции. Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.

    График y = arctan (x) показан ниже.

    Как видно из рисунка, y = arctan (x) является отражением tan (x) в ограниченной области

    Калькулятор Arctan

    Ниже приведен калькулятор для определения значения арктангенса числа или значения тангенса угла.

    С помощью специальных углов найти arctan

    Хотя мы можем найти значение арктангенса для любого значения x в интервале [-∞, ∞], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения тангенса и арктангенса которых, возможно, стоит запомнить.Ниже приведена таблица, в которой показаны эти углы (θ) как в радианах, так и в градусах, а также их соответствующие значения тангенса, tan (θ).

    θ -90 ° -60 ° -45 ° -30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
    тангенс (θ) undefined -1 0 1 undefined

    Чтобы найти tan (θ), нам нужно либо просто запомнить значения, либо запомнить, что tan (θ) = и определите значение tan (θ) на основе значений синуса и косинуса, которые следуют шаблону, который может быть легче запомнить.Обратитесь к соответствующим страницам, чтобы просмотреть метод, который может помочь с запоминанием значений синуса и косинуса.

    После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения тангенса или арктангенса для особых углов.

    Обратные свойства

    Как правило, функции и их обратные показывают взаимосвязь

    f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x

    При условии, что x находится в области определения функции.То же самое верно для tan (x) и arctan (x) в их соответствующих ограниченных доменах:

    tan (arctan (x)) = x, для всех x

    и

    arctan (tan (x)) = x, для всех x в (,)

    Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.

    Состав арктангенса и тангенса

    Если x находится в пределах домена, оценить композицию arctan и tan относительно просто.

    Примеры:

    Состав других тригонометрических функций

    Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: синус, косинус, косеканс, секанс и котангенс.

    Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.

    Пример:

    Найдите грех (arctan (3x)).

    Учитывая arctan (3x) = θ, мы можем найти, что tan (θ) =, и построить следующий треугольник:

    Чтобы найти синус, нам нужно найти гипотенузу, так как sin (θ) =. Пусть c - длина гипотенузы. Используя теорему Пифагора,

    (3x) 2 + 1 2 = с 2

    9x 2 + 1 = с 2

    с =

    и

    sin (arctan (3x)) = sin (θ) =

    Использование arctan для решения тригонометрических уравнений

    Арктангенс также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию тангенса.

    Примеры:

    Решите следующие тригонометрические уравнения относительно x, где 0≤x

    1. 3tan (x) =

    3tan (x) =

    тангенс (x) =

    x = arctan ()

    Касательная положительна в двух квадрантах, I и III, поэтому есть два решения: x = и x =. Это единственные два угла в пределах 0≤x <2π, значение тангенса которых равно.

    2. tan 2 (x) - tan (x) = 0

    загар 2 (x) - загар (x) = 0

    tan (x) (tan (x) -) = 0

    tan (x) = 0 или tan (x) - = 0

    tan (x) = 0 или tan (x) =

    x = 0, π или x =

    Калькулятор

    Arctan.Найти арктангенс

    Воспользуйтесь этим калькулятором арктангенса, чтобы быстро найти арктангенс. Ищете ли вы простой ответ на вопрос "что такое арктан?" или вам интересно узнать об интегральном или производном от arctan, вы попали в нужное место. Ниже вы также найдете график arctan, а также аккуратную таблицу с часто используемыми значениями, такими как arctan (1) и arctan (0). Кроме того, вы можете просто ввести интересующее вас значение в этот инструмент, и вы найдете ответ в мгновение ока.

    Заинтересованы в более продвинутой тригонометрии? Если вам нужно решить треугольники, ознакомьтесь с нашими калькуляторами закона синусов и закона косинусов.

    Что такое арктан?

    Арктангенс - это функция, обратная касательной. Проще говоря, мы используем arctan, когда хотим найти угол, для которого нам известно значение тангенса.

    Однако, в самом строгом смысле, поскольку касательная является периодической тригонометрической функцией, у нее нет обратной функции. Тем не менее, мы можем определить обратную функцию, если ограничим область до интервала, в котором функция является монотонной.Обычно выбираемый интервал -π / 2

    рэнд
    Сокращение Определение Домен арктана x Диапазон обычных
    основных значений
    arctan (x)
    tan -1 x,
    atan
    х = загар (у) все действительные числа -π / 2 -90 °

    Использование соглашения tan -1 x может привести к путанице в отношении разницы между арктангенсом и котангенсом.Оказывается, арктан и детская кроватка - разные вещи:

    • cot (x) = 1 / tan (x) , поэтому котангенс в основном является обратной величиной тангенса или, другими словами, мультипликативной обратной величиной
    • arctan (x) - это угол, тангенс которого равен x

    Надеемся, что теперь вы не сомневаетесь в том, что арктан и котан разные. Чтобы избежать дальнейших недоразумений, вы можете использовать arctan (x), а не tan -1 x нотацию .

    График Arctan

    Ограничивая область определения функции главной касательной, мы получаем значение арктангенса, которое изменяется исключительно в диапазоне от −π / 2 до π / 2 радиан.Однако область определения функции арктангенса - это все действительные числа. Тогда график выглядит следующим образом:

    График Часто используемые значения
    x арктан (х)
    рад °
    -∞ -π / 2 -90 °
    -3 -1.2490 -71,565 °
    -2 -1,1071 -63,435 °
    -√3 -π / 3 -60 °
    -1 -π / 4 -45 °
    -√3 / 3 -π / 6 -30 °
    0 0 0 °
    √3 / 3 π / 6 30 °
    1 π / 4 45 °
    √3 π / 3 60 °
    2 1.1071 63,435 °
    3 1,2490 71,565 °
    π / 2 90 °

    Как создается этот арктангенциальный граф? Отражая tan (x) в диапазоне (-π / 2 π / 2) через линию y = x.Вы также можете посмотреть на это, как поменять местами горизонтальную и вертикальную оси:

    Свойства Arctan, отношения с тригонометрическими функциями, интеграл и производная от arctan

    Отношения в тригонометрии имеют решающее значение для более глубокого понимания этой темы. Изучение прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x является хорошей отправной точкой, если вы хотите найти отношения между arctan и основными тригонометрическими функциями:

    • Синус: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x²)
    • Косинус: cos (arctan (x)) = 1 / √ (1 + x²)
    • Касательная: tan (arctan (x)) = x

    Другие полезные отношения с арктангенсом:

    • arctan (x) = π / 2 - arccot ​​(x)
    • арктан (-x) = -арктан (x)
    • arcsin (x) = arctan (x / √ (1 - x²))
    • интеграл от arctan: arctan (x) dx = x arctan (x) - (1/2) ln (1 + x²) + C
    • производная от arctan: d / dx arctan (x) = 1 / (1 + x²) , где x ≠ -i, i
    • arctan (x) + arctan (1 / x) = π / 2 , для x> 0 и arctan (x) + arctan (1 / x) = -π / 2 , для x <0

    Первое уравнение легко доказать из свойств прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x, так как мы прекрасно знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 °.Вычитая прямой угол, равный 90 °, мы получаем два непрямых угла, которые в сумме должны составлять 90 °. Таким образом, мы можем записать углы как arctan (x) и arctan (1 / x).

    Калькулятор Arctan - как использовать

    Это действительно один из самых простых в использовании калькуляторов! Просто введите число, по арктангу которого вы хотите найти . Поскольку домен arctan - это все вещественные числа, вам не о чем беспокоиться. Допустим, мы хотим найти арктангенс 1. Просто введите число, и калькулятор арктангенса отобразит результат .Как мы и ожидали, арктангенс 1 равен 45 °. Этот калькулятор арктангенса работает и в обратном направлении, то есть как стандартный калькулятор тангенса - введите угол во второе поле, и появится тангенс этого угла.

    Формула Arctan - Cuemath

    В тригонометрии тангенс определяется как отношение противоположной стороны к смежной стороне определенного угла прямоугольного треугольника, тогда как arctan является обратной функцией касательной и используется для нахождения угол.{2} \ right) \) + C

    Формулы арктангенса для π

    • π / 4 = 4 арктангенс (1/5) - арктангенс (1/239)
    • π / 4 = арктангенс (1/2) + арктангенс (1/3)
    • π / 4 = 2 арктангенс (1/2) - арктангенс (1/7)
    • π / 4 = 2 арктангенса (1/3) + арктангенса (1/7)
    • π / 4 = 8 арктангенс (1/10) - 4 арктангенса (1/515) - арктангенс (1/239)
    • π / 4 = 3 arctan (1/4) + arctan (1/20) + arctan (1/1985)
    • π / 4 = 24 арктангенса (1/8) + 8 арктангенса (1/57) + 4 арктангенса (1/239)

    Решенные примеры, использующие арктановую формулу

    Пример 1

    В прямоугольном треугольнике ABC основание 23 и высота 15.Найдите базовый угол.

    Решение

    Найти: базовый угол

    По формуле арктана

    θ = arctan (напротив ÷ смежный)

    θ = арктангенс (15 ÷ 23) = арктангенс (0,65)

    θ = 33 градуса или 33 o .

    Ответ: Угол 33 o .

    Пример 2

    В прямоугольном треугольнике ABC, если основание треугольника равно 2 единицам, а высота треугольника равна 3 единицам.Найдите базовый угол.

    Решение

    Найти: базовый угол

    По формуле арктана

    θ = arctan (напротив ÷ смежный)

    θ = arctan (3 ÷ 2) = arctan1,5

    θ = 56 o

    Ответ: Угол 56 o .

    Arctan Calculator 📐 - вычисляет arctan (x) числа

    Используйте этот калькулятор arctan, чтобы легко вычислить arctan заданного числа. Онлайн-инструмент вычисления арктангенса для вычисления функции тангенса дуги в градусах или радианах.Поддерживает ввод десятичных чисел (0,5, 6, -1 и т. Д.) И дробей (1/3, 3/4, 1/6, -4/3 и т. Д.).

    Быстрая навигация:

    1. Арктангенциальная функция
    2. Как вычислить арктангенс числа?
    3. Пример использования arctan
    4. Расчет арктангенса дроби

    Функция Arctan

    Арктангенс (он же arcus tangens ) является одной из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций) и является обратной функцией касательной.Иногда его пишут как tan -1 (x), но этого обозначения следует избегать, так как оно может вызвать путаницу с обозначением экспоненты. Арктангенс используется для получения угла из касательного тригонометрического отношения, которое представляет собой отношение между стороной, противоположной углу, и соседней стороной треугольника.

    Функция охватывает все действительные числа (-∞ - + ∞), как и результаты нашего калькулятора. Диапазон значений угла обычно составляет от -90 ° до 90 °. Существует ряд правил арктангенса, например, tan (arctan (x)) = x или arctanα + arctanβ = arctan ((α + β) / (1-αβ)), а также синус арктангенса: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x 2 ), что может помочь вам в расчетах тригонометрии.

    Как рассчитать арктангенс числа?

    Самый простой способ вычислить это значение - использовать наш калькулятор арктангенса выше, который будет выводить результаты как в градусах, так и в радианах. Другие способы требуют предоставления дополнительной информации, такой как значения других тригонометрических функций для того же угла или для других углов в треугольнике (см. Пример ниже).

    Вот таблица общих значений arctan:

    Общие значения функции арктангенса
    x arctan (x) (°) arctan (x) (рад.)
    -∞ -90 ° -π / 2
    -√3 -60 ° -π / 3
    -1 -45 ° -π / 4
    -1 / √3 -30 ° -π / 6
    0 0 ° 0
    1 / √3 30 ° π / 6
    1 45 ° π / 4
    √3 60 ° π / 3
    + ∞ 90 ° π / 2

    π - это, конечно, математическая константа, примерно равная 3.14159.

    Пример использования arctan

    Учитывая приведенный ниже рисунок прямоугольного треугольника с известными длинами сторон a = 18 и b = 10 и прямым углом в точке C, как мы можем найти угол β в точке B, используя функцию обратной тангенса?

    Зная, что касательная к β равна противоположной стороне, деленной на соседнюю, получаем tan (β) = b / a = 10/18 = 0,555. Затем просто используйте обратную функцию, чтобы получить β = arctan (0,555) = 29.03 ° (или 0,507 в радианах).


    Расчет арктангенса дроби

    Часто значение тангенса задается или вычисляется как простая дробь, например 3/4. Хотя для преобразования дроби в десятичную дробь можно использовать преобразователь дроби в десятичную дробь, наш калькулятор арктангенса фактически поддерживает прямой ввод различных дробей, таких как 1/2, 1/3, 1/6, 3/4, 4/3, -2. / 3 и даже 0,3 / 0,5. Чтобы вычислить arctan (3/4) или arctan (4/3) или другую дробь x / y, просто введите ее в поле ввода и нажмите «вычислить».

    Для удобства, вот таблица общих значений арктангенса дробных тангенсов:

    Общие значения тангенса угла наклона дробных касательных
    x / y arctan (x / y) (°) arctan (x / y) (рад.)
    1/2 26,565051 ° 0,463648 рад
    1/3 18,434949 ° 0,321751 рад
    3/4 36.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта