Примеры решение линейных уравнений 7 класс – Практика. Линейные уравнения и их системы. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Практика. Линейные уравнения и их системы. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):

Разделим обе части уравнения на  или умножим на :

Упростим выражение в левой части уравнения:

Упростим выражение в правой части уравнения:

Таким образом, решением уравнения будет:

Ответ: .

 

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .

Разделим обе части уравнения на :

Решением уравнения является .

Ответ: .

 

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .

Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .

Перепишем уравнение после применения преобразований: .

Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .

Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.

Ответ:  – любое число.

 

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Получаем .

Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.

Ответ: нет решений.

 

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :

Получим: .

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .

Раскроем скобки:

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .

Найдем :

Ответ: .

В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом:  где  – переменные, – произвольные числа.

Есть несколько методов решения систем уравнений.

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.
  3. Графический метод.

Пример . Решить систему: .

Решение (несколько способов)

1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Из первого уравнения выразим , для этого перенесем  из левой части уравнения в правую: .

Затем умножим обе части первого уравнения на : .

Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .

Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .

Найдем : .

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

 

2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.

Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .

Теперь система имеет вид: .

Сложим уравнения системы: .

Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .

Найдем :

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .

Выразим : . Решением системы будет: .

Ответ: .

 

3. Графический метод

 

Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.е. выразим  через :

Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо  возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:

Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6

Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .

Ответ: .

 

Пример . Решить систему: .

Решение

Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Умножим второе уравнение на :

Сложим уравнения системы:

Получим уравнение:

Выполним действия:

Найдем :

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

Задача

Провод длиной  метров разрезали на  части (Рис. 2), причем первая часть в  раза длиннее третьей, а вторая – на  метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1. Провод длиной  метров разрезали на  части:

Первая часть в  раза длиннее третьей:

Вторая часть на  метров длиннее третьей:

Теперь все выражено через часть , поэтому все замены можно переписать так:

2. Обозначим длину части  за :

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия:

Найдем

interneturok.ru

Тренажёр по алгебре (7 класс) на тему: Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения .Алгебра 7 класс.

Образец  решения системы уравнений методом подстановки

АЛГОРИТМ (последовательность шагов при работе)

1.

   

    3х + у = 7

   -5х + 2у =3

Выразить из первого уравнения  у через  х, т.е.перенести  3х  в другую часть с противоположным знаком ( т.к. у записан в уравнении без числа(коэффициента)).  Получится  у = 7 – 3х

2.

      у = 7 – 3х

Выделить в рамочку выраженную переменную у. Написать её в той же строчке в системе уравнений.

3.

   у = 7 – 3х

  - 5х + 2(7 – 3х) = 3

Подставить  во второе уравнение  вместо у выражение (7 – 3х), взяв его в скобки !

4.

   х =

   у =

Приготовить знак системы уравнений и место для будущих ответов х  у

5.

-5х + 2·(7 – 3х) = 3

-5х + 14 -6х = 3

«Выйти из системы» и решить отдельно только уравнение с одной переменной х : 1) раскрыть скобки, умножив число перед  скобкой на всё что в скобках;

6.

-5х + 14  -6х = 3

-5х - 6х = 3 - 14

                           2)Перенести число 14 в правую часть уравнения с противоположным знаком, т.е. сделать «сортировку» - буквы к буквам, числа к числам.

7.

- 11х= -11

                           3)Посчитать значение в левой и правой части уравнения

8.

   х = -11:(-11)

   х = 1

                           4)Вычислить х как неизвестный множитель, вспомнив простой пример    2 · 3  = 6

9.

  х = 1

  у =

Заполнить место в системе уравнений для  х

10.

у = 7 – 3х = 7 - 3·1 = 7-3 = 4

Найти значение второй переменной   у

11.

 х = 1

 у = 4

Заполнить место в системе уравнений для  у

12.

Ответ: (1;4)

Записать ответ в виде координат точки  (х;у)

             Решить систему уравнений методом подстановки

выбирая удобную переменную для её выражения, когда она записана без  числа.

№1.     у – 2х = 1                                                       №4.       2х + у = 12   

             6х – у = 7                                                                      7х – 2у = 31    

№2.     х + у =6                                                          №5.       4х – у = 11

             3х – 5у = 2                                                                    6х – 2у = 13          

№3.     7х – 3у = 13                                                  №6.        8у – х = 4 

             х – 2у = 5                                                                       2х – 21у = 2

Карточка составлена учителем математики Головлянициной Лидией Вадимовной

nsportal.ru

Мини- пособие по теме «Линейные уравнения» (7 класс)

Линейные уравнения

Изучение данной темы мы начнем с определения уравнения вообще

1. Уравнения - это равенства, которые содержат неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называются переменными.

Например.: 6x + 12 = 2x - 4

2. Рассмотрим некоторые понятия, определение которых позволит понять, с помощью чего и каким образом решаются уравнения:

Корнем уравнения с одним неизвестным называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.

При решении уравнений иногда используются различные способы приведения их к более простому и понятному виду, в результате чего возможна потеря или приобретение лишних корней данного уравнения. Вследствие чего уравнение необходимо приводить к равносильному виду.

3. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют.

Если же в процессе преобразования появились новые корни или были утеряны существующие, то данные уравнения не будут являться равносильными.

Уравнение g(x) = 0 называется следствием уравнения f(x) = 0, если каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения.

4. Теперь перейдем непосредственно к определению линейных уравнений.

Уравнение вида ax = b, где a и b - данные числа, называется линейным уравнением с переменной x. Числа а и b - коэффициенты данного уравнения. а - коэффициент данного уравнения, b - свободный член.

Например.: 5x + 10 = 0

5. Если a <> 0, то уравнение ax = b называется уравнением первой степени с одной переменной. Его корень: x = b/a.

Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет 1 корень.

Линейное уравнение может не иметь корней или иметь один или множество корней.

Теперь попробуйте пройти тест-коррекцию!

1. Корнем уравнения называется:

Число, которое является решением этого уравнения.

Число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Число, при подстановке которого в уравнение всегда получается числовое равенство.

2 Решить уравнение - это значит:

Найти все его корни;

Найти все его корни или доказать, что корней нет;

Найти хотя бы один из корней;

Найти столько корней, сколько переменных в уравнении.

3 Два уравнения называются равносильными, если:

Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;

Каждое из этих уравнений является следствием другого;

Каждый корень первого является корнем второго;

Если они имеют одинаковые правые и левые части.

4. Укажите уравнение, неравносильное уравнению 3x = 15:

6х = 30;

3х - 15 = 0;

9х = 45;

3х + 15 = 18.

5. Одно уравнение является следствием другого, если:

Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;

Каждое из этих уравнений является следствием другого;

Каждый корень первого является корнем второго;

Если они имеют одинаковые правые и левые части.

6. Какое уравнение является следствием:

(х - 5)(х + 1) = 0 и х - 5 = 0;

5 + (х - 4) = 5 и х - 4 = 0;

х + 3 = 5 - х и x = 1;

7. Линейным уравнением называется:

Уравнение вида ах = b, где а и b - данные числа;

Уравнение вида ах = b, где а и b - данные числа, и а<>0;

Уравнение с одним неизвестным;

Уравнение с несколькими неизвестными, где а и b - данные числа.

8. Какое из приведенных уравнений является уравнением первой степени:

0y = 5;

0х = 0;

6х = 24;

2х = 0.

9. Сколько решений имеет уравнение 3(х - 5) + х = 4х - 18:

4

1;

2;

0;

не знаю.

10.Уравнение ах = b имеет один корень, если:

а <> 0;

а = b = 0;

а = 0, b <> 0;

а <> 0, b <> 0.

11.Сколько корней может иметь уравнение первой степени:

Один;

Много;

Задача

В одном баке было вдвое больше бензина, чем во втором. Когда из первого перелили во второй 25 л бензина, в обоих баках стало бензина поровну. Сколько бензина было в каждом баке первоначально?

Алгоритм решения

  1. Подробно запиши свое решение: составление уравнения, решение уравнения, ответ задачи.

  2. Надо быть внимательнее. Ведь из первого бака вылили 25 л, после чего осталось x л. Значит, до переливания в первом баке было не x л, а на 25 л больше.

  3. Теперь подумай, что примешь за неизвестное x?

  4. Итак, в первом баке после переливания стало x л, а до переливания в нем было (x+25)л. Сколько же было во втором баке до переливания? Теперь тебе, конечно, ясно, что до переливания во втором баке было не x л, а на 25л меньше, т. е. было (x-25)л.

  5. Надо подумать, во сколько вопросов решается эта задача и какой первый вопрос

  6. Принять за x л количество бензина, которое получилось после переливания в первом баке (по условию, столько же стало после переливания и во втором баке). Что же было до переливания?

  7. В условии задачи сказано, что после переливания в обоих баках стало бензина одинаково. Получается соотношение 2x-25=x+25

  8. В первом баке было 100 л, во втором - 50 л. Сказано, что в первом было в два раза больше: 100/50=2 (верно). Затем из первого перелили во второй бак 25 л. В первом стало 100-25=75 (л), во втором стало 50+25=75 . Сказано, что стало одинаково 75=75 (верно).

  9. Данную задачу можно решить 3 способами. Подумай, что еще можно принять за неизвестное, составь новое уравнение и, вернувшись назад, проверь правильность своего нового выбора.

Мини- пособие по теме «Линейные уравнения»

Содержание

1. Актуализация знаний

2. Теоретические сведения

3. Задача-метод

4. Задача-софизм

5. Эвристики и поиск решения

6. Из истории линейных уравнений

Данную обучающую программу можно считать пособием по изучению темы "Линейные уравнения" школьного курса математики. Она предназначена для формирования приемов эвристического мышления у учащихся и абитуриентов.

Следование инструкциям и рекомендациям, а так же сознательное и добросовестное выполнение заданий предложенных в работе поможет учащимся углубить и расширить знания обязательного уровня, а также поможет сформировать у них приемы эвристического мышления.

Для эффективной работы с программой необходимо изучить структуру предложенных материалов и приемы работы с ними:

Первый этап (актуализация знаний). В тесте №1 обсуждаются вопросы, связанные с пониманием тех основ, которые входят в содержание данной темы на обязательном уровне их усвоения. Обучаемый имеет возможность самостоятельно проработать тест, при этом проанализировать и сравнить предлагаемое решение со своим личным. В случае большого количества допущенных ошибок ученик должен ознакомиться с теоретическим материалом обязательного уровня, предлагаемом его вниманию тут же. Затем он имеет возможность повторного тестирования при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте. Такая работа позволяет ученику сосредоточить свое внимание на главных моментах в излагаемой теме и подготовиться к осознанному выполнению последующих задач.

Второй этап (ознакомление с теоретическими сведениями углубленного характера). Знакомство с этими материалами позволяет обучаемому систематизировать свои знания, обобщить представления об основных положениях, связанных с решением уравнений различных видов, сформировать у себя некоторые алгоритмы и эвристические правила-ориентиры решения уравнений.

Третий этап («задача-метод»). На этом этапе работы ученику необходимо к предложенной задаче или набору нескольких задач, с предложенными методами решения выбрать наиболее рациональный и правильный на его взгляд вариант.

Четвертый этап («задача-софизм»). При прохождении четвертого этапа ученику необходимо найти ошибку в рассуждении, когда предложенная задача представляет собой цепочку выполненных действий по ее решению, в которой на одном из звеньев допущена ошибка.

Пятый этап (эвристики и поиск решения задачи). Этот этап представляет из себя систему задач, к каждой из которых даны эвристические подсказки. Такие подсказки способствует осмысленному подходу к поиску решения задачи.

Шестой этап (некоторые исторические сведения по данной теме).

Когда все этапы пройдены можно переходить к изучению следующей темы.

Желаем успехов!

Задание

Проработайте тест. При этом можно пользоваться подсказками. По окончании тестирования, если допущено большое количество ошибок, ознакомтесь с теоретическим материалом обязательного уровня. Затем пройдите повторное тестирование при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте.

Тест №1

(актуализация знаний)

1. Какое уравнение не является линейным?

2. Какая пара уравнений не является равносильной:

3. Сколько решений имеет уравнение 0х=-5?

Один корень

Не имеет решений

Бесконечно много

Ответ отличен от приведенных

4. Среди данных уравнений выберите то, которое имеет такой же корень, что и уравнение

2х-5=5х+5.

5. При каком значении у значение выражения 4(у-0,9) будет равно значению выражения 1,2+2у?

-2,4

1,2

2,4

-1,2

6. Найдите значение выражения 5k-(3k-8p), если k+4p=17.

7. Если 0,75x=-1, то чему равно х+0,75?

8. Найдите число, четверть которого меньше от его третьей части на два.

24

-24

12

6

9. При каком значении а уравнение ах=8 имеет отрицательный корень?

0

2

-2

4

10. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза младше дедушки?

48 и 63

64 и 47

37 и 64

37 и 74

Линейные уравнения с модулем

Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком модуля, называется уравнением с модулем . Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что:

При решении уравнений с модулями чаще всего применяется метод раскрытия модуля по определению. Рассмотрим этот метод на примерах.

Решим уравнение:

Решение: Данное уравнение не имеет решений так как модуль любого числа есть неотрицательное число.

Найдем корни уравнения:

Решение: Уравнение равносильно уравнению . Откуда

Теперь решим уравнение:

Решение:Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Откуда получаем два корня:

Еще один способ решения уравнений с модулями - это использование геометрического смысла модуля. Известно, что - это расстояние между двумя точками на оси с координатами и .

Например, решим уравнение, используя геометрический смысл модуля. Найдем точки на числовой оси, которые удалены от точки 2 на расстояние равное 3

Это точки и . Таким образом, корнями уравнения являются числа –1 и 5.

Уравнения с параметрами

Определение: Уравнением с параметрами называется уравнение , в котором коэффициенты и неопределены (т.е. вместо и можно подставить любые числа).

При решении уравнений с параметрами рассматривают все возможные случаи (в зависимости от параметров и ).

Графический метод решения уравнений с двумя переменными

Со времен Рене Декарта общий вид уравнений первой степени с одним неизвестным записывается следующим образом:

До Декарта уравнения с положительными коэффициентами записывали по обе стороны от знака равенства. Декарт впервые стал систематически представлять уравнения в канонической форме (т.е. с правой частью, равной нулю). Благодаря методу координат, разработанному Декартом, между алгеброй и геометрией была установлена тесная связь. Декарт стал рассматривать уравнения как зависимость между и , определяющую положение точек на плоскости. Так например, корень уравнения (*)

можно геометрически изобразить точкой M пересечения прямой с прямой (т.е. с осью Ox).

Таким образом, вводя второе неизвестное , Декарт разбил одно уравнение на два, каждое из которых представляет некоторое геометрическое место точек. Так, уравнение (*) можно представить и в виде , тогда его корень (**) можно найти как абсциссу точки M’ пересечения прямых и .

«Задача-метод»

Задание

В этом разделе вам будут предлагать задачу и несколько способов ее решения.

Вы должны выбрать наиболее рациональный на ваш взгляд способ.

1.Даны уравнения и являются ли они равносильными?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Решить оба уравнения и сравнить корни.

Привести оба уравнения к одинаковому виду.

2. При каких значениях х графики уравнений и пересекаются?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Построить графики уравнений и найти точку их пересечения.

Приравнять правые части и решить уравнение.

3. Сколько решений имеет уравнение ?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

4. Решите уравнение .

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

5. Решите уравнение .

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

«Задача-софизм»

Задание

Ученики 7-го класса решали линейные уравнения. Предлагаем Вам попробовать себя в роли учителя.

Укажите каким из учеников, и на каком шаге, при решении уравнения, допущена ошибка.

Первый ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:

0,71х-0,37х=1,98-1,76,

0,34х=0,22,

х=22/34;

Второй ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:

0,71х-0,37х=-1,76-1,98,

0,34х=-3,74,

х =-11;

Третий ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так

12х-39=12х-39,

12х-12х=39-39,

0=0.

Уравнение не имеет корней

Четвертый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х+5 так:

12х-39=12х+5,

12х-12х=39+5,

0х=44,

х=0.

Пятый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так:

12х-39=12х-39,

12х-12х=0,

х0=0,

Уравнение имеет бесконечно много корней.

Шестой ученик решил уравнение 3(4х-13)=10х-39 так:

12х-39=10х-39,

12х-10х=39-39,

2х=0,

х - любое число.

Седьмой ученик решил уравнение 12+7х-28=3х так:

12-3х=28-7х,

3(4-х)=7(4-х),

3=7,

Уравнение не имеет корней.

«Эвристики и поиск решения»

Задание

В этом разделе необходимо решить задачу самостоятельно. Можно пользоваться подсказками.

1. Решите уравнение

Используйте геометрический смысл модуля.

Найдите точки на оси, которые удалены от точки 3 на расстояние, равное 7.

Корнями уравнения являются числа –4 и 10.

2.Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является натуральным числом.

Сделайте перебор вариантов.

Перебирая значения, получаем, что а может равняться только 2 или 8.

3. Решите уравнение

Умножьте каждый член уравнения на 6

Ответ: 6.

4.На доске написано уравнение 5(…+3х)(х+1)-4(1+2х)2=-36. Найдите случайно вытертое число в скобках, если х=-2

Обозначьте искомое число через у и решите уравнение относительно у.

Ответ: 6.

5. Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, сумма которых равняется 6003.

Составьте и решите уравнение.

Первое число равно 1999, второе 2001, третье 2003.

Из истории линейных уравнений

Решение задач методом составления уравнения зародилось давно. Еще 4000 лет назад в древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Недостатком всей математики древних было отсутствие единой математической символики. Этот недостаток затруднял действия, мешал их наглядности. Поэтому и условие, и решение любой задачи приводилось полностью в словесной форме. Правда, у древних египтян были некоторые условные сокращения. Неизвестное, как полагают, они называли «куча». Так в папирусе Ринда уравнениe записано в такой форме:

Эти частичные сокращения были впоследствии забыты другими учеными. Отсутствие единой формы записи уравнений задерживало создание общих правил их решения. Каждая задача решалась по своему, каждое уравнение требовало особого подхода. Отсутствие же общих правил решения приводило к кустарщине. Каждый решал как мог. Все это тормозило развитие алгебры в целом.

Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был узбекский ученый Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Свою книгу «Хисаб алджебр вал-Мукабала» он целиком посвятил составлению уравнений по условиям задачи и решению этих уравнений.

В первое время алгебру понимали как науку об уравнениях, впоследствии же этот взгляд несколько изменился. Кроме уравнений 1-й степени, в школе изучаются некоторые другие виды уравнений. Но ни один из этих видов нельзя усвоить, не усвоив хорошо решение уравнений 1-й степени.

Некоторые старинные задачи

Около 2500 лет назад в Греции уже умели довольно хорошо решать уравнения с одним неизвестным и систему уравнений с несколькими неизвестными. Независимо от греков этими приемами овладели и китайцы, а позднее и индийцы. Вот несколько старинных задач.

Задача в стихах из так называемой "Греческой Антологии":

-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

-Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.

Решение: Если обозначить число учеников Пифагора через х, то можно составить такое уравнение: откуда x=28.

Древняя китайская задача: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.

Древняя индусская задача: Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?

Решение:Пусть у первого будет «а» вещей и «m» монет, а у второго «b» вещей и «p» монет. Если х — ценность вещи, то : откуда:

infourok.ru

Задачи ОГЭ. Линейные уравнения

Задачи для ОГЭ с ответами и решениями

Линейные уравнения

 

перейти к содержанию задачника

видеоурок по линейным уравнениям

  1. Решите уравнение

перейти к содержанию задачника

Ответы

  1.   -3
  2.  0,6
  3. 1,75
  4. 1,2
  5. -5
  6. -0,25
  7. 1,75
  8. -1,8
  9. 11
  10. 1,5
  11. 8,6
  12. -6,4
  13. 1,75
  14. -0,5
  15. 3
  16. -7,5
  17. -24,5
  18. -3,5
  19. -7
  20. 2
  21. -5
  22. -0,75
  23. -3,25
  24. -3
  25. -8
  26. 1
  27. -24
  28. -14
  29. -9
  30. 7
  31. 4,5
  32. 2
  33. -7,5
  34. 7,5
  35. 6
  36. 1,25
  37. 5
  38. -2,5
  39. 20,5
  40. 1

 

Метки ОГЭ. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ - Алгебра 7 класс - Учебно-методическое пособие - Старова Е. А. - 2015 год

Урок № 54. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели:

• учебная: сформировать умение решать линейные уравнения;

• развивающая: развивать творческие способности, смекалку учащихся; способствовать совершенствованию вычислительных навыков;

• воспитательная: воспитывать настойчивость в достижении цели, дисциплинированность, внимательность;

Тип урока: усвоение новых знаний, умений, навыков.

Оборудование и наглядность:

Ход урока

И. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

II. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

1. Проверка задания, заданного по учебнику

______________________________________________________

______________________________________________________

2. Выполнение тестовых заданий

Обведите кружочком букву, которая, по вашему мнению, соответствует правильному ответу

Вариант 1

1) Какое из приведенных уравнений является линейным?

А) 2х2 = 4; Б) 3х = 4; В) x(x - 2) = 0; Г) 5/x = 1.

2) Какое из приведенных уравнений равносильно уравнению 2х = 8?

3) Какое из приведенных уравнений не имеет ни одного решения?

4) Какое уравнение получим, если в уравнении 3х - 5 = 4х + 6 члены со сменными перенести из правой части в левую, а без переменных — наоборот?

А) 7х = 1; Б) х = 11; В) -х = 11; Г) х = 1.

5) Какое уравнение получим, если обе части уравнения разделить на одно и то же число?

Вариант 2

1) Какое из приведенных уравнений является линейным?

А) 2х2 = 8; Б) 5х = 9; В) 3/x = 1; Г) х(4 - х) = 0.

2) Какое из приведенных уравнений равносильно уравнению 3х = 9?

3) Какое из приведенных уравнений имеет множество решений?

4) Какое уравнение получим, если в уравнении 5х - 9 = 6х + 7 члены со сменными перенести из правой части в левую, а без переменных — наоборот?

А) 11х = 16; Б) x = 2; В) x = -2; Г) -х = 16.

5) Какое уравнение получим, если обе части уравнения разделить на одно и то же число?

Ответы

Вариант 1

1 — Б, 2 — Г, 3 — А, 4 — В, 5 — Б

Вариант 2

1 — Б, 2 — Б, 3 — Б, 4 — Г, 5 — В

III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Схема решения линейных уравнений с одной переменной .

2. Примеры уравнений, сводящихся к линейным, и схема их решения:

______________________________________________________

______________________________________________________

IV. УСВОЕНИЕ НОВЫХ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ

1. Работа по учебнику

______________________________________________________

______________________________________________________

2. Дополнительные задания

Найдите корни уравнений с точностью до 0,01:

V. ИТОГИ УРОКА

1.

______________________________________________________

______________________________________________________

2. Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой

Вариант 1

Вариант 2

1) Решите уравнение:

2) При каком значении х

значение выражения 5х +11 равно значению выражения 7х + 31?

значение выражения 3х + 5 равно значению выражения 5х + 13?

3) Составьте уравнение, которое имеет тот же корень, что и уравнение

2х - 3 = 5х + 6

3х - 4 = 6х + 5

Укажите этот корень

VI. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Задание по учебнику:

______________________________________________________

______________________________________________________

2. Дополнительное задание. Решите уравнение ах + b = 0, где a — корень уравнения 3(х - 4) + 5 = х - 6, b — корень уравнения 4(2х + 15) = 7(20 - х) + 20.

Ответ. -200.

schooled.ru

Практикум «Решение линейных уравнений», 7 класс

Материал опубликовал

Файл загрузился с искажением, просьба смотреть его, скачав по ссылке: Практикум по решению линейных уравнений.

Решите уравнения:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.


 

Ответы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

0,6

1

-2

Решений нет

Любое число

0.9

0,8

-1

0.5


Решите уравнения

1) (х – 3)2 = (х – 6)(х + 6) 2) 4∙(х + 2)2 = 3(х2 – 3)+(х – 3)(х + 3) + 2

3) (х – 5)2 – (х + 5)2 = 20 4) 3х(х – 3) = 3(х + 2)2 – 75

5) (х – 2)(х2 + 2х + 4) = х(х – 1)2 + 2х2 6) х2 + 9 = х2 – 81 + 6х

7) 2х(2х – 1) = 3х2 – (3 – х)(3+х) 8) х2 – 25 = 2∙(х – 4)(х +4) – х(х–7)

9) (х + 1)2 = 3х + 1 10) (х – 3)2 = 6∙(15 – х)

 

Ответы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7,5

-2

-1

-3

-8

15

4,5

1

0 и 1

-9 и 9

Опубликовано в группе «В помощь учителю»


xn--j1ahfl.xn--p1ai

Решение линейных уравнений - Математика

Решение линейных уравнений, 7 класс

Разноуровневые карточки для проверки знаний учащихся по теме: «Линейные уравнения» содержат 5 уравнений разного уровня сложности. Их можно применять не только на уроках в данной теме, но и при повторении материала.

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

  

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

  

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

  

 

 

 

Просмотр содержимого документа
«Решение линейных уравнений»

multiurok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *