Арифметическая прогрессия с примерами: Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

• Геометрическая прогрессия. Формула суммы
• Простые примеры на прогресию
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Простые примеры
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Средний уровень сложности
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные примеры

9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

Главная » 9 класс. Алгебра. » 9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

На чтение 3 мин. Просмотров 2.2k.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {a_n}, т. е. в арифметической прогрессии с членами:  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …, a_n-1, a_n, …   по определению:

a₂=a₁+d;

a₃=a₂+d;

a₄=a₃+d;

a₅=a₄+d;

. ………….…

a_n=a_n-1+d; …

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:

a₂-a₁=d;

a₃-a₂=d;

a₄-a₃=d;

……….

a_n+1-a_n=d.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член a₁ и разность d.

Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член a₁ и разность d.

а) a₁=2, d=3.

Решение.  По условию разность арифметической прогрессии  d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.

a₂=a₁+d=2+3=5;

a₃=a₂+d=5+3=8;

a₄=a₃+d=8+3=11;

a₅=a₄+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; …

б) a₁=-7, d=2.

Решение. 

a₂=a₁+d=-7+2=-5;

a₃=a₂+d=-5+2=-3;

a₄=a₃+d=-3+2=-1;

a₅=a₄+d=-1+2=1. Ответ: -7; -5; -3; -1; 1; …

в) a₁=-10, d=-2.

Решение.

a₂=a₁+d=-10-2=-12;

a₃=a₂+d=-12-2=-14;

a₄=a₃+d=-14-2=-16;

a₅=a₄+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; …

Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии {a_n}. Требуется найти первый член a₁ и разность d.

а) a₂=7, a₃=-3.

Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:

d=a₃-a₂=-3-7=-10. Тогда a₁=a₂-d=7- (-10)=7+10=17. Ответ: a₁=17, d=-10.

б) a₃=-12, a₄=-16.

Решение. d=a4-a3=-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a₂=a3-d=-12- (-4)=-12+4=-8;

a₁=a₂-d=-8- (-4)=-8+4=-4. Ответ: a₁=-4, d=-4.

в) a2=-4, a₄=6.

Решение. Так как a₄=a₃+d; а в свою очередь a₃=a₂+d, то можно записать:

a₄=a2+d+d; a₄=a₂+2d ⇒ 2d=a₄— a₂=6- (-4)=6+4=10 ⇒ d=10:2=5.

Тогда a₁=a₂-d=-4-5=-9. Ответ: a₁=-9, d=5.

определение арифметической прогрессии определение арифметической прогрессии-примеры первый член и разность арифметической прогрессии

( 1 оценка, среднее 5 из 5 )

Арифметическая последовательность — математика GCSE

Введение

Что такое арифметические последовательности?

Как продолжить арифметическую последовательность

Рабочий лист арифметических последовательностей

Формула арифметической последовательности

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: продолжайте последовательность

Как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: найдите пропущенные числа

Как сгенерировать арифметическую последовательность

Практикуйте вопросы по арифметическим последовательностям: сгенерируйте последовательность

Вопросы GCSE по арифметической последовательности

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE теперь доступны

Узнать больше

Введение

Что такое арифметические последовательности?

Как продолжить арифметическую последовательность

Рабочий лист арифметических последовательностей

Формула арифметической последовательности

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: продолжайте последовательность

Как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: найдите пропущенные числа

Как сгенерировать арифметическую последовательность

Практикуйте вопросы по арифметическим последовательностям: сгенерируйте последовательность

Вопросы GCSE по арифметической последовательности

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем, что такое арифметическая последовательность, как продолжить арифметическую последовательность, как найти пропущенные члены в арифметической последовательности и как создать арифметическую последовательность.

В конце вы найдете рабочие листы арифметической последовательности, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая последовательность представляет собой упорядоченный набор чисел, которые имеют общую разность между каждым последовательным членом.

Например, в арифметической последовательности 3, 9, 15, 21, 27 общая разность равна 6.

Арифметическая последовательность может быть известна как арифметическая прогрессия. Разница между последовательными терминами в арифметической последовательности всегда одинакова.

Если мы прибавим или вычтем из одного и того же числа каждый раз, чтобы составить последовательность, то получится арифметическая последовательность .

Правило от термина к термину говорит нам, как мы переходим от одного термина к другому.

Вот несколько примеров арифметических последовательностей:

102

Первый термин	Правило с термином к терминам	Первые 5 терминов
3	Добавить 6	3,	3	Добавить 6	3,	3 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 27, 21, 21, 21104	. , …
8	Вычитание 2	8, 6, 4, 2, 0,…
12	Добавить 7	12, 19, 26, 33, 40104
-4, 4, 26, 33, 40,
-4, 4, 26, 33, 40,
-4.	Вычитание 5	-4, -9, -14, -19, -24,…
½	Добавить ½	½, 1, 1½, 2,5,…

91515151515151515151515151515191519

1515191519 2AER

1519151

191519 2AER

1519 2A последовательности

Арифметические последовательности также известны как линейные последовательности. Если бы мы представили арифметическую последовательность на графике, она образовала бы прямую линию, каждый раз поднимаясь (или опускаясь) на одну и ту же величину. Линейный значит прямой.

Что такое арифметические последовательности?

Как продолжить арифметическую последовательность

Для того чтобы продолжить арифметическую последовательность , вы должны уметь определить или вычислить правило перехода от члена к термину. Это делается путем вычитания двух последовательных членов, чтобы найти общую разницу.

Общая разность для арифметической последовательности одинакова для каждого последующего члена и может определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей.

1. Возьмите два последовательных члена последовательности.
2. Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность d.
3. Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина.

Объясните, как продолжить арифметическую последовательность в 3 шага

Рабочий лист арифметической последовательности

Получите бесплатный рабочий лист по арифметической последовательности, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист арифметической последовательности

Получите бесплатный рабочий лист арифметической последовательности, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Чтобы узнать больше о различных типах последовательностей и о том, как отвечать на вопросы, связанные с последовательностями, вам может быть полезно просмотреть урок «Введение в последовательности» или один из других уроков в этом разделе.

• Последовательности
• N-й срок
• Квадратичные последовательности
• Квадратичный n-й член
• Геометрическая последовательность

Формула арифметической последовательности

Формула арифметической последовательности:

Где,

a_{n} — n-й член (общий термин)

a_{1} — первый член

n — позиция терма

3 d — общая разность

Мы получаем формулу арифметической последовательности, глядя на следующий пример:

Мы видим, что общая разница (d) равна 6, поэтому d = 6.

a_{1} — первый член, равный 3

a_{2} — второй член, равный 9

a_{3} — третий член, равный 15 и т. д.

Однако мы можем записать это, используя общая разность 6 ,

Примеры арифметической последовательности: продолжение последовательности

Пример 1: продолжение арифметической последовательности

Вычислить следующие три члена последовательности 4, 7, 10, 13, 16, …

Возьмите два последовательных члена последовательности.

Здесь мы возьмем числа 10 и 13.

Вычтем первый член из следующего, чтобы найти общую разность, d .

d = 13 − 10 = 3

Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина.

16 + 3 = 19

19 + 3 = 22

22 + 3 = 25

Следующие три члена последовательности равны 19, 22 и 25.

Пример 2: продолжение арифметической последовательности с отрицательными числами

Вычислите следующие три члена последовательности -3, -9, -15, -21, -27, …

Возьмите два последовательных члена из последовательности.

Здесь мы возьмем числа -15 и -21.

Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность, d .

d = -21 − (-15) = -21 + 15 = -6

Добавьте общую разность к последнему числу в последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина.

-27 + (-6) = -27 — 6 = -33

-33 + (-6) = -33 — 6 = -39

-39 + (-6) = -39 — 6 = — 45

Следующие три члена -33, -39 и -45.

Пример 3: продолжение арифметической последовательности с десятичными знаками

Вычислите следующие три члена последовательности 0,1, 0,3, 0,5, 0,7, 0,9, …

Возьмите два последовательных члена последовательности.

Здесь мы возьмем числа 0,7 и 0,9.

Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность, д .

d = 0,9 − 0,7 = 0,2

Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина.

0,9 + 0,2 = 1,1

1,1 + 0,2 = 1,3

1,3 + 0,2 = 1,5

Следующие три члена — 1,1, 1,3 и 1,5.

Пример 4: продолжение арифметической последовательности с использованием дробей

Вычислить следующие три члена последовательности

\[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{5} {4}, \frac{3}{2}, \ldots\]

Возьмите два последовательных члена последовательности.

Здесь мы возьмем числа

\[\frac{5}{4} \text { и } \frac{3}{2}\]

Вычтем первый член из следующего, чтобы найти общую разность , д .

\[d=\frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{6}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} \]

Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина.

\[\begin{выровнено} \frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}&=\frac{7}{4} \\\\ \frac{7}{4}+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}&=2 \\\\ 2+\frac{1}{4}=2 \frac{1}{4}&=\frac{9{4} \end{align}\]

Следующие три термина:

\[\frac{7}{4}, 2, \text { и } \frac{9}{4}\]

Практика арифметической последовательности Вопросы: Продолжить последовательность

0,42, 0,32, 0,22

0,62, 0,72, 0,82

0,52, 0,62, 0,72

0,63, 0,64, 0,65

Общая разница, D = 0,32-0,22 = 0,1.

 

0,52+0,1=0,62

 

0,62+0,1=0,72

 

0,72+0,1=0,82

-5, -7, -9

-5, -3, -1

5, 7, 9

-1, 1, 3

Общая разность, d = 3-5 = -2 .

 

-3+(-2)=-5

 

-5+(-2)=-7

 

-7+(-2)=-9

-7, -1, 5

-7, 1, 7

7, 13, 19

-19, -25, -31

Общая разность, d=-31-(-37) = 6 .

 

-13+6=-7

 

-7+6=-1

 

-1+6=5

\frac{12}{4}, \frac{13}{4}, \frac{14}{4}

\frac{13}{5}, \frac{15}{6}, \frac {17}{7}

\frac{13}{4}, \frac{15}{4}, \frac{17}{4}

\frac{9}{4}, \frac{7} {4}, \frac{5}{4}

Общая разность,

d=\frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4}

\начать{массив}{л} \frac{11}{4} + \frac{2}{4} =\frac{13}{4}\\\\ \frac{13}{4} + \frac{2}{4} =\frac{15}{4}\\\\ \frac{15}{4} + \frac{2}{4} =\frac{17}{4} \конец{массив}

Как найти пропущенные числа в арифметической последовательности

Чтобы найти пропущенные числа в арифметической последовательности , мы используем общую разность. Это может быть полезно, когда вас просят найти большие термины в последовательности, и вам дан порядковый номер термина, который вы пытаетесь вычислить.

1. Вычислите общую разность между двумя последовательными терминами.
2. Добавьте общую разность к предыдущему члену перед отсутствующим значением.
3. Вычтите общую разность из члена после пропущенного значения.

Повторяйте шаги 2 и 3, пока не будут вычислены все отсутствующие значения. Возможно, вам потребуется использовать только шаг 2 или 3 в зависимости от того, какие условия вам были предоставлены.

Объясните, как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии за 3 шага

Примеры арифметической последовательности: найти пропущенные числа

Пример 5: найти пропущенные числа в арифметической последовательности

Вставьте пропущенные термины в последовательности 5, 8, …, …, 17.

 Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами.

d = 8 − 5 = 3

Добавьте общую разность к предыдущему члену перед пропущенным значением.

8 + 3 = 11

Вычесть общую разность из члена после пропущенного значения.

17 − 3 = 14

Отсутствуют члены 11 и 14.

Примечание. Здесь можно повторить шаг 2, используя 11 + 3 = 14.

Пример 6: нахождение пропущенных чисел в арифметической последовательности, включая отрицательные числа и десятичные дроби

Нахождение пропущенных значений в последовательности …, -0,6, …, -1,0, -1,2.

Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами.

d = -1,2 − (-1,0) = -1,2 + 1 = -0,2

Добавьте общую разность к предыдущему члену перед пропущенным значением.

-0,6 + (-0,2) = -0,6 − 0,2 = -0,8

Вычесть общую разность из члена после пропущенного значения.

-0,6 − (-0,2) = -0,6 + 0,2 = -0,4

Отсутствующие члены равны -0,4 и -0,8.

Пример 7: найти пропущенные числа в арифметической последовательности, когда пропущено несколько последовательных членов

Найти пропущенные значения в последовательности -6, …, …, 3, ….

Найдите расстояние между двумя известными терминами.

3 − (-6) = 3 + 6 = 9

Вычислите обыкновенную разность.

Чтобы получить от -6 до 3, мы прыгаем через 3 члена.

: Это расстояние имеет значение 9. Нам нужно разделить общее расстояние на количество сделанных прыжков. Здесь 9 ÷ 3 = 3. Это означает, что общая разность равна +3.

Добавляйте общую разность к первому известному члену, пока не будут вычислены все члены.

-6 + 3 = -3

-3 + 3 = 0

0 + 3 = 3 (Примечание: это один из приведенных терминов)

3 + 3 = 6

Отсутствующие термины — 3, 0 и 6.

Пример 8: найти пропущенные числа в арифметической последовательности, включая смешанные числа

Найдите пропущенные значения в последовательности

\[\ldots, \ldots, \frac{15}{16}, 1 \frac{1}{2}, \ldots\]

Запишите свои ответы в виде дробей в простейшая их форма.

Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами.

\[\begin{выровнено} d &=1 \frac{1}{2}-\frac{15}{16} \\\\ &=\frac{3}{2}-\frac{15}{16} \\\\ &=\frac{24}{16}-\frac{15}{16} \\\\ &=\фракция{9}{16} \end{aligned}\]

Добавьте общую разницу к термину перед отсутствующим значением.

\[\begin{выровнено} &1 \frac{1}{2}+\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{24}{16}+\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{33}{16}=2 \frac{1}{16} \end{aligned}\]

Вычесть общую разницу из члена после пропущенного значения.

\[\begin{выровнено} &\frac{15}{16}-\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \end{aligned}\]

Повторите этот шаг, чтобы найти первый член в этой последовательности.

\[\begin{выровнено} &\frac{3}{8}-\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{6}{16}-\frac{9{16} \\\\ &=\фракция{-3}{16} \end{aligned}\]

В последовательности отсутствуют следующие элементы:

\[\frac{-3}{16}, \frac{3}{8}, \text { и } 2 \frac{1 }{16}\]

Практика арифметических последовательностей: найти недостающие числа

20, 34

35, 42

17, 37

21, 35

Общая разность, 4-7 = 1.

 

14+7=21

 

28+7=35

1 \frac{5}{10}, 1 \frac{9}{10}

1 \frac{13}{10}, 1 \frac{17}{10}

1 \frac{3} {10}, 1 \frac{7}{10}

1 \frac{4}{10}, 1 \frac{8}{10}

Общая разность,

d= \frac{9}{ 10} – \frac{5}{10} = \frac{4}{10}

 

\begin{выровнено} \frac{9}{10} + \frac{4}{10} &= \frac{13}{10}\\\\ &=1 \frac{3}{10}\\\\ \frac{13}{10}+\frac{4}{10}&=\frac{17}{10}\\\\ &=1\разрыв{7}{10} \end{выровнено}

0,9, 0,4

1,09, 1,04

1, 0,6

1,39, 1,34

Общая разность, d=1,4-1,9 = -0,5 .

 

1,4+(-0,5)=0,9

 

0,9+(-0,5)=0,4

12,4, -4

-36, -28, -20

-30, -24, -18

-20, -28, -36

Общая разность, d=-4 – – 12 = 8 .

 

Работа в обратном направлении:

3-й член: -12-8=-20

 

2-й член: -20-8=-28

 

1-й член: -28-8=-36

Как сгенерировать арифметическую последовательность

Чтобы сгенерировать арифметическую последовательность

, нам нужно знать n терм .
Термин n ^th — это имя или правило, которому должна следовать последовательность для создания упорядоченного списка чисел.

Мы можем вычислить любое количество членов арифметической последовательности, подставляя значения в n ^-й триместр.

Первый член находится при n = 1,
второй член при n = 2,
пятый член при n = 5,
десятый член при n = 10 и так далее.

Это известно как правило позиции к термину , так как вы можете вычислить термин, учитывая его позицию в последовательности.

1. Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n ^-й -й член.
2. Найдите второй член, подставив n = 2 в n ^-й триместр.
3. Продолжайте подставлять значения n до тех пор, пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности.

Совет: После того, как вы вычислите первый член последовательности, просто продолжайте добавлять коэффициент n, чтобы получить последовательность!

Объясните, как сгенерировать арифметическую последовательность за 3 шага

Примеры арифметических последовательностей: создание последовательности

Пример 9: создание арифметической последовательности с помощью n

^-й термин

Сгенерируйте первые 5 членов последовательности 5n − 7.

 Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n ^-й член.

Когда n = 1,
(5 × 1) − 7 = -2

Найдите второй член, подставив n = 2 в член n ^th .

Когда n = 2,
(5 × 2) − 7 = 10 − 7 = 3

Продолжайте подставлять значения n , пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности.

При n = 3,
(5 × 3) − 7 = 15 − 7 = 8

При n = 4,
(5 × 4) − 7 = 20 − 7 = 13

При n = 5,
(5 × 5) − 7 = 25 − 7 = 18

Первые 5 членов последовательности 5n − 7 равны -2, 3, 8, 13 и 18.

ИЛИ

Совет: n-й член = 5n − 7

Когда n = 1, (5 × 1) − 7 = -2

Коэффициент при n равен 5, поэтому мы прибавим 5 к -2, а затем продолжим прибавлять 5 для создания последовательности.

Example 10: generate an arithmetic sequence using a table

Complete the table for the first 5 terms of the arithmetic sequence 6 − n

n	1	2	3	4	5
6 — N

Найдите первый термин в последовательности под оборотом. 0643-й триместр.

When n = 1,
6 − 1 = 5.

n	1	2	3	4	5
6 − n	5

Найдите второй член, подставив n = 2 в n ^-й член.

Когда n = 2,
6 − 2 = 4

n	1	2	3	4	5
6 − n	5	4

Continue to substitute values ​​for n until all the вычисляются искомые члены последовательности.

При n = 3,
6 − 3 = 3

При n = 4,
6 − 4 = 2

При n = 5,
6 − 5 = 1

n	1	2	3	4	5
6 − n	5	4	3	2	1

OR

Top подсказка: n-й член = 6 – n

Когда n = 1,
6 – 1 = 5

Коэффициент n равен -1, поэтому мы собираемся вычесть -1 из 5, затем продолжаем вычитать -1 для создания последовательности.

Пример 11: создание более крупных членов в арифметической последовательности

Красные и синие фишки помещаются в последовательность, показанную ниже.

Красные фишки имеют n ^th член 2n.

Синие фишки имеют n ^-й член 3n − 3.

Укажите количество красных фишек в шаблонах 4 и 10. Укажите количество синих фишек в шаблонах 27.

Вычислите четвертый член в шаблонах последовательность, подставив n = 4 в n ^-й триместр 2 н .

Когда n = 4,
2 × 4 = 8

В шаблоне 4 8 красных фишек.

Когда n = 10,
2 × 10 = 20

В шаблоне 10 20 красных жетонов.

Когда n = 27,
3n − 3 = (3 × 27) − 3 = 81− 3 = 78

В шаблоне 27 78 синих счетчиков.

Пример 12: создать арифметическую последовательность с алгебраическими элементами.

n ^th член последовательности равен (3a + b)n. Обозначьте первые 5 членов последовательности через a и b.

Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n ^-й член.

Когда n = 1,
(3a + b) × 1 = 3a + b

Найдите второй член, подставив n = 2 в член n ^-й .

Когда n = 2,
(3a + b) × 2 = 6a + 2b

Продолжайте подставлять значения для n , пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности.

При n = 3,
(3a + b) × 3 = 9a + 3b

При n = 4,
(3a + b) × 4 = 12a +4 b

При n = 5,
(3a + б) × 5 = 15а + 5б

Первые 5 членов последовательности:
3а + б, 6а + 2б, 9а + 3б, 12а + 4б и 15а + 5б.

Практика арифметических последовательностей: составить последовательность

-4, 3, 10, 17, 24, 31

7, 3, -1, -5, -9, -13

3, 10, 17, 24 , 31, 38

1, 8, 15, 22, 29, 36

\begin{align} 7 \ умножить на 1 — 4 &= 3\\ 7 \ умножить на 2 — 4 &= 10 \\ 7 \ умножить на 3 — 4 &= 17\\ 7 \ умножить на 4 — 4 &= 24\\ 7 \ умножить на 5 — 4 &= 31\\ 7 х 6 – 4 &= 38 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \;\; -1 \четверка -4 \четверка -7 \;\; -10 \;\; -13 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \;\; -1 \четверка -3 \четверка -5 \четверка -7 \;\; \; -9 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \quad \; 5 \quad \quad 8 \quad \quad 11 \quad \;\; 14\четверка\;17 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 − 3n \quad \;\: 1 \quad \quad 4 \quad \quad 7 \quad \;\; 10 \квадрат\;\; 13 \end{выровнено}

\begin{выровнено} 2-3 \раз 1 &= – 1\\ 2-3 \умножить на 2 &= – 4\\ 2-3 \умножить на 3 &= – 7\\ 2-3 \умножить на 4 &= – 10\\ 2-3 х 5 &= – 13 \end{выровнено}

1-й член: 4 × 1-25=-21

 

10-й член: (4 × 10)-25=15

 

100-й член: (4 × 100)-25=37

 

1000-й член: (4 × 1000)-25=3975

 

-21+15+375+3975=4344

Так как треугольников 2n и их 12, то

\begin{выровнено} 2n&=12\\ п&=6 \end{выровнено}

 

В шаблоне номер 6 12 треугольников .

 

Количество строк 4n+1 .

 

Когда n=6 ,
(4 х 6) + 1 = 25 .

Арифметическая последовательность Вопросы GCSE

1. N-й член последовательности равен 4n + 5 .

 

Укажите первые 5 членов последовательности.

(2 балла)

Показать ответ

не менее 3 терминов

(1 )

9, 13, 17, 21, 25

(1)

2. Работа не хватает в следующей последовательности:

 

17, ….., ….., 32, ….

(2 балла)

Показать ответ

\begin{align} d&=\frac{32-17}{3}\\\\ д&=5 \end{выровнено}

(1)

 

22, 27, 37

(1)

3. Вот первые четыре члена арифметической прогрессии

2, 7, 12, 17

 

Вот первые пять членов другой арифметической прогрессии

-4, -1, 2, 5, 8

 

Найдите два числа, которые входят в обе числовые последовательности.

(2 балла)

Показать ответ0003

Распространенные заблуждения

• Умножение значения термина для получения другого термина в последовательности
  Напр.
  Давайте посмотрим на последовательность 4, 10, 16, 22, 28.
  Третий член последовательности равен 16 .
  Тридцатый член не равен третьему члену, умноженному на 10 или 160 (поскольку 16 × 10 = 160). Тридцатый член равен 178.

• Арифметические последовательности с отрицательными членами не всегда уменьшаются
  Напр.
  Последовательность -48, -40, -32, -24, -16 имеет общую разность +8.
  Это означает, что хотя последовательность показывает отрицательные целые числа, а не положительные целые числа, она увеличивается.

• Добавление константы в член n ^th вместо общей разности
  Напр.
  n ^-й член 3n − 7 даст последовательность чисел, общая разность которых равна 3. Неправильное представление возникнет, если следующий член будет найден путем вычитания 7, а не прибавления 3.

• Неправильное упрощение термина n ^th
  Напр.
  Неправильное упрощение 6n + 2 для получения 8n.
  Это неверно для любого значения, кроме n = 1.

Контрольный список обучения

Теперь вы научились:

• Генерировать члены последовательности либо из правила «термин-термин», либо из правила «позиция-термин»

Все еще застряли?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie для улучшения работы нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять вашими настройками файлов cookie или изменять их. Принять

Arithmetic Series

Горячая математика

Ан арифметический ряд это ряд чей родственный последовательность является арифметическим. Он получается в результате добавления условия из арифметическая последовательность .

Пример 1:

Конечная арифметическая последовательность: 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , … , 200

Связанные конечные арифметические ряды: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 200

Записано в сигма-нотации: ∑ к «=» 1 40 5 к

Пример 2:

Бесконечная арифметическая прогрессия: 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , . ..

Связанные бесконечные арифметические ряды: 3 + 7 + 11 + 15 + 19+ …

Записано в сигма-нотации: ∑ н «=» 1 ∞ ( 4 н − 1 )

Чтобы найти сумму первых н членов арифметической прогрессии, используйте формулу
С н «=» н ( а 1 + а н ) 2 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым членом, и а н это последний срок.