Собственные числа онлайн: Собственные числа и собственные векторы

Содержание

как найти собственное значение матрицы

Вы искали как найти собственное значение матрицы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти собственные векторы и собственные значения матрицы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «как найти собственное значение матрицы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти собственное значение матрицы,как найти собственные векторы и собственные значения матрицы,как найти собственные значения и собственные векторы матрицы,как найти собственный вектор матрицы,калькулятор собственных значений и собственных векторов матрицы,найдите собственные векторы и собственные значения матрицы,найдите собственные значения и собственные векторы матрицы,найдите собственные значения и собственные векторы матрицы онлайн,найти онлайн собственные значения матрицы,найти собственное значение матрицы онлайн,найти собственное число матрицы,найти собственные векторы и собственные значения,найти собственные векторы и собственные значения матрицы,найти собственные векторы и собственные значения матрицы онлайн,найти собственные векторы и собственные значения матрицы онлайн калькулятор,найти собственные векторы и собственные числа,найти собственные векторы и собственные числа матрицы,найти собственные векторы и собственные числа матрицы онлайн,найти собственные векторы матрицы онлайн,найти собственные значения и собственные векторы,найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,найти собственные значения и собственные векторы матрицы,найти собственные значения и собственные векторы матрицы калькулятор онлайн,найти собственные значения и собственные векторы матрицы онлайн,найти собственные значения и собственные векторы матрицы онлайн калькулятор,найти собственные значения матрицы,найти собственные значения матрицы онлайн,найти собственные числа и собственные векторы,найти собственные числа и собственные векторы матрицы,найти собственные числа и собственные векторы матрицы онлайн,нахождение собственных векторов,нахождение собственных векторов и собственных чисел,нахождение собственных чисел и собственных векторов,нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц онлайн,онлайн калькулятор найти собственные значения и собственные векторы матрицы,онлайн собственное значение матрицы,онлайн собственные векторы и собственные значения матрицы,онлайн собственные числа,онлайн собственные числа и собственные векторы матрицы,определить собственные значения и собственные векторы матрицы 3 порядка,собственное значение,собственное значение и собственный вектор,собственное значение и собственный вектор матрицы,собственное значение матрицы,собственное значение матрицы как найти,собственное значение матрицы онлайн,собственное число,собственное число матрицы,собственное число матрицы онлайн,собственные вектора матрицы,собственные векторы,собственные векторы и собственные значения,собственные векторы и собственные значения матрицы,собственные векторы и собственные значения матрицы онлайн,собственные векторы и собственные числа,собственные векторы и собственные числа матрицы,собственные векторы матрицы,собственные векторы матрицы онлайн,собственные векторы онлайн,собственные значения,собственные значения и собственные векторы,собственные значения и собственные векторы матрицы,собственные значения и собственные векторы матрицы калькулятор онлайн,собственные значения и собственные векторы матрицы онлайн,собственные значения и собственные векторы матрицы онлайн калькулятор,собственные значения матрицы,собственные значения матрицы найти,собственные значения матрицы онлайн,собственные значения онлайн,собственные и собственные векторы матрицы,собственные числа,собственные числа и собственные векторы,собственные числа и собственные векторы матрицы,собственные числа и собственные векторы матрицы онлайн,собственные числа матрицы,собственные числа матрицы найти,собственные числа найти,собственный вектор,собственный вектор и собственное значение,собственный вектор и собственное значение матрицы,собственный вектор матрицы,собственный вектор матрицы как найти,собственный вектор матрицы онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти собственное значение матрицы. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как найти собственные значения и собственные векторы матрицы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти собственное значение матрицы Онлайн?

Решить задачу как найти собственное значение матрицы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$ 

Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

4.134. $A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение: 

$$A-\lambda E=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{pmatrix}.$$

$$det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{vmatrix}=$$ $$=(2-\lambda)(-3-\lambda)(-2-\lambda)+3+2(-3-\lambda)+5(-2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda+12+3-6-2\lambda-10-5\lambda=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0.3=0\Rightarrow \lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=-1$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+E)X=0, X\neq 0$$

$$(A+E)X=\begin{pmatrix}2+1&-1&2\\5&-3+1&3\\-1&0&-2+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}3x_1-x_2+2x_3\\5x_1-2x_2+3x_3\\-x_1-x_3\end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2x_3=0\\ 5x_1-2x_2+3x_3=0\\-x_1-x_3=0\end{array}\right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $\begin{vmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{vmatrix}=6+3-4-5=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2с=0\\ 5x_1-2x_2+3с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2=-2c\\5x_1-2x_2=-3c\end{array}\right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

$\Delta=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1;$

$\Delta_1=\begin{vmatrix}-2c&-1\\-3c&-2\end{vmatrix}=4c-3c=c;$

$\Delta_2=\begin{vmatrix}3&-2c\\5&-3c\end{vmatrix}=-9c+10c=c;$

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c;$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c.$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}-c\\-c\\c\end{pmatrix}.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.$ 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $\lambda=-1;$ $X=c\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}, c\neq 0.2-\lambda-1)=0\Rightarrow \lambda=2.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=2$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-2E)X=0, X\neq 0$$

$$(A-2E)X=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}-2x_1-x_2\\x_1-x_2-2x_3\\x_1-x_2-2x_3\end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2x_3=0\\x_1-x_2-2x_3=0\end{array}\right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $\begin{vmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{vmatrix}=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=3\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\x_1-x_2=2c\end{array}\right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

 

$\Delta=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3;$

 

$\Delta_1=\begin{vmatrix}0&-1\\2c&-1\end{vmatrix}=2c;$

 

$\Delta_2=\begin{vmatrix}-2&0\\1&2c\end{vmatrix}=-4c;$

 

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{2c}{3};$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-4c}{3}.$

 

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}\frac{2c}{3}\\-\frac{4c}{3}\\c\end{pmatrix}.$

 

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}.$ 

 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $\alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$

Ответ: $\lambda=2;$ $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$

 

 

Домашнее задание.

 

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

 4.135. $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{pmatrix}.$

Ответ: $\lambda=2;$ $X=c_1\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

4.142. $A=\begin{pmatrix}1&-3&1\\3&-3&-1\\3&-5&1\end{pmatrix}.$

Ответ: $\lambda_1=-1,$ $X(\lambda_1)=c\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};$ $\lambda_2=2,$ $X(\lambda_2)=c\begin{pmatrix}4\\1\\7\end{pmatrix};$ $\lambda_3=-2,$ $X(\lambda_3)=c\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}, c\neq 0.$

  {jumi[*4]}

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Лекция №10
Лектор: доц. Лаптева Надежда Александровна
Тема: Собственные значения и
собственные векторы матрицы
Пусть
A - матрица, x
- вектор,
- число.
Рассмотрим уравнение
Ax x.
называется собственным
значением, x - собственным
вектором.
Такое преобразование изменяет
длину вектора в раз.
Например, если 2,то Ax 2 x,
т.е. длина вектора x увеличивается в
2 раза.
Если же
x
1
,
2
то длина вектора
уменьшается в 2 раза.
Рассмотрим
a11
A
a21
A(2 2).
a12
,
a22
x1
x .
x2
Запишем матричное уравнение в
координатной форме.
Ax x
a11 a12 x1 x1
;
a
21 a22 x2 x2
a11 x1 a12 x2 x1 ,
a21 x1 a22 x2 x2 .
Преобразуем
(a11 ) x1 a12 x2 0,
a21 x1 (a22 ) x2 0.
Получилась система линейных
однородных уравнений. Такая
система всегда имеет нулевое
решение. Нас интересует случай,
когда система имеет ненулевое
решение.
Теорема. Система линейных
уравнений имеет ненулевое решение,
если её определитель равен нулю.
Пример.
x y 0,
2 x 2 y 0.
1 1
2 2
0.
Система имеет бесконечное
множество решений. Все решения
являются точками прямой y x.
y
0
x
Вернемся к нашей системе. Составим
определитель системы
a11
a12
a21
a22
0,
или
a11 a22 a12 a21 0.
Получилось квадратное уравнение.
Такое уравнение называется
характеристическим. Корни
уравнения – это собственные
значения матрицы A.
Примеры.
1. Найти собственные значения
матрицы
1 3
A
.
1 5
Запишем матрицу
3
1
A E
.
1 5
A E 0;
1
3
0.
1 5
(1 )(5 ) 3 0 или
2
6 8 0.
Находим корни характеристического
уравнения 1 2; 2 4.
Мы нашли собственные значения.
Ответ:
1 2; 2 4.
Нахождение собственных векторов
1 3
2;
4.
A
.
1
2
1 5
1. Найдем собственный вектор,
соответствующий собственному
значению 2.
1
Рассмотрим уравнение
вместо подставим
Ax x
2.
и
Тогда получим
Ax 2 x или
1 3 x1 2 x1
1 5 x 2 x
2 2
x1 3x2 2 x1
.
x1 5 x2 2 x2
x1 3x2 2 x1 ,
x1 5 x2 2 x2 .
x1 3 x2 ,
x1 3 x2 .
Положим
x2 1,
Получилось
Отсюда
тогда
3
x .
1
x1 3.
Можно считать, что мы нашли
собственный вектор. Но обычно этот
вектор нормируют, т.е. приводят его к
вектору единичной длины. Для этого
найдем длину вектора
x 3 1 10
2
и каждую координату разделим на
10.
Получим
e1
3
10
.
1
10
- собственный вектор,
соответствующий собственному
значению 1 2.
e1
Аналогично найдем e2 , т.е.
собственный вектор, соответствующий
2 4.
1 3 x1 4 x1
1 5 x 4 x ,
2 2
3 x2 3 x1 ,
x1 3x2 4 x1 ,
x2 x1.
x1 5 x2 4 x2 .
x1 1,
1
x .
1
Пусть
тогда
x2 1.
Нормируем, т.е. разделим на
Получим
e2
1
2
.
1
2
x 2.
Ответ:
1 2
2 4
соответствует
соответствует
e1
e2
3
10
.
1
10
1
2
.
1
2
Функция. Предел функции в точке.
Односторонние пределы. Пределы на
бесконечности. Непрерывность функции.
Точки разрыва функции и их
классификация.
1. Предел в точке.
Рассмотрим пример.
Построить график функции
x 1,
x 1 x 1,
y
x 1 не сущ., x 1.
2
y
M (1, 2)
2
0
1
Формула теряет смысл при
x
x0 1.
В этом случае пишут:
y ( x) 2
при
x 1.
По-другому:
lim y( x) 2.
x 1
Способы вычисления предела
1. Предел дроби при x :
деление на старшую степень.
0
1
2
2
2
1 2x
x
lim
lim
2.
2
x 2
x 2 x
1
2
x
0
Пример.
2. Разложение на множители, когда
x
Пример.
x 1
x 1) 2.
lim
lim(
x 1
x 1 x 1
2
Односторонние пределы
Во многих случаях функция определена
только с одной стороны от x0 . Тогда
предел называют пределом слева, или
пределом справа.
2
y1
Пример 1.
lim ln x .
x 0
0
-1
-2
-3
1
x
Пример 2.
x 1, x 0,
y ( x) sign x
x 1, x 0.
y
lim sign x 1
x 0
0
x
lim sign x 1
x 0
Опр. Функция y y ( x) называется
непрерывной в точке x0 , если
lim y( x) y( x0 ).
x x0
Все элементарные функции
непрерывны на своей области
определения.
Пример. y x , y e
- непрерывные функции.
2
x
,
y sin x
Опр. Если в точке x0 функция не
является непрерывной, то x0 - точка
разрыва.
Рассматриваются точки разрыва 1-го
и 2-ого рода.
Пример.
y( x) sign x.
y
0
x0 0
- точка разрыва
1-го рода (конечный разрыв).
x
Пример.
1
y ( x) .
x
x0 0
y
- точка
разрыва 2-ого рода
(бесконечный разрыв).
1
lim ;
x 0 x
0
1
lim .
x 0 x
x

Собственные значения, собственные векторы матрицы

1. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ,
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
МАТРИЦЫ

2. Собственные значения матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n с
постоянными действительными элементами a ij
a11 ... a1n
А ... ... ... .
a
...
a
nn
n1
называется собственным
значением, а ненулевой вектор h называется
Определение. Число
соответствующим собственным вектором матрицы
если выполняется равенство:
A h h . (1)
A

3. Собственные значения матрицы

Определение. Множество всех собственных значений
матрицы называется спектром матрицы.
Замечание.
Представим равенство (1) в сл. виде:
Ah h 0;
или ( A E ) h 0,
( 2)
E единичная матрица порядка n . Равенство (2)
является системой линейных алгебраических
уравнений относительно вектора h .

4. Собственные значения матрицы

Система вида (2) всегда совместна, так как всегда
имеет нулевое решение.
Система (2) имеет тривиальное (нулевое h 0 )
решение, если определитель матрицы
Система (2) имеет ненулевые решения
A E 0.
(3)
A E 0;
h 0 , если

5. Собственные значения матрицы

Уравнение (3) называется характеристическим
уравнением матрицы
A.
Решения уравнения (3) называются собственными
значениями матрицы
A.
Уравнение (3) можно представить в сл. виде
(a11 )
a 21
a12
...
a1 n
(a 22 ) ...
a2 n
...
...
a n1
an 2
...
...
... (a n n )
0

6. Собственные значения матрицы

Вычислив определитель,
первой
строки,
и
разложив его по элементам
сгруппировав
подобные
члены,
получим алгебраическое уравнение степени n
n b1 n 1 b2 n 2 . . . bn 0
относительно
, а
действительные числа
b1 , b2 ,. . ., bn
где постоянные
bn ( 1) n A .
Многочлен n ой степени относительно
называется
характеристическим многочленом матрицы
A.

7. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Согласно
основной
теореме
алгебры
характеристическое уравнение всегда имеет ровно
n (с учетом их кратности), которые в общем
корней
случае являются комплексными числами.
Теорема. Любая постоянная квадратная матрица
порядка
n
имеет с учетом кратности ровно n
собственных значений, совпадающих с корнями
характеристического уравнения.
A

8. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Замечание. Задача нахождения собственных
значений матрицы A сводится к решению
характеристического уравнения .
Пример. Найти собственные значения и векторы
матрицы
1 4
A
.
9 1
Решение. Составляем характеристическое уравнение

9. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

A E
1
4
9
1
0.
2 35 0.
2
Найдем собственный вектор
соответствующий собственному
значению
1 5;
1 5;
2 7;
1
h (h2 , h3 )

10. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

h2 0
( A E ) h 0, ( A E )
h3 0
4 h2 0 6 4 h2 0
1 ( 5)
h
h
1 ( 5) 2 0 9 6 2 0
9
6h2 4h3 0
h3 1,5h2.
9h2 6h3 0
Положив
h2 c1 ,
получим
h2 c1
; c1 0.
h3 1,5c1

11. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

c1
h
; c1 0
1,5c1
является собственным вектором
матрицы
A
значением
с
собственным
1 5.
Аналогично для собственного значения
получим следующее
2
c2
h 3
; c2 0
c2
2 7;

12. Свойства собственных значений матрицы

Произведение собственных значений матрицы
равно ее определителю
A
A 1 2 ...... n
Число отличных от нуля собственных значений
матрицы
A
равно ее рангу.
Все собственные значения матрицы отличны от нуля
только и только тогда, когда матрица
невырожденная.
A

13. Свойства собственных значений матрицы

Если
0
матрицы A
матрицы
Если
собственное значение невырожденной
1
, то
1
A
.
1
собственное значение
0 собственное значение матрицы A
собственное значение
m
натуральное число).
матрицы
Am
(m–
, то

14. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

,
Если из характеристического уравнения
1.
(a11 )
a 21
a12
...
a1 n
(a 22 ) ...
a2 n
найдено собственное
1
a n1
an 2
... (a n n )
кратности k1 , 1 k1 n ,
то поиск соответствующих числу 1 собственных
векторов h 0 матрицы А сводится к решению
...
...
...
линейной системы
квадратной матрицей
...
0
значение
( A 1 E ) h 0 с постоянной
A 1 E
порядка
n.

15. Линейная зависимость векторов

Определение . Векторы a1 , a2 ,..., an линейного
векторного пространства V называются линейно
зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,... n , не все равные нулю, такие, что
справедливо равенство:
1a1 2 a2 .... n an 0 (1 )
Определение . Векторы a1 , a2 ,..., an
линейного
векторного пространства называются линейно
независимыми, если выполнение равенства (1)
возможно только при условии:
1 2 n 0
.

16. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

Система
( A 1 E ) h 0
всегда имеет бесконечное множество решений,
в котором число базисных (то есть максимальное число
линейно независимых) решений равно
где
r1
n r1 ,
ранг матрицы , то есть целое
неотрицательное число,
0 r1 n 1.

17. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

Поэтому любому собственному значению квадратной
матрицы А соответствует хотя бы один линейно
независимый собственный вектор.
Более того, число линейно независимых собственных
векторов, отвечающих собственному значению
кратности
k1 ,
не превосходит числа
k1 .
1

18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

2. Если
1
простое собственное значение
матрицы A, тогда этому числу отвечает ровно
один линейно независимый собственный вектор
h2 0, который находим из системы ( A 1 E ) h 0,
например, с помощью метода Гаусса.

19. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

3. Случай, когда характеристическое уравнение
b1
n
n 1
b2
n 2
. . . bn 0
имеет комплексный корень
1
кратности k1 1.
Так как данное алгебраическое уравнение с
действительными коэффициентами, то оно обязательно
имеет корень
отношению к
.
2
1 .
комплексно–сопряженный по

20. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

Кратность корня
2
равна числу
k1.
следует найти собственные векторы ,
соответствующие собственному значению
Поэтому
1
.
Далее нужно построить к ним комплексно-сопряженные
векторы, которые являются собственными
векторами, соответствующими собственному
значению
2 .

21. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

4. Пусть у матрицы А есть кратное собственное
.
значение 1 кратности k1 2Тогда,
решая систему
будет найдено n r1 линейно независимых собственных
векторов, отвечающих числу
1 .
Причем число n r1 удовлетворяет двойному
неравенству: 1 n r1 k1 ,
где r1 r( A 1E).

22. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

Замечание. Если оказывается, что n r1 k1 , то для
собственного значения
1
будет найдено столько
линейно независимых собственных векторов, какова
кратность рассматриваемого собственного значения
1

23. Примеры

1. Найти собственные значения и собственные
векторы матрицы
4 1
.
A
1 2
Решение. Найдем собственные значения матрицы
A E
(4 )
1
1
(2 )
(4 ) (2 ) 1 2 6 9 0
( 3) 2 0.

24. Примеры

,
.
1 3 собственное значение кратности
k1 2.
h2 0
( A E ) h 0, ( A E )
h3 0
1 h2 0
(4 3)
(2 3) h3 0
1
h2 h3 C
Ответ:
1
h2 .
1
1
h C
1
1 1 0 ( 1) 1 1 0
.
1 1 0
0 0 0

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Линейные операторы

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Определение

Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе - \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda )\). Фиксируем для определенности базис \(\{e\}\) в векторном пространстве \(\mathit{L}\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2,...,n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Определение. Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).

Возникает естественная задача: найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.

Уравнение для собственных значений

Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) - единичная матрица, а \(\alpha\) - матричная форма нашего линейного оператора \(A\).3=0. \] Это уравнение 6 степени. Оно имеет следующие решения: \( \lambda =0\), \( \lambda =1\), \( \lambda =-1\), причем кратность первого решения равна 1 (такие решения называют простыми корнями), кратность второго решения равна 2, кратность третьего решения равна 3. Решения, кратность которых выше 1, называют кратными . В нашем случае 1+2+3=6. Уравнения степени \(n \geq 5\) невозможно решить с помощью радикалов (теорема Абеля-Руффини). Для уравнений степени \(n=2,3,4\) такие явные формулы существуют. Однако на практике уравнения высокой степени можно успешно решать с помощью компьютеров. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что мы тем или иным способом построили решения уравнения (61).

Собственные вектора

Рассмотрим вопрос о построении собственного вектора, соответствующего известному собственному числу \(\lambda _k\). Для этого обратимся к уравнению \[ (\alpha -\lambda_k E)u=0. \] Это уравнение можно понимать как систему линейных уравнений для координат вектора \(u\) - собственного вектора, соответствующего собственному числу \(\lambda _k\).nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.

Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы - это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.

Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.

Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей \(A\).

1. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\-2 & 1 & 4 \end{array} \right ). \]

2. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\15 & -7 & 4 \end{array} \right ). \]

3. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}4 & 0 & 5 \\ 7 & -2 & 9 \\3 & 0 & 6 \end{array} \right ). \]

4. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}-1 & -2 & 12 \\0 & 4 & 3 \\0 & 5 & 6 \end{array} \right ). \]

numpy собственные значения правильные, но собственные векторы неправильные



Мой код таков

print numpy.linalg.eig([[1, 2, 3], [5, 4, 9], [63, 7, 5]])

Выход таков

(массив([ 21.61455381, -9.76720959, -1.84734422]), массив([[-0.17186028, -0.14352001, 0.03651047], [-0.48646994, -0.50447076, -0.8471429 ], [-0.85662772, 0.8514172 , 0.53010931]]))

Я использую онлайн-вычислитель собственных векторов для проверки http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/engl_eigenwert2.htm , который дает следующий ответ:

Вещественные Собственные Значения: { -9.767209588804548 ; -1.8473442163236111 ; 21.61455380512816 }

Собственные векторы:

для собственного значения -9.767209588804548: [ -0.1685660264358372 ; -0.5925071319066865 ; 1 ]

для собственного значения -1.8473442163236111: [ 0.06887346700751434 ; -1.5980532339710003 ; 1 ]

для собственного значения 21.61455380512816: [ 0.20062423644695662 ; 0.5678895584242702 ; 1 ]

Значения, очевидно, не совпадают. Где я ошибаюсь?

python numpy
Поделиться Источник Abeer Khan     18 июля 2015 в 02:45

2 ответа


  • Numpy собственные векторы не являются собственными векторами?

    Я делал некоторые матричные вычисления и хотел вычислить собственные значения и собственные векторы этой конкретной матрицы: Я нашел его собственные значения и собственные векторы аналитически и хотел подтвердить свой ответ с помощью numpy.linalg.eigh , так как эта матрица симметрична. Вот в чем...

  • Как получить целочисленные собственные векторы матрицы Numpy?

    У меня есть матрица Numpy, например, numpy.matrix([[-1, 2],[1, -2]], dtype='int') . Я хочу получить его целочисленные собственные векторы, если таковые имеются; например, numpy.array([[-1], [1]]) для приведенной выше матрицы. То, что возвращает Numpy, - это собственные векторы в плавающих числах,...



2

Они действительно совпадают (вроде как...).

Эти собственные векторы действительно совпадают друг с другом, однако те, которые взяты из онлайн-калькулятора, не нормализованы (хотя, вероятно, они должны быть нормализованы для удобства). Собственные векторы матрицы могут быть масштабированы на любой scalar (число) и по-прежнему являются собственными векторами, поэтому это не является неправильным, однако соглашение часто заключается в том, чтобы сохранить их нормализованными, поскольку это более удобно для других операций. Быстрая проверка с помощью MATLAB (независимый источник) показывает, что собственные значения точно совпадают с теми, которые возвращает numpy.

Вы заметите, что векторы numpy удовлетворяют свойству norm(eigenvector)=1 . Если бы вы нормализовали векторы из онлайн-калькулятора, чтобы

eigenvector <- eigenvector/norm(eigenvector)

вы увидите, что они совпадают.

Поделиться GJStein     18 июля 2015 в 03:35



1

На самом деле собственные векторы верны, но представление несколько сбивает с толку. Если вывод eig равен

(массив([1, 2, 3]), массив([[1, 2, 3], [4, 6, -5], [1, -3, 0]]))

это не означает, что собственные векторы являются [1, 2, 3], [4, 6, -5], и [1, -3, 0]. Скорее, это строки в матрице, столбцы которой являются собственными векторами:

[1  2  3]
[4  6 -5]
[1 -3  0]

Таким образом, в этом придуманном примере собственные векторы будут [1, 4, 1], [2, 6, -3], и [3, -5, 0], соответствующие собственным значениям 1, 2 и 3 соответственно. Обратите внимание, что я составил эти числа, чтобы они не имели математического смысла для любой матрицы.

Поделиться MattS     14 октября 2018 в 23:32


Похожие вопросы:


Как получить собственные векторы несимметричной матрицы в Stan?

Стэн обеспечивает эти функции vector eigenvalues_sym(matrix A) matrix eigenvectors_sym(matrix A) для получения собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы а, но что, если ваша...


Numpy, по-видимому, производит неправильные собственные векторы

Я хочу использовать Numpy для вычисления собственных значений и собственных векторов. Вот мой код: import numpy as np from numpy import linalg as LA lapl = np.array( [[ 2, -1, -1, 0, 0, 0], [-1, 3,...


Собственные векторы и собственные значения матрицы Гессиана

Я хочу извлечь пиксели осевой линии в сосуде. Сначала я выбрал начальную точку близко к краю сосуда с помощью команды ginput(1). Это обеспечивает отправную точку и определяет область интереса (ROI)...


Numpy собственные векторы не являются собственными векторами?

Я делал некоторые матричные вычисления и хотел вычислить собственные значения и собственные векторы этой конкретной матрицы: Я нашел его собственные значения и собственные векторы аналитически и...


Как получить целочисленные собственные векторы матрицы Numpy?

У меня есть матрица Numpy, например, numpy.matrix([[-1, 2],[1, -2]], dtype='int') . Я хочу получить его целочисленные собственные векторы, если таковые имеются; например, numpy.array([[-1], [1]])...


Дает ли scipy.linalg.eig правильные левые собственные векторы?

У меня есть вопрос относительно того, как scipy.linalg.eig вычисляет левый и правый собственные векторы. Может быть, я все неправильно понял, но мне кажется, что все не так... С самого начала. Чтобы...


Собственные значения и собственные векторы Matlab

У меня есть матрица A A = [ 124.6,95.3,42.7 ; 95.3,55.33,2.74 ; 42.7,2.74,33.33 ] Собственные значения и векторы: [V,D] = eig(A) Как показать, что собственные значения взаимно перпендикулярны? Я...


Как найти собственные векторы и собственные значения без numpy и scipy?

Мне нужно вычислить собственные значения и собственные векторы в python. numpy и scipy не работают. Они оба пишут Illegal instruction (core dumped) . Я обнаружил, что для решения этой проблемы мне...


NumPy eigh() дает неправильные собственные векторы

Я использовал NumPy, чтобы сделать некоторую линейную алгебру, но у меня возникли проблемы с eigh(), казалось бы, возвращающим неправильные собственные векторы. Вот симметричная матрица (481 на...


Numpy собственные векторы

Я пытаюсь использовать функцию numpy 's linalg.eig() для получения собственных векторов и собственных значений. import numpy as np M = np.array([[168.04570515, 1.38100609, -48.60662242],...

Решение высшей математики онлайн


‹-- Назад

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если  -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В  примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

        Пример 19.7   Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу .         

        Доказательство.    

    
        Пример 19.8   Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.                  Пример 19.9   Пусть  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве задан базис, то линейному преобразованию соответствует матрица . Пусть  -- собственный вектор преобразования , соответствующий собственному числу ,  -- координатный столбец вектора . Тогда равенство означает, что .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .                  Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         

        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

        Доказательство.     Пусть и  -- две подобные матрицы порядка . Рассмотрим -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис и рассмотрим линейное преобразование , которое в этом базисе имеет матрицу . По  следствию 19.1 будет матрицей того же преобразования в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования будет совпадать со спектрами матриц и .     

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

собственных значений матричного калькулятора

Поиск инструмента

Собственные значения матрицы

Инструмент для вычисления собственных значений матрицы. Собственные значения матрицы - это значения, которые позволяют уменьшить связанные эндоморфизмы.

Результаты

Собственные значения матрицы - dCode

Метка (и): Матрица

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор собственных значений

Калькулятор собственных векторов

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое собственное значение матрицы? (Определение)

Собственные значения - это числа, характеризующие матрицу.Эти числа важны, потому что, связанные с их собственными векторами, они позволяют выразить матрицу в упрощенной форме, что облегчает вычисления.

для любой квадратной матрицы $ M $ размера $ m \ times m $ (2x2, 3x3, 4x4 и т. Д.) собственных значения обычно называют лямбда $ \ lambda $ и связывают с собственным вектором $ v $, если $$ Mv = \ lambda v \ iff (M- \ lambda I_m) .v = 0 $$ с единичной матрицей $ I_m $ (размером $ m $).

На практике собственных значения оператора $ M $ являются корнями его характеристического многочлена $ P $.2 - 4x - 5 = (x + 1) (x-5) $. Корни $ P $ находятся вычислением $ P (M) = 0 \ iff x = -1 \ mbox {или} x = 5 $. Собственные значения матрицы $ M $ равны $ -1 $ и $ 5 $.

NB: ассоциированные собственные векторы: $ \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix} $ для $ 5 $ и $ \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $ для $ -1. $

Почему собственные значения иногда являются комплексными числами?

Если корни характеристического многочлена не имеют значений на $ \ mathbb {R} $, то они вычисляются на $ \ mathbb {C} $, что вводит комплексные собственные значения .

Этот случай может иметь место, даже если все значения матрицы являются действительными числами.

Почему собственные значения?

Собственные значения называются собственными , потому что это немецкое слово означает , собственно , характеристика .

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Собственные значения матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любых алгоритмов, апплетов или фрагментов «собственных значений матрицы» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие. Собственные значения функции Матрицы (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Собственных значений матрицы» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

собственное значение, собственное значение, значение, матрица, собственный вектор, вектор, характеристика

Ссылки


Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-eigenvalues ​​

© 2021 dCode - Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Калькулятор собственных значений и собственных векторов

Этот калькулятор позволяет вводить любую квадратную матрицу размером от 2x2, 3x3, 4x4 до 9x9. Он найдет собственных значений этой матрицы, а также выведет соответствующие собственных вектора .

Информацию об этих концепциях см. В разделе 7. Собственные значения и собственные векторы.

Инструкции

Сначала выберите размер матрицы , который вы хотите ввести.Вы увидите случайно сгенерированную матрицу, чтобы дать вам представление о том, как будет выглядеть ваш результат.

Затем введите свои собственные номера в появившиеся поля. Вы можете ввести целых или десятичных . (Более продвинутый ввод и вывод находится в разработке, но пока недоступен.)

На клавиатуре вы можете использовать клавишу табуляции, чтобы легко перейти к следующему полю ввода матрицы.

Нажмите , рассчитайте , когда будете готовы.

Вывод будет включать действительные и / или комплексные собственные значения и элементы собственного вектора.

Вы можете изменить точность (количество значащих цифр) ответов, используя раскрывающееся меню.

Калькулятор собственных значений и векторов

Размер матрицы: 2 × 23 × 34 × 45 × 56 × 67 × 78 × 89 × 9 Точность: 23456789

рассчитать

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Выходные данные собственного вектора, которые вы видите здесь, могут отличаться от того, что вы получаете на бумаге. Помните, что у вас может быть любое скалярное кратное собственному вектору, и оно все равно будет собственным вектором.Используемое здесь соглашение заключается в том, что собственные векторы были масштабированы, поэтому окончательная запись равна 1.

ПРИМЕЧАНИЕ 2: Для больших матриц требуется много вычислений, поэтому ожидайте, что ответ займет немного больше времени.

ПРИМЕЧАНИЕ 3: Собственные векторы обычно являются векторами-столбцами, но более крупные из них занимают много места по вертикали, поэтому они записываются горизонтально с надстрочным индексом «T» (известный как транспонировать матрицы).

ПРИМЕЧАНИЕ 4: Когда есть комплексные собственные значения, всегда есть четное число из них, и они всегда появляются как комплексно-сопряженная пара , e.г. 3 + 5 i и 3-5 i .

ПРИМЕЧАНИЕ 5: Когда есть собственные векторы с комплексными элементами, всегда имеется четное число таких собственных векторов, и соответствующие элементы всегда появляются как комплексно сопряженных пар . (Чтобы убедиться, что это так в некоторых случаях, может потребоваться некоторая манипуляция путем умножения каждого элемента на комплексное число.)

Кредит: Этот калькулятор был построен с использованием библиотеки Numeric.js.

Онлайн-калькулятор: Калькулятор собственных значений

Этот онлайн-калькулятор вычисляет собственные значения квадратной матрицы, решая характеристическое уравнение.Характеристическое уравнение - это уравнение, полученное приравниванием характеристического полинома нулю. Таким образом, этот калькулятор сначала получает характеристическое уравнение с помощью калькулятора характеристических полиномов, а затем решает его аналитически, чтобы получить собственные значения (действительные или комплексные). Он делает это только для матриц 2x2, 3x3 и 4x4, используя калькуляторы решения квадратного уравнения, кубического уравнения и уравнения четвертого порядка. Таким образом, он может находить собственные значения квадратной матрицы до четвертой степени.

Очень маловероятно, что у вас будет квадратная матрица более высокой степени в математических задачах, потому что, согласно теореме Абеля – Руффини, общее полиномиальное уравнение пятой или более высокой степени не имеет решения в радикалах, поэтому оно может быть решается только численными методами. (Обратите внимание, что степень характеристического многочлена - это степень его квадратной матрицы). Больше теории можно найти под калькулятором.

Калькулятор собственных значений
Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Характеристическое уравнение

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Собственные значения

Собственные значения легче объяснить с помощью собственных векторов. Допустим, у нас есть квадратная матрица A . Эта матрица определяет линейное преобразование, то есть, если мы умножим любой вектор на A, мы получим новый вектор, который меняет направление:

.

Однако есть некоторые векторы, для которых это преобразование дает вектор, параллельный исходному вектору.Другими словами:

,

где - некоторое скалярное число.

Эти векторы являются собственными векторами A, и эти числа являются собственными значениями A.

Это уравнение можно переписать как

, где I - единичная матрица.

Поскольку v не равно нулю, матрица сингулярна, что означает, что ее определитель равен нулю.

- характеристическое уравнение A, а его левая часть называется характеристическим многочленом A.

Корни этого уравнения являются собственными значениями A, также называемыми характеристическими значениями или характеристическими корнями .

Характеристическое уравнение матрицы A является полиномиальным уравнением, и для получения полиномиальных коэффициентов необходимо расширить определитель матрицы

.

Для случая 2x2 имеем простую формулу:

,

, где trA - это линия A (сумма ее диагональных элементов), а detA - определитель A.То есть

,

Для других случаев вы можете использовать алгоритм Фаддеева – Леверье, как это делается в калькуляторе характеристического полинома.

Получив характеристическое уравнение в полиномиальной форме, вы можете решить его для собственных значений. И здесь вы можете найти отличное введение о том, почему нам вообще нужно искать собственные значения и собственные векторы и почему они являются очень важными понятиями в линейной алгебре.

Онлайн-калькулятор: Калькулятор собственных векторов

Это последний калькулятор, посвященный собственным векторам и собственным значениям.Первым был калькулятор характеристического полинома, который выдает характеристическое уравнение, пригодное для дальнейшей обработки. Второй калькулятор - калькулятор собственных значений решает это уравнение, чтобы найти собственные значения (с использованием аналитических методов, поэтому он работает только до 4-й степени), а калькулятор ниже вычисляет собственные векторы для каждого найденного собственного значения. Некоторые теории можно найти под калькулятором.

Калькулятор собственного вектора
Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Как найти собственные векторы

Позвольте мне повторить определение собственных векторов и собственных значений из калькулятора собственных значений.

Существуют векторы, для которых матричное преобразование дает вектор, параллельный исходному вектору.

,

где - некоторое скалярное число.

Эти векторы называются собственными векторами матрицы A, и эти числа называются собственными значениями матрицы A.

Мы используем следующую форму приведенного выше уравнения:, где I - единичная матрица, чтобы найти собственные значения путем решения характеристического уравнения

.

После того, как мы нашли собственные значения, мы можем найти собственные векторы. Мы должны подставить каждое конкретное собственное значение в уравнение и решить его для v . Это означает, что нам просто нужно решить следующую систему линейных уравнений (в матричной форме):

Это однородная система линейных уравнений, и, более того, ее уравнения НЕ независимы.То есть у системы бесконечно много решений. Это потому, что у нас есть семейство собственных векторов (включая нулевой вектор) или собственное подпространство для каждого собственного значения. Итак, когда вас просят найти собственные векторы для матрицы, вам действительно нужно подобрать какое-то "красивое" решение для системы линейных уравнений, полученное для каждого собственного значения, то есть некоторый образец собственного вектора без дробей и с небольшими положительными целыми числами.

В большинстве случаев собственное значение дает однородную систему с одной независимой переменной.Однако в некоторых случаях собственные значения имеют кратность больше 1 (например, в случае двойных корней). В таких случаях однородная система будет иметь более одной независимой переменной, и у вас будет несколько линейно независимых собственных векторов, связанных с таким собственным значением - по одному для каждой независимой переменной.

Калькулятор собственных значений - как найти собственные значения матрицы

Онлайн-калькулятор собственных значений может определять собственные значения данной квадратной матрицы с помощью характеристического уравнения.Этот искатель собственных значений позволяет вам заменять любую матрицу из 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 и 5 x 5. В этом контексте вы можете узнать, как найти собственные значения матрицы, и многое другое.

Каковы собственные значения матрицы?

В математике собственные значения - это скалярные значения, которые связаны с линейными уравнениями (также называемыми матричными уравнениями). Его еще называют скрытыми корнями. Собственные значения - это специальный набор скаляров, назначаемый линейным уравнениям. В основном он используется для матричных уравнений.«Eigen» - немецкое слово, которое означает «характерный» или «правильный». Короче говоря, собственное значение - это скаляр, используемый для преобразования собственного вектора.

Расчет следа и определителя:

Для матрицы 2 × 2 след и определитель матрицы полезны для получения двух очень специальных чисел для нахождения собственных векторов и собственных значений. К счастью, калькулятор собственных значений найдет их автоматически. Если вы хотите проверить, правильный ли ответ дан, или просто хотите вычислить его вручную, сделайте следующее:

Трасса: Трасса матрицы определяется как сумма элементов на главной диагонали (сверху слева направо).Он также равен сумме собственных значений (с учетом кратности). В случае матрицы 2 × 2

Tr X = x_1 + b_2

Определитель: Определитель матрицы используется в нескольких дополнительных операциях, таких как нахождение обратной матрицы. Для матрицы 2 × 2

| X | = x_1 y_2 - x_2 y_1

Как найти собственные значения?

Выражение уравнения основной связи между собственными значениями и его собственным вектором: Xv = λv, где λ - скаляр, X - матрица с m строками и m столбцами, а v - вектор столбцов.И в этом отношении истинное значение λ является собственным значением. Оно должно удовлетворять уравнению, чтобы что-то имело истинную ценность.

Приведенное выше уравнение Xv = λv может быть преобразовано в X - I = 0, где «I» - единичная матрица. Вы можете начать выполнять операции вычитания и умножения матриц, результатом будет многочлен. Многочлен установлен на ноль. Тогда корни этих членов являются собственными значениями. Собственные значения могут быть действительными или комплексными. Комплексное собственное значение имеет действительную составляющую и мнимое собственное значение.Если мы хотим найти соответствующие собственные векторы с помощью калькулятора собственных значений, который использует исходное уравнение Xv = λv, мы рассчитываем все возможные значения v. Значение, которое мы находим для v, является собственным вектором.

Однако онлайн-калькулятор якобиана поможет вам найти матрицу Якоби и определитель набора функций.

Пример:

Вычислить собственные значения для матрицы {{6,1}, {8, 3}}.

Решение:

Поиск собственных значений для матрицы 2 x 2:

Сначала калькулятор собственных значений вычитает λ из диагональных элементов заданной матрицы

$$ \ begin {vmatrix} 6.2 - 9,0 λ + 10. 0 = 0

Корни (собственные значения)

λ_1 = 7,7015

λ_2 = 1,2984

(λ_1, λ_2) = (7. 7016, 1. 2984)

Как найти собственные значения матрицы 3 × 3?

  • Чтобы найти собственные значения матрицы X 3 × 3, вам необходимо:
  • Сначала вычтите λ из главной диагонали X, чтобы получить X - λI.
  • Теперь запишите определитель квадратной матрицы, который равен X - λI.
  • Затем решите уравнение det (X - λI) = 0 относительно λ.Решения уравнения на собственные значения являются собственными значениями X.

Как работает калькулятор собственных значений?

Онлайн-калькулятор собственных значений решает собственные значения матрицы, вычисляя характеристическое уравнение, выполнив следующие действия:

Ввод:
  • Сначала выберите размер матрицы из раскрывающегося списка.
  • Теперь замените значения во всех полях. Вы можете сгенерировать случайные значения для матрицы, нажав кнопку сгенерировать матрицу.И удалите все значения, очистив все поля.
  • Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы перейти к следующей процедуре.

Выход:
  • Калькулятор собственных значений матрицы отображает значения и решает уравнение.
  • Он также принимает определитель полученной матрицы и предоставляет значения корня.

FAQ:

Почему нам нужно вычислять собственные значения?

Собственные векторы упрощают понимание линейных преобразований.Это «оси», где линейное преобразование работает только путем «растяжения / сжатия» и / или «переворачивания»; собственные значения указывают фактор, при котором происходит это сжатие.

Могут ли собственные значения быть нулевыми?

Собственные значения могут быть нулевыми. Мы не рассматриваем нулевые векторы как собственные: поскольку X 0 = 0 = λ0 для каждого скаляра λ, соответствующее собственное значение не определено.

Где мы используем собственные значения?

Мы можем использовать собственные значения для:

  • Анализ собственных значений используется при разработке автостереоскопических систем для воспроизведения вибраций автомобиля, вызванных музыкой.
  • Электротехника: применение собственных значений может использоваться для разделения трехфазных систем путем преобразования симметричных компонентов.

Итог:

Воспользуйтесь этим калькулятором собственных значений, который определяет собственные значения заданной матрицы и вычисляет корни характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получается приравниванием полинома нулю.

Артикул:

Из источника Википедии: характеристическое значение, характеристический полином, собственные значения матриц, алгебраическая кратность, собственные подпространства, геометрическая кратность и собственный базис для матриц.

Из источника среды: использование собственных значений, строительные блоки собственных значений, сложение матриц, умножение скаляра на матрицу, умножение матриц.

Из источника Libre Text: определение собственного значения, характеристического полинома, характеристического уравнения, поиск собственных значений, нулевого собственного значения, специальных типов матриц.

Калькулятор собственных значений и собственных векторов

Если анализ матриц вызывает у вас головную боль, калькулятор собственных значений и собственных векторов - идеальный инструмент для вас.Это позволит вам найти собственные значения матрицы размером 2x2 или 3x3 и даже сэкономит ваше время, найдя собственные векторы . В этой статье мы предоставим вам объяснения и удобные формулы, чтобы убедиться, что вы понимаете, как работает этот калькулятор и как находить собственные значения и собственные векторы в целом.

Давайте нырнем!

Матрица 2x2

Матрица 2x2 A имеет следующий вид:

А =
и и
b₁ b₂

, где a₁ , a₂ , b₁ и b₂ - элементы матрицы.Наш калькулятор собственных значений и собственных векторов использует форму выше, поэтому убедитесь, что вводите числа правильно - не путайте их!

Расчет следа и определителя

В случае матрицы 2x2, чтобы найти собственные векторы и собственные значения, полезно сначала получить два очень специальных числа: - след и - определитель массива. К счастью для нас, калькулятор собственных значений и собственных векторов найдет их автоматически, и, если вы хотите их увидеть, нажмите кнопку в расширенном режиме .Если вы хотите проверить, что он дал вам правильный ответ, или просто выполните вычисления вручную, выполните следующие действия:

  1. Трасса : трасса матрицы определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого угла до нижнего правого). Он также равен сумме собственных значений (с учетом их кратностей). В случае матрицы 2x2

tr (A) = a₁ + b₂

  1. Определитель : определитель матрицы полезен в нескольких дальнейших операциях - например, при нахождении обратной матрицы.Для матрицы 2x2

| A | = a₁b₂ - a₂b₁

Как найти собственные значения

Каждая матрица 2x2 A имеет два собственных значения: λ₁ и λ₂. Они определены как числа, которые удовлетворяют следующему условию для ненулевого вектора-столбца v = (v₁, v₂), который мы называем собственным вектором:

A * v = λ * v

Вы также можете найти другую эквивалентную версию приведенного выше уравнения:

(A - λI) v = 0

, где I - единичная матрица 2x2.

Зная след и определитель, найти собственные значения матрицы - тривиальная задача - все, что вам нужно сделать, это ввести эти значения в следующие уравнения:

λ₁ = tr (A) / 2 + √ ((tr (A) ² / 4 - | A |)

λ₂ = tr (A) / 2 - √ (tr (A) ² / 4 - | A |)

Некоторые матрицы имеют только одно собственное значение. Примеры таких массивов включают матрицы вида:

или

Не забудьте поэкспериментировать с нашим калькулятором, чтобы увидеть, какие матрицы имеют только одно собственное значение!

Калькулятор собственных значений и собственных векторов - матрицы 2x2

Наш калькулятор также может использоваться для нахождения собственных векторов .По сути, обучение нахождению собственных векторов сводится к прямому решению уравнения

(q - λI) v = 0

Обратите внимание, что если матрица имеет только одно собственное значение, ей все равно может соответствовать несколько собственных векторов. Например, единичная матрица:

имеет только одно (двойное) собственное значение λ = 1 , но два собственных вектора: v₁ = (1,0) и v₂ = (0,1) .

Помните, что если вектор v является собственным вектором, то тот же вектор, умноженный на скаляр, также является собственным вектором той же матрицы.Если вы хотите упростить решение, предлагаемое нашим калькулятором, перейдите к калькулятору единичного вектора.

Как найти собственные значения и собственные векторы матриц 3x3

Попробуем теперь все это перевести на язык матриц 3x3 . Прежде всего, давайте посмотрим на пример такого объекта:

А =
и и и
| b₁ b₂ b₃
c₁ c₂ c₃

, где для нас записи a₁ , a₂ , до c₃ являются действительными числами.

В общем, большинство приведенных выше определений одинаковы для матриц 3x3. Например, кривая - это сумма ячеек на главной диагонали, то есть

tr (A) = a₁ + b₂ + c₃ .

Однако, определитель теперь более сложен:

| A | = a₁ * b₂ * c₃ + a₂ * b₃ * c₁ + a₃ * b₁ * c₂ - a₃ * b₂ * c₁ - a₂ * b₁ * c₃ - a₁ * b₃ * c₂ .

Теперь, когда дело доходит до поиска собственных векторов и собственных значений, определение снова то же самое : это числа λ и векторы v , которые удовлетворяют матричному уравнению

A * v = λ * v ,

, где умножение слева - это умножение матриц.Однако уловка в том, что на этот раз уравнение намного сложнее . В частности, здесь не работают приведенные выше формулы.

В случае матриц 2x2 все сводится к квадратичной формуле. Однако, когда массивы имеют размер 3x3, мы получаем кубическое уравнение , то есть уравнение с переменной в третьей степени. А такие вещи посчитать не так-то просто.

К счастью, у нас есть калькулятор собственных значений и собственных векторов, который может скрыть все эти уродливые формулы и без труда дать нам красивый ответ .

Но всегда ли ответ хорош?

Комплексные собственные значения и собственные векторы

Квадратные и кубические уравнения иногда не имеют реальных решений . Это означает, что не существует действительного числа (числа, которое мы выучили в детстве), которое удовлетворяет этой формуле. Поэтому в области действительных чисел не всегда можно найти собственные значения матрицы. Однако в математике есть расширение, в котором этого никогда не произойдет: каждое уравнение имеет столько же решений (с учетом их кратностей) , сколько его степени .

Комплексные числа, формально говоря, это пары действительных чисел . Первая из пары называется действительной частью , а вторая мнимой частью (да, именно так ее называли профессиональные математики). У второго есть загадочное число i , которое мы определяем как квадратный корень из (-1) . В школе нам сказали, что таких вещей не существует, не так ли? Ну, они есть, но они мнимые .

Для нас это означает, что калькулятор всегда знает, как найти собственные векторы и собственные значения матрицы.Как только это произойдет, важно знать, использует ли решаемая вами проблема комплексные числа или только реальные числа . На всякий случай наш калькулятор собственных значений и собственных векторов покажет вам все значения и соответствующие им собственные векторы, действительные или комплексные. Однако, если вам нужны только настоящие, не стесняйтесь игнорировать все, в которых есть i . Просто имейте в виду, что они существуют, хотя и являются воображаемыми.

FAQ

Как найти собственные значения и собственные векторы?

Чтобы найти собственное значение , λ и его собственный вектор, v , квадратной матрицы, A , вам необходимо:

  1. Запишите определитель матрицы, который равен A - λI с I в качестве единичной матрицы.
  2. Решите уравнение det (A - λI) = 0 для λ (это собственные значения).
  3. Запишите систему уравнений Av = λv с координатами v в качестве переменной.
  4. Для каждого λ , решите систему уравнений , Av = λv .
  5. Запишите решение Av = λv с параметрами.
  6. Для каждого параметра его коэффициент - координата собственного вектора.
  7. Группа коэффициентов, соответствующих каждому параметру, для формирования собственного вектора v .

Как найти собственные значения матрицы 3x3?

Чтобы найти собственные значения λ 1 , λ 2 , λ 3 матрицы 3x3, A , вам нужно:

  1. Вычтите λ (как переменную) из главной диагонали A , чтобы получить A - λI .
  2. Запишите определитель матрицы, который равен A - λI .
  3. Решите кубическое уравнение, которое составляет det (A - λI) = 0 , для λ .
  4. (не более трех) решений уравнения являются собственными значениями из A .
  5. При необходимости перейдите к и найдите собственные векторы собственных значений .

Как найти собственные векторы из собственных значений?

Если у вас есть собственное значение λ квадратной матрицы, A , и вы хотите найти соответствующий собственный вектор, v , вам необходимо:

  1. Обозначим координаты v как переменные (например,g., v = (x, y, z) для матриц 3x3).
  2. Запишите систему уравнений, Av = λv (каждая координата дает одно уравнение).
  3. Решите систему уравнений для координат v .
  4. Запишите решение, используя параметры.
  5. Для каждого параметра его коэффициент является координатой собственного вектора .
  6. Группа коэффициенты, соответствующие каждому параметру, чтобы сформировать собственный вектор, v .

Сколько собственных значений имеет матрица?

Квадратная матрица с n строками и столбцами может иметь не более n собственных значений . Если мы не допустим комплексные числа, может случиться так, что у него их не будет (т.е.когда характеристический многочлен не имеет реальных решений).

Ортогональны ли собственные векторы?

В целом . Если исходная матрица симметрична, то собственные векторы различных собственных значений всегда ортогональны.

Может ли 0 быть собственным значением?

Да , может. Для этого должен существовать ненулевой вектор, v , такой, что Av = 0 (как матричное умножение).

Онлайн-калькулятор собственных значений

с шагом

Использование калькулятора собственных значений

Почему почти все, что вы узнали о калькуляторе собственных значений, неверно

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно проделывать такую ​​большую работу.На самом деле, вы также можете легко их пропустить. Чтобы иметь возможность найти кого-то, кто готов предоставить вам лучшую помощь с домашним заданием на данный момент, вы должны посвятить себя поиску только лучшей работы на данный момент. Если вы просто будете думать о битве относительно этапов, а не смотреть на его шкалу здоровья, она станет намного проще и пройдет намного быстрее. На практике это сделать сложно. Здесь мы хотим отметить две или три вещи.

Калькулятор слухов, обмана и собственных значений

Охват декомпозиции LU находится за пределами досягаемости этой статьи, но дополнительную информацию можно увидеть в разделе ссылок ниже.Они, кажется, указывают на общее благосостояние в пределах района, поэтому мы можем назвать Фактор 2 социально-экономическим статусом района. В следующем разделе мы представим несколько свойств, которые упрощают вычисление определителей. Наблюдение за исчерпывающими описаниями этих методов будет сводной таблицей. Поиск такого частого слова, как Интернет '', оказался проблематичным.

Калькулятор жизни, смерти и собственных значений

Имейте в виду, что интерпретатор вставляет новую строку перед печатью следующего приглашения, если предыдущая строка не была завершена.Это удобный инструмент, так как вы можете использовать его в любом месте в любое время, просто имея онлайн-доступ. Вот хороший пример форм графиков, которые вы можете создавать с помощью этого пакета. Доступ к различным областям матрицы эффективен благодаря динамической компиляции.

Учителя также используют графические калькуляторы, чтобы учащимся было легче понять. Имейте в виду, что эта программа предназначена для исследовательских и образовательных целей. Их опрашивали по количеству книг, которые они прочитали в предыдущем календарном году.Вероятно, мы обнаружим некоторых из несовершеннолетних. Используя этот онлайн-калькулятор обратных матриц, студенты найдут много времени, чтобы получить представление о решении задач со словами. Пожалуйста, не забудьте рассказать своим друзьям и учителю об этой блестящей программе!

Скрытый секрет калькулятора собственных значений

Обычно лямбда Уилка используется для проверки важности самого первого коэффициента канонической корреляции, а V Бартлетта используется для проверки важности всех коэффициентов канонической корреляции.Если есть только один линейно независимый собственный вектор, есть только одна прямая линия. Матрицы, которые не являются квадратными, не имеют определителя.

Ложь, которую вам сказали о калькуляторе собственных значений

Дискриминант сообщает суть корней. Это факторы, поскольку они группируют базовые переменные. Имейте в виду, что это важное отличие от факторного анализа. Несмотря на то, что метод управления нагрузкой используется в большинстве видов нелинейного анализа, его сложно реализовать в анализе потери устойчивости.

Это вызывает леворукую систему. Подматрица - это часть исходной матрицы, которая не включает элементы в той же строке или столбце, что и текущий элемент. Формула Эйлера делает это простым. Этот экземпляр известен как узел. Четвертая загвоздка заключается в том, что он всегда предоставит вам решение только в виде целого или десятичного числа. Для этого представьте матрицу A.

Знакомство с калькулятором собственных значений

Пусть pi будет настоящим сайтом. Вот краткий набросок идей по другую сторону формулы.Кроме того, это называется параметрической формой. Часто это седловые точки. Чтобы найти значение, отображаемое на графике, требуется выполнить множество сложных вычислений. Выясните определитель матрицы онлайн на сайте.

Вот действия, которые нужно выполнить, чтобы найти определитель. Формула Герона позволяет вам вычислить площадь треугольника, если вы знаете расстояние между всеми тремя сторонами. Например, очень важно учитывать смещения, чтобы быть уверенным, что деталь или сборка не деформируются слишком сильно.

Общее решение проблемы нашей системы представлено ниже. Не нажимайте ВКЛ, если не хотите выйти! Во-первых, вы хотите иметь возможность извлекать реальные и мнимые элементы замысловатого числа. Я только хотел сообщить вам, что я рад, что купил ваш продукт.

Каждый из них подключен. Если вы изучите одно или несколько из этих расширений, я хотел бы понять. Я предлагаю развернуть там, где есть один, а затем развернуть. Тем не менее, нужно придумать, как их нарисовать.

Однако, как только нагрузка остается неизменной, как это чаще всего бывает в сценарии, окончание вертикального участка кривой отмечает структурное обрушение балки. В этом случае вы можете подумать, что для теоремы Гершгорина нет никакой реальной причины. По этой причине, вот несколько примеров, показывающих, как пространство может быть преобразовано с помощью двумерных квадратных матриц. Мы начинаем с настройки различных частей справочного материала, связанного с линейной алгеброй. Мы будем управлять только событием n различных корней, хотя они могут повторяться.Всегда ищите строку или столбец с наибольшим количеством нулей, чтобы упростить работу.

Во-первых, ноль здесь не скаляр, а нулевой вектор. Casio fx-991MS включает встроенное средство решения уравнений. Вы можете использовать калькулятор. Этот калькулятор позволяет получать точные графики. Используйте отрицательную переменную, чтобы выявить вычитание.

Что вам не понравится в калькуляторе собственных значений и что вам понравится

У этой системы есть бесконечное количество решений. С помощью этого инструмента человек может легко контролировать каждое крыло компании.Это можно рассматривать как сильную ассоциацию для факторного анализа в большинстве областей исследований. С другой стороны, решения могут быть сложными.

в восторге от калькулятора собственных значений?

Это значительно упрощает многие приложения, поскольку вам не нужно управлять арифметикой сложных чисел. Это удобный инструмент, так как вы можете использовать его в любом месте в любое время, просто имея онлайн-доступ. Вот хороший пример форм графиков, которые вы можете создавать с помощью этого пакета.Если вы хотите добавить функцию в GSL, мы советуем вам сначала сделать ее расширением.

Для того, чтобы предприятия могли лучше понять свой выбор, необходимо ответить на три важных вопроса. Важно понять, почему мы готовим матрицу именно таким образом, а не слепо перебираем числа. Это помогает упростить сложное предприятие. То же самое и с переключением передач.

Эксцентрическая важная кривая построена по формуле секущей.Как указывалось ранее, для практических целей MGIV ожидает, что модель будет уменьшена в размерах. Этот метод извлечения кажется идеальным выбором для большинства моделей NASTRAN. Вообще говоря, это скорее DOF, который будет способствовать режиму пониженной частоты, чем DOF, который имеет малую массу и более высокую жесткость.

Игра-калькулятор собственных значений

Это вызывает леворукую систему. Никаких дополнительных этикеток не требуется. От решений, которые нельзя нормализовать, нужно отказаться.Работа числа в исходной матрице не имеет значения, важно только его статус в текущей матрице. Четвертая загвоздка заключается в том, что он всегда предоставит вам решение только в виде целого или десятичного числа. Чтобы также наблюдать за входными единичными векторами, используйте опцию showunitvectors.

Собственные значения соответствуют количеству вариаций в переменных, которое объясняется с помощью компонента, поэтому самый первый компонент должен быть тем, который используется при вычислении самого первого главного компонента.Затем вам нужно найти полином и свойства полиномиального уравнения. Матрицу можно рассматривать как определенное линейное преобразование.

Аргумент по поводу калькулятора собственных значений

Определитель матрицы 3х3 немного сложнее. Это особый набор скаляров, связанный с линейной системой матричных уравнений. NumPy не имеет функции для прямого вычисления ковариации между двумя переменными. Они получают матрицу, для которой нужно найти обратное.Симметричная матрица - это особый вид квадратной матрицы, которая часто используется во многих приложениях, таких как ковариационная матрица, корреляционная матрица и матрица расстояний. Матрица, не имеющая обратной, называется сингулярной.

Поскольку это выходит за рамки этого отчета (и моей области!). После ввода данных можно выполнять несколько уникальных функций, включая расчеты отклонений и регулирования (что может быть полезно для математики A-level). Построение графика с помощью уравнения или даже заданных чисел - непростая процедура.В этом списке приводится количество несовершеннолетних из приведенной выше матрицы. Поиск такого частого слова, как Интернет '', оказался проблематичным.

Пусть pi будет настоящим сайтом. Вот краткий набросок идей по другую сторону формулы. Кроме того, это называется параметрической формой. Часто это седловые точки. Вам не нужно производить расчеты по этим двум параметрам, если у вас мало времени. См. Подробные сведения об общем результате на противоположных вкладках (выше).

Однако, как только нагрузка остается неизменной, как это чаще всего бывает в сценарии, окончание вертикального участка кривой отмечает структурное обрушение балки.Введите необходимые переменные или цифры и подождите несколько секунд, и вы получите желаемый график на ваших глазах всего за пару секунд. В рамках этого сценария они не хотели бы тратить время на встречу с инверсией матрицы. Я хочу уменьшить количество итераций до примерно 10, чего почти для каждой матрицы достаточно, чтобы она сходилась. Число условия многое говорит о матрице, и его стоит вычислить. На графике ниже показано важное напряжение при использовании длины столбца.

Как я уже сказал, это изящный инструмент для использования в теории информации, и хотя математика немного сложна, вам просто нужно получить общее представление о том, что происходит, чтобы иметь возможность использовать его эффективно. Это логично, ведь стоимость чьего-то дома должна быть связана с их заработком. Вскоре мы перейдем к самому первому примеру. Предыдущий пример указывает на тот простой факт, что, хотя можно наблюдать собственные векторы напрямую, это почти никогда не является рутинной проблемой.

Хорошо, я думаю, что понял калькулятор собственных значений, теперь расскажите мне о калькуляторе собственных значений!

Это позволяет вам свободно делиться своими программами с другими людьми. Вы также можете посетить наши последующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики. Но, особенно для больших матриц, алгоритм Якоби может занять очень много времени с большим количеством итераций, поэтому мы программируем компьютеры. Мы перечислим это здесь, чтобы люди могли это проверить. Любая помощь очень ценится.Пожалуйста, не забудьте рассказать своим друзьям и учителю об этой блестящей программе!

Это называется собственным разложением. Очень важно, чтобы вы попытались это сделать. Однако мне нужно делать это быстрее. В противном случае продолжайте здесь.

Таким образом, канонические варианты нельзя точно интерпретировать как факторы в факторном анализе. После этого вам нужно расположить нижнюю матрицу в ряду, а затем вам нужно найти основу собственного пространства. Это доказательство требует большой работы, если вы не знакомы с неявным дифференцированием, которое в основном дифференцирует переменную относительно x.Несмотря на то, что метод управления нагрузкой используется в большинстве видов нелинейного анализа, его сложно реализовать в анализе потери устойчивости.

Чтобы использовать это, вы просто обнаруживаете определитель матрицы коэффициентов. Воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором матрицы собственных подпространств 3x3, чтобы зафиксировать пространство всех собственных векторов, которые можно записать как линейную смесь этих собственных векторов. Это полезно для факторизации, упрощения уравнений и т. Д. Можно было бы упростить собственные значения, используя различные другие функции.Как мы уже заметили, вычисление собственных значений, которые используются для решения полиномиального уравнения. Как вы заметили выше, обратные матрицы могут быть неоценимы для решения матричных уравнений.

Калькулятор собственных значений - Заговор

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно проделывать такую ​​большую работу. На самом деле, вы также можете легко их пропустить. Любая возможность работать с другими важна для всех участников. Если вы просто будете думать о битве относительно этапов, а не смотреть на его шкалу здоровья, она станет намного проще и пройдет намного быстрее.Многие думают, что найти значение Eigen - действительно сложная задача. Здесь мы хотим отметить две или три вещи.

Охват декомпозиции LU находится за пределами досягаемости этой статьи, но дополнительную информацию можно увидеть в разделе ссылок ниже. Они, кажется, указывают на общее благосостояние в пределах района, поэтому мы можем назвать Фактор 2 социально-экономическим статусом района. Построение графика с помощью уравнения или даже заданных чисел - непростая процедура. В этом списке приводится количество несовершеннолетних из приведенной выше матрицы.Используйте help eigifp, чтобы узнать подробности.

Пакет nFactors предоставляет набор функций, помогающих в этом выборе. Затем вы можете использовать NuGet для получения самых популярных двоичных файлов в вашем рабочем каталоге. Вам понадобится матричный калькулятор, но домашнее задание включает URL-адрес полностью бесплатного онлайн-интерфейса к абсолютно бесплатному матричному калькулятору, упомянутому в классе. Чтобы гарантировать, что браузер загружает самые последние калькуляторы, его следует обновить или перезагрузить.

Как видите, студенты наверняка столкнутся с рядом проблем, если они захотят стать членами клуба эссе на покупку. Вы также можете посетить наши последующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики. Но, особенно для больших матриц, алгоритм Якоби может занять очень много времени с большим количеством итераций, поэтому мы программируем компьютеры. Вероятно, мы обнаружим некоторых из несовершеннолетних. Студентам также проблематично понять как можно больше деталей за короткое время.Проведя небольшое исследование, вы найдете идеальное домашнее задание, которое только возможно.

Чтобы найти собственные значения, мы, вероятно, воспользуемся детерминантным уравнением, которое мы нашли в предыдущем разделе. Функция eVECTORS надежно выполняет работу только для симметричных матриц, которые являются единственными, для которых мы хотим вычислить собственные значения и собственные векторы на этом веб-сайте. Это полезно для факторизации, упрощения уравнений и т. Д. Можно было бы упростить собственные значения, используя различные другие функции.В этом уроке мы узнаем, как находить собственные значения конкретной матрицы. ПОИСК КОФАКТОРА ЭЛЕМЕНТА Найдите в матрице кофактор каждого из последующих элементов.

Так как насчет калькулятора собственных значений?

Мы только описываем процесс диагонализации, и никаких обоснований приводить не будем. Это можно сделать двумя способами. Начнем с того, что бессрочный платеж - это неумолимая и бесконечная оплата, как и налоги. Мы обсудим здесь различные примеры дискриминанта, чтобы узнать суть корней квадратного уравнения.Аспекты, объясняющие наименьшее количество отклонений, обычно отбрасываются.

Пустая строка необходима в конце спецификации RAM. В самом первом определителе 3x3 нет нулей, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Формула Эйлера делает это простым. Конец строк не нужно экранировать при использовании тройных кавычек, но они будут включены в строку. Четвертая загвоздка заключается в том, что он всегда предоставит вам решение только в виде целого или десятичного числа. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.

Имейте в виду, что различие знаков происходит из-за того простого факта, что собственные векторы не уникальны. Вы можете сделать это, а затем умножить это на B, но, тем не менее, было бы проще просто поместить все выражение в калькулятор и получить ответ напрямую. Кроме того, это называется параметрической формой. Точка равновесия нестабильна, если она нестабильна. Вам не нужно производить расчеты по этим двум параметрам, если у вас мало времени. См. Подробные сведения об общем результате на противоположных вкладках (выше).

В идеальном треугольнике область квадрата на гипотенузе эквивалентна сумме областей квадратов на обоих катетах. Давайте посмотрим на каждую из трех элементарных операций со строками. Самый первый шаг - найти точки равновесия.

Калькулятор собственных значений и калькулятор собственных значений - идеальное сочетание

Здесь вы можете увидеть результаты моей симуляции. Неквадратные матрицы не могут быть проанализированы с использованием нижеприведенных методов. Устойчивость моделей с различными переменными. Обнаружить устойчивость в этих типах моделей не так просто, как в моделях с одной переменной.Все эти модели были запущены с использованием ранее упомянутых методов извлечения собственных значений для определения начальных 20 режимов.

Калькулятор собственных значений Справка!

Насколько я понимаю, это связано с Ланчошем. Пока вы выбираете единицу, с вами все будет в порядке. Я предлагаю развернуть там, где есть один, а затем развернуть. В противном случае продолжайте здесь.

Калькулятор жизни после собственных значений

Обычно это означает, что он всегда положителен, даже если формула привела к отрицательному результату.В самой первой части предыдущего примера мы только что показали, что 1 - собственное значение для этого конкретного случая. Кроме того, у него есть список полуребер, по одному на отверстие, которое может входить в грань. В этом случае они настоящие.

Преимущества калькулятора собственных значений

Во-первых, ноль здесь не скаляр, а нулевой вектор. Таким образом, в основном M - это только самая первая матрица, в которой лямбда вычитается из каждого диагонального значения. Большая разница между этим калькулятором и более старыми научными калькуляторами заключается в том, что этот калькулятор не оценивает выражение, когда вы его вводите.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *