Арифметическая прогрессия формулы 9 класс примеры – Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

9 класс арифметическая прогрессия | математика-повторение

Записи с меткой "9 класс арифметическая прогрессия"

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия

{an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а24):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и

равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an

= a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + …...+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2S

n = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

www.mathematics-repetition.com

Типовые задачи по теме "Арифметическая прогрессия" (продолжение)

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Типовые задачи по теме "Арифметическая прогрессия" (продолжение)». На данном уроке преподаватель повторяет ранее изученный материал касательно арифметической прогрессии. В процессе занятия у учащихся нарабатываются навыки решения типовых разноплановых задач по теме «Арифметическая прогрессия».

Тема: Прогрессии

 Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

.

2.  – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т.е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит,  является функцией натурального аргумента.

3.  – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

 – вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. при допустимых значениях

p ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии:  , если . Например, .

Задача 1.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных  задач):

  Составим и решим систему:

           

Ответ:  .

Примечание:

Задача 2.

Проверить

Решение.

   

Задача 3.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: .  Откуда, . Следовательно,

Составим и решим систему:

          

                    

Ответ:  

Задача 4.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти .

Повторение:  1.  

2.  

3. +5.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

  Составим и решим систему:

             

  

Ответ:  .

Задача 5.

Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц  на 4 больше цифры сотен.

Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

Дано: .

Найти: х.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

  Составим и решим систему:

          

.

Ответ: .

Задача 6.

 

Найдите x, при котором числа  образуют конечную арифметическую прогрессию.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

  

Решая полученное квадратное уравнение, получаем

Ответ:

Задача 7.

Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.

Дано:  , .

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае:.

Ответ: .

Задача 8.

Докажите, что последовательность, сумму n первых членов которой можно вычислить по формуле , , является арифметической прогрессией.

Решение.

. Тогда,

Равенство  означает, что -й член линейно зависит от ,  значит, последовательность

interneturok.ru

Сумма n-первых членов арифметической прогрессии. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9


Тип урока: Изучение нового материала, выработка алгоритма решения основных типов задач по данной теме.

Цели урока:

  1. Вывести формулы для вычисления n первых членов арифметической прогрессии;
  2. Научить учащихся применять выведенные формулы в различных типах задач;
  3. Воспитание внимательности;
  4. Расширение кругозора.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать арифметическую прогрессию. Мы уже изучили формулу а.п., умеем её применять. Немного повторим.

Приложение 1

I. Проверка знаний:

  • Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
  • Что такое d, как его можно найти?
  • Что достаточно знать, чтобы арифметическая прогрессия была задана?
  • Что такое рекуррентная формула для последовательности?
  • Какой вид имеет формула n-го члена арифметической прогрессии?
  • Какой вид должна иметь формула n-го члена последовательности, чтобы эта последовательность была арифметической прогрессией?
  • Исключите лишнюю последовательность:

а) 3; 7; 11; 15;…
б) 1; 4; 9; 16;…
в) 2; 9; 16; 23;…
г) 1; 3; 5; 7;…

II. Фокус:

Учитель вызывает ученика и ставит его спиной к доске, говорит что-то ему на ухо и открывает доску, на которой записаны 23 чисел: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28; 31; 34; 37; 40; 43; 46; 49; 52; 55; 58; 61; 64; 67. Учитель предлагает учащимся называть номер числа, а ученик мгновенно называет само число. Учитель предлагает учащимся объяснить, как ему это удается.

( Ученику была сообщена формула n-го члена: аn = 3n – 2)

III. Задание

Найти седьмые члены следующих арифметических прогрессий:

а) (аn ): -6;, -3, 0…;
б) (аn): а1 = 6, d = 5;
в) аn = 27 – 6n;
г) (аn): а1 = -26, d = 7;
д) (аn): 4; 6; 8…;

Сопоставить полученные ответы буквам в шифре и прочитать зашифрованное слово.

Таблица шифра:

-15

11

12

16

36

У

Ф

Г

С

А

Ответ: Гаусс.

Карл Гаусс (1777– 1855).

Это фамилия немецкого ученого-математика, астронома, геодезиста. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Как-то учитель гимназии, в которой учился Карл Гаусс, предложил учащимся найти сумму чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту. Сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98… и 101·50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу? (Нужно было найти сумму 100 первых членов арифметической прогрессии, где первый член равен 1, а разность арифметической прогрессии равна 1.

IV. Сообщение темы урока и его целей:

Итак, тема нашего урока сегодня “Сумма n первых членов арифметической прогрессии”. Сегодня на уроке мы выведем формулы n первых членов арифметической прогрессии, научимся их применять в различных типах задач.

V. Изучение нового материала.

И сейчас мы выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии простым и наглядным способом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой.

Например, фигура АВСD изображает прогрессию 2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABCD и GEDC.

Площадь каждой из них изображает сумму членов данной прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е. (AD + DE) · AB, но AD + DE изображает сумму первого и пятого членов прогрессии. Поэтому двойная сумма:

2Sn = (сумма крайних членов) · (число членов),

Sn = ,

Sn = . (*)

Открыть учебники на стр. п. Прочитаем вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формулу (*) можно преобразовать следующим образом:

  • Таким образом, мы получили формулу: .(**)

VI. Применим эту формулу:

Пример I.

Найти сумму первых 30 членов последовательности (аn), заданной формулой аn = 3n – 2.

Здесь а1 = 3·1 – 2 = 3 – 2 = 1,

а30 = 3·30 – 2 = 90 – 2 = 88.

Какой формулой можно воспользоваться? (*)

Пример II. Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии 4; 7; 10;… Здесь а1 = 4, d = 10 – 7 = 7 – 4 = 3. Применим (**) формулу:

Пример III. Математический папирус Ринда (или Райнда) (ок. XXI–XVIII вв до н.э.) – (по имени английского ученого, расшифровавшего его), Ахмеса – (по имени древнеегипетского писца) – древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650г. до н.э. Математический папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера, сейчас находится в Британском музее. Папирус Ринда имеет заголовок “Наставление, как достигнуть знания всех неизвестных вещей …всех тайн, содержащихся в вещах”.    

Проблема №R64. "Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 heqat пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 heqat пшеницы. В среднем это 1 heqat. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 heqat прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 heqat у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ".

Проблема заключается в том, чтобы поделить 10 heqat пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: h2, h3, h4, h5, H5, H6, H7, H8, H9 и h20. S – это общее количество, т.е. 10 heqat пшеницы. N – количество частей. У каждого разное количество heqat. При этом у каждого на 1/8 heqat больше, чем у предыдущего. Пусть h3 = h2 + 1/8, h4 = h3 + 1/8 и т.д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

S10 =10, n = 10, d = , a1 -?

Sn =

10 =

a1 =1 – =

Ответ: первый получит

VII. Выполним упражнения:

№ 369 (самостоятельно, 2 человека за доской, с последующей самопроверкой)

№ 370. Какой формулой воспользуемся?

VIII. Домашнее задание:

В знаменитом египетском папирусе Ринда есть любопытная задача. Папирус этот, разысканный Риндом в конце XIX столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Эта задача считается самой древней из задач на арифметическую прогрессию. В вольном переводе она звучит так:

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?

Переведем эту задачу на язык арифметической прогрессии:

I – а1
II – а1 + d
III – а1 + 2d
IV – а1 + 3d
V – а1 + 4d.

Кроме того, а1 + а1 + d < а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d в 7 раз.

Составим систему уравнений:

а1 + а1 + d + а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d = 100,

7(а1 + а1 + d) = а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d.

Предлагаю решить эту задачу дома аналитически.

П. 17, примеры 1-4 разобрать по учебнику, № 371, 373, задача из папируса Ринда, из дополнительной литературы найти задачу на арифметическую прогрессию.

IX. Подведение итогов.

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?

6.04.2011

urok.1sept.ru

Арифметическая прогрессия. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9


Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Задачи урока:

  • Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.
  • Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
  • Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1)

Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, ОАО "Московские учебники", 2010

План урока:

  1. Организационный момент , постановка задачи
  2. Актуализация знаний, устная работа
  3. Изучение нового материала
  4. Первичное закрепление
  5. Подведение итогов урока
  6. Домашнее задание

В целях повышения наглядности и удобства работы с материалом, урок идет в сопровождении презентации. Однако это не является обязательным условием, и тот же урок может быть проведен в классах, не оснащенных мультимедийным оборудованием. Для этого необходимые данные могут быть подготовлены на доске или в виде таблиц и плакатов.

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Приветствие.

Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний, устная работа.

Последовательность () задана формулой: =. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

О последовательности () известно, что , . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности.

О последовательности () известно, что . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите , если?

III. Изучение нового материала.

Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия".

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Рассмотрим последовательности чисел:

  • 2, 6, 10, 14, 18, :.
  • 11, 8, 5, 2, -1, :.
  • 5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?

Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?

(Ответы учеников)

Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.

(Ответы учеников)

Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.

Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

( - арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.

Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( , то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

В случае, если разность равна нулю () и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

:::::::::::::

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и .

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: 260.

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.

Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда

.

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего ( . И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

IV. Первичное закрепление.

  • № 575 аб - устно
  • № 576 авд - устно
  • № 577б - самостоятельно с проверкой

Последовательность (- арифметическая прогрессия. Найдите , если и

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: -24,2.

№ 580 а

Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :

Решение: Первый член арифметической прогрессии равен -8. Найдем разность арифметической прогрессии, для этого надо из последующего члена последовательности вычесть предыдущий: -6,5-(-8)=1,5.

Воспользуемся формулой n-ого члена:

Ответ: 25.

№584 а

Найдите первый член арифметической прогрессии (), если

Решение. Воспользуемся формулой n-ого члена, записав ее для тридцатого члена последовательности:

Подставив известные значения, получаем: 128 =

,

.

Ответ: 12.

Задача. Числовая последовательность задана формулой

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

1-й способ. Поскольку , при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы разность этой прогрессии равна 5.

2-й способ. Если последовательность является арифметической прогрессией, то должно выполняться характеристическое свойство:.

, , . Выполнив преобразования в обратную сторону для любого n, получаем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

Замечание. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой где k и b - некоторые числа.

Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. По условию , . Заметим, что , откуда .

По формуле n-ого члена , откуда

Ответ: -2.

V. Подведение итогов урока.

Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Домашнее задание.

Пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.

Творческое задание для сильных учеников: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k<n, выполняются равенства и .

Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.

Презентация.

8.02.2011

urok.1sept.ru

Арифметическая прогрессия. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. Разность арифметической прогрессии

Сложность: лёгкое

1
2. Нахождение члена и разности арифметической прогрессии

Сложность: лёгкое

1
3. Нахождение членов арифметической прогрессии

Сложность: лёгкое

5
4. Сумма членов арифметической прогрессии

Сложность: среднее

1
5. Нахождение члена арифметической прогрессии, даны разность и первый член

Сложность: среднее

3
6. Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сложность: среднее

4
7. Разность арифметической прогрессии

Сложность: лёгкое

2
8. Сумма членов арифметической прогрессии

Сложность: среднее

2
9. Прогрессия в текстовой задаче, вычисление высоты

Сложность: среднее

4
10. Сумма натуральных чисел

Сложность: сложное

4
11. Вычисление разности при наименьшем значении членов прогрессии

Сложность: сложное

4,5
12. Арифметическая прогрессия и трапеция

Сложность: сложное

8

www.yaklass.ru

9 класс. Алгебра. Прогрессии. - Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим арифметическую прогрессию и ее свойства.
Вначале дадим определение арифметической прогрессии и приведем ряд примеров. Далее выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии и докажем, что арифметическая прогрессия – это линейная функция. В конце решим ряд примеров на пройденный материал.

 

 

Тема: Про­грес­сии

Урок: Опре­де­ле­ние и свой­ства ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, фор­му­ла n-го члена

Вспом­ним, что чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – част­ный слу­чай функ­ции, функ­ции, опре­де­лен­ной на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – част­ный слу­чай чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Рас­смот­рим при­ме­ры, да­ю­щие пред­став­ле­ние об ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

1. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член боль­ше преды­ду­ще­го на 4 (обо­зна­чим это число бук­вой d), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей  () .

2. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел:  В этой по­сле­до­ва­тель­но­сти все числа равны между собой, .

3. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Чтобы по­лу­чить по­сле­ду­ю­щий член надо к преды­ду­ще­му при­ба­вить число (-2), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей () .

Дадим опре­де­ле­ние  ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность, каж­дый член ко­то­рой, на­чи­ная со вто­ро­го, равен сумме преды­ду­ще­го члена и од­но­го и того же числа d, на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей, число d на­зы­ва­ет­ся ее раз­но­стью. 

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:.

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия может быть за­да­на ре­кур­рент­но:  

Непо­сред­ствен­но из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сл

www.kursoteka.ru

Урок математики по теме "Арифметическая прогрессия". 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9


Цель урока: формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии.

Задачи урока:

  • Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены прогрессий.
  • Развивающие - способствовать формированию умений сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умений наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности.
  • Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: презентация (Приложение 1)

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний. Устный счет.

3. Изучение нового материала.

4. Первичное закрепление в устной и письменной речи.

5. Блиц-контроль (первичный контроль знаний).

6. Подведение итогов урока. Рефлексия результативности.

7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, организация учащихся на учебную деятельность (сообщение темы и плана урока).

2. Актуализация опорных знаний. Устный счет.

1) Приведите примеры числовых последовательностей.

2) Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей числа 1200?

3) Является ли конечной или бесконечной последовательность кратных числа 8?

4) Последовательность (хп) задана формулой: хп = п2 . Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? Как называется такой способ задания последовательности?

5) О последовательности (ип ) известно, что и1 = 1, и2 = 1, ип +1 = ип + ип -1 при п>2. Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые шесть членов этой последовательности.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... . Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180 -1240). Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи.

3. Изучение нового материала.

Числовая последовательность задана формулой ап = 2п + 5. Заполните таблицу.

а1 а2 а3 а4 а5 а6 а7
             

Чему равен третий член первой последовательности?

Последующий член?

Предыдущий член?

Чему равна разность между вторым и первым членами?

Третьим и вторым членами?

Четвертым и третьим?

Каким свойством обладает эта последовательность? Сформулируйте это свойство.

Назовите два последующих члена последовательности. Почему Вы так считаете?

Числовая последовательность, обладающая этим свойством, называется арифметической прогрессией. (Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение).

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

(ап ) - арифметическая прогрессия, если ап +1 = ап + d, где d - некоторое число.

Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью арифметической прогрессии: d = ап +1 - ап .

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Примеры арифметических прогрессий

Составьте последовательности, применяя определение арифметической прогрессии.

а1 = 1, d = 1

1; 2; 3; 4; 5; ...

последовательность натуральных чисел.

а1 = 1, d = 2

1; 3; 5; 7; 9; ...

последовательность положительных нечётных чисел.

а1 = -2, d = -2

-2; -4; -6; -8; -10; ...

последовательность отрицательных чётных чисел.

а1 = 7, d = 0

7; 7; 7; 7; 7; ...

Какой вывод вы можете сделать из предложенных примеров?

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно.

Вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии.

Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада в июне? В декабре?

Чтобы ответить на поставленные вопросы необходимо последовательно вычислять количество изделий ежемесячно. Для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Давайте выведем способ, требующий наименьшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии:

а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d = 1 + d) +d = а1 + 2d;

а4 = а3 + d = (а1 + 2d) +d = а1 + 3d;

а5 = а4 + d = (а1 + 3d) +d = а1 + 4d;

а6 = а5 + d = (а1 + 4d) +d = а1 + 5d;

аn = а1 + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя полученную формулу, получаем ответ на поставленные вопросы.

а1 = 80, d =17

а6 = а1 + 5d

а6 = 80 + 5 · 17= 165 - количество изделий, изготовленное бригадой в июне

а12 = а1 + 11d

а12 = 80 + 11 ·17 =267 - количество изделий, изготовленное бригадой в декабре

4. Первичное закрепление в устной и письменной речи.

Выполнение заданий из учебника №575 (а,б), 576, 577 (решение у доски с объяснением).

5. Блиц - контроль (первичный контроль знаний).

Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой по предложенным ответам) на карточках проводится в виде теста, как подготовка к итоговой аттестации в новой форме.

1 вариант.

1. Первый член арифметической прогрессии 2, разность 4. Укажите ее третий член.

А. 12 Б. 10 В. 8 Г. 14

2. Первый член арифметической прогрессии 5, второй 8. Укажите четвертый член.

А. 13 Б. 16 В. 14 Г. 11

3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 2; 4; 8; 16; Б. -5; 5; -5; 5; В. 1; 3; 5; 7; Г. 1; 4; 9; 16.

2 вариант.

1. Первый член арифметической прогрессии 1, разность 3. Укажите ее третий член.

А. 9 Б. 6 В. 8 Г. 7

2. Первый член арифметической прогрессии 3, второй 7. Укажите четвертый член.

А. 15 Б. 16 В. 14 Г. 13

3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 1; 4; 9; 16; Б. 3; -3; 3; -3; В. 5; 3; 1; -1; -3; Г. 1; 8; 27; 64.

3 вариант.

1. Первый член арифметической прогрессии 5, разность 4. Укажите ее третий член.

А. 12 Б. 11 В. 13 Г. 14

2. Первый член арифметической прогрессии 6, второй 3. Укажите четвертый член.

А. -3 Б. -2 В. -1 Г. 1

3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 2; 4; 8; 16; Б. -6; 6; -6; 6; В. 1; 2; 4; 7; Г. 4; 1; -2; -5.

4 вариант.

1. Первый член арифметической прогрессии 3, разность 5. Укажите ее третий член.

А. 13 Б. 12 В. 11 Г. 10

2. Первый член арифметической прогрессии 4, второй 1. Укажите четвертый член.

А. -3 Б. -4 В. -5 Г. -6

3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. -2; 2; -2; 2; Б. 5; 2; -1; -4; В. 5; 3; 0; -4; Г. 1; 8; 14; 19.

Самопроверка осуществляется с помощью мультимедийного проектора.

1 вариант

Ответы:

1. Б

2. В

3. В

2 вариант

Ответы:

1. Г

2. А

3. В

3 вариант

Ответы:

1. В

2. А

3. Г

4 вариант

Ответы:

1. А

2. В

3. Б

6. Подведение итогов урока. Рефлексия результативности.

Что нового мы узнали на уроке?

Достигли ли вы поставленной цели?

Всё ли вам удалось?

Как вы думаете, всё ли мы узнали об арифметической прогрессии?

Попробуйте оценить свою работу на уроке?

Довольны ли вы своим результатом?

7. Домашнее задание:п.25, №575 (в,г), 578.

Закончить наш урок я хочу словами великого учёного Фалеса:

"Что есть больше всего на свете? - Пространство.

Что быстрее всего на свете? - Ум.

Что мудрее всего? - Время.

Что приятнее всего? - Достичь желанного".

Литература:

  1. Алгебра: Учебник для 9кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, П.Г. Миндюк, К.И.
  2. Нешков, С.Б, Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - М.:Просвещение, 2009г.
  3. Алгебра.9кл.:поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева и др./ авт.-сост. С.П. Ковалева
  4. Информационно-образовательные ресурсы Интеренет.

30.07.2014

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *