ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ (arctg ΠΈΠ»ΠΈ arctan)Β β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ x, Π³Π΄Π΅ x β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (xββ).
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ (tg yΒ =Β x), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ y:
arctg x = tg-1Β xΒ =Β y, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ -Ο/2<y<Ο/2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: tg-1x ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, Π° Π½Π΅ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ -1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
arctg 1 = tg-1 1 = 45Β° = Ο/4Β ΡΠ°Π΄
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arctg (x). ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°
ΠΠΈΠΆΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ²
x (Β°) | x (ΡΠ°Π΄) | arctg x |
-Ο/2 | -β | |
-71.565Β° | -1.2490 | -3 |
-63.435Β° | -1.1071 | -2 |
-60Β° | -Ο/3 | -β3 |
-Ο/4 | -1 | |
-30Β° | -Ο/6 | -1/β3 |
-26.565Β° | -0.4636 | -0.5 |
0Β° | 0 | 0 |
0.4636 | 0.5 | |
30Β° | Ο/6 | 1/β3 |
45Β° | Ο/4 | 1 |
60Β° | Ο/3 | |
63.435Β° | 1.1071 | 2 |
71.565Β° | 1.2490 | 3 |
90Β° | Ο/2 | β |
microexcel.ru
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ — ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, arctg
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ( y = arctg x )
- Β β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ( x = tg y ). ΠΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Β Β ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Β .
tg(arctg x) = x Β Β ;
arctg(tg x) = x Β Β .
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ

ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β y = arctg x
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠΌ Β , Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°.
ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, arcctg
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ( y = arcctg x )
- Β β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ( x = ctg y ). ΠΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Β Β ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Β .
ctg(arcctg x) = x Β Β ;
arcctg(ctg x) = x Β Β .
ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ

ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β y = arcctg x
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠΌ Β , Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°.
Π§Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ:
arctg(βx) = arctg(βtg arctg x) = arctg(tg(βarctg x)) = β arctg x
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ:
arcctg(βx) = arcctg(βctg arcctg x) = arcctg(ctg(Οβarcctg x)) = Ο β arcctg x β Β± arcctg x.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° β ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ, Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ x. (ΡΠΌ. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ). ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
Β | y = arctg x | y = arcctg x |
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ | β β < x < + β | β β < x < + β |
ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ | ||
ΠΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ | ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ | ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ |
ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ | Π½Π΅Ρ | Π½Π΅Ρ |
ΠΡΠ»ΠΈ, y = 0 | x = 0 | Π½Π΅Ρ |
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, x = 0 | y = 0 | y = Ο/2 |
β | Ο | |
0 |
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ²
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ², Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ°Ρ
ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ
, ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°.
Β x | arctg x | arcctg x | ||
Π³ΡΠ°Π΄. | ΡΠ°Π΄. | Π³ΡΠ°Π΄. | ΡΠ°Π΄. | |
β β | β 90Β° | β | 180Β° | Ο |
β | β 60Β° | β | 150Β° | |
β 1 | β 45Β° | β | 135Β° | |
β | β 30Β° | β | 120Β° | |
0 | 0Β° | 0 | 90Β° | |
30Β° | 60Β° | |||
1 | 45Β° | 45Β° | ||
60Β° | 30Β° | |||
+ β | 90Β° | 0Β° | 0 |
β 0,5773502691896258
β 1,7320508075688772
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅:Β ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉΠ€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
Β Β Β Β Β ΠΏΡΠΈ
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅:Β ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ,
.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅
Π‘ΠΌ. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° > > >
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²:
ΠΡΡΡΡ Β . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ²:
;
.
Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΠΌ. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° > > >
Π’Π°ΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
ΠΏΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°. ΠΡΡΡΡ Β . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
;
.
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ Β x = tg t Β ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΌ:
;
;
;
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ:
.
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄
ΠΡΠΈ Β |x| β€ 1 Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
;
.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ:
tg(arctg x) = x Β Β
ctg(arcctg x) = x Β Β .
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°:
arctg(tg x) = x Β Β ΠΏΡΠΈ
arcctg(ctg x) = x Β Β ΠΏΡΠΈ .
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°:
Π.Π. ΠΡΠΎΠ½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½, Π.Π. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅Π², Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ Π²ΡΡΠ·ΠΎΠ², Β«ΠΠ°Π½ΡΒ», 2009.
ΠΠ²ΡΠΎΡ: ΠΠ»Π΅Π³ ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΠΎΠ². Β Β ΠΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ: Β ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ:
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΡΠΎ… Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ?
ΠΠ±ΡΠ°ΜΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΜΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΜΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π°ΡΠΊΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ)Β β ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ. Π ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
- Π°ΡΠΊΡΠΈΜΠ½ΡΡ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arcsin)
- Π°ΡΠΊΠΊΠΎΜΡΠΈΠ½ΡΡ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arccos)
- Π°ΡΠΊΡΠ°ΜΠ½Π³Π΅Π½Ρ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arctg; Π² ΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ arctan)
- Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°ΜΠ½Π³Π΅Π½Ρ
- Π°ΡΠΊΡΠ΅ΜΠΊΠ°Π½Ρ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arcsec)
- Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ΅ΜΠΊΠ°Π½Ρ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arccosec; Π² ΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ arccsc)
ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π΅ΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ Β«Π°ΡΠΊ-Β» (ΠΎΡ Π»Π°Ρ.Β arcΒ β Π΄ΡΠ³Π°). ΠΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°ΡΡ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡ Π΄ΡΠ³Ρ), ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ. ΠΠ·ΡΠ΅Π΄ΠΊΠ° Π² ΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° sinβ1 Π΄Π»Ρ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈΒ Ρ.Β ΠΏ.; ΡΡΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ β1.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arcsin

ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° m Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° x, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arcsin
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arcsin
ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ β . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arccos

ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° m Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° x, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arccos
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arccos
ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΒ β ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π·, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arctg

ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° m Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arctg
- , ΠΏΡΠΈ x > 0.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arctg
ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π·Β β ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π·, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ , Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arcctg
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=arcctg xΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° m Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° x, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arcctg
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arcctg
ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ . ΠΠ° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π·Β β . ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π·, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ , Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ ΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arcsec
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arccosec
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ x:
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ x β₯ 1:
- Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ x:
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ x β₯ 1:
- Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ².
Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅, ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΡΠ°Π·Ρ Π΄Π°ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ»:
- Ξ± = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)
Π‘Π²ΡΠ·Ρ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ
ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ:
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ
ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ βΉοΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ
Π§ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΡΡΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠ»Ρ ΡΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π», Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½Π°. ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ½Π°Ρ.
ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ arctg β Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ ). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ y = arctg x, Π³Π΄Π΅ y ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° x = 0, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΈ arctg 0. ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ².
Π Π½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ , ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π²Π΅Π±-ΡΠ΅ΡΡΡΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΡΠ°Π΄ΠΈΡΠ°. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Π² ΡΠΊΡΠ΅Π»Π΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ·ΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin (arcsin a)=a. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½:
- ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ: cos (arccos a)=a;
- ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ: tg (arctg a)=a;
- ΠΊΠ°ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ: ctg (arcctg a)=a.
Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ β1β€aβ€1. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π° Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π·Π° ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ sin (arcsin8)=8, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (arcsin8) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° sqrt (ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ) ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΈ.
ΠΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ: arcsin (-a)=-arcsina, arccos (-a)=ΠΏΠΈ-arccosa, arctg (-a)=-arctga, arcctg (-a)=ΠΏΠΈ-arcctga. ΠΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ β1β€aβ€1. ΠΡΠ»ΠΈ Π° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΡ ββ Π΄ΠΎ +β, ΡΠΎΠ³Π΄Π° arctg (βa), ΠΈ arcctg (βa).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (βa). Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ βΟ/2-Ο/2 ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ βa. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: βΟ/2β€arcsin aβ€Ο/2.
ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° -Π°. ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -1: βΟ/2β€βarcsin aβ€Ο/2.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ sin (βarcsin a)=βa. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ². ΠΠ· ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄: sin (βarcsin a)=βsin (arcsin a)=βa.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ arccos (βa)=Οβarccos a. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Οβarccos a β ΡΠ³ΠΎΠ» Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ 0-Ο, Π° cos (Οβarccos a)=βa. ΠΡΠΈΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π°, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 0β€arccos aβ€Ο.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π° -1, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. Π Π΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΌΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ: βΟ+Οβ€βarccosa+Οβ€0+Ο. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° 0β€Οβarccos aβ€Ο.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ βa, ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ cos (Οβarccos a)=βcos (arcos a). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ cos (Οβarccos a)=βcos (arcos a)=βa. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². ΠΠ»ΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ β Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ arccos arcsin ΡΠΈΡΠ»Π° Π°, ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ arctg ΠΈ arcctg ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: arcsina+arccosa=ΠΏΠΈ/2, arctga+arcctga=ΠΏΠΈ/2. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, Π³Π΄Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° Π°, Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½Π°Ρ Π½Π° Π΄Π²Π°, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ: arcsin a=Ο/2βarccos a.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ο/2βarccos a β ΡΠ³ΠΎΠ» (ΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ βΟ/2 Π΄ΠΎ Ο/2, Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 0β€arccos aβ€Ο. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΡΠΌ.
Π‘ ΡΡΡΡΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΡΡΡΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Ο/2. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ βΟ/2β€Ο/2βarccosaβ€Ο/2. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ sin (Ο/2βarccos a)=a, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° arccos ΠΈ arccos a ΡΠ°Π²Π½Π° Ο/2. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΈ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ο/2. ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°ΠΊΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ: excel, pascal. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
- arcsin (sinx)=x;
- arccos (cosx)=x;
- arctg (tgx)=x;
- arcctg (ctgx)=x.
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ: arcsin (sin Ξ±)=Ξ±, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ βΟ/2β€Ξ±β€Ο/2. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ sin Ξ±=Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1, 1], ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (sin Ξ±)=Ξ±, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ arcsin a=Ξ±. ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΡΠΎ βΟ/2β€Ξ±β€Ο/2. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ»ΠΈ sin Ξ±.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ arcsin a=Ξ±, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄: arcsin (sin Ξ±)=Ξ± ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ βΟ/2β€Ξ±β€Ο/2. Π Π°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ, ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, Π°rcsin sin (-15)= -15 Π³ΡΠ°Π΄., arccos (cos (2Ο/3))=2Ο/3, arctg (tg (0,2))=0,2. ΠΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin (sin Ξ±) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ βΟ/2β€Ξ±β€Ο/2. ΠΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ arcsin (sin Ξ±)=Ξ± ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ. ΠΠ΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ arcsin (sin (7Ο/4))=7Ο/4, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 7Ο/4 Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ (βΟ/2-Ο/2).
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ arccos (cos Ξ±) ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΈΠ²Π°Ρ, Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ 0β€Ξ±β€Ο. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ arccos (cos Ξ±)=Ξ± ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΡΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ arccos (cos (β3Ο))=β3Ο Π½Π΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ β3Ο Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ. Π‘Ρ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ arcctg (ctg Ξ±), arctg (tg Ξ±).
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ arcsin, arcctg, arctg ΠΈ arccos. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ, ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (arcsin 0=0, arccos 1=0, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ» arccos (-1)=180 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ²). ΠΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ Π² ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°Ρ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π² Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ (arcctg ΠΈΠ»ΠΈ arccot)Β β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ x.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ³Π»Π° Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ (ctg yΒ =Β x), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ y:
arcctg x = ctg-1Β xΒ =Β y
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ctg-1x ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ -1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
arctg 1 = ctg-1 1 = 45Β° = Ο/4Β ΡΠ°Π΄
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arcctg (x). ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ (0 < y < Ο, ββ < x < +β):
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°
ΠΠΈΠΆΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ²
x (Β°) | x (ΡΠ°Π΄) | arcctg x |
180Β° | Ο | -β |
150Β° | 5Ο/6 | -β3 |
135Β° | 3Ο/4 | -1 |
120Β° | 2Ο/3 | -1/β3 |
90 | Ο/2 | 0 |
60 | Ο/3 | 1/β3 |
45 | Ο/4 | 1 |
30 | Ο/6 | β3 |
0 | 0 | β |
microexcel.ru
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ (arcsin)Β β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΡ x, ΠΏΡΠΈ -1β€xβ€1.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ (sin yΒ =Β x), Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ x ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ y:
arcsin x = sin-1Β xΒ =Β y
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: sin-1x ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ, Π° Π½Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ -1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
arcsin 1 = sin-1 1 = 90Β° (Ο/2 ΡΠ°Π΄)
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y = arcsin (x). ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ (-1β€xβ€1, -Ο/2β€yβ€Ο/2):
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠΈΠΆΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²
x | arcsin x (ΡΠ°Π΄) | arcsin x (Β°) |
-1 | -Ο/2 | -90Β° |
-β3/2 | -Ο/3 | -60Β° |
-β2/2 | -Ο/4 | -45Β° |
-1/2 | -Ο/6 | -30Β° |
0 | 0 | 0Β° |
1/2 | Ο/6 | 30Β° |
β2/2 | Ο/4 | 45Β° |
β3/2 | Ο/3 | 60Β° |
1 | Ο/2 | 90Β° |
microexcel.ru
Β ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ |
ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ: 12.07.2016 18:52
ΠΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»: ΠΠ²Π΅ΡΡ
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ β Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ Ρ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ β Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β». ΠΠ½Π° Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ, Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ. ΠΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π½ΠΎ ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ, Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ΅ΠΌ. Π ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΡΠΊΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΡΡΠΈΡ. ΠΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅. Π―ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠΈΠ°Π½Π³ΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ Π² Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄ Π² ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΠ΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ Π² Π³Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ», ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ², ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π² ΡΠΏΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΡΡΠΊΠΎΠΉ, Π²ΠΎΠ·Π΄ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π°ΠΊΡΡΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠ΅, Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ΅ΠΉΡΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΠ΅ΡΠ΅ΠΎΡΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ?ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊ tg (ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ), Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π°ΡΠΊΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ — β +β. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ arctg x. ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ
ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ Π·Π°ΡΡΠ±Π΅ΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΡΠ°Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: arctang x. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠΈΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ Β«arcΒ» Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π½Π΅Ρ Π°Π²ΡΡΡΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π½ΡΠΉ ΠΡΠ°Π» Π¨Π΅ΡΡΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΆΠΈΠ» Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ Β«arcΒ» ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Π½ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΡ (ΠΎΠ½ ΠΆΠΈΠ» Π²ΠΎ Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΠΎΠ·Π΅Ρ ΠΡΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΡΡΠΏΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ XVIII ΠΠΉΠ»Π΅Ρ). ΠΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: tg-1, 1/tg. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ tg-1 Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ . Π‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π±ΡΡΡ, Π° Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈΠ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Π·Π²ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: ΠΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° Π²Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΄Ρ, Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅. ΠΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ?ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π³ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΠΠΠ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π° ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ http://interneturok.ru/ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π»Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ. ΠΠΎΠ½ΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ? ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ΡΡ Ρ Π΄ΡΡΠ·ΡΡΠΌΠΈ! Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ — ΠΊΠ°Π·ΠΈΠ½ΠΎ… PM casino β ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½… ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠ°ΡΠΎΡΡΠΊΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠΈ, ΡΠΏΠΎΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΡΡΠ·Π°Π½ΠΈΡ, ΠΈΠ³ΡΡ… ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³ΡΠΎΠ²ΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΎΠ² ΠΠ»ΡΠ΄ΠΎΡΠ°Π΄ΠΎ… Π Π°Π½ΡΡΠ΅ Π½Π°Π·Π΅ΠΌΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°Π·ΠΈΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²… Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°Π΅Ρ… ΠΡΠ΅ΠΌΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠ° Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π»Π° ΡΠ°ΠΌΡΡ … Π ΠΠ»ΡΠ΄ΠΎΡΠ°Π΄ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½Ρ-ΠΌΠ΅ΡΡΡ,… ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ… Π’Π΅Π½Π½ΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ… |
Π‘ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠ± Arctg ΠΎΡ Free Dictionary
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΠ³ΠΈ (ΡΠΈΡΠ»Π°) ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π¨Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ: (1) Arc sin x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ x ; (2) Arc cos x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ x ; (3) Arc tan x , Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ; (4) Π°ΡΠΊΠ° x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ x ; (5) Arc sec x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°Ρ x ; ΠΈ (6) Arc csc x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ x .
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ, x = Arc sin a — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ sin x = a ; ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ sin Arc sin a = a . Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Arc sin x ΠΈ Arc cos x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Η x Η β€ 1, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Arc tan x ΠΈ Arc cot x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ x , Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Arc sec x ΠΈ Arc csc x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Η x Η β₯ 1.ΠΠ²Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠ²ΠΈ (Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠ²ΠΈ) ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ arc sin x , arc cos x ,β¦, arc csc x . Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, arc sin x : Π²Π΅ΡΠ²Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Arc sin x , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ βΟ / 2 β€ arc sin x β€ Ο / 2. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ arc cos x , arc tan x ΠΈ arc cot x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ 0
Arc sin x = (-1) n arc sin x + Ο n
Arc cos x = Β± arc cos x + 2Ο n
ΠΠ°Π³Π°Ρ Π΄ΡΠ³ΠΈ x = Π·Π°Π³Π°Ρ Π΄ΡΠ³ΠΈ x + Ο n
ΠΠ°Π³Π°Ρ x = Π·Π°Π³Π°Ρ x + Ο n
, Π³Π΄Π΅ n = 0, Β± 1, Β± 2, β¦.
Π₯ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°
ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
ΠΡΠΈ ΡΡΠ΄Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ — 1 β€ x β€ 1.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Π‘ΠΠ ΠΠΠΠ§ΠΠΠ
ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΠ² Π‘.Π. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , 3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.ΠΠΎΡΠΊΠ²Π°, 1950..Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arctan () — Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ — ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ arctan () — Π°ΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ — ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ — ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arctan ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ.ΠΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΡ, Π½ΠΎ Ρ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈ. (ΠΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠ° arctan ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΡΠ°Π½, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π³Π°Ρ -1 .) Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ tan, ΡΠ°Π²Π΅Π½ arctan ΠΈ Ρ. Π. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ «arctan x», ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ «ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ x».
Π·Π°Π³Π°Ρ 30 = 0,577 | ΠΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ: ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ 30 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0,577 |
Π°ΡΠΊΡΠ°Π½ 0,577 = 30 | ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ: ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0,577, ΡΠ°Π²Π΅Π½ 30 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ°ΠΌ. |
Π‘ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ arctan Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π°
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Β«ΡΠ±ΡΠΎΡΠΈΡΡΒ».
ΠΠ°ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ³Π»Π° C.
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0,577, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ: Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ arctan 0,577 ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ 30 Β°.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ.ΠΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½Π΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 45 Β° ΠΈ 360 + 45 Β° Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΌ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΡΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π΅.ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ — ΡΡΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ y = arctan x:
ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ | |
ΠΠΎΠΌΠ΅Π½ | ΠΡΠ΅ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° |
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ arctan ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ -90 Β° Π΄ΠΎ + 90 Β° * .
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, arctan 0,55, ΠΈΠ· Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ½ Π²Π΅ΡΠ½Π΅Ρ 28,81 Β°, ΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
* ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, -90 Β° ΠΈ + 90 Β° ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ tan ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ +89.9999999. ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Β± 90 Β°.
Π§ΡΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°ΡΡ
- ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Β«ΡΠ±ΡΠΎΡΠΈΡΡΒ» ΠΈ Β«ΡΠΊΡΡΡΡ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈΒ».
- ΠΡΡΠ΅Π³ΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ arctan, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° C ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½
- ΠΠ°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Β«ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈΒ», ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
Π£Π³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
(C) ΠΡΠΊΡΡΡΡΠΉ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, 2011 Π³.
ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²Π° Π·Π°ΡΠΈΡΠ΅Π½Ρ.
Arcotangente arctan (x)
L ‘ arcotangente Γ¨ una funzione goniometrica inversa, indicata con arctan (x), con arctg (x) o talvolta con atan (x), che viene Definita come inversa della chengzione tangente e come valori gli angoli tra -β / 2 e + β / 2 espressi in radianti.
Cerchi un rapido formulario in cui leggere le proprietΓ della funzione arcotangente y = arctan (x) e vederne il grafico? Sei finito nel posto giusto! Qui trovi tutto quello che serve sapere sull’arcotangente, ma andiamo conordine…
Definizione di arcotangente : fissato, si Definisce l’angolo in la cui tangente Γ¨.
Da qui si capiscemediate che l’arcotangente Γ¨ la funzione inversa della funzione tangente sull’intervallo .
Per calcolare l’arcotangente di un valore dobbiamo needariamente appellarci alla Definizione. Nello specifico, si deve individualuare l’angolo la cui tangente vale.
A titolo di esempio
e di consguenza
Eventualmente potete aiutarheori con la tabllei de la valzΓ©e
Grafico della funzione arcotangente
IdentitΓ dell’arcotangente
Prima di cominciare, vale la pena di segnazione arcotangente degli esercizi.Ad ogni modo non preoccupatevi, non vanno ricordate a memoria. π
(Dimostrazione sin (arctan (x)))
Per approfondire potete consultare la lezione con Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Ρ .
Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³ΠΈ x
1) Dominio:.
2) Γ una funzione dispari.
3) Funzione limitata con immagine .
4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.
5) Concava sull’intervallo, convssa sul.
6) ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π½Π° Π²ΡΠ΅Ρ , ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π° Π²ΡΠ΅Ρ .
7) Limiti agli estremi del dominio:
8) Limite notevole associato:
)
)
10) Integrale dell’arcotangente:
11) Per studenti Universitari:
000
000000
Se siete in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitate e usate la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi.;)
…..
Π’Π΅Π³ΠΈ: lezione di riepilogo con la Definizione, il grafico e all le proprietΓ della funzione arcotangente di x arctan (x) dominio, tracui: il , la monotonia, la conssitΓ , i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ l’integrale dell’arcotangente.
.Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ arctan (x)?
ΠΠ°ΡΠΊΠ°
- ΠΠ½Π°ΡΠΎΠΌΠΈΡ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
- ΠΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ
- ΠΡΡΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
- ΠΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ
- Π₯ΠΈΠΌΠΈΡ
- Π½Π°ΡΠΊΠ° ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ΡΠ΅ ΠΠ΅ΠΌΠ»Ρ
- ΠΠ°ΡΠΊΠ° ΠΎΠ± ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅
- ΠΡΠ³Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡ
- Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΡΠ΅Π΄Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- Precalculus
- Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎ