Arctg Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, свойства

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, свойства

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

АрктангСнс (arctg ΠΈΠ»ΠΈ arctan) – это обратная тригономСтричСская функция.

АрктангСнс x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ функция, обратная ΠΊ тангСнсу x, Π³Π΄Π΅ x – любоС число (xβˆˆβ„).

Если тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ρƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ… (tg yΒ =Β x), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ арктангСнс x равняСтся y:

arctg x = tg-1Β xΒ =Β y, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ -Ο€/2<y<Ο€/2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: tg-1x ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ тангСнс, Π° Π½Π΅ тангСнс Π² стСпСни -1.

НапримСр:

arctg 1 = tg-1 1 = 45Β° = Ο€/4Β Ρ€Π°Π΄

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арктангСнса

Ѐункция арктангСнса ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arctg (x). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арктангСнса

Бвойства арктангСнса

НиТС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ прСдставлСны основныС свойства арктангСнса с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° арктангСнсов

x (Β°)x (Ρ€Π°Π΄) arctg x
-90Β°
-Ο€/2 -∞
-71.565Β° -1.2490 -3
-63.435Β°
-1.1071 -2
-60Β° -Ο€/3 -√3
-45Β°
-Ο€/4 -1
-30Β° -Ο€/6 -1/√3
-26.565Β°
-0.4636 -0.5
0Β° 0 0
26.565Β°
0.4636 0.5
30Β° Ο€/6
1/√3
45Β° Ο€/4 1
60Β° Ο€/3
√3
63.435Β° 1.1071 2
71.565Β° 1.2490
3
90Β° Ο€/2 ∞

microexcel.ru

АрктангСнс, арккотангСнс — свойства, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

АрктангСнс, arctg

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ обозначСния

АрктангСнс ( y = arctg x )
 – это функция, обратная ΠΊ тангСнсу ( x = tg y ). Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Β Β  ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Β .
tg(arctg x) = x Β  Β  ;
arctg(tg x) = x Β  Β  .

АрктангСнс обозначаСтся Ρ‚Π°ΠΊ:
.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арктангСнс

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=arctg(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β  y = arctg x

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арктангСнса получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° тангСнса, Ссли ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами оси абсцисс ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ Β  , Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ арктангСнса.

АрккотангСнс, arcctg

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ обозначСния

АрккотангСнс ( y = arcctg x )
 – это функция, обратная ΠΊ котангСнсу ( x = ctg y ). Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Β Β  ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Β .
ctg(arcctg x) = x Β  Β  ;
arcctg(ctg x) = x Β  Β  .

АрккотангСнс обозначаСтся Ρ‚Π°ΠΊ:
.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арккотангСнс

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=arcctg(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β  y = arcctg x

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арккотангСнса получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° котангСнса, Ссли ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами оси абсцисс ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ Β  , Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ арккотангСнса.

Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Ѐункция арктангСнс являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Ѐункция арккотангСнс Π½Π΅ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = Ο€ – arcctg x β‰  Β± arcctg x.

Бвойства – экстрСмумы, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арктангСнс ΠΈ арккотангСнс Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ Π½Π° своСй области опрСдСлСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ для всСх x. (см. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСпрСрывности). ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства арктангСнса ΠΈ арккотангСнса прСдставлСны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

Β  y = arctg x y = arcctg x
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ
ВозрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚
ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Π½Π΅Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚
Нули, y = 0 x = 0 Π½Π΅Ρ‚
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, x = 0 y = 0 y = Ο€/2
– Ο€
0

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° арктангСнсов ΠΈ арккотангСнсов

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ прСдставлСны значСния арктангСнсов ΠΈ арккотангСнсов, Π² градусах ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Β x arctg x arcctg x
Π³Ρ€Π°Π΄. Ρ€Π°Π΄. Π³Ρ€Π°Π΄. Ρ€Π°Π΄.
– ∞ – 90Β° – 180Β° Ο€
– – 60Β° – 150Β°
– 1 – 45Β° – 135Β°
– – 30Β° – 120Β°
0 0Β° 0 90Β°
30Β° 60Β°
1 45Β° 45Β°
60Β° 30Β°
+ ∞ 90° 0° 0

β‰ˆ 0,5773502691896258
β‰ˆ 1,7320508075688772

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:Β  Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности


Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ

Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ

Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ


Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ

Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ

Β Β Β Β Β ΠΏΡ€ΠΈ

ВыраТСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, комплСксныС числа

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:Β  Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

,
.

ВыраТСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅



Π‘ΠΌ. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… арктангСнса ΠΈ арккотангСнса > > >

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков:
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Β . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ n-Π³ΠΎ порядка арктангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… способов:
;
.
Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ стоящСго слСдом выраТСния.

Π‘ΠΌ. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков арктангСнса ΠΈ арккотангСнса > > >
Π’Π°ΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… пяти порядков.

Аналогично для арккотангСнса. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Β . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
;
.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹

Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановку Β  x = tg t Β  ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ частям:
;
;
;

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ арккотангСнс Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арктангСнс:
.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² стСпСнной ряд

ΠŸΡ€ΠΈ Β  |x| ≀ 1 Β  ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
;
.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ арктангСнсу ΠΈ арккотангСнсу ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ тангСнс ΠΈ котангСнс, соотвСтствСнно.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ справСдливы Π½Π° всСй области опрСдСлСния:
tg(arctg x) = x Β  Β 
ctg(arcctg x) = x Β  Β .

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ справСдливы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° мноТСствС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ арктангСнса ΠΈ арккотангСнса:
arctg(tg x) = x Β  Β  ΠΏΡ€ΠΈ
arcctg(ctg x) = x Β  Β  ΠΏΡ€ΠΈ .

Использованная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:
И.Н. Π‘Ρ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, К.А. БСмСндяСв, Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ учащихся Π²Ρ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ², Β«Π›Π°Π½ΡŒΒ», 2009.

Автор: ОлСг ΠžΠ΄ΠΈΠ½Ρ†ΠΎΠ². Β  Β  ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ: Β  ИзмСнСно:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

ΠžΠ±Ρ€Π°ΜΡ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтри́чСскиС фу́нкции (ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π°Ρ€ΠΊΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ)Β β€” матСматичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ тригономСтричСским функциям. К ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ тригономСтричСским функциям ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ относят ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

  • аркси́нус (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arcsin)
  • аркко́синус (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arccos)
  • аркта́нгСнс (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arctg; Π² иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ arctan)
  • арккота́нгСнс
    (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arcctg; Π² иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ arccot ΠΈΠ»ΠΈ arccotan)
  • арксС́канс (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arcsec)
  • арккосС́канс (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arccosec; Π² иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ arccsc)

НазваниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ образуСтся ΠΎΡ‚ названия ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΅ΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ приставки Β«Π°Ρ€ΠΊ-Β» (ΠΎΡ‚ Π»Π°Ρ‚.Β arcΒ β€” Π΄ΡƒΠ³Π°). Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ гСомСтричСски Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности (ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΡΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ эту Π΄ΡƒΠ³Ρƒ), ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ. Π˜Π·Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠ° Π² иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ обозначСниями Ρ‚ΠΈΠΏΠ° sinβˆ’1 для арксинуса ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ.; это считаСтся Π½Π΅ совсСм ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Π° с Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ βˆ’1.

ОсновноС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Ѐункция arcsin

\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2} Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

Арксинусом числа m называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° x, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ

Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π° всСй своСй числовой прямой. Ѐункция являСтся строго Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arcsin

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arcsin

Π”Π°Π½Π° функция На всСй своСй области опрСдСлСния ΠΎΠ½Π° являСтся кусочно-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ являСтся. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° строго возрастаСт ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС значСния области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉΒ β€” . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт СдинствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ сущСствуСт обратная функция Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ симмСтричСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой

Ѐункция arccos

y=x. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

Арккосинусом числа m называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° x, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ

Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π° всСй своСй числовой прямой. Ѐункция являСтся строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arccos

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arccos

Π”Π°Π½Π° функция На всСй своСй области опрСдСлСния ΠΎΠ½Π° являСтся кусочно-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ являСтся. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния — На этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ строго ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ сущСствуСт обратная функция Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ симмСтричСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой

Ѐункция arctg

y=x. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

АрктангСнсом числа m называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ

Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π° всСй своСй числовой прямой. Ѐункция являСтся строго Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arctg

  • , ΠΏΡ€ΠΈ x > 0.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arctg

Π”Π°Π½Π° функция На всСй своСй области опрСдСлСния ΠΎΠ½Π° являСтся кусочно-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ являСтся. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ рассмотрим ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° строго возрастаСт ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·Β β€” На этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ строго ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ сущСствуСт обратная , Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ симмСтричСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой

Ѐункция arcctg

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=arcctg x

АрккотангСнсом числа m называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° x, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ

Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π° всСй своСй числовой прямой. Ѐункция являСтся строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arcctg

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arcctg

Π”Π°Π½Π° функция . На всСй своСй области опрСдСлСния ΠΎΠ½Π° являСтся кусочно-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ являСтся. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ рассмотрим ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·Β β€” . На этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всС свои значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ сущСствуСт обратная функция , Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ симмСтричСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΊ арктангСнсу

Ѐункция arcsec

Ѐункция arccosec

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ





Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

НСопрСдСлённыС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ комплСксных x:

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… x β‰₯ 1:

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Бписок ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

НСопрСдСлённыС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ комплСксных x:

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… x β‰₯ 1:

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Бписок ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ИспользованиС Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для вычислСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли извСстны Π΅Π³ΠΎ стороны, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов.


Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ сторон сразу Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ»:

Ξ± = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Бвязь с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ

Для вычислСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ комплСксного Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ:

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Бсылки

АрктангСнс ℹ️ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, свойства ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ расчСта ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Π§Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ возрастаниС

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арктангСнса, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ кривая тангСнса ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСстами осСй ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ абсцисс. Для устранСния многозначности ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π», Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ считаСтся основным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ арктангСнса. Если ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ функция нСчётная.

Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ свойство arctg β€” Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ области опрСдСлСния (для числа Ρ…). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ y = arctg x, Π³Π΄Π΅ y Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x = 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ arctg 0. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ расчётов ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° арктангСнсов.

Π’ Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ значСния Π² градусах ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Если вычислСния Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° матСматичСском Π²Π΅Π±-рСсурсС, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ прСдоставляСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ бСсплатно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Брадиса. МоТно Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ синус, косинус, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ арктангСнса Π² эксСлС Π»ΠΈΠ±ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ языка программирования Паскаль.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ опрСдСлСния арксинуса выполняСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin (arcsin a)=a. Бвойства Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

  • косинус: cos (arccos a)=a;
  • тангСнс: tg (arctg a)=a;
  • катангСнс: ctg (arcctg a)=a.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… свойствах ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ условиС βˆ’1≀a≀1. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ смысла ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ. Учитывая свойства синуса арксинуса, нСльзя Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ sin (arcsin8)=8, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (arcsin8) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла. Аналогичный ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ получаСтся, Ссли Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ арккосинуса sqrt (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ) ΠΈΠ· пяти.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ числа

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производится расчёт связи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ: arcsin (-a)=-arcsina, arccos (-a)=ΠΏΠΈ-arccosa, arctg (-a)=-arctga, arcctg (-a)=ΠΏΠΈ-arcctga. Π”ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ условиС βˆ’1≀a≀1. Если Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ βˆ’βˆž Π΄ΠΎ +∞, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° arctg (βˆ’a), ΠΈ arcctg (βˆ’a).

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, рассматриваСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (βˆ’a). Число Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» находится Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… βˆ’Ο€/2-Ο€/2 ΠΈ синус, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ βˆ’a. Учитывая ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арксинуса, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство: βˆ’Ο€/2≀arcsin a≀π/2.

На основС свойств нСравСнств, выполняСтся ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ составных частСй Π½Π° -Π°. Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΠΊΠΈ нСравСнств Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произвСсти ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -1: βˆ’Ο€/2β‰€βˆ’arcsin a≀π/2.

НСобходимо Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin (βˆ’arcsin a)=βˆ’a. Для этого рСкомСндуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свойств ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Из рассмотрСнных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: sin (βˆ’arcsin a)=βˆ’sin (arcsin a)=βˆ’a.

Аналогичным способом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ arccos (βˆ’a)=Ο€βˆ’arccos a. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, подтвСрТдаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ο€βˆ’arccos a β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π»ΠΈΠ±ΠΎ число, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ колСблСтся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… 0-Ο€, Π° cos (Ο€βˆ’arccos a)=βˆ’a. ΠŸΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡŒ опрСдСлСния арккосинуса числа, выполняСтся нСравСнство 0≀arccos a≀π.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства нСравСнств, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Ρ‘Π΄Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ части Π½Π° -1, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. Π Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ нСравСнство ΠΈΠ· сумм частСй ΠΈ числа ΠΏΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ: βˆ’Ο€+Ο€β‰€βˆ’arccosa+π≀0+Ο€. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° 0β‰€Ο€βˆ’arccos a≀π.

Если срСдняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния равняСтся βˆ’a, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния, записываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство cos (Ο€βˆ’arccos a)=βˆ’cos (arcos a). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ свойства ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ косинуса Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ cos (Ο€βˆ’arccos a)=βˆ’cos (arcos a)=βˆ’a. Аналогичной схСмы рСкомСндуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии свойств арккотангСнсов ΠΈ арктангСнсов ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². Плюс утвСрТдСния β€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½

Бвойство, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ устанавливаСтся связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ arccos arcsin числа Π°, ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ arctg ΠΈ arcctg ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, записываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: arcsina+arccosa=ΠΏΠΈ/2, arctga+arcctga=ΠΏΠΈ/2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства, Π³Π΄Π΅ расписана сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… синуса ΠΈ косинуса числа Π°, дСлённая Π½Π° Π΄Π²Π°, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ запись: arcsin a=Ο€/2βˆ’arccos a.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арксинуса, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ο€/2βˆ’arccos a β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» (Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅), Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ βˆ’Ο€/2 Π΄ΠΎ Ο€/2, Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арккосинуса ΠΈ равСнство 0≀arccos a≀π. ПослСднСС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ считаСтся справСдливым.

Π‘ ΡƒΡ‡Ρ‘Ρ‚ΠΎΠΌ свойств нСравСнств, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ части Π½Π° минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ с числом Ο€/2. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² пСрСчислСнныС дСйствия, получаСтся нСравСнство βˆ’Ο€/2≀π/2βˆ’arccosa≀π/2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin (Ο€/2βˆ’arccos a)=a, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° привСдСния, свойство ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинус.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма arccos ΠΈ arccos a Ρ€Π°Π²Π½Π° Ο€/2. Аналогично понадобится Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма арккотангСнса числа a ΠΈ арктангСнса равняСтся Ο€/2. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… свойств Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ арксинус Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· акрккосинус ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ арккотангСнс Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арктангСнс ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

Задания Π½Π° свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ числа Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ: excel, pascal. ДСйствия Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ условий Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. РСшСниС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° основныС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ равСнства. Бвойствам ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ выраТСния:

  • arcsin (sinx)=x;
  • arccos (cosx)=x;
  • arctg (tgx)=x;
  • arcctg (ctgx)=x.

РавСнства ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… условий ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ числа. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ утвСрТдСния, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: arcsin (sin Ξ±)=Ξ±, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ βˆ’Ο€/2≀α≀π/2. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ свойства. Если ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ sin Ξ±=Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ находится Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’1, 1], Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° получится Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (sin Ξ±)=Ξ±, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ arcsin a=Ξ±. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ ΠΈΠ· условий Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ’Ο€/2≀α≀π/2. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ sin Ξ±.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ arcsin a=Ξ±, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эквивалСнтно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: arcsin (sin Ξ±)=Ξ± ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ’Ο€/2≀α≀π/2. Π Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ свойства, связанныС с синусом ΠΈ косинусом, тангСнсом ΠΈ котангСнсом, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Π°rcsin sin (-15)= -15 Π³Ρ€Π°Π΄., arccos (cos (2Ο€/3))=2Ο€/3, arctg (tg (0,2))=0,2. НуТно ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (sin Ξ±) справСдливо Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ βˆ’Ο€/2≀α≀π/2. Но равСнство arcsin (sin Ξ±)=Ξ± ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ соблюдСнии этого условия. НСльзя ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ arcsin (sin (7Ο€/4))=7Ο€/4, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 7Ο€/4 Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ (βˆ’Ο€/2-Ο€/2).

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ arccos (cos Ξ±) правдивая, Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0≀α≀π. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arccos (cos Ξ±)=Ξ± считаСтся справСдливым Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ условии. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ arccos (cos (βˆ’3Ο€))=βˆ’3Ο€ Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ βˆ’3Ο€ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ. Π‘Ρ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ утвСрТдСния Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ для arcctg (ctg Ξ±), arctg (tg Ξ±).

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ, тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ равСнства ΠΈ уравнСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… отобраТаСтся связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ arcsin, arcctg, arctg ΠΈ arccos. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, рСкомСндуСтся Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ равСнства (arcsin 0=0, arccos 1=0, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ» arccos (-1)=180 градусов). Они описаны Π² ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² глобальной сСти Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.


ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, свойства

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

АрккотангСнс (arcctg ΠΈΠ»ΠΈ arccot) – это обратная тригономСтричСская функция.

АрккотангСнс x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ функция, обратная ΠΊ котангСнсу x.

Если котангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ρƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ… (ctg yΒ =Β x), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ арккотангСнс x равняСтся y:

arcctg x = ctg-1Β xΒ =Β y

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ctg-1x ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ котангСнс, Π° Π½Π΅ котангСнс Π² стСпСни -1.

НапримСр:

arctg 1 = ctg-1 1 = 45Β° = Ο€/4Β Ρ€Π°Π΄

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арккотангСнса

Ѐункция арккотангСнса ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arcctg (x). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ (0 < y < Ο€, β€“βˆž < x < +∞):

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арккотангСнса

Бвойства арккотангСнса

НиТС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ прСдставлСны основныС свойства арккотангСнса с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° арккотангСнсов

x (Β°)x (Ρ€Π°Π΄) arcctg x
180Β° Ο€ -∞
150Β° 5Ο€/6 -√3
135Β° 3Ο€/4 -1
120Β° 2Ο€/3 -1/√3
90 Ο€/2 0
60 Ο€/3 1/√3
45 Ο€/4 1
30 Ο€/6 √3
0 0 ∞

microexcel.ru

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, свойства

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Арксинус (arcsin) – это обратная тригономСтричСская функция.

Арксинус x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ функция, обратная ΠΊ синусу x, ΠΏΡ€ΠΈ -1≀x≀1.

Если синус ΡƒΠ³Π»Π° Ρƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ… (sin yΒ =Β x), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ арксинус x равняСтся y:

arcsin x = sin-1Β xΒ =Β y

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: sin-1x ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ синус, Π° Π½Π΅ синус Π² стСпСни -1.

НапримСр:

arcsin 1 = sin-1 1 = 90Β° (Ο€/2 Ρ€Π°Π΄)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арксинуса

Ѐункция арксинуса ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arcsin (x). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ (-1≀x≀1, -Ο€/2≀y≀π/2):

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арксинуса

Бвойства арксинуса

НиТС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ прСдставлСны основныС свойства арксинуса с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° арксинусов

xarcsin x (Ρ€Π°Π΄)arcsin x (Β°)
-1 -Ο€/2 -90Β°
-√3/2 -Ο€/3 -60Β°
-√2/2 -Ο€/4 -45Β°
-1/2 -Ο€/6 -30Β°
0 0 0Β°
1/2 Ο€/6 30Β°
√2/2 Ο€/4 45Β°
√3/2 Ο€/3 60Β°
1 Ο€/2 90Β°

microexcel.ru

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ арктангСнс?

Β 

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ: 12.07.2016 18:52 Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»: АвСту

ВригономСтрия – Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ с грСчСского Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ – Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β». Она Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ понятия ΠΊΠ°ΠΊ арксинус, арккосинус, арктангСнс, арккотангСнс. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ связно со ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ, астрономиСй ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ школС знакомство с тригономСтричСскими функциями происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π² Ρ€ΡƒΠΊΠΈ транспортир. ПозднСС Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ арктангСнса, арксинуса ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

БущСствуСт нСсколько областСй примСнСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π―Ρ€ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ слуТит ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ триангуляции Π² астрономии, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ расстояниС Π΄ΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄ Π² КосмосС. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΈ Π² Π³Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», свойств, особСнностСй тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» АлгСбры ΠΈ Π² спутниковой, морской, Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² акустикС, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π² элСктроникС, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй, сСйсмологии, ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, экономикС, ΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ… ΠΈ сфСрах ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.

Как опрСдСляСтся арктангСнс?

АрктангСнс Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ – это обратная тригономСтричСская функция ΠΊ tg (тангСнсу), Π΅Π³ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π°Ρ€ΠΊΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ опрСдСлСния ΠΎΡ‚ — ∞ +∞. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ arctg x. Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ мСтодичСской Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… стран ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: arctang x.
Из особСнностСй этой ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ. Ѐункция y=arctg x ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° всСй протяТСнности своСй числовой прямой.
Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ происхоТдСния названия ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свою ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ. Оно ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ приставки Β«Π°Ρ€ΠΊΒ», которая происходит ΠΎΡ‚ латинского слова arcus ΠΈ пСрСводится ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΡƒΠ³Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ связано с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ приставки Β«arcΒ» Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ привнСс австрийский ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ ΠšΡ€Π°Π» Π¨Π΅Ρ€Ρ„Π΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΆΠΈΠ» Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ этой приставки Β«arcΒ» ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ функциям ΠΌΠΈΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ обязан Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΡƒ (ΠΎΠ½ ΠΆΠΈΠ» Π²ΠΎ Π€Ρ€Π°Π½Ρ†ΠΈΠΈ Π² это ΠΆΠ΅ врСмя, Π–ΠΎΠ·Π΅Ρ„ Π›ΡƒΠΈ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстСн извСстСн, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ XVIII Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€).

ПозднСС Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ английскиС матСматичСскиС ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ использовали Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ обозначСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: tg-1, 1/tg. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ обозначСния ΠΊΠ°ΠΊ tg-1 Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… изданиях. Π‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны это ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Π° с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Π° с Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ арктангСнса Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π’ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ школьного курса понятиС арктангСнса Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:
АрктангСнсом числа m принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° x с градусной ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, тангСнс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ m Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ -Ο€/2 Π΄ΠΎ Ο€/2. Говоря матСматичСским языком, это Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:
arctg m=x, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, tg x =m. ΠŸΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x большС -Ο€/2 , Π½ΠΎ мСньшС Ο€/2, (числовоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: -Ο€/2Ο€/2).
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arctg выводят ΠΈΠ· графичСского отобраТСния прямой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс. Для этого всСго лишь ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ мСстами ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ось абсцисс. Для устранСния многозначности Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: минус Ο€/2 Ο€/2. На этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ arctg.

Π’ΠΎ всСх матСматичСских справочниках ΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… школьного курса Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΠΈ котангСнса, ΠΈΡ… графичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, свойства, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π°ΠΌ понадобятся Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ котангСнсов, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ разлоТСния Π² ряды, Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ связи с гипСрболичСскими функциями ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· комплСксныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы?

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° свои вопросы Π² области ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… особСнности ΠΈ свойства, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ арктангСнса ΠΈ Π³Ρ€Π°ΠΌΠΎΡ‚Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π•Π“Π­ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° сайтС http://interneturok.ru/На этом ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π»Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.

ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ!



Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ мноТСства ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ — ΠΊΠ°Π·ΠΈΠ½ΠΎ… PM casino – это ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½… ГладиаторскиС Π±ΠΎΠΈ, спортивныС состязания, ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹… Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΎΠ² Π­Π»ΡŒΠ΄ΠΎΡ€Π°Π΄ΠΎ… РаньшС Π½Π°Π·Π΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Π·ΠΈΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²… БСгодня большоС число людСй ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚… ВсСмирная ΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π° достигла самых… Π’ Π­Π»ΡŒΠ΄ΠΎΡ€Π°Π΄ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ страну-ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Ρƒ,… Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ число людСй сСгодня ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚… ВСннис β€” это самый популярный…

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΎΠ± Arctg ΠΎΡ‚ Free Dictionary

функция, которая являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ нахоТдСния Π΄ΡƒΠ³ΠΈ (числа) ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΅ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π¨Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ тригономСтричСским функциям: (1) Arc sin x , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ синус x ; (2) Arc cos x , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косинус x ; (3) Arc tan x , арктангСнс x ; (4) Π°Ρ€ΠΊΠ° x , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ котангСнс x ; (5) Arc sec x , обратная сСкущая x ; ΠΈ (6) Arc csc x , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косСканс x .

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, согласно этим опрСдСлСниям, x = Arc sin a — любоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния sin x = a ; Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ sin Arc sin a = a . Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Arc sin x ΠΈ Arc cos x ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ области для Η€ x Η€ ≀ 1, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Arc tan x ΠΈ Arc cot x ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для всСх Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… x , Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Arc sec x ΠΈ Arc csc x ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для Η€ x Η€ β‰₯ 1.Π”Π²Π΅ послСдниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹. НСкоторыС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ (Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ) этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ arc sin x , arc cos x ,…, arc csc x . Π’ частности, arc sin x : Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Arc sin x , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ –π / 2 ≀ arc sin x ≀ Ο€ / 2. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arc cos x , arc tan x ΠΈ arc cot x ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно ΠΈΠ· условий 0 x ≀ Ο€, –π / 2 x <Ο€ / 2, ΠΈ 0 x <Ο€.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Arc sin x ,… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· arc sin x ,…; Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

Arc sin x = (-1) n arc sin x + Ο€ n

Arc cos x = Β± arc cos x + 2Ο€ n

Π—Π°Π³Π°Ρ€ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ x = Π·Π°Π³Π°Ρ€ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ x + Ο€ n

Π—Π°Π³Π°Ρ€ x = Π·Π°Π³Π°Ρ€ x + Ο€ n

, Π³Π΄Π΅ n = 0, Β± 1, Β± 2, ….

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстныС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнного ряда, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

Π­Ρ‚ΠΈ ряды сходятся для — 1 ≀ x ≀ 1.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… комплСксных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ значСния этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

Π‘ΠŸΠ ΠΠ’ΠžΠ§ΠΠ˜Πš

НовосСлов Π‘.И. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , 3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.Москва, 1950.

.

ВригономСтричСская функция arctan () — арктангСнс — матСматичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ слова

Ѐункция Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ arctan () — арктангСнс — ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ слова Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ — справочник ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Ѐункция arctan являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.
Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», тангСнс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ это ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅ любой Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ посмотритС, ΠΊΠ°ΠΊ вычисляСтся ΡƒΠ³ΠΎΠ» C с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ arctan ().

Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сущСствуСт обратная функция, которая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.Π­Ρ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ имя, Π½ΠΎ с Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ. (На Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠ° arctan ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ‚Π°Π½, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π³Π°Ρ€ -1 .) Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, тангСнс, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ tan, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ arctan ΠΈ Ρ‚. Π”. Когда ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ «arctan x», ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ «ΡƒΠ³ΠΎΠ», тангСнс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x».

Π·Π°Π³Π°Ρ€ 30 = 0,577 ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚: тангСнс 30 градусов Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0,577
Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½ 0,577 = 30 ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚: ΡƒΠ³ΠΎΠ», тангСнс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0,577, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30 градусам.
Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ arctan, Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ фактичСский ΡƒΠ³ΠΎΠ».
Π‘ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — тригономСтрия

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ — использованиС arctan для нахоТдСния ΡƒΠ³Π»Π°

На рисункС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΡΠ±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒΒ». Нам извСстны Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π° C.
ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ поэтому Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», тангСнс ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0,577, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ: Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ arctan 0,577 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 30 Β°.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° любой ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ большиС ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.Но ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Рассмотрим ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΈ ΠΌΡ‹ столкнСмся с ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт бСсконСчноС количСство ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ. НапримСр, 45 Β° ΠΈ 360 + 45 Β° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ± этом см. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, ассортимСнт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π±Ρ‹Π» Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ дСйствия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ допустимых Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… для Π½Π΅Π΅.Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ².

Для y = arctan x:

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½
Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ ВсС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа

Условно Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ arctan ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ -90 Β° Π΄ΠΎ + 90 Β° * .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для вычислСния, скаТСм, arctan 0,55, ΠΈΠ· бСсконСчного числа возмоТностСй ΠΎΠ½ Π²Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ 28,81 Β°, Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

* На самом Π΄Π΅Π»Π΅, -90 Β° ΠΈ + 90 Β° сами ΠΏΠΎ сСбС Π½Π΅ входят Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция tan ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ этих значСниях. Но значСния Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π½ΠΈΡ… находятся Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ +89.9999999. Но для простоты объяснСния ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ составляСт Β± 90 Β°.

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ

  1. На рисункС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΡΠ±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒΒ» ΠΈ Β«ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈΒ».
  2. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°
  3. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ arctan, вычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° C ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½ сторон
  4. НаТмитС Β«ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ подробности», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π£Π³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅

(C) ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ справочник ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, 2011 Π³.
ВсС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‰Π΅Π½Ρ‹.

.

Arcotangente arctan (x)

L ‘ arcotangente Γ¨ una funzione goniometrica inversa, indicata con arctan (x), con arctg (x) o talvolta con atan (x), che viene Definita come inversa della chengzione tangente e come valori gli angoli tra -∏ / 2 e + ∏ / 2 espressi in radianti.

Cerchi un rapido formulario in cui leggere le proprietΓ  della funzione arcotangente y = arctan (x) e vederne il grafico? Sei finito nel posto giusto! Qui trovi tutto quello che serve sapere sull’arcotangente, ma andiamo conordine…

Definizione di arcotangente : fissato, si Definisce l’angolo in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) la cui tangente Γ¨.

\alpha=\arctan(x)\iff x=\tan(\alpha)\mbox{ con }\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Da qui si capiscemediate che l’arcotangente Γ¨ la funzione inversa della funzione tangente sull’intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

Per calcolare l’arcotangente di un valore dobbiamo needariamente appellarci alla Definizione. Nello specifico, si deve individualuare l’angolo \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right) la cui tangente vale.

A titolo di esempio

\arctan(1)=?\ \to\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

e di consguenza

\arctan(1)=\frac{\pi}{4}

Eventualmente potete aiutarheori con la tabllei de la valzΓ©e

Grafico della funzione arcotangente

Grafico arcotangente

IdentitΓ  dell’arcotangente

Prima di cominciare, vale la pena di segnazione arcotangente degli esercizi.Ad ogni modo non preoccupatevi, non vanno ricordate a memoria. πŸ˜‰

\arctan(\tan(x))=x\ \ \ \mbox{per }-\frac{\pi}{2}< x< \frac{\pi}{2}

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x (Dimostrazione sin (arctan (x)))

\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

\arctan(x)+\mbox{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \forall x

\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x<0\\ +\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x>0\end{cases}

Per approfondire potete consultare la lezione con всСх основных тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ….

Π‘ΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€ΠΊΠΎΡ‚Π°Π½Π³ΠΈ x

1) Dominio:.

2) È una funzione dispari.

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.

5) Concava sull’intervallo, convssa sul.

6) НСпрСрывно Π½Π° всСх, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° всСх.

7) Limiti agli estremi del dominio:

\\ \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=+\frac{\pi}{2}

8) Limite notevole associato:

\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=1

ata

)

)

\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}

10) Integrale dell’arcotangente:

\int\arctan(x)dx=x\arctan(x)-\frac{1}{2}\log(x^2+1)+c

11) Per studenti Universitari:

000

000

000


Se siete in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitate e usate la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi.;)

Lezione precedente ….. Lezione successiva


Π’Π΅Π³ΠΈ: lezione di riepilogo con la Definizione, il grafico e all le proprietΓ  della funzione arcotangente di x arctan (x) dominio, tracui: il , la monotonia, la conssitΓ , i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ l’integrale dell’arcotangente.

.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ arctan (x)?

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Наука
  • Анатомия ΠΈ физиология
  • Астрономия
  • Астрофизика
  • Биология
  • Π₯имия
  • Π½Π°ΡƒΠΊΠ° ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅ ЗСмля
  • Наука ΠΎΠ± ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСдС
  • ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ химия
  • Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
  • АлгСбра
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • ГСомСтрия
  • ΠŸΡ€Π΅Π΄Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
  • Precalculus
  • Бтатистика
  • Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎ
.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *