Арифметическая прогрессия формулы 9 класс примеры: Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

alexxlab / / Разное

Содержание

9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 5.1k. Опубликовано

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а1+а3):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а2+а4):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + …. ..+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

Арифметическая прогрессия — Математика — Уроки

Урок по алгебре 9 класс

Учитель Бекиш Ирина Ивановна

Тема урока: Последовательности. Арифметическая прогрессия. Формула an.

Цели урока:

  1. Закрепление понятий последовательности, прогрессия, член прогрессии, разность, прогрессии и научиться применять формулы к решению практических задач.

2 Отработать умения и навыки применения формул n-го члена прогрессии, свойств членов прогрессии.

Задачи:

обобщить и закрепить теоретические знания учащихся;

развивать умения и навыки применять формулы прогрессий при решении задач;

повысить интерес к предмету, расширить кругозор по данной теме.

Тип урока: урок закрепления материала.

Оборудование урока ПК, презентация, раздаточный материал

    1. Орг. момент.

    2. Постановка цели урока.

    3. Закрепление материла:

    Работа в группах,

    Работа в парах

    Индивидуальная работа

    Деление на группы (карточки)

    Работа в группах(проблема)?

    Задача: Дана “стайка девяти чисел”:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

    Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется магический квадрат с константой, равной (33.) В него впишите числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом.

    9

    19

    5

    7

    11

    15

    17

    3

    13

    Каждая группа работает по вопросам:

    1.Определение арифметической прогрессии.(Примеры)

    2.Что называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают?

    3.Формула n-ого члена арифметической прогрессии.(Примеры работы по формуле)

    4.В чем заключается свойство арифметической прогрессии? .(Примеры)

    5. Какие бывают арифметические прогрессии?( Примеры)

    6.Как найти положительные члены прогрессии?( Примеры)

    7. Как найти отрицательные члены прогрессии? (Примеры)

    Каждый член группы выбирает вопрос и рассказывает всей группе(обучение в групп)

    Выбирает вопрос который знает. Если есть трудности пользуется учебником, конспектом..

    Группы поочерёдно выступают у доски и дополняют друг друга.

    Работа в парах на ПК(презентация)

    Теория и практика по теме.

    Индивидуальная работа

    (проверочная дифференцированная работа)

    (А)

    1. а1 = 2,6 d=3 a8 =?

    2 Выразите b1 и d . b25 через

    3. 3,2 ; 4,5… Найдите шестой и n-й члены арифметической прогрессии.

    4. Тело в первую секунду движения прошло 6 м, а за каждую следующую секунду на 4 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за 12 секунд.

    5. Найдите х1, если х17 =234 и d = -3

    6. разность арифметической прогрессии, в которой в1=24 , в13 =168

    (В) 7 Между числами 3,2 и 12,8 вставьте два числа, которые вместе

    с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

    8 а4 = 16 а22 =106 Найдите разность и первый член арифметической прогрессии.

    (С)

    9. Содержит ли арифметическая прогрессия заданная 7; 12…..число 127.

    10 В арифметической прогрессии(аn) первый член равен 5,6 а разность равна -0,2. Для каких членов прогрессии выполняется условие аn 0

    (взаимопроверка, ответы на доске)

    Итог урока.

    Домашнее задание: Составить условие задачи по теме «Арифметическая прогрессия в жизни и быту» (на отдельном листочке) №179

    Рефлексия результативности. Оцените свои знания по теме по 5 бальной системе или смайликом

    Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

    Дополнительные материалы к уроку

    Дана “стайка девяти чисел”:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

    Дана “стайка девяти чисел”:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

    Задания

    (А)

    1. а1 = 2,6 d=3 a8 =?

    2. Выразите b25 через b1 и d .

    3. 3,2 ; 4,5… Найдите шестой и n-й члены арифметической прогрессии.

    4. Тело в первую секунду движения прошло 6 м, а за каждую следующую секунду на 4 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за 12 секунд.

    1. . Найдите х1, если х17 =234 и d = -3

    6. Найдите разность арифметической прогрессии, в которой в1=24 , в13 =168

    (В)

    7 Между числами 12,3 и 15,9 вставьте два числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

    8 а4 = 16 а22 =106 Найдите разность и первый член арифметической прогрессии.

    (С)

    9. Содержит ли арифметическая прогрессия заданная 7; 12…..число 127.

    10 В арифметической прогрессии(аn) первый член равен 5,6 а разность равна -0,2. Для каких членов прогрессии выполняется условие аn 0

    Карточка – консультант

    1. Дано а1 и d. Найдите шестой член прогрессии.

    an= a1 +d(n-1) a6 = a1+5d

    2 Выразите а36 через а1 и d

    an= a1 +d(n-1) a36= a1 +35d

    3 Дана последовательность 4,8 ; 5,6…… Найдите пятый член арифметической прогрессии.

    d=a2 – a1 an = a1 +d(n-1) a5= a1+4d

    4. Тело в первую секунду движения прошло 5м, а за каждую следующую секунду на 2 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за 10 секунд.

    a1=5, d=2 an= a1 +d(n-1) a10= a1 +9d

    5.Дано х20=168 , разность d = — 2. Найдите первый член арифметической прогрессии?

    an= a1 +d(n-1) a20= a1+19d a1=a20 -19d

    6. Дано а1=34, а18 =136 .Найдите разность

    an= a1 +d(n-1) a18= a1+17d 17d= a18— a1 и выразить d

    7. Между числами 2,6 и 8,2 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

    2,6 . . . 8,2

    а1=2,6 ;а5 = 8,2 an = a1 +d(n-1) a5= a1+4d 4d= a5— a1

    выразить d и найти а2, а3, а4.

    8 . а3= 12 а24=75. Найдите разность и первый член арифметической прогрессии.

    Выразить а3 и а24 по формуле аn, составить систему и решить.

    Алгебра Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

    Материалы к уроку

    Конспект урока

    Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке один: числа один, пять, девять, тринадцать, семнадцать…

    Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа четыре. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

    Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

    Иначе говоря, последовательность а энное – арифметическая прогрессия, если для любого натурального эн выполняется условие а с индексом эн плюс один равно а энное плюс дэ, где дэ – некоторое число.

    Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна дэ, то есть при любом натуральном эн верно равенство а с индексом эн плюс один минус а энное равно дэ.

    Число дэ называют разностью арифметической прогрессии.

    Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый ее член и разность.

    Приведем примеры.

    Если а первое равно единице.. и дэ равно двум, то получим арифметическую прогрессию: один, три, пять, семь, девять…, члены которой являются последовательностью положительных нечетных чисел.

    Если а первое равно двум и разность равна двум, то получим арифметическую последовательность: два, четыре, шесть, восемь…, члены которой являются последовательностью положительных четных чисел.

    Если а первое равно минус один и разность равна минус один, то получим последовательность отрицательных чисел.

    Если а первое равно пяти и разность равна нулю, то имеем арифметическую прогрессию пять, пять, пять, пять…, члены которой равны между собой.

    Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и так далее члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Покажем способ, требующий меньшей вычислительной работы.

    По определению арифметической прогрессии:

    • второй член арифметической прогрессии равен сумме первого члена арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии;
    • третий член прогрессии равен сумме второго члена прогрессии и ее разности, или подставив значение второго члена прогрессии, получим сумму первого члена и удвоенной разности прогрессии.

    Точно также находим, остальные члены прогрессии.

    Вообще, чтобы найти энный член арифметической прогрессии, нужно к первому ее члену прибавить произведение разности арифметической прогрессии на разность эн и один.

    Мы получим формулу энного члена арифметической прогрессии.

    Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

    Пример первый. Последовательность це энное – арифметическая прогрессия, в которой це первое равно две десятые и разность равна четыре десятые. Найдем сороковой член этой прогрессии.

    Имеем, це сороковое равно две десятые плюс произведение четырех десятых и разности сорока и единицы равно пятнадцать целых восемь десятых.

    Второй пример. Является ли число минус сто сорок четыре членом арифметической прогрессии: двадцать два, восемнадцать, четырнадцать, десять…

    В данной арифметической прогрессии первый член равен двадцать два и разность равна восемнадцать минус двадцать два, то есть минус четыре. Запишем формулу энного члена прогрессии: икс энное равно двадцать два минус четыре умноженное на разность эн и один, то есть, икс энное равно двадцать шесть минус четыре эн.

    Число минус сто сорок четыре является членом арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число эн, при котором значение выражения двадцать шесть  минус четыре эн равно минус сто сорок четыре.

    Решим уравнение двадцать шесть минус четыре эн равно минус сто сорок четыре.

    Получим, что эн равно сорока двум целым пяти десятым, то есть получили не натуральное число. Значит, число минус сто сорок четыре не является членом арифметической прогрессии.

    Отметим важное свойство арифметической прогрессии:

    Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

    Действительно, если последовательность а энное является арифметической прогрессией, то а энное минус а с индексом эн минус один равно а с индексом эн плюс один минус а энное, то есть, преобразовав, получим что а энное равно полу сумме а с индексом эн минус один и а с индексом эн плюс один.

    Верно и обратное утверждение:

    Если в последовательности а энное каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

    Действительно, из равенства: а энное равно полусумме а с индексом эн минус один и а с индексом эн плюс один, где эн больше либо равно двум, следует, что разность а энного и а с индексом эн минус один равна разности а с индексом эн плюс один и а энного, а это означает, что разность между последующим и предыдущим членами последовательности остается постоянной. Значит, последовательность а энное – арифметическая прогрессия.

    Заметим, что формулу энного члена арифметической прогрессии можно записать иначе: а энное равно дэ эн плюс разность а первого и дэ.

    Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка и бэ некоторые числа.

    Верно и обратное: последовательность а энное, заданная формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка и бэ – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

    Действительно, найдем разность эн плюс первого и энного членов последовательности а энное:…….. Она будет равна ка.

    Значит, при любом эн справедливо равенство: а с индексом эн плюс один равно а энное плюс ка, и по определению последовательность а энное является арифметической прогрессией, причем ее разность равна ка.

    Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

    • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    • Повысим успеваемость по школьным предметам

    • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Выбрать репетитора

    Формулы арифметической прогрессии: производные, примеры

    • Автор Prince
    • Последнее изменение 15-09-2022
    • Автор Принц
    • Последнее изменение 15-09-2022

    Формулы арифметической прогрессии: Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность, в которой различия между каждым последующим членом одинаковы. Можно вывести формулу для n-го члена АП из арифметической прогрессии.

    Последовательность 2, 6, 10, 14,…, например, является арифметической прогрессией (АР), поскольку она следует шаблону, в котором каждое число получается путем прибавления 4 к предыдущему члену. В этой последовательности n-й член равен 4n-2. Члены последовательности можно найти, подставив n=1,2,3,… в n-й член.

    В этой статье мы рассмотрим понятие арифметической прогрессии и формулу для вычисления n-го члена, общей разности и суммы n членов АП. Мы будем решать различные примеры на основе формулы арифметической прогрессии, чтобы помочь вам лучше понять концепцию.

    Арифметическая прогрессия определяется как последовательность чисел, для каждой пары последовательных членов мы получаем второе число, добавляя константу к первому. Константа, которую нужно добавить к любому члену AP, чтобы получить следующий член, известна как общая разность (C.F) арифметической прогрессии.

    Арифметическая прогрессия обычно представляется как AP. В АП есть 3 основных термина, которые используются для решения математических задач:

    • (i) Общая разность (d)
    • (ii) n-й член (a n )
    • (iii) сумма первых n членов (S n )

    Эти три члена определяют свойство арифметическая прогрессия. Мы можем понять концепцию арифметической прогрессии на примере.

    2, 6, 10, 14, 18, 22, … , 50

    У этой АП первый член a = 2, общая разность d = 4 и последний член l = 50.

    5, 10, 15, 20, 25, 30, … , 60

    Эта АП имеет первый член, a = 5, общую разность, d = 5, и последний член, l = 60.

    Получите формулы алгебры ниже:

    Значимые формулы, связанные с арифметической прогрессией для 10-го и 12-го классов, перечислены ниже:

    • (i) Последовательность
    • (ii) Общая разность
    • (iii) N-й член AP (последний член формулы AP)
    • (iv) n-й член от последнего члена
    • (v) Сумма первого члена n terms

    Давайте подробно рассмотрим все формулы.

    Формулы для АР

    Бесконечная арифметическая последовательность обозначается следующей формулой:

    Где a представляет собой первый член, а d является общей разностью.

    • (i) Если значение «d» равно положительному , то члены будут расти до положительной бесконечности .
    • (ii) Если значение «d» равно минус , то члены увеличиваются до минус бесконечности .

    Формула для вычисления общей разности

    Общая разность — это фиксированная константа, значение которой остается неизменным на протяжении всей последовательности. Это разница между любыми двумя последовательными терминами AP. Формула общей разности AP:

    Здесь n и n+1 — это два последовательных термина AP.

    Энный термин формулы AP

    Формула для нахождения n-го члена AP:

    Здесь,

    a

    = First term
    d = Common difference
    n = Number of terms
    a n  = nth term

    Давайте разберем эту формулу на примере:

    Пример:  Найти n-й член AP:
    5, 8, 11, 14, 17, …, a n , если количество членов равно 12.

    Решение:
    AP: 5, 8, 11, 14, 17, …, a n (Дано)
    n = 12
    По известной нам формуле a n  = a + (n – 1) )d
    Первый член, a = 5
    Общая разность, d = (8 – 5)= 3
    Следовательно, a n  = 5 + (12 – 1)3
    = 5 + 33
    = 38

    Сумма n членов формулы AP

    Для AP можно рассчитать сумму первых n членов, если известен первый член и общее количество терминов. Формула суммы AP:

    Здесь,

    S = Sum of n terms of AP

    n = Total number of terms

    a = First term

    d = Common difference

    Формула суммы арифметической прогрессии, когда заданы первый и последний члены:

    Когда мы знаем первый и последний член AP, мы можем вычислить сумму арифметических прогрессий, используя эту формулу:

    Происхождение:

    Рассмотрим ЗП, состоящий из «n» терминов, имеющих последовательность a, a + d, a + 2d, …, a + (n – 1) × d
    Сумма первых n терминов = a + (a + d) + ( а + 2г) + ………. + [a + (n – 1) × d] —— (i)
    Записывая слагаемые в обратном порядке, получаем:
    S = [а + (n – 1) × d] + [а + (n – 2) × d] + [а + (n – 3) × d] + ……. (а) —— (ii)

    Складывая оба уравнения почленно, мы имеем:

    2S = [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + … + [2a + (n – 1) ×d] (n-членов)
    2S = n × [2a + (n – 1) × d]
    S = n/2[2a + (n − 1) × d]

    Давайте разберем эту формулу на примерах:

    Пример 1: Найдите сумму следующей арифметической прогрессии:
    9, 15, 21, 27, … Всего слагаемых 14.
    Решение:
    AP = 9, 15, 21, 27, …
    Имеем: a = 9,
    d = (15 – 9 ) = 6,
    и n = 14
    По формуле суммы AP мы знаем:
    S = n/2[2a + (n − 1) × d]
    = 14/2[2 x 9 + (14 – 1 ) x 6]
    = 14/2[18 + 78]
    = 14/2 [96]
    = 7 x 96
    = 672
    Следовательно, сумма АП равна 672.

    Пример 2: Найдите сумму следующих АП: 15, 19, 23, 27, … , 75.

    Решение: AP: 15, 19, 23, 27, … , 75
    Имеем: a = 15,
    d = (19 – 15) = 4,
    и l = 75
    Нам нужно найти n. Итак, используя формулу: l = a + (n – 1)d, получаем
    75 = 15 + (n – 1) x 4
    60 = (n – 1) x 4
    n – 1 = 15
    n = 16
    Здесь даны первое и последнее слагаемые, поэтому по формуле суммы AP мы знаем:
    S = n/2[первое слагаемое + последнее слагаемое]
    Подставляя значения, получаем:
    S = 16/2 [15 + 75]
    = 8 x 90
    = 720
    Следовательно, сумма АП равна 720.

    n-й семестр из формулы последнего семестра

    Когда нам нужно узнать n-й член АП не с начала, а с последнего, мы используем следующую формулу:

    Здесь,

    a n = nth term from the last

    l = Last term

    n = Total number of terms

    d = Общая разница

    Список формул арифметической прогрессии

    Здесь мы предоставили все арифметические формулы в таблице ниже для вашего удобства. См. эти формулы здесь или вы также можете скачать их в формате PDF.

    Последовательность а, а+г, а+2д, ……, а + (n – 1)д, ….
    Общая разница d = (a 2  – a 1 ), где 2 и 1   являются последующим термином и предшествующим термином соответственно.
    Общий термин (n TH термин) A N = A + (N — 1) D
    . N 6666. . . .7777777777777777777777777777777777777777.7.7.7.7.7.7............ .. последний член a n’  = l – (n – 1)d, где l – последний член
    Сумма первых n членов S n  (n – 1)d]
    Сумма первых n членов, если заданы первый и последний члены S n  = n/2[первый член + последний член]

    Скачать – Формула арифметической прогрессии PDF

    Давайте посмотрим несколько примеров арифметической прогрессии с решениями:

    Вопрос 1: Первый член арифметической прогрессии равен 4, а десятый член равен 67. В чем общее различие?

    Решение: Пусть первый член будет a, а общая разность d
    Используйте формулу для n-го члена: x n  = a + d(n − 1)
    Первый член = 4 
    ⇒ a = 4 —— (1)
    Десятый член = 67 
    ⇒ x 10  = a + d(10 − 1)
    = 67 
    ⇒ a + 9d = 67 ——- (2)
    Подставьте a = 4 из (1) в (2)
    ⇒ 4 + 9d = 67 
    ⇒ 9d = 63 
    ⇒ d = 63 ÷ 9
    = 7
    Общая разность равна 7 .

    Вопрос 2: Чему равен тридцать второй член арифметической прогрессии -12, -7, -2, 3, … ?

    Решение: Эта последовательность имеет разницу в 5 между каждой парой чисел.
    Значения a и d:
    a = -12 (первый член)
    d = 5 («общая разность»)
    Правило можно вычислить:
    x n  = a + d(n − 1) )
    = -12 + 5(n — 1)
    = -12 + 5n — 5
    = 5n — 17
    Итак, 32-й член:
    x 32  = 5 × 32 — 17
    = 160 — 17
    = 143

    Вопрос 3: Чему равен двадцатый член арифметической последовательности 21, 18, 15, 12, … ?

    Решение: Эта последовательность является убывающей, поэтому разница между каждой парой чисел составляет -3 .
    Значения a и d таковы:
    a = 21 (первый член)
    d = -3 («общая разность»)
    Правило можно вычислить:
    x n  = a + d(n-1 )
    = 21 + -3(n-1)
    = 21 – 3n + 3
    = 24 – 3n
    Итак, 20-й член:
    x 20  = 24 – 3 × 20
    = 24 – 60
    = -36

    Вопрос 4: Чему равна сумма первых тридцати членов арифметической прогрессии: 50, 45, 40, 35, … ?

    Решение: 50, 45, 40, 35, …
    Значения a, d и n:
    a = 50 (первое слагаемое)
    d = -5 (общая разность)
    n = 30 (сколько сроки складываются)

    Используя сумму формулы АП – S n  = n/2(2a + (n – 1)d), получаем:
    S 30  = 30/2(2 × 50 + 29 × -5))
    = 15(100 – 145)
    = 15 × -45
    = -675

    Вопрос 5: Чему равна сумма членов с одиннадцатого по двадцатый (включительно) арифметической прогрессии: 7, 12, 17, 22, …?

    Решение: Даны AP: 7, 12, 17, 22, …
    Значения a и d:
    a = 7 (первое слагаемое)
    d = 5 (общая разность)
    Найти сумму с одиннадцатого по двадцатый члены вычитаем сумму первых десяти слагаемых из суммы первых 20 слагаемых

    Следовательно, сумма членов с одиннадцатого по двадцатый = 1,090 – 295
    = 795

    Другие важных математических понятий:

    Задачи на арифметическую прогрессию

    Вот несколько вопросов по арифметической прогрессии для практики.

    Вопрос 1: Чему равен седьмой член арифметической прогрессии 2, 7, 12, 17, …?

    Вопрос 2: Какова сумма первых 50 нечетных натуральных чисел?

    Вопрос 3: 13 + 28 + 43 + ⋯ + ​a n = 68210
    Члены n , добавленные в левой части приведенного выше уравнения, образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке. Что такое п ?

    Вопрос 4: Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член и общая разность равны 100. Если n -й член этой прогрессии равен 100!, найдите n .

    Вопрос 5: Вы стоите рядом с ведром и вам нужно собрать 100 картофелин, но вы можете нести только одну картофелину за раз. Картофель выстроен в линию перед вами, при этом первая картофелина находится на расстоянии 1 метра, а каждая последующая картофелина находится на расстоянии еще одного метра. Какое расстояние вы преодолеете, выполняя это задание?

    Вопрос 6: Решите следующее выражение:
    (100001 + 100003 + 100005+ ⋯ + 199999​)/ (1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 99999) = ?

    Вопрос 7: Для некоторой арифметической прогрессии с S 1729 = S 29 , где S n обозначает сумму первых n 1 слагаемых, найти 3,0S 1030 8 .

    Вопрос 8: Сунил получил -10 баллов на первом экзамене и 15 баллов на 15-м экзамене. Если все его оценки представляют собой арифметическую прогрессию с положительной общей разностью, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

    Также проверьте

    Часто задаваемые вопросы об арифметической прогрессии

    Q.1: Какова сумма первых n натуральных чисел?
    Ответ: С помощью формулы суммы AP мы можем вычислить сумму первых n натуральных чисел.
    S = n(n + 1)/2

    Q.2: Какова сумма первых n четных чисел?
    Ответ: Пусть сумма первых n четных чисел равна Sn
    Sn = 2+4+6+8+10+……………………..+(2n)
    Решение уравнения с использованием суммы AP формулы, получаем:
    Сумма n четных чисел = n(n + 1)

    Q.3: Сколько формул в арифметической прогрессии класса 10?
    Ответ: В основном есть две формулы, связанные с арифметической прогрессией:
    (i) n-й член AP
    (ii) Сумма n членов AP

    Q. 4: Что такое арифметическая прогрессия?
    Ответ: Арифметическая прогрессия определяется как последовательность чисел, в которой каждое число отличается от предыдущего на постоянную величину (известную как общая разность).

    Q.5: Что такое формула арифметической прогрессии?
    Ответ: Арифметическая последовательность задается как a, a + d, a + 2d, a + 3d, … . Следовательно, формула для нахождения n-го члена:
    an = a + (n – 1) × d.
    Сумма n членов АП = n/2[2a + (n − 1) × d].

    Q.6: Что такое d в формуле AP?
    Ответ: d — общая разница. Арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого получается добавлением константы d к предыдущему члену.

    Практические вопросы по арифметической прогрессии с советами и решениями

    Арифметические последовательности и ряды

    9.2 Арифметические последовательности и ряды

    Цели обучения

    1. Определить общую разность арифметической последовательности.
    2. Найдите формулу общего члена арифметической прогрессии.
    3. Вычислить n -ю частичную сумму арифметической прогрессии.

    Арифметические последовательности

    Арифметическая последовательностьПоследовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d ., или арифметическая прогрессияИспользуется при ссылке на арифметическую последовательность., представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторая константа d .

    an=an−1+d   Арифметическая Последовательность

    А поскольку an−an−1=d, константа d называется общей разностью Константа d , полученный вычитанием любых двух последовательных членов арифметической прогрессии; an−an−1=d.. Например, последовательность положительных нечетных целых чисел является арифметической последовательностью

    1,3,5,7,9,…

    Здесь a1=1 и разница между любыми двумя последовательными членами равен 2. Мы можем составить общий термин an=an−1+2, где

    a1=1a2=a1+2=1+2=3a3=a2+2=3+2=5a4=a3+2=5+ 2=7a5=a4+2=7+2=9⋮

    В общем случае, учитывая первый член a1 арифметической прогрессии и его общую разность d , мы можем написать следующее:

    a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5= a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d⋮

    Отсюда мы видим, что любая арифметическая последовательность может быть записана через ее первый элемент, общую разность и индекс следующим образом:

    an=a1+( n−1)d   Арифметическая последовательность

    На самом деле любой общий термин, линейный по n , определяет арифметическую последовательность.

    Пример 1

    Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления ее 100 -й термин: 7,10,13,16,19,…

    Решение:

    Начните с нахождения общей разности,

    d=10−7=3

    Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными терминами равна 3. Последовательность действительно является арифметической прогрессией, где a1=7 и d=3.

    an=a1+(n−1)d=7+(n−1)⋅3=7+3n−3=3n+4

    Следовательно, мы можем записать общий термин an=3n+4. Потратьте минуту, чтобы убедиться, что это уравнение описывает заданную последовательность. Используйте это уравнение, чтобы найти 100 th терм:

    a100=3(100)+4=304

    Ответ: an=3n+4; a100=304

    Общая разность арифметической последовательности может быть отрицательной.

    Пример 2

    Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления ее 75 -го члена: 6,4,2,0,−2,…

    Решение:

    Начните с найти общую разность,

    d=4−6=−2

    Затем найти формулу для общего члена, здесь a1=6 и d=−2.

    an=a1+(n−1)d=6+(n−1)⋅(−2)=6−2n+2=8−2n

    Следовательно, an=8−2n и 75 -й член можно вычислить следующим образом:

    a75=8−2(75)=8−150=−142

    Ответ: an=8−2n; a100=−142

    Члены между заданными членами арифметической последовательности называются средними арифметическими. Члены между заданными членами арифметической последовательности..

    Пример 3

    арифметическая последовательность. Другими словами, найдите все средние арифметические между 1 ст и 7 й терм.

    Решение:

    Начните с нахождения общей разности d . В этом случае нам даны первый и седьмой члены:

    an=a1+(n−1)d  Use n=7.a7=a1+(7−1)da7=a1+6d

    Подставляем a1=−8 и a7=10 в приведенное выше уравнение, а затем найдите общую разность d .

    10=−8+6d18=6d3=d

    Затем, используя первый член a1=−8 и общую разность d=3, находим уравнение для n -й член последовательности.

    an=−8+(n−1)⋅3=−8+3n−3=−11+3n

    С an=3n−11, где n — натуральное число, найдите недостающие члены.

    a1=3(1)−11=3−11=−8a2=3(2)−11=6−11=−5a3=3(3)−11=9−11=−2a4=3(4) −11=12−11=1a5=3(5)−11=15−11=4a6=3(6)−11=18−11=7     }      арифметическое среднее a7=3(7)−11=21−11=10

    Ответ: −5, −2, 1, 4, 7

    В некоторых случаях первый член арифметической последовательности может не быть задан.

    Пример 4

    Найдите общий член арифметической прогрессии, где a3=−1 и a10=48.

    Решение:

    Чтобы определить формулу общего члена, нам нужны a1 и d. Линейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an=a1+(n−1)d:

    {a3=a1+(3−1)da10=a1+(10−1)d⇒   {−1= a1+2d48=a1+9d  Используйте a3=−1. Используйте  a10=48.

    Исключите a1, умножив первое уравнение на −1, и добавьте результат ко второму уравнению.

    {−1 = a1+2d48 = a1+9d ⇒ × (−1)+{1 = −a1-2d48 = a1+9d¯ 49= 7D7 = D

    Заменитель D = 7 на -1 = A1+2D, чтобы найти A1.

    −1=a1+2(7)−1=a1+14−15=a1

    Затем используйте первый член a1=−15 и общую разность d=7, чтобы найти формулу для общего члена.

    an=a1+(n−1)d=−15+(n−1)⋅7=−15+7n−7=−22+7n

    Ответ: an=7n−22

    Попробуйте! Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления его 100 -й терм: 32,2,52,3,72,…

    Ответ: an=12n+1; a100=51

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Арифметический ряд

    Арифметический рядСумма членов арифметической прогрессии. представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Например, сумма первых 5 членов последовательности, определяемой выражением an=2n−1, выглядит следующим образом:

    S5=Σn=15(2n−1)=[2(1)−1]+[2(2)− 1]+[2(3)−1]+[2(4)−1]+[2(5)−1]=1+3+5+7+9=25

    Сложение 5 положительных нечетных целых чисел, как мы сделали выше, является управляемым. Однако рассмотрите возможность добавления первых 100 положительных нечетных целых чисел. Это было бы очень утомительно. Поэтому далее мы разрабатываем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n терминов, обозначаемых Sn, любой арифметической последовательности. В общем случае

    Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+an

    Записав этот ряд в обратном порядке, получим

    Sn=an+(an−d)+(an−2d)+ …+a1

    Складывая вместе эти два уравнения, члены, содержащие d , складываются в ноль, и мы получаем n множителей a1+an:

    2Sn=(a1+an)+(a1+an)+… +(an+a1)2Sn=n(a1+an)

    Разделив обе части на 2, мы получим формулу для n -й частичной суммы арифметической последовательностиСумма первых n членов арифметической последовательности, заданной формулой: Sn=n(a1+an)2. :

    Sn=n(a1+an)2

    Используйте эту формулу для вычисления суммы первых 100 членов последовательность, определяемая an=2n−1. Здесь a1=1 и a100=199.

    S100=100(a1+a100)2=100(1+199)2=10000

    Пример 5

    Найдите сумму первых 50 членов данной последовательности: 4, 9, 14, 19, 24, …

    Решение:

    Определите, есть ли общее различие между данными терминами.

    d=9−4=5

    Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 5. Последовательность действительно представляет собой арифметическую прогрессию, и мы можем записать

    an=a1+(n−1)d=4+(n −1)⋅5=4+5n−5=5n−1

    Таким образом, общий термин равен an=5n−1. Чтобы вычислить частичную сумму 50 th этой последовательности, нам нужны члены 1 st и 50 th :

    a1=4a50=5(50)−1=249

    50 й частичная сумма данной арифметической прогрессии.

    Sn=n(a1+an)2S50=50.(a1+a50)2=50(4+249)2=25(253)=6,325

    Ответ: S50=6,325

    Пример 6

    Оценить: Σn=135(10−4n).

    Решение:

    В этом случае нас просят найти сумму первых 35 членов арифметической прогрессии с общим членом an=10−4n. Используйте это, чтобы определить 1 st и 35 th термин.

    a1=10−4(1)=6a35=10−4(35)=−130

    Затем используйте формулу для определения 35 th частичной суммы.

    Sn=n(a1+an)2S35=35⋅(a1+a35)2=35[6+(−130)]2=35(−124)2=−2,170

    Ответ: −2,170

    Пример 7

    Первый ряд сидений в открытом амфитеатре содержит 26 мест, второй ряд — 28 мест, третий ряд — 30 мест и так далее. Если в зале 18 рядов, то какова общая вместимость театра?

    Рис. 9.2

    Римский театр (Википедия)

    Решение:

    Начните с поиска формулы, которая определяет количество мест в любом ряду. Здесь количество мест в каждом ряду образует последовательность:

    26,28,30,…

    Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 2. Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, где a1=26 и d=2.

    an=a1+(n−1)d=26+(n−1)⋅2=26+2n−2=2n+24

    Следовательно, количество мест в каждом ряду равно an=2n+24 . Чтобы рассчитать общую вместимость 18 рядов, нам нужно вычислить частичную сумму 18 th . Для этого нам понадобятся 1 st и 18 th членов:

    a1=26a18=2(18)+24=60

    Используйте это для вычисления частичной суммы 18 th следующим образом:

    Sn=n(a1+an)2S18=18⋅(a1+a18)2=18(26+60)2=9(86)= 774

    Ответ: Всего 774 места.

    Попробуйте! Найдите сумму первых 60 членов данной последовательности: 5, 0, −5, −10, −15, …

    Ответ: S60=−8,550

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Ключевые выводы

    • Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница d между последовательными членами постоянна.
    • Общий член арифметической последовательности может быть записан через его первый член a1, общую разность d и индекс n следующим образом: an=a1+(n−1)d.
    • Арифметический ряд — это сумма членов арифметической прогрессии.
    • n -я частичная сумма арифметической последовательности может быть вычислена с использованием первого и последнего членов следующим образом: Sn=n(a1+an)2.

    Тематические упражнения

      Часть A: Арифметические последовательности

        Запишите первые 5 членов арифметической прогрессии, учитывая ее первый член и общую разность. Найдите формулу для его общего члена.

      1. а1=5; д=3

      2. а1=12; д=2

      3. а1=15; д=-5

      4. а1=7; д=-4

      5. а1=12; д=1

      6. а1=23; д=13

      7. а1=1; д=-12

      8. а1=-54; д=14

      9. а1=1,8; д=0,6

      10. а1=-4,3; г=2,1

        Учитывая арифметическую последовательность, найдите формулу для общего термина и используйте ее для определения 100 -го -го термина.

      1. 3, 9, 15, 21, 27,…

      2. 3, 8, 13, 18, 23,…

      3. −3, −7, −11, −15, −19,…

      4. −6, −14, −22, −30, −38,…

      5. -5, -10, -15, -20, -25,…

      6. 2, 4, 6, 8, 10,…

      7. 12, 52, 92, 132, 172,…

      8. −13, 23, 53, 83, 113,…

      9. 13, 0, −13, −23, −1,…

      10. 14, −12, −54, −2, −114,…

      11. 0,8, 2, 3,2, 4,4, 5,6,…

      12. 4,4, 7,5, 10,6, 13,7, 16,8,…

      13. Найдите 50 -е положительное нечетное целое число.

      14. Найдите 50 th положительное четное целое число.

      15. Найти 40 -й член в последовательности, состоящей из всех остальных положительных нечетных целых чисел: 1, 5, 9, 13,…

      16. Найти 40 -й член в последовательности, состоящей из всех остальных положительных четных целых чисел: 2, 6, 10, 14,…

      17. Каким числом является член 355 в арифметической последовательности −15, −5, 5, 15, 25,…?

      18. Каким числом является член -172 в арифметической прогрессии 4, -4, -12, -20, -28,…?

      19. Для заданной арифметической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=an−1+5, где a1=2 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и общую разность д .

      20. Для заданной арифметической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=an−1−9, где a1=4 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и общую разность d .

        Учитывая члены арифметической прогрессии, найдите формулу для общего члена.

      1. а1=6 и а7=42

      2. а1=-12 и а12=-6

      3. а1=-19 и а26=56

      4. а1=-9 и а31=141

      5. а1=16 и а10=376

      6. а1=54 и а11=654

      7. а3=6 и а26=-40

      8. а3=16 и а15=76

      9. а4=-8 и а23=30

      10. a5=-7 и a37=-135

      11. a4=-2310 и a21=-252

      12. а3=18 и а12=-112

      13. а5=13,2 и а26=61,5

      14. а4=-1,2 и а13=12,3

        Найдите все средние арифметические между данными терминами.

      1. а1=-3 и а6=17

      2. а1=5 и а5=-7

      3. а2=4 и а8=7

      4. а5=12 и а9=-72

      5. а5=15 и а7=21

      6. а6=4 и а11=-1

      Часть B: Арифметический ряд

        Рассчитайте указанную сумму по формуле общего срока.

      1. ан=3n+5; S100

      2. ан=5n-11; S100

      3. ан=12-n; S70

      4. ан=1-32n; S120

      5. ан=12n-34; S20

      6. ан=n-35; S150

      7. ан=45-5н; S65

      8. ан=2n-48; S95

      9. ан=4,4-1,6n; S75

      10. ан=6,5n-3,3; S67

        Оценить.

      1. ∑n=1160(3n)

      2. ∑n=1121(−2n)

      3. ∑n=1250(4n−3)

      4. ∑n=1120(2n+12)

      5. ∑n=170(19−8n)

      6. ∑n=1220(5−n)

      7. ∑n=160(52−12n)

      8. ∑n=151(38n+14)

      9. ∑n=1120(1,5n−2,6)

      10. ∑n=1175(−0,2n−1,6)

      11. Найдите сумму первых 200 положительных целых чисел.

      12. Найдите сумму первых 400 положительных целых чисел.

        Общий термин для последовательности положительных нечетных целых чисел задается как an=2n−1, а общий термин для последовательности положительных четных целых чисел задается как an=2n. Найдите следующее.

      1. Сумма первых 50 положительных нечетных целых чисел.

      2. Сумма первых 200 положительных нечетных целых чисел.

      3. Сумма первых 50 положительных четных целых чисел.

      4. Сумма первых 200 положительных четных целых чисел.

      5. Сумма первых k положительных нечетных целых чисел.

      6. Сумма первых k положительных четных целых чисел.

      7. Первый ряд кресел в маленьком театре состоит из 8 мест. После этого в каждом ряду на 3 места больше, чем в предыдущем ряду. Если в зале 12 рядов, сколько всего мест в зале?

      8. Первый ряд сидений в открытом амфитеатре содержит 42 места, второй ряд — 44 места, третий ряд — 46 мест и так далее. Если в зале 22 ряда, какова общая вместимость театра?

      9. Если треугольная стопка кирпичей имеет 37 кирпичей в нижнем ряду, 34 кирпича во втором ряду и так далее с одним кирпичом наверху. Сколько кирпичей в стопке?

      10. В каждом последующем ряду треугольной стопки кирпичей на один кирпич меньше, пока сверху не останется только один кирпич. Сколько рядов в стопке, если всего 210 кирпичей?

      11. 10-летний контракт о зарплате предлагает 65 000 долларов в первый год с увеличением на 3 200 долларов каждый последующий год. Определить общую сумму обязательств по заработной плате за 10-летний период.

      12. Башня с часами бьет в колокол столько раз, сколько указано в часах. В час дня он бьет один раз, в два часа он бьет два раза и так далее. Сколько раз в день бьет колокол на башне с часами?

      Часть C: Дискуссионная доска

      1. Является ли последовательность Фибоначчи арифметической последовательностью? Объяснять.

      2. Используйте формулу для n -й частичной суммы арифметической последовательности Sn=n(a1+an)2 и формулу общего члена an=a1+(n−1)d, чтобы получить новую формулу для n -я частичная сумма Sn=n2[2a1+(n−1)d]. В каких случаях эта формула будет полезна? Объясните на примере собственного изготовления.

      3. Обсудите методы вычисления сумм, где индекс не начинается с 1. Например, Σn=1535(3n+4)=1,659.

      4. Известная история связана с плохим поведением Карла Фридриха Гаусса в школе. В наказание учитель дал ему задание сложить первые 100 целых чисел. Легенда гласит, что молодой Гаусс ответил правильно в течение нескольких секунд. Каков ответ и как, по-вашему, ему удалось так быстро найти сумму?

    Ответы

    1. 5, 8, 11, 14, 17; ан=3n+2

    3. 15, 10, 5, 0, −5; ан=20−5n

    5. 12, 32, 52, 72, 92; ан=n−12

    7. 1, 12, 0, -12, -1; an=32−12n

    9. 1,8, 2,4, 3, 3,6, 4,2; ан=0,6n+1,2

    11. ан=6n-3; а100=597

    13. ан=1-4n; а100=-399

    15. ан=-5n; а100=-500

    17. ан=2n-32; а100=3972

    19. ан=23-13н; а100=-983

    21. ан=1,2n-0,4; а100=119,6

    23. 99

    25. 157

    27. 38

    29. ан=5n−3

    31. ан=6n

    33. ан=3n−22

    35. ан=23n−12

    37. ан=12−2n

    39. ан=2n−16

    41. ан=110−35n

    43. ан=2,3n+1,7

    45. 1, 5, 9, 13

    47. 92, 5, 112, 6, 132

    49. 18

    1. 15 650

    3. −2 450

    5. 90

    7. −7 800

    9. −4 230

    11. 38 640

    13. 124 750

    15. −18 550

    17. −765

    19. 10 578

    21. 20 100

    23. 2 500

    25. 2 550

    27. к2

    29. 294 места

    31. 247 кирпичей

    33. 794 000 долларов США

    1. Ответ может отличаться

    3. Ответ может отличаться

    Последовательности и ряды Класс 11 Примечания Математика Глава 9

    Последовательность
    Последовательность чисел, расположенных в определенном порядке в соответствии с заданным определенным правилом, называется последовательностью. Последовательность либо конечна, либо бесконечна в зависимости от количества членов в последовательности.

    Серия
    Если 1 , 2 , 3 ,…… n — последовательность, то выражение а 1 + а 2 + а 3 + а 4 + … + а n называется серией.

    Прогрессия
    Последовательность, члены которой следуют определенным шаблонам, чаще называется прогрессией.

    Арифметическая прогрессия (АП)
    Последовательность, в которой разница двух последовательных членов постоянна, называется арифметической прогрессией (АП).

    Свойства арифметической прогрессии (АП)
    Если последовательность является A.P., то ее n-й член является линейным выражением в n, т. е. его n-й член задается как An + B, где A и S — константы, а A — общая разность.

    n-й член AP : Если a — первый член, d — общая разность, а l — последний член AP, то

    • n-й член определяется как a n = a + (n — 1)d .
    • n-й член AP от последнего члена a’ n =a n – (n – 1)d.
    • а п + а’ n = константа
    • Общая разность АП, т.е. d = a n – a n-1 ,∀ n > 1.

    Если константа добавляется или вычитается из каждого члена AR, то результирующая последовательность является AP с тем же общим отличием.

    Если каждый член AP умножается или делится на ненулевую константу, то результирующая последовательность также является AP.

    Если a, b и c — три последовательных члена A.P, то 2b = a + c.

    Любые три члена АП могут быть взяты как (a – d), a, (a + d), а любые четыре члена AP могут быть приняты как (a – 3d), (a – d), (a + г), (а + 3г)

    Сумма n членов AP
    Сумма n членов AP определяется как
    S n = \(\frac { n }{ 2 }\) [2a + (n – 1)d] = \(\frac { n }{ 2 }\) (a 1 + a n )

    Последовательность является ПП Если сумма n членов имеет вид An 2 + Bn, где A и B постоянны, а A = половине общей разности, т. е. 2A = d.

    a n =S n – S n-1

    Среднее арифметическое
    Если a, A и b принадлежат A.P, то A = \(\frac { a+b }{ 2 }\ ) называется средним арифметическим чисел a и b.

    Если a 1 , a 2 , a 3 , ……a n являются n числами, то их среднее арифметическое равно

    Геометрическая прогрессия (ГП) отношение двух последовательных членов постоянно, называется геометрической прогрессией. Постоянное отношение называется обыкновенным отношением (r).
    т. е. r = \(\frac { { a }_{ n }+1 }{ { a }_{ n } }\), ∀ n > 1

    Свойства геометрической прогрессии
    Если a является первым членом и r — обыкновенное отношение, то общий член или n-й член GP — это 9{ n-1 } }\), l = последний член

    Если все члены ГП умножить или разделить на одну и ту же ненулевую константу, то результирующая последовательность является ГП с тем же знаменателем.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *